Вариация первая

Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.

Пословица

Нет никакой случайности в том, что одна из лучших в мире книг, посвященных древнейшей из математических наук, названа именно так: "Наглядная геометрия". И Давид Гильберт, и Стефан Кон-Фоссен, ее авторы, да и любой другой, кто хоть раз задумался о том, чем же геометрия отличается от своих математических сестер, не могли не заметить главного: ее прозрачности, ясности, в известном смысле кинематографичности. Поэтому во исполнение данного в "Увертюре" обещания читателю предлагается сценарий небольшого мультипликационного фильма. Крохотные "значки" гравюр на полях едва ли позволят даже при самом развитом воображении увидеть взаимопереходы работ Эсхера, их связь и единство, основанные на единстве геометрии нашего мира, в чем, собственно, и состоит замысел сценария. Но ничто не мешает читателю обратиться к разбросанным по разным страницам книги иллюстрирующим ее гравюрам М. К. Эсхера, воспользовавшись для этой цели все тем же "Указателем", так он сможет увидеть некоторые из "значков" в увеличенном виде и сумеет их внимательно рассмотреть во всех деталях.

Пролог

Одно за другим переплывами идут изображения предметов, в которых запечатлена гармония нашего мира, геометрия, лежащая в его основе, — кристаллы, отражения в воде, капли росы, снежинки, раковины и пр.

Все, чем богат мир, доступно нашему глазу, — слышен голос героя фильма. — А все, что видит глаз, рука наша умеет сохранить на века. но вот вопрос: а умеем ли мы видеть всю красоту и мудрость мира?

Затемнение.

Чередой проходят перед нами фигуры, претерпевающие всевозможные геометрические превращения: от плоского к объемному, от нарисованного к "живому". Фигуры эти складываются в мозаику, заполняют собой пространство[13]. И вот бегут по экрану буквы...

Из-за края экрана появляется лупа в старинной оправе с деревянной ручкой. Рука, держащая лупу, доводит ее до центра экрана, и над увеличительным стеклом склоняется лицо человека, правда нам виден лишь его глаз.

Этот глаз, напряженно всматривающийся в буквы на экране, и рука, крепко держащая лупу, несколько мгновений занимают собою все внимание зрителя. И лишь затем сквозь линзу проступают титры фильма:

Букет из сада геометрии Мультипликационный познавательный фильм

Титры кончаются, и мы видим ту же руку, которая откладывает в сторону лупу и берет зеркальную сферу.

Одновременно рука эта и человек, которому она принадлежит, отражаются в зеркале шара. Человек сидит перед столом в кресле и, вертя шар, говорит — энергично, напористо, продолжая прерванный на полуслове разговор. Во время его монолога мы видим, как отражаются во вращающемся шаре стены комнаты, мебель, окна. Но глаза говорящего — таково свойство зеркальной сферы — все время остаются в центре кадра, словно гипнотизируя нас. И рука его, непомерно большая из-за искаженной перпективы, тоже не выходит из фокуса внимания зрителя.

...Боюсь, что нет. Мир сияет вокруг нас тысячами красок, он готов раскрыть нам тысячи тайн. А мы — слепы. Мы видим лишь малую долю этих сокровищ. Да и чему удивляться, ведь это только говорят: венец творения, венец творения... А давно ли мы перестали бегать на четвереньках?!

Все так же вертится шар, но его зеркальная поверхность тускнеет. Проступают земные материки, синеют океаны. И вся Земля, словно увиденная из космоса, кажется голубым шаром.

Все ближе Земля, и вот уже перед нами одни лишь волны.

Мерцает вода древнего моря. Одиноко стоит на острове голая скала. Лишь удары волн да завывания ветра — жизнь еще не начиналась на этой планете.

Медленно подымаются к поверхности моря огромные рыбы. Пучеглазая голова одной из них высовывается из воды. Опершись на плавники, рыба с удивлением рассматривает скалу и весь остров. Мы видим все это как бы ее глазами.

Гремят грозы, ливни низвергаются на море и сушу. Сотни миллионов лет прессуются в доли секунды — на Земле идет эволюция.

Перед камерой медленно проходит эволюция жизни на Земле. Темные рыбы на фоне светлого моря превращаются в светлых, плывущих в черных глубинах океана, те, незаметно меняя свою форму, преобразуются в темных амфибий, которые также неумолимо переходят в светлых лягушек. Наконец, на жизненной сцене появляются огромные черные птицы, которые уступают место белым голубям. Еще небольшой поворот, и вновь рыбы плывут по морю[14].

