4. Диалектическая теория семантических множеств

«Мно?жество – один из ключевых объектов математики, в частности теории множеств. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (Георг Кантор). Это не является в полном смысле логическим определением понятия множество, а всего лишь пояснением (ибо определить понятие – значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество – это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики). Существует два подхода к понятию множества.

«Наивная теория множеств» Георга Кантора. Дать определение чему-либо это значит выразить понятие через ранее определенные. При этом должны быть некоторые базовые понятия, которые формально не определены. Множество может быть одним из таких понятий. В рамках наивной теории множеств множеством считается любой четко определенный набор объектов. Кантору принадлежит также следующая характеристика понятия «множество»: Множество – это объединение определённых, различных объектов, называемых элементами множества, в единое целое. Однако вольное использование наивной теории множеств приводит к некоторым парадоксам, в частности к парадоксу Рассела».

Это текст из «Викизнания».

До XIX века считалось, что точного определения множества нет. Множеством считалось любое скопление предметов. В конце XIX века Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Теория понятий считает это утверждение ошибочным, абзацем выше приведено дословное несколько иное канторовское определение понятия множества.

Множество объектов, обладающих свойством A (x)!, обозначается {x|A (x)}!. Если некое множество Y= {x|A (x)}!, то A (x)! называется характеристическим свойством множества Y!. Данная концепция привела к парадоксам. После этого теория множеств была некорректно аксиоматизирована. На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело – Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

На день сегодняшний имеются и другие определения понятия множества.

Мно?жество – одно из ключевых понятий математики, в частности теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть несводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения; для его объяснения используются описательные формулировки, характеризующие множество как совокупность различных элементов, мыслимую как единое целое. Также возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

Теория понятий предлагает и использует несколько иное определение множества не в противоречии с наивным определением Кантора.

Диалектика теории множеств

В начале XX века Г. Кантор пришел к выводу, что интуитивная математика, которой он занимается, требует логического обоснования, требует формализации. Требуется основание математики, и Кантор занялся философией математики, проблематикой мышления в математике. Теория понятий считает, что в соответствии с диалектическим законом единства и борьбы (конкуренции) противоположностей, интуитивная математика распалась на две математики: аксиоматическую математику, основанную на формализации, которая абстрагируется от семантики естественного языка, и противоположную прикладную, основанную на использовании этой самой семантики. Занявшись философией математики, Кантор хотел как лучше, а получилось как всегда. В результате появилась не философия математики, а математическая философия (онтология, информатика) аналогично возникновению других математических наук: математической физики, математической логики и т.д., что лишний раз подтверждает, что математика является царицей всех наук. К слову, можно заметить, что саму философию в свое время предложил математик Пифагор. Теория понятий считает, что эта математическая философия представляет единение всех имеющихся наук.

Формализа?ция – представление какой-либо содержательной области (рассуждений, доказательств, процедур классификации, поиска информации, научных теорий) в виде формальной системы или исчисления.

Поскольку лингвистическая структура естественного языка не совпадает с логической структурой форм и законов мышления, которые воплощаются в этом языке, логика вынуждена создавать специальные средства, которые бы дали возможность изъять из естественного языка формы мышления, их логические свойства, существенные отношения между ними, определить принципы логической дедукции, критерии различия правильных и неправильных способов рассуждения.

Создание логики специального языка, наряду с существующей на естественном языке, есть особый процесс, который предусматривает, что созданная искусственная знаковая система является средством фиксации логической структуры мысли, с одной стороны, и средством исследования логических свойств и отношений мысли, с другой. То есть язык логики – это прежде всего её метод. Принято говорить не «искусственный язык логики», а «формализованный язык логики». С лёгкой руки немецкого философа Иммануила Канта логике приписали прилагательное «формальная», поэтому логику стали называть формальной, а её метод – формализацией.

Любая формализация по определению игнорирует некоторую часть доступной информации и, следовательно, обедняет содержательное представление об исследуемом объекте.

Форма?льная систе?ма (форма?льная тео?рия, аксиоматическая теория, аксиоматика, дедуктивная система) – результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.

Формальная система – это совокупность абстрактных объектов, не связанных с внешним миром, в которой представлены правила оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без учёта смыслового содержания, то есть семантики. Строго описанные формальные системы появились после того, как была поставлена задача Гильберта. Первые ФС появились после выхода книг Рассела и Уайтхеда «Формальные системы».

И в то же время. Философия математики предполагает также построение семантической теории «языка» математики для изучения смысла математических высказываний и сущностей абстрактных объектов. Теория понятий, напротив, основана на использовании семантики естественного языка, полагая, что естественный язык за время своего многовекового развития наилучшим образом представляет реальный мир. Теория понятий считает, что реальный мир определяет прикладную математику, которая его представляет. Семантическая математика более прагматична.

Ещё одним из вопросов философии математики является вопрос о собственной (онтологической) возможности выделения оснований математики, Первый в истории философии ответ на данный вопрос дал Платон в диалоге «Парменид» в форме тезиса «теория соотношения единого и многого образует мир». Этот тезис почти дословно представляет определение множества Кантора.

Единение совокупности семантических понятий образует понятие виртуального мира.

Теория понятий считает, что, занявшись философией математики, Кантор осознал, что материальность реальна, и это осознание он представил определением понятия множества, что не исключает возможность использования в теории множеств (как и во многих других реально создаваемых в реальном времени теориях) понятия реального времени (Real Time). В теории понятий истинность утверждения «сегодня пятница» возрастает по мере её приближения. Аристотель отдыхает. Работает иная, диалектическая логика.

Кроме того, Кантор задумался, как бы абстрактную высшую математику, которой он занимался всю жизнь, можно бы было применить, использовать в быту, в обычной человеческой деятельности. В работе https://studfiles.net/preview/6718656 довольно подробно рассмотрены философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора [2].

Кантор пришёл к заключению, что для превращения математики в содержательную прикладную дисциплину необходимо в математике рассматривать предметы мышления наряду с прочими предметами созерцания. Кантор пришел к выводу концепции – аксиоме, что в любой науке (не исключая и математику) обобщающее понятие может представлять всю совокупность определяющих его инициальных понятий, и сформулировал это утверждение в виде определения понятия множества. Таким образом, проблемой мышления в конкретных науках является обнаружение как исходных, инициальных, так и обобщающих понятий. Кантор использовал обобщающие понятия в качестве типа данных в прикладных дисциплинах.

Сущность, определяемая определением понятия множества, учитывает, как естественные изменения предметов созерцания, так и естественные изменения естественного интеллекта и даже учитывает изменения самой математики в процессе её развития. Сплошная диалектика. Предлагая определение понятия множества, Кантор превращает абстрактную математику в естественнонаучную дисциплину. Предложив определение понятия множества, Кантор поставил математику с ног на голову. Даже коллеги перестали понимать диалектику его работ. Кантор отметил в одном из писем: «…согласно Миттаг-Леффлёру, я должен подождать до 1984 года, что кажется мне слишком большой просьбой!.. Но конечно, отныне я никогда ничего не хочу знать об Acta mathematica

Данный текст является ознакомительным фрагментом.