Развитіе нормальнаго пріема умноженія

Развитіе нормальнаго пріема умноженія

Намъ, привыкшимъ къ опред?ленному порядку умноженія, представляется ч?мъ-то страннымъ, что могутъ существовать еще другіе способы; настолько мы сжились съ своимъ. А между т?мъ ихъ очень много, и ни въ какомъ другомъ д?йствіи не встр?чается такого большого разнообразія, какъ въ умноженіи. Въ старину всякій авторъ выбивался изъ силъ, чтобы дать отъ себя какое-нибудь изм?неніе или улучшеніе. Мы приведемъ всего 27 способовъ, не ручаясь, конечно, за то, что зд?сь они вс? безъ остатка; весьма возможно, что есть и еще, скрытые въ тайникахъ книгохранилищъ, разбросанные въ многочисленныхъ, главнымъ образомъ, рукописныхъ сборникахъ. Мы начнемъ съ современнаго нормальнаго способа и постепеино перейдемъ къ т?мъ, которые бол?е всего отъ него уклоняются.

1. Авторомъ нашего нормальнаго способа умноженія многозначнаго числа на многозначное сл?дуетъ считать Адама Ризе, популярнаго н?мецкаго педагога (1492–1559). Въ его рукахъ онъ получилъ посл?днюю отд?лку и завершеніе, и теперь онъ считается самымъ удобнымъ. Главное отличіе способа Адама Ризе заключается въ томъ, что разряды вс?хъ чиселъ и множимаго, и множителя, и произведенія стоятъ одинъ подъ другимъ въ одномъ вертикальномъ столбц?; благодаря этому сразу видно, къ какому разряду принадлежитъ изв?стная цифра, и, сл?д., сбиться въ этомъ почти нельзя. Между т?мъ, разстановка разрядовъ бываетъ самымъ труднымъ м?стомъ при умноженіи, въ чемъ вы, читатель, уб?дитесь, когда просмотрите остальные способы. Среди нихъ есть и бол?е скорые, но н?тъ ни одного такого, который представлялъ бы мен?е возможности сбиться. Прим?ра на первый способъ мы прод?лывать не будемъ, такъ какъ всякій самъ сум?етъ его придумать и р?шить. Скажемъ еще разъ: нашъ настоящій нормальный порядокъ умноженія бол?е всего напоминаетъ вычисленіе по колоннамъ абака, настолько выдержано въ немъ подписываніе однихъ и т?хъ же разрядовъ въ вертикальномъ столбц?.

2. Первый способъ непосредственно образовался изъ второго, отъ котораго отличается такою особенноетью: мы теперь не пишемъ лишняго нуля у второго неполнаго произведенія, двухъ нулей у третьяго и т. д., потому что ставимъ десятки подъ десятками, сотни подъ сотнями, и не боимся сбиться; но прежде вс? эти лишніе нули писались аккуратно: мы теперь ясно видимъ, что нули безполезны, но математики до Адама Ризе не р?шались ихъ отбрасывать и считали ихъ по большей части совершенно необходимыми. Этотъ второй способъ им?лъ у итальянскихъ математиковъ особое названіе «per castellucio». Прим?ръ:

Для начинающихъ учиться умноженію не худо и теперь приписывать нули къ произведеніямъ множимаго на десятки, сотни и т. д. Тогда д?тямъ понятн?е будетъ, что для умноженія, въ нашемъ случа? на 90, необходимо умножить на 9 и считать полученное число за десятки. А потомъ, когда д?ти поймутъ это и н?сколько привыкнутъ, можно нули выпускать и пользоваться чистымъ первымъ способомъ.

3. Третій пріемъ составленъ Петценштейнеромъ, н?мецкимъ математикомъ XV в?ка. Въ немъ множимое и произведеніе пишется по нашему, а множитель выходитъ изъ вертикальныхъ колоннъ и ставится сбоку, справа наискось. Расположеніе такое:

Какой смыслъ и какая ц?ль въ подобномъ подписываніи множителя сбоку? Объ этомъ догадаться не трудно. У насъ въ прим?р? взято двузначное число 97, а иногда случается вм?сто него брать трехзначное, четырехзначное и т. д.; тогда легко бываетъ забыть, на какія цифры мы уже умножали, и на какія осталось умножать; чтобы не забыть, Петценштейнеръ и пишетъ каждую цифру при своемъ произведеніи. Еще ран?е его Радульфъ Лаонскій († 1131) предлагалъ, впрочемъ на абак?, особенные кружки изъ дерева или изъ камня, чтобы приставлять ихъ къ т?мъ разрядамъ множимаго и множителя, которые перемножаются. Надо сознаться, что Адамъ Ризе уступаетъ Петценштейнеру въ его заботахъ о множител?, и наши школьники по способу Адама Ризе нер?дко пропускаютъ, особенно на первыхъ порахъ, цифры множителя. Для нихъ тоже не м?шало бы на первое время, когда они еще учатся умиожать, пользоваться ч?мъ-нибудь въ род? бумажки, чтобы они могли закрывать т? раз-ряды, на которые еще не умножали.