Вот они выползают на берег острова. Плавники их становятся лапами, головы вытягиваются. Крокодилообразный зверь смотрит на ту же скалу. Он видит ее нерезкой, искаженной — что-то между "рыбьим" видением и нормальной перспективой.

Множатся земные твари. Скачет огромный кузнечик. Он видит скалу вытянутой, как в "комнате смеха". Проползает гигантский муравей, и когда нам приходится взглянуть на тот же пейзаж его глазами, мы видим еще одно искажение.

Лезут и лезут рыбы на берег острова. Прямо на глазах их плавники превращаются в перепончатые лапы неведомых зверей и, постепенно меняясь, становятся руками нашего общего предка.

Прикрыв глаза рукою от солнца, смотрит на скалу человекообразное существо. Сначала оно не умеет "установить фокус", и знакомая нам картина выглядит нерезкой. Но вот лицо стало собранным, совсем человеческим, и волосатая рука, загораживающая глаза от яркого света, тоже становится обычной рукой. На берегу моря стоит тот самый человек (им может быть и живой актер), чье отражение в зеркальном шаре мы видели в предыдущих кадрах, его глазами мы видим все тот же пейзаж.

Переплывами меняются горные пейзажи. По крутым тропинкам поднимается наш герой и ведет свою беседу столько же с нами, как и с самим собой. Мы видим, как много дано человеческому глазу, как открывается ему красота мира, и тем неожиданнее звучат слова героя фильма:

Если смотреть в масштабе вечности, мы только что вылупились из яйца, — продолжает он свой страстный монолог, — и еще не научились как следует видеть. а уж изобразить увиденное — тем более.

Наш герой появляется на узкой улочке старого города. Доходит до веревки с бельем, перегораживающей улицу, останавливается. А я — строитель, архитектор, зодчий — назовите как хотите, но только научите, как мне нарисовать на бумаге то, что я хочу построить! как, я вас спрашиваю? как мне изобразить объемный трехмерный дом на плоском листе? ну вот, пожалуйста, научите... — говорит он, поднимая с земли кусочек угля и быстро нанося им на развешанной простыне четкие линии, изображающие окружающие его дома.

Я старался, видите — старался изо всех сил сделать эти дома выпуклыми, настоящими. А что вышло?! Как тут строить, когда не видишь ни линии стен, ни пола, ни потолка? — Почти кричит Зодчий и в гневе ударяет по простыне кулаком с задней стороны, чтобы сделать свой чертеж выпуклым. В центре его выпячивается балкон одного из домов. Зодчий, обрадованный, отступает, проводя перед чертежом рукой, словно призывая его сохраниться навеки. И тотчас штрихи эскиза превращаются в законченные линии гравюры. Полощется на ветру простыня с изображенной на ней городской улочкой. И мы вместе с Зодчим видим, что она вновь стала плоской, безо всякого следа выпуклости на месте балкона.

Вот оно, проклятье моей жизни! — восклицает зодчий. — Я должен уметь увидеть на рисунке то, чего там и быть не может: мне надо узнать объемное на плоскости, но ведь мой глаз к этому еще не успел привыкнуть. почувствовать ширь и глубину — и как? — с помощью каких-то цветных пятен, нанесенных на холст! А что еще представляет собой любая картина?

Безнадежно понурив голову, бредет Зодчий по городским улочкам. И все, на что он ни взглянет, стремительно приближается и становится, как бы нарисованным на поверхности стекла — реальная сочная и объемная жизнь превращается в соединение цветных пятен различной яркости, что, в сущности, и представляет собой любая картина.

Зодчий бросает взгляд на двух жуков, катящих шарик, и они сразу же уплощаются на том мысленном холсте, что живет в воображении Зодчего. Но вот он берет жука в руку, ощупывает его пальцами, и на наших глазах скарабей становится объемным. Так же точно рука рассказывает глазу Зодчего о форме стрекозы, которую тот ловит, и цветка, который он срывает. Предметы раскрывают Зодчему свои размеры и формы: пальцы руки, обегая края их, учат глаз видеть мир.

И, словно приветствуя прозревший глаз, наплывают один на другой четкие, рельефные пейзажи. Их чистая, прозрачная красота служит резким контрастом сумрачному лицу Зодчего, который идет навстречу нам по горной дороге.

А я вам все-таки докажу, что глаз наш ничего не видит! — в запальчивости, с фанатическим упорством твердит он. — Вот тут я кое-что построил, собрал кое-какие вещички. Милости прошу, заходите, будьте как дома!

