Приложение 2 Анализ тождества Эйлера

e^i? + 1 = 0

Тождество Эйлера примечательно тем, что оно объединяет пять фундаментальных математических констант: 0, 1, ?, e и i. Наше краткое объяснение поможет пролить свет на то, что значит возвести e в мнимую степень, что, в свою очередь, позволит показать, почему тождество верно. Но для этого необходимо иметь общее представление о некоторых специальных математических понятиях, таких как тригонометрические функции, радианы и мнимые числа.

Начнем с ряда Тейлора, который позволяет представить любую функцию в виде суммы бесконечного числа членов ряда. Если вы хотите больше узнать о построении ряда Тейлора, вам придется изучить этот вопрос самостоятельно, но для наших целей достаточно того, что функцию e^x можно представить в следующем виде:

Здесь x может иметь любое значение, поэтому мы можем подставить ix вместо x, где i? = ?1. Таким образом, мы получим следующий ряд:

Далее сгруппируем члены ряда в зависимости от того, есть ли в них i или нет:

В качестве на первый взгляд неуместного отступления можно также найти пару рядов Тейлора, представляющих функции синуса и косинуса, что дает следующий результат:

Следовательно, мы можем записать e^ix через sin x и cos x:

e^ix = cos x + i sin x

В формуле Эйлера присутствует e^i?, и теперь мы можем подставить ? вместо x:

e^i? = cos ? + i sin ?

В данном контексте ? – это угловой размер в радианах, так что 360° = 2? радиан. Стало быть, cos ? = ?1, а sin ? = 0. Это означает, что:

e^i? = ?1

Следовательно,

e^i? + 1 = 0

Профессор Кит Девлин, британский математик из Стэнфордского университета и автор блога Devlin’s Angle («Угол Девлина»), придерживается такого мнения: «Как сонет Шекспира схватывает саму суть любви или картина показывает внутреннюю красоту человека, так тождество Эйлера проникает в самые глубины существования».