12. Ряд. Сумма ряда. Сходимость ряда. Арифметические действия над рядами. Ряды с положительными членами

Числовым рядом называется выражение

ai = а1 + а2 +…+ аn +…, где ai (i= 1, 2…, n…) – вещественные или комплексные числа.

Частичной суммой ряда (n–ой частичной суммой) называется число Sn = а1 + а2 +…+ аn =

ai.

Из частичных сумм можно образовать последовательность S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3 и т. д. Если существует предел последовательности частичных сумм ряда, то ряд называется сходящимся, а сам предел называется суммой ряда, обозначается

. Если такового предела не существует, то ряд называется расходящимся.

Теорема. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Если ряд сходится, то его n–ый член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.

. Пусть даны два ряда
an и
bn. Тогда в результате сложения этих двух рядов получится ряд
(an + bn), при умножении получается ряд
, произведением ряда
an на число с будет ряд
can (с – вещественное или комплексное число).

Теорема. Пусть даны два ряда, имеющие соответствующие суммы

an = S1 и
bn = S2. Тогда справедливо:
(an +bn) = S1 +S2,
,
can = cS1 (где с – число).

Теорема (принцип сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами

an и
bn. Если ряд
an сходится и ai ? bi (i = 1, 2…, n), то и ряд
bnbn сходится, причем
an ?
bn.

Теорема. Если члены ряда

ai не меньше соответствующих членов расходящегося ряда
bn, то и ряд
an расходится.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.