4. Четвертый способъ принадлежитъ Кебелю, н?мецкому ученому XVI в?ка. Множимое и множитель пишутся такъ же, какъ и у насъ, но въ произведеніи порядокъ подписыванія нарушается, и единицы отступаютъ вправо, вм?сто того, чтобъ имъ стоять подъ единицами. Зач?мъ это понадобилось Кебелю, и понять нельзя: н?тъ въ зтой форм? ни удобства, ни вообще какой-нибудь зам?тной ц?ли; единственно, что тутъ можно думать, это то, что Кебель захот?лъ изобр?сти свой способъ и изобр?лъ довольно неудачный.

Впрочемъ, на способ? Кебеля учащіеся могутъ уб?диться въ томъ, что неполныя произведенія можно подписывать какъ угодно, и не подъ разрядами производителей, лишь бы только выполнялось условіе, что единицы складываются съ единицами, десятки съ десятками, и т. д.

5. Пятый способъ отличается еще большей свободой въ подписываніи, въ немъ и отд?льныя произведенія располагаются прямо другъ подъ другомъ, не обращая вниманія на то, что единицы оказались наискось отъ единицъ и десятки наискось отъ десятковъ; разум?ется, для отв?та оно безразлично, складывать ли разряды вертикально или наклонно, лишь бы только не сложить единицъ съ дееятками; есть въ этомъ способ? много оригинальности и пожалуй изящества, но мало удобства. Названіе его «per quadrilatero» и если перевести это выраженіе съ итальянскаго языка на русскій, то оно будетъ значить «способъ четыреугольника».

Прежде всего чертится р?шетка; потомъ въ ней располагаются отд?льныя произведенія такъ, что ихъ крайнія цифры стоятъ другъ подъ другомъ вертикально; сложеніе разрядовъ идетъ наискось, и цифры произведенія разм?щаются вправо и внизу; читать ихъ надо сл?ва. Все это очень интересно, но для практическаго прим?ненія мало годится. Это скор?й ари?метическое украшеніе, забава.

6. Вс? предыдущіе пять способовъ требуютъ такого жъ основного порядка умноженія, какой и мы прим?няемъ всегда у себя; разница только въ подписываніи данныхъ чиселъ и искомыхъ: въ то время, какъ мы стремимся все расположить въ вертикальныхъ колоннахъ, Петценштейнеръ выноситъ множителя на сторону, Кебель отступаетъ съ произведеніемъ вправо, а по способу «четырехуголъника» разряды пишутся въ діагональномъ направленіи, т.-е. наискось; но везд? умноженіе начинается неизм?нно съ низшихъ разрядовъ. Теперь мы обратимся къ случаямъ, когда оно начинается съ высшихъ разрядовъ, а не съ низшихъ. Это бываетъ и у насъ, но только при томъ условіи, если не приходится перечеркивать и исправлять написанныхъ цифръ. А цифръ не бываетъ, во-первыхъ, при устномъ счет? и, во-вторыхъ, при выкладкахъ на счетахъ. Поэтому въ обоихъ этихъ случаяхъ удобно начинать умноженіе съ высшихъ разрядовъ, т?мъ бол?е, что и выговариваніе чиселъ и откладываніе ихъ на счетахъ идетъ все съ высшихъ разрядовъ. Но письменное умноженіе начинать съ л?вой руки неудобно, потому что, если, напр., мы умножимъ десятки и запишемъ ихъ и потомъ перейдемъ къ единицамъ, то отъ умноженія единицъ могутъ получиться еще десятки, и намъ придется написанную цифру десятковъ стирать и зам?нять новой.

