КОФЕ С МАТЕМАТИКОЙ

— Ну-с, с чего же начнем? — спросил Фило, потирая руки.

— Я думаю, с кофе, — неожиданно заявил Мате. — У меня отличная кофеварка, — с гордостью сообщил он. — Обратите внимание: собственная конструкция!

Толстяк подозрительно оглядел нескладное дымящееся сооружение, от которого тянулся электрический шнур к треснутой фарфоровой розетке. Но кофе, против ожиданий, оказался превосходным, и лакомка Фило дал себе слово обязательно выведать секрет его приготовления.

Тут он обратил внимание на необычной формы пятиугольную чашку, и мысли его сами собой перенеслись к задаче, предложенной магистром Теодором. Некоторое время интерес к кофе боролся в нем с интересом к математике, но потом ему пришло в голову, что пить кофе и решать задачи можно одновременно. Он поделился своим гениальным открытием с Мате, и тот без лишних слов приступил к доказательству.

— Так вот, — сказал Мате, открывая неизбежный блокнот, — требуется вписать в квадрат ABCD равносторонний пятиугольник таким образом, чтобы одним из углов его был угол квадрата. — Он начертил квадрат. — Прежде всего, проведем диагональ квадрата BD. Теперь на глазок впишем в квадрат равносторонний пятиугольник BEgFK так, чтобы диагональ BD была его осью симметрии. Сторону квадрата обозначим буквой а, сторону пятиугольника, естественно, через х, — ведь именно она-то нам и неизвестна. Таким образом, АК = а — х, KF = х, AF = а — FD. Но FD есть гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника FLD, катеты которого равны х/2. Теперь соблаговолите определить, чему равна гипотенуза FD.

Фило довольно бойко отрапортовал, что, согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. А раз так, значит, гипотенуза

— Отлично, — сказал Мате. — Стало быть,

Теперь все стороны треугольника AKF выражены у нас через искомое число х: KF = х, АК = a-x, и, наконец,

Снова обратимся к теореме Пифагора и получим, что KF² = АК² + AF², то есть

— Что-то вроде квадратного уравнения, — сообразил Фило.

— Вот-вот. Надо лишь привести его в приличный вид.

Мате раскрыл скобки и перенес все члены уравнения в левую часть равенства:

— Решив уравнение по обычной формуле, — продолжал он, — получим:

— Э, нет, — заартачился Фило, — перед большим корнем полагаются два знака: плюс и минус. А вы написали только минус…

— Замечание верное, но ведь мы с вами не отвлеченное квадратное уравнение решаем, а ищем вполне конкретную сторону пятиугольника. А она, если вдуматься, никак не может быть больше стороны квадрата. Так что на сей раз хватит с вас и одного минуса.

— Невелика выгода. Ответ у вас все равно некрасивый: корень на корне и корнем погоняет.

Мате засмеялся. Этот Фило определенно делает успехи! Одной правильности ему уже мало. Что ж, придется предложить ответ поизящнее. Такой, например: если принять, что корень из двух приближенно равен 1,41, то икс — также приближенно — равен 0,65 а.

— Совсем другое дело? — сказал Фило. — Но там, между прочим, были еще две геометрические задачи.

— Благодарю за напоминание. Только теперь ваша очередь решать.

Фило обомлел. Как? От него требуют, чтобы он решал задачу один? Самостоятельно?

— Вот именно, — непреклонно подтвердил Мате. — Единственное, что я могу для вас сделать, это напомнить, в свою очередь, условия задач. Итак, слушайте. Задача вторая. В равносторонний треугольник надо вписать квадрат, одна сторона которого лежит на основании треугольника. Произвести это следует так, чтобы квадрат вместе с образовавшимся над ним малым треугольником составлял равносторонний пятиугольник.

Фило мрачно вздохнул и задумался. Через некоторое время, однако, лицо его прояснилось. Он взял у Мате блокнот, вычертил равносторонний треугольник АВС и вписал в него квадрат DEFg.