Перед нами два марша лестницы, уходящей вниз. По ним быстро спускается Зодчий. Мы оказываемся в подземелье, где бесчисленные колонны держат полукруглые своды. Стремительно уходит вглубь их Зодчий, камера мчится вслед за ним среди расступающихся колонн. Направо, налево, вновь направо — кажется, колонны кругом. И вдруг — узкий, зеленый коридор, который перегораживают две оригинального вида конструкции. Зодчий раздвигает их, и мы видим, что нижний конец правой колонны и верхний конец левой — это плоская лента, которая лишь притворялась "объемной". На ленте надпись: "В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу. Давид Гильберт".

Зодчий распахивает дверь, которую скрывали колонны, и в лицо нам ударяет солнечный свет. Вдали — замок, черепичная крыша, башенка, квадратный дворик. По окаймляющей его сверху лестнице идут какие-то люди. Камера приближает к нам эту лестницу, построенную по принципу так называемой "фигуры Пенроузов", и то невероятное, что на ней происходит, становится для нас реальностью. Идут и идут люди по ступеням лестницы — все вверх и вверх, без конца. И по тем же ступеням непрерывной чередой движутся вниз другие, и тоже без конца, по замкнутому кругу[15].

Я говорил! — торжествует Зодчий. — вот он, ваш превосходный глаз, он видит то, во что ваш же мозг отказывается верить! Еще хотите? Прошу! — И он театральным жестом протягивает руку в другую сторону.

Камера наезжает на мельницу, но мельницу в высшей степени удивительную. Нескончаемым потоком падает на колесо вода, которая тут же сама поднимается вверх, чтобы вновь вращать мельничные жернова. (Это еще одна модификация той же удивительной фигуры, которая использована в гравюре "Водопад".) Вечный двигатель, химера изобретателей, работает перед нами со всей убедительностью действующей модели. Камера дает нам полюбоваться этой неправдоподобной действительностью со всех сторон, а Зодчий между тем увлекает нас дальше.

А вот самое удивительное! — кричит он, пробегая по дорожке сада между мельницей и замком. Миг, и мы видим его сбегающим с горы к воздушному сооружению, бельведеру, напоминающему беседку. Вначале мы не находим в ней ровным счетом ничего необычного — просто изящное архитектурное сооружение.

Ну неужели не видите? — глумится над нами Зодчий. — Что же это вы? Где же ваш зоркий глаз? Беседка-то с секретом!

И по мановению руки Зодчего все, что внутри бельведера, окрашивается в сине-зеленый цвет. Беседка похожа теперь на аквариум причудливой формы, а ее обитатели — на диковинных жителей воды. И тут мы замечаем, с помощью укрупнения, что три пары колонн окрашены странным образом: до половины в один, "внешний" розовый цвет, а дальше — в другой, "внутренний" сине-зеленый. Получается, что необъяснимым образом колонны до половины — внутри, а до половины — вне бельведера!

Повинуясь молчаливому приказу Зодчего, человек, стоящий внизу приставной лестницы, окрашенный, как и положено "внутреннему" жителю, в сине-зеленый цвет, начинает подниматься. И вот он на наших глазах перекрашивается. Когда же человек этот оказывается рядом с шутом на середине лестницы, он уже весь розоватый. Но вот они вдвоем поднимаются выше и становятся "внутренними" — сине-зелеными.

Мы живем в трехмерном мире, и он диктует нам свои законы, — продолжает Зодчий. — Ничто в этом мире не может быть одновременно спереди и сзади — это знает каждый. А я вот построил именно такую штуку — нечто, живущее в нашем мире, но не подвластное его законам!

Зодчий набрасывает на стене проект бельведера, так называемый "кубоид", и отчетливо прорисовывает этот "вывернутый" куб в руках у человека, сидящего на скамейке рядом с бельведером[16].

Я вывернул ребра обычного куба, и вот вам модель моей беседки. Ни один самый искусный строитель не сможет построить ее в нашем трехмерном мире, и все-таки вы видите ее! Это чудо дарит нам наш глаз именно потому, что он плохо чувствует на картине объем и его легко здесь обмануть. Он знает о пространстве лишь то, что расскажет рука. Это она говорит ему: "то — ближе, это — дальше, там — выпукло, тут — вогнуто". Без руки глаз никогда не узнал бы о том, что есть пространство, объем, он видел бы наш мир плоским, раздавленным...

Зодчий рисует в раздумчивости на полу человечков с большими руками. Вот они образовали плоскую мозаику, вот начинают "высовываться" из плоскости.

Вырваться из плоскости — постоянная мечта художника, — говорит Зодчий, и в тоне его уже нет прежней горячности: он рассуждает и сожалеет, а не спорит и убеждает.