Далеко не безразлично, съ какихъ разрядовъ множимаго начинать письменное д?йствіе, съ высшихъ или низшихъ. Посл?днее удобн?е. Что касается множителя, то въ сущности одна привычка заставляетъ насъ начинать съ единицъ, потому что можно съ такимъ же правомъ умножать сперва на высшіе разряды множителя и потомъ постепенно переходить къ низшимъ, лишь бы в?рно подписывать произведенія, т.-е. десятки подъ десятками, а единицы подъ единицами. Покажемъ это на прим?р?:

Еще видн?е въ многозначныхъ числахъ:

7. Седьмой способъ принадлежитъ Вендлеру и отличается отъ шестого единственно т?мъ же самымъ, ч?мъ второй отъ перваго, именно лишними нулями на м?ст? десятковъ, сотенъ и т. д. Если вписать эти нули, то 33?4567 изобразится въ такомъ вид?:

8. Восьмой способъ устный, встр?чается у Брамегупты, ученаго индуса VII в. по Р. X. Онъ совершенно сходенъ съ нашимъ устнымъ пріемомъ, да такъ и доджно быть, потому что индусы, главнымъ образомъ, изобр?тали и совершенствовали устный счетъ, они были первыми спеціалистами въ этомъ род? вычисленій; они вычисляли отд?льныя произведенія въ ум?, писали ихъ строкой и потомъ складывалн. Лишнимъ, на нашъ взглядъ, могло бы показаться разв? то, что множимое переписывается н?сколько разъ, именно столько разъ, сколько разрядовъ во множител?.

9. Девятымъ пріемомъ умноженіе производится тоже сначала на десятки, а потомъ на единицы; если бы были сотни, то, конечно, сперва на сотни. Умноживши на десятки, произведеніе подписываютъ точно такъ же, какъ это сд?лали бы и мы, но съ единицами идегь иначе.

Когда мы умножимъ 456 на 7, то получимъ 3192. Изъ нихъ 319 десятковъ пом?щаемъ внизу, во второй строк?, подъ т?ми цифрами, какія соотв?тствуютъ имъ по значенію, а 2 единицы вверху, рядомъ съ 4 десятками, прямо подъ единицами множителя, въ виду того, что это м?сто нич?мъ не занято. Подобная система писать цифры какъ можно выше, на свободныхъ м?стахъ, проявляется у многихъ авторовъ, какъ это мы увидимъ впосл?дствіи; порядокъ этотъ довольно безвредный, потому что, гд? бы ни писать, лишь бы написать в?рно подъ своимъ разрядомъ: но онъ можетъ оказаться и неудобнымъ тогда, когда счетчикъ собьется: тогда очень трудно разобраться въ ряд? цифръ, найти, какая изъ нихъ принадлежитъ къ какому произведению, и исправить ошибку. Этотъ девятый способъ приписывается Апіану (XVI в.).

10. Въ предыдущихъ 4 способахъ д?йствіе начиналось съ высшихъ разрядовъ множителя, и въ этомъ только, главнымъ образомъ, и заключалась ихъ особенность; цифры подписывались почти такъ же, какъ у насъ, и вообще большого изм?ненія противъ нормальнаго порядка не было. Но теперь мы перейдемъ къ бол?е грубымъ и старымъ пріемамъ, въ которыхъ уклоненій отъ нашего уже гораздо больше. Отличіемъ ихъ является полная механичность, безъ всякаго вычисленія въ ум?; составители зтихъ пріемовъ держатся слишкомъ невысокаго мн?нія о понятливости и сообразительности своихъ учениковъ, ничего не дов?ряютъ устному счету и рекомендуютъ все записывать, даже до мелочей, и притомъ по опред?леннымъ, точно установленнымъ формамъ. Наприм?ръ, когда умножаются десятки, то къ ихъ произведенію нельзя прямо прибавить т?хъ десятковъ, которые получились отъ единицъ, а надо написать отд?льно и сложить ихъ въ самомъ конц?, когда вс? мелкія умноженія будутъ выполнены. Эти тяжелов?сные, громоздкіе способы въ настоящее время вс?ми оставлены, и никому въ голову не придетъ ими воспользоваться, между т?мъ, въ XV–XVII стол?тіи, въ эпоху наибол?е усиленной работы надъ ари?метикой, когда индусская система проникла и въ народъ, и въ школу, эти способы были ходячими и общепринятыми. Сейчасъ они не им?ютъ никакой ц?ны, потому что требуютъ много лишняго письма и лишняго времени для вычисленій, мы же ихъ приводимъ съ тою ц?лью, чтобъ показать, изъ какихъ первоначальныхъ и несовершенныхъ формъ образовались наши бол?е совершенныя.

Вотъ способъ Штейнмеца (XVI в.). Прим?ръ:

Шестью семь 42, такъ и пишемъ; пятью семь 35, пишемъ 5 десятков подъ 4 десятками, а три сотни вверху подъ сотнями, потому что там м?сто есть свободное; четырежды семь 28, пишемъ 8 сотенъ подъ 3-мя, а дв? тысячи на свободном м?ст? тысячъ въ верхней строк?. Вообще стараемся писать цифры какъ можно выше, гд? только есть свободное м?сто для изв?стнаго разряда. Отд?льныя произведенія располагаются, какъ видимъ, строками, которыя, ч?мъ ниже, все короче, и получается фигура, похожая на треугольникъ, такъ что и самый способъ носитъ названіе треугольника. Посл?дніе его сл?ды встр?чаются въ учебникахъ еще въ XVII стол?тіи.