— Само собой разумеется, что квадрат пока что приблизительный, так же как и равносторонний пятиугольник DEBFg.

— Ну, ну, — подбадривал Мате, — дальше…

— Дальше обозначим стороны большого треугольника через a, а стороны пятиугольника через х и рассмотрим прямоугольный треугольник AED. Гипотенуза его АЕ = а — х. Катет ED = х, а катет AD = (a — x)/2. Так ведь?

— Клянусь решетом Эратосфена, так!

— Тогда остается применить теорему Пифагора:

АЕ² = ED²+ AD².

А уж отсюда получим выражение:

(а — x)²= x²+ ((a — x)/2)².

После этого Фило запнулся и посмотрел на Мате так жалобно, что сердце у того не выдержало, и вскоре перед ними красовалось следующее квадратное уравнение:

x² + 6ах — 3a² = 0

Решив его, они определили, что

и откинулись от стола, весьма удовлетворенные своей деятельностью.

— Ну, — ехидно полюбопытствовал Мате, — что же вы не спросите, почему перед корнем вместо двух знаков только один?

Фило гордо подбоченился: стоит ли спрашивать о том, что и так ясно? Ведь сторона квадрата не может быть отрицательной! Стало быть, минус ни при чем.

Далее он относительно быстро подсчитал, что

приближенно равен 3,46, а раз так, значит, х ? (-3 + 3,46)а = 0,46а.

— Всё! Переходим к третьей задаче.

— Надо ли? — усомнился Мате. — Думаю, вы отлично справитесь с ней дома.

И он протянул товарищу листок, на котором было написано: «в равнобедренный треугольник с основанием 12 и боковыми сторонами 10 вписать равносторонний пятиугольник, один из углов которого — угол при вершине, а одна из сторон лежит на основании треугольника».

— Скряга! — укорил его Фило.

— Ничего, учитесь мыслить самостоятельно! Ну же, не капризничайте… Хотите, объясню вам принцип счета шестидесятеричной системы счисления?

«Нечего сказать, утешил!» — подумал Фило.

— А вы уверены, что я в состоянии это понять? — спросил он довольно кисло.

Мате скорчил гримасу, означающую: «На глупые вопросы не отвечаю», — и приступил к объяснениям.

— Для сравнения возьмем какое-нибудь число, записанное в нашей, десятичной, системе, ну хоть 2324. В этом числе каждый последующий разряд, начиная справа, больше предыдущего в десять раз. Значит, число это можно записать так:

2 х 1000 + 3 х 100 + 2 х 10 + 4 х 1,

а это не что иное, как:

2 х 10³ + 3 х 10² + 2 х 10¹ + 4 х 10⁰

В шестидесятеричной системе каждый последующий разряд больше предыдущего не в 10, а в 60 раз. Поэтому та же запись 2324 расшифровывается уже по-другому:

2 х 60³ + 3 х 60³ + 2 х 60¹ + 4 х 60⁰.

А это, — Мате сосредоточенно пошевелил губами, — это составляет 442 924. Добавлю, что цифры в шестидесятеричной системе счисления пишутся на некотором расстоянии друг от друга. Вот, собственно, и всё. Ну как, постижимо?

— Пока — вполне, но в ответе на алгебраическую задачу у мессера Леонардо были еще какие-то значки…

— Не значки, а римские цифры. Так в шестидесятеричной системе записывают дробные числа. Опять-таки для сравнения возьмем какую-нибудь десятичную дробь. Например: 2,135. Что это такое? Это

2/10⁰ + 1/10¹ + 3/10² + 5/10³

В шестидесятеричной системе место знаменателя 10, естественно, займет другой: 60. Стало быть, если в ответе на алгебраическую задачу у мессера Леонардо было записано

1⁰ 22^I 7^II 42^III 33^IV 4^V 40^VI,

то читать это следует так:

1/60⁰ + 22/60¹ + 7/60² + 42/60³ + 33/60⁴ + 4/60⁵ + 40/60⁶

Подсчитайте — и ответ Фибоначчи в десятичном счислении перед вами!