Черные пессимисты и белые оптимисты стали совсем "полнокровными". Идут друг другу навстречу, пожимают руки, замирают так на мгновение — живые, объемные, сумевшие выскочить из плоскости. И, как мираж, начинают таять, отступая при этом назад, в стену, становясь плоской мозаикой. Все новое, необычное, о чем рука еще не успела рассказать глазу, мы видим сначала плоским, — слышим мы голос Зодчего, — это... это как поверхность пруда, — продолжает он, подбирая точные сравнения. Камера отъезжает, и мы сначала видим Зодчего на берегу пруда, а затем — одно лишь зеркало воды.

И рыба в глубине, и верхушки деревьев в высоте — все, как и листья, одинаково покоятся на его ровном зеркале, — заканчивает свое сравнение Зодчий. Камера наезжает на пруд. Мелькают очертания рыб, они переходят в силуэты птиц. Птицы летят, и, следя за самой верхней из них, мы оказываемся в дворике средневекового города[17].

Смотрите! — восклицает Зодчий. — Даже верх и низ в нашем мире порой различить нелегко. Геометрия его непроста. Я, Зодчий, ежечасно творю ее из камня, дерева и своего воображения. И уж кому, как не мне, знать это...

Камера сдвигается вниз, и мы видим внизу точно такой же дворик, для которого то место, где стоит Зодчий, служит крышей... мы видим только то, что

Знаем. Остальное домысливаем, угадываем, пытаемся сравнить с чем-нибудь похожим... В кадре — один и тот же пейзаж: город, река, мельница, но зеркально отраженные, и вдобавок одно изображение — позитив, другое — негатив. Когда глаз свыкается с двумя городами и квадратами полей между ними, эти квадраты, деформируясь, переходят в летящих в разные стороны птиц[18].

Что это — белые птицы на темном фоне или черные — на светлом? — говорит Зодчий, и сам тон его речи изменился, стал лиричным. — Знать этого нельзя, но можно вообразить и птиц, и оба города, и весь мир. И когда я понимаю это, я думаю: пусть глаз наш несовершенен, пусть рука немощна, но зато нам дано нечто большее — дар фантазии.

Круто "пикирует" камера на один из городов. Мы видим Зодчего на ступеньках какой-то лестницы, ведущей вверх[19]. Он поворачивает к нам лицо и говорит, впервые улыбаясь:

Вот потому мы и всемогущи! "Воображение важнее знания", — говорил Эйнштейн. И он прав, тысячу раз прав, — продолжает Зодчий. — Я, песчинка в мироздании, могу строить миры, в которые не ступала нога человека. Их, может, и нет вовсе, а мои руки, мои глаза создали их — вот здесь, в моем саду!

Камера отъезжает, чтобы показать нам, как Зодчий "входит" в удивительную конструкцию, состоящую из трех лестниц, расположенных под прямым углом друг к другу — как координатные оси на любом пространственном чертеже. Три несовместимых мира, в каждом сила тяжести направлена в иную сторону, соединились в этой конструкции. Зодчий преодолевает марш лестницы, а в это время из стены мимо него выходит и движется вверх к потолку Человек-с-мешком-на-спине.

В этом странном мире, который я сам придумал, действуют сразу три силы тяжести. И потому люди в нем могут идти по одной лестнице, по одним и тем же ступеням, но даже не подозревать о существовании друг друга. Ведь, что для одних пол, для других — потолок, а для третьих — стена, — продолжает Зодчий рассказывать нам о своем геометрическом саде.

Камера укрупняет двух человек в верхней части гравюры, которые проходят друг мимо друга, но так, что пол для одного служит стеной для другого.

Новая вселенная, родившаяся в моем воображении, живет перед вами — зримая, реальная не меньше, чем вы или я, — продолжает Зодчий и уходит в полукруглую арку.

И нашу обычную вселенную со всеми ее сложностями я тоже построил здесь, в своем геометрическом саду, — слышим мы голос Зодчего, удаляющегося от нас по дорожке сада. Зодчий доходит до глубокого оврага, почти пропасти, через который переброшены прямоугольные брусья, соединенные между собой такими же балками. Он ступает на этот мост, а камера поднимается в верхнюю точку и постепенно снижается к Зодчему. "Мост" уже успел обрасти брусьями, тянувшимися во все стороны. Вся пропасть заполнена кубическими ячейками, которым нет "числа.

Я часто слышу, что ученые говорят: "наша вселенная безгранична", — слышен голос Зодчего, — и я не спорю, я просто беру карандаш и рисую...

Брусья изгибаются, и весь экран становится как бы ассоциативной иллюстрацией к теме "Искривленная Вселенная, какой рисует ее теория относительности".

Я слышу: "она искривлена", но и это вообразить мне под силу, — продолжает Зодчий.

