Городские слухи
Удивительно, как быстро расходятся по городу слухи! Иной раз и двух часов не пройдет со времени какого-нибудь интересного происшествия, случившегося на глазах всего нескольких зрителей, – а новость уже облетела весь город: все о ней знают, все слыхали.
Эта необычайная быстрота кажется поразительной, прямо загадочной. Однако, если подойти к делу с подсчетом, то станет ясно, что ничего чудесного и непостижимого здесь нет: все объясняется свойствами чисел, а не какими-то таинственными особенностями самих слухов.
I
Для примера рассмотрим хотя бы такой случай. В губернский город приехал в 8 часов утра житель столицы и привез с собою свежую, всем интересную новость. В гостинице, где приезжий остановился, он сообщил эту новость только троим местным жителям; это заняло, скажем, четверть часа.
Итак, в 8 1/4 часа утра новость была известна всего только четверым людям: приезжему и трем местным жителям.
Узнав интересную новость, каждый из троих граждан поспешил рассказать ее 3-м другим. Это потребовало, допустим, также четверти часа – срок не слишком короткий для передачи слуха. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней знало уже 4 + 3 x 3 = 13 человек.
Каждый из 9-ти вновь узнавших в такой же срок поделился с 3-мя другими гражданами, так что к 8 3/4 часам утра новость стала известна
13 + 3 x 9 = 40 гражданам.
Если слух распространяется по городу и далее таким же способом, т. е. каждый узнавший про новость успевает в ближайшие четверть часа сообщить ее 3 согражданам, то осведомление города будет происходить по следующему расписанию:
в 9 час. новость узнают 40 + 3 x 27 = 121 челов.
в 9 1/4 час. новость узнают 121 + 3 x 81 = 364 челов.
в 9 1/2 час. новость узнают 364 + 3 x 243 = 1093 челов.
Спустя полтора часа от начала движения слуха новость будут знать, как видим, всего около 1100 человек. Это, казалось бы, немного для города с населением в 50.000, и можно, пожалуй, подумать, что новость не скоро еще станет известна всем его жителям. Однако проследим далее за движением слуха:
в 9 3/4 час. новость узнают 1093 + 3 x 729 = 3280 челов.
в 10 час. новость узнают 3280 + 3 x 2187 = 9841 челов.
Еще спустя четверть часа – уже больше половины города будет посвящено в новость:
9841 + 3 x 6561 = 29524.
И следовательно, ранее чем к половине одиннадцатого дня поголовно все жители будут знать новость, которая в 8 часов утра была известна только одному человеку.
II
Подсчет наш сводился, в сущности, к тому, что мы сложили такой ряд чисел:
1 + 3 + 3 x 3 + 3 x 3 x 3 + 3 x 3 x 3 x 3 + и т. д.
Нельзя ли узнать эту сумму как-нибудь короче, наподобие того, как определяли мы на стр. 54 сумму чисел ряда 1 + 2 + 4 + 8 + и т. д.? Это возможно, если принять в соображение следующую особенность складываемых здесь чисел:
3 = 1 x 2 + 1
9 = (1 + 3) x 2 + 1
27 = (1 + 3 + 9) x 2 + 1
81 = (1 + 3 + 9 + 27) x 2 + 1
и так далее.
Иначе говоря: каждое число этого ряда равно удвоенной сумме всех предыдущих чисел да еще одна единица.
Отсюда следует, что если нужно найти сумму всех чисел такого ряда от 1 до какого-либо числа, то достаточно лишь прибавить к этому последнему числу его половину (предварительно откинув единицу). Например, сумма чисел
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729
равна 729 + половина от 728, т. е. 729 + 364 = 1093.
III
В нашем случае каждый узнавший новость передавал ее только троим гражданам. Но если бы жители города были более словоохотливы и сообщали услышанную новость не 3-м, а, например, 5-ти или даже 10-ти другим, то слух распространялся бы, конечно, еще быстрее. Так, при передаче пятерым картина осведомления города была бы такая:
в 8 час … 1 чел.
в 8 1/4 час … 1 + 5 = 6 чел.
8 1/2 час … 6 + 5 x 5 = 31 чел.
8 3/4 час … 31 + 25 x 5 = 156 чел.
9 час … 156 + 125 x 5 = 781 чел.
9 1/4 час … 781 + 625 x 5 = 3906 чел.
9 1/2 час … 3906 + 3125 x 5 = 19531 чел.
Ранее чем в 9 3/4 часа утра новость уже будет известна всему 50-тысячному населению города.
Еще быстрее распространится слух, если каждый, услышавший новость, передаст о ней 10-ти другим. Тогда получим такой любопытный ряд чисел:
8 час … 1
8 1/4 час … 1 + 10 = 11
8 1/2 час … 11 + 100 = 111
8 3/4 час … 111 + 1000 = 1111
9 час … 1111 + 10000 = 11111
Следующее число этого ряда, очевидно, 111111; это показывает, что весь город узнает про новость уже в самом начале 10-го часа утра. Слух разнесется почти в один час!
Данный текст является ознакомительным фрагментом.