6. Прямая в пространстве

Всякая прямая определяется в пространстве системой двух уравнений

Канонические (симметричные) уравнения прямой: (x – x₀) / m = (y – y₀) / p = (z – z₀) / q, прямая проходит через точку M₀ (x₀, y₀, z₀). Угол ? между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями:

Условие параллельности двух прямых: m₁ / m₂ = p₁ / p₂ = q₁ / q₂. Условие перпендикулярности двух прямых: m₁m₂ + p₁p₂ + q₁q₂ = 0.

Пусть имеются прямая (x – x₀) / m = (y – y₀) / p = (z – z₀) / q и плоскость Ах + Ву + Сz + D = 0. Условие параллельности прямой и плоскости: Am + Bp + Cq = 0. Условие перпендикулярности прямой и плоскости: A / m = B / p = C / q. Условие принадлежности прямой плоскости:

Если прямая задана параметрически x = x₀ + mt, y = y₀ + pt, z = z₀ + qt, то координаты точки пересечения этой прямой и плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 определяются по параметрическим уравнениям прямой при подстановке значений t, определенных (Am + Bp + Cq)t + Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0. Уравнение прямой, проходящей через точки М₁ (х₁, у₁, z₁) и М₂ (х₂, у₂, z₂):(х – х₁) / (х₂ – х₁) = (у – у₁) / (у₂ – у₁) = (z – z₁) / (z₂ – z₁). Уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀, у₀, z₀) перпендикулярно прямой (x – x₁) / m = (y – y₁) / p = (z – z₁) / q, имеет вид: m(x – x₀) + p(y – y₀) + q(z – z₀) = 0. Уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀, z₀) перпендикулярно плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0, имеет вид: (х – х₀) / А = (у – у₀) / В = (z – z₀) / C. Уравнение плоскости, проходящей через М₀(х₀, у₀, z₀) и (x – x₁) / m = (y – y₁) / p = (z – z₁) / q, не проходящую через М₀:

Уравнение плоскости, проходящей через М₀ (х₀, у₀, z₀) и параллельной двум прямым:

Уравнение плоскости, проходящей через (x – x₁) / m₁ = (y – у₁) / p₁ = (z – z₁) / q₁ и параллельной (x – x₂) / m₂ = (y – y₂) / р₂ = (z – z₂) / q₂ имеет вид:

Уравнение плоскости, проходящей через (x – x₁) / m₁ = (y – y₁) / p₁ = (z – z₁) / q₁ перпендикулярно Ах + Ву + Сz + D = 0;

Данный текст является ознакомительным фрагментом.