Брусья распрямляются. Мы выбираемся на поверхность из царства безграничности и видим Зодчего, делающего последние шаги по мосту. Вот он уже и на той стороне оврага, направляется к домику с колоннами.

Вот с замкнутостью нашей вселенной, о которой прожужжали мне уши друзья-физики, мне пришлось потруднее, — говорит он. — Но и тут я справился, кое-что нарисовал, что мне лично многое объяснило. Глаз и рука вновь не подвели меня.

Зодчий приглашает нас в картинную галерею[20] — это она разместилась в этом домике. Мы входим в арку и движемся влево по коридору, где вывешаны и разложены на стендах в виде работ художника уже виденные нами кадры фильма и некоторые, представшие перед нами впервые, которые еще только предстоит увидеть зрителю.

Вот мы видим юношу, рассматривающего картину. Вместе с ним мы следим взглядом за изгибом реки, переходящим в набережную, вот дома на ней, один из них выдвинут на первый план — там в окошке женщина, которая смотрит вниз, на колонны, поддерживающие крышу. И вдруг нам становится ясно, что именно между этими колоннами мы прошли в галерею! Выходит, юноша видит на картине и то место, где она висит, и, значит, самого себя на ней!

Интересный рисуночек, не находите? — комментирует Зодчий наше путешествие по этому замкнутому в самом себе миру. — Посетитель моей галереи сам становится произведением искусства. Смотрите, он видит на картине город и тот дом, где внизу как раз и есть та самая галерея, где он сейчас стоит и любуется моим рисунком! Выходит, он видит на полотне самого себя и сам является частью изображенного — мир моей картины замкнулся! И теперь, когда я слышу, что наша вселенная замкнута, я больше не пугаюсь, а вспоминаю вот эту картину... Картинная галерея очень медленным переплывом переходит в схему, иллюстрирующую идею конструкции этой галереи. Схема сделана в размер гравюры, так что мы видим, как работала мысль художника, какой геометрический заряд удалось вложить ему в свой замысел.

Так же медленно зарисовка переходит снова в эскиз, а тот — в гравюру.

Да, немало я потрудился, чтобы представить себе замкнутость... — говорит в это время Зодчий. — Но зато я теперь убедился, что глаз и рука могут создать и объяснить все на свете, даже бесконечность не пугает их...

Мы в это время прошли коридор галереи в обратном направлении, скользнув взглядом по развешанным в нем гравюрам, но не вышли из нее, а углубились мимо выхода вправо. Перед нами — новый кадр. Камера наезжает и, все убыстряя свое движение, движется "внутрь" мозаики, состоящей из одних рептилий. Как волны, разбегаются кольца рептилий: они, все уменьшаясь, уводят нас в бесконечность.

Движение наше столь стремительно, что все сливается в мелькании темных и светлых кругов[21].

Затемнение.

Эпилог

По темному небу, усеянному точками звезд, движется лунная тележка. Проплывают с обеих сторон "космически-геометрические" тела. Плавными переплывами каждая из них переходит последовательно во все более схематичный рисунок, медленно "тая" на экране.

Как миражи, возникают удивительная мельница и бельведер, которые мы видели в геометрическом саду. Соответствующие эскизы, возникая на мгновение, проясняют нам их "кунштюк".

Но вот перед космической путешественницей возникает препятствие — три круглые колонны какого-то неизвестного сооружения, верх его не помещается на экране. Тележка стремится пройти между двумя из них, но упирается во что-то твердое — в фонограмме скрежет и треск. Откатывается назад, и мы видим верхнюю часть так называемой "Невозможной арки" — самого, быть может, удивительного геометрического монстра. Тележка пытается пробраться между двумя прямоугольными колоннами, но тщетно. Крупно камера показывает телеглаз, анализирующий обстановку. Тележка, ведомая им, поднимается вверх и облетает "невозможную арку". И в этом далеком, сложном мире, где геометрия столь отлична от нашей, глаз сумел найти верное решение.

Среди звезд, как след от улетающей вдаль тележки, появляется полупрозрачная лента. По переплетению ее колец, изображающих собой головы девушки и юноши, перекатываются зеркальные сферы, подчеркивая глубину космоса.

Камера наезжает на глаз юноши.

На месте зрачка появляется всем знакомое лицо Эйнштейна.

"Радость видеть и понимать — самый прекрасный дар природы" — это его слова.

Медленно исчезает лицо ученого.

Титр:

"Конец".

Две последние буквы мерцают, меняются местами.

Надпись:

"Конца познанью нет!"

Воображение — это великий дар, так много содействовавший развитию человечества.

Карл Маркс