Фило испуганно отшатнулся:

— Вы что? Да я же до утра не кончу!

— Ладно, ладно, — примирительно проворчал Мате, — все уже давно подсчитано. Икс у Леонардо приближенно равен

1,368808107853.

Фило был потрясен. Вычислить иррациональный корень с таким невероятным приближением, да еще в шестидесятеричной системе!

Мате усмехнулся:

— Есть у Фибоначчи вещи и более удивительные…

— Что вы имеете в виду?

Но Мате, которому всегда нравилось разжигать любопытство приятеля, пропустил вопрос мимо ушей.

— Налить вам еще кофе? — спросил он самым светским тоном.

— Конечно, налить. Но вы не ответили на…

— Берите, пожалуйста, сахар.

— Нет, это, наконец, невежливо! — вспылил донельзя заинтригованный гость. — Клянусь решетом Эратосфена, вы узнали что-то в высшей степени интересное. Неужели я не заслужил…

— Успокойтесь, заслужили! — сжалился наконец Мате. — Но сперва скажите: знаете вы что-нибудь о теореме Ферма?

— Вы что, издеваетесь?

— Тогда придется вас просветить, потому что, не зная теоремы Ферма, вы ничего не поймете.

И Мате стал рассказывать.

Краса и гордость французской математики, Пьер Ферма жил в XVII веке (кстати сказать, в те же примерно годы, что и Блез Паскаль). Математика, как ни странно, не была его основным занятием: он был юристом королевского парламента в Тулузе, что, впрочем, не помешало ему сделать множество замечательных открытий и оставить громадное математическое наследие, немалое место в котором занимает так называемая великая теорема Ферма.

Теореме этой суждено было стать такой же мучительной загадкой для человечества, как и пятый постулат Эвклида, с той разницей, что пятому постулату повезло больше: вопрос этот успешно разрешен. Что же до теоремы Ферма, то ни доказать ее, ни опровергнуть возможность ее доказательства пока что не удалось никому. Но об этом после. А сейчас о самой теореме. В чем она заключается?

В математике всегда можно подобрать таких три целых числа, чтобы сумма квадратов двух из них равнялась квадрату третьего. Например, 3² + 4²= 5². Или 5² + 12² = 13². Таких числовых троек бесконечно много. Но нельзя, оказывается, подобрать три целых числа, чтобы сумма кубов двух из них равнялась кубу третьего. Нельзя это сделать ни для четвертой, ни для пятой — словом, вообще ни для какой степени, если она больше двух. Иначе говоря,

хⁿ + уⁿ ? zⁿ, если n > 2

Ферма записал эту теорему на полях «Арифметики» Диофанта[35] и уверял, что доказал ее. Но найти его доказательство так и не удалось. Остается предположить, что если оно вправду было, то Ферма сам уничтожил его, обнаружив в нем ошибку…

С тех пор вот уже триста лет над теоремой бьются многие математики, великие и невеликие, молодые и старые, профессиональные и самодеятельные. Некоторым удалось доказать ее для отдельных или, как у нас говорят, частных случаев, однако общее доказательство по-прежнему остается неуловимым.

Иногда, правда, интерес к теореме несколько ослабевает, но довольно малой искры, чтобы заставить его вспыхнуть с новой силой. Были времена, когда увлечение теоремой Ферма превращалось в настоящий свирепый психоз…

— Не психоз, а ферманьячество, — скаламбурил Фило. — Но я, право, не понимаю, при чем тут Фибоначчи?

— До вчерашнего дня я сам этого не знал… Зато сегодня!..

Но тут, в тот самый момент, когда любопытство Фило достигло крайнего напряжения, сердито зарычал Буль, и Мате прервал свой рассказ на самом интересном месте.

— Кажется, к нам заявились незваные гости, — сказал он. — Буль всегда их загодя чувствует.

И правда, в ту же секунду раздался звонок. Пес тотчас направился к двери. Мате, естественно, последовал за ним, и любопытный филолог остался один на один со своим взбудораженным воображением.