11. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Предел последовательности

Последовательность {аn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число А, что последовательность {аn – А} является бесконечно малой. Число А будет пределом последовательности:

.

Сходящуюся последовательность можно представить в виде {an} = {A + ?n}, где {?n} – бесконечно малая последовательность.

Бесконечно малые последовательности являются сходящимися с пределом, равным нулю, бесконечно большие – расходящимися (сходящимися к бесконечности).

Точка бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности, если в любой ее ?–окрестности содержится бесконечно много элементов данной последовательности.

Лемма. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1) всякая сходящаяся последовательность имеет один предел;

2) сходящаяся последовательность {an} ограниченна;

3) пусть последовательности {an} и {bn} сходятся и

, тогда сходятся и последовательности {cxn} (c = const) {an ± bn} {an ? bn} {an / bn} (в случае частного B ? 0, bn ? 0, n = 1, 2, …). И их пределы вычисляются по общим правилам.

Теорема сравнения (предельный переход в неравенствах). Пусть заданы последовательности {an}, {bn}. Тогда если последовательности {an}, {bn} таковы, что an ? (?) bn, то

(данное утверждение неверно для строгих неравенств).

Теорема (принцип двустороннего ограничения). Пусть заданы последовательности {an}, {bn}, {cn}. Тогда если an ? bn ? cn и последовательности {an} и {cn} сходятся к одному и тому же пределу В, то последовательность {bn} тоже сходится к тому же пределу:

.

Следствия:

1) если все члены сходящейся последовательности {an} не отрицательны (не положительны), то предел последовательности есть число неотрицательное (неположительное),

;

2) если все элементы сходящейся последовательности {an} находятся на отрезке [a, b], то и предел этой последовательности {an} лежит на данном отрезке,

;

3) если все члены сходящейся последовательности {an} an ? (і) В, то

, где В – некоторое число.

Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Всякая неубывающая (невозрастающая) последовательность {an}, ограниченная сверху (снизу) сходится. Иначе для того чтобы монотонная последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченна.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.