11. Умноженіе треугольникомъ им?етъ не одну форму, а н?сколько, въ зависимости отъ того, начинать ли д?йствіе съ высшихъ разрядовъ или низшихъ, или даже какихъ-нибудь промежуточныхъ, писать ли цифры какъ можно выше или какъ можно ниже. Если начинать умноженіе съ высшихъ разрядовъ, то образуется такая фигура:

12. По дв?надцатому способу умноженіе треугольникомъ начинается съ какого-нибудь средняго разряда. Конечно, зто безразлично для произведенія, если только мы не собъемся въ порядк? цифръ и не пропустимъ чего-нибудь и не возьмемъ лишняго. Умножимъ сперва 5 дес. на 97, потомъ 4 сотни и, наконецъ, 6 единицъ.

Треугольникъ можно бы повернуть основаніемъ внизъ и вершиной вверхъ. Тогда фигура получится красив?е. Особенно она хороша при длинныхъ многозначныхъ числахъ, когда очертаніе треугольника выд?ляется ясн?е.

13. Стоило только математикамъ попасть на одну геометрическую фигуру, на треугольникъ, и они принялись изобр?тать всевозможныя формы: уголъ, ромбъ и т. д. Наперерывъ, одинъ передъ другимъ, школьные педагоги въ Германіи и Италіи ХVІ—XVII в?ка стали предлагать хитроумные, фигурные способы, въ которыхъ не им?лось въ виду удобства, а требовалось только представить что-нибудь новое и замысловатое. Н?которые педагоги получили даже своеобразную изв?стность въ этомъ направленіи. Такъ итальянецъ Тарталіа училъ въ своей школ? 8 способамъ; столькимъ же училъ и Лука-де-Бурго; но вычислять по нимъ они своихъ учениковъ не заставляли, кром? одного способа или двухъ, и приводили остальные только по установившемуся обычаю или изъ хвастовства.

Расположеніе угломъ достигалось благодаря тому, что произведеніе простыхъ единицъ отодвигалось вправо, а остальные разряды писались симметрично вверху и внизу. Вотъ форма угла при умноженіи 456 на 97.

Первое произведеніе 36 составилось изъ множителей 4 и 9, второе — изъ 5 и 9, третье — изъ 6 и 9. Такимъ образомъ, мы помножили на десятки и начали д?йствіе въ этомъ случа? съ сотенъ множимаго; дал?е умножаемъ на единицы, но ведемъ уже въ обратномъ порядк?, именно, начинаемъ съ единицъ множимаго и постепенно добираемся до его сотенъ.

14. Четырнадцатый способъ—ромба. Онъ еще замысловат?е, ч?мъ предыдущіе. Нужна особенная внимательность, да и знаніе секрета, какъ составлять ромбъ. Если помножить 456 на 397, то ромбъ можетъ получиться сл?дующимъ путемъ. Вверху пишется произведеніе 4 сотенъ на 7 единицъ, подъ нимъ произведеиіе 5 десятковъ на 3 сотни и на 7 единицъ; въ длинной строк? пом?щается 4 с. ? 3 с., 5 дес. ? 9 дес. и 6 ед. ? 7 ед.; дал?е располагаются и остальныя произведенія. Все это очень сбивчиво и неудобно, даетъ массу ошибокъ въ вычисленіи, которыя найти потомъ такъ нелегко, что лучше все бросить и сд?лать снова. Съ непривычки д?ло долго не клеится, отв?та не выходитъ, но, зато, въ конц? ученикъ им?етъ право похвастать: у него получился ромбъ.

15. До сихъ поръ мы подписывали отд?льныя произведенія внизу подъ множимымъ и множителемъ, и на это, конечно, у насъ была причина, потому что вс? люди начинаютъ писать съ верхней стороны листа и постепенно спускаются книзу, гд? м?сто свободное, неисписанное. Но отв?тъ получится одинаково в?рный и въ томъ случа?, если, не жал?я бумаги, мы начнемъ д?йствіе пониже и оставимъ м?сто для отд?льныхъ произведеній выше производителей. Получится у насъ такъ:

Способъ этотъ указалъ Глареанъ въ ХIІ в. Вычисленіе начинается справа, съ низшихъ разрядовъ; отв?тъ въ самомъ низу.

16. Шестнадцатый способъ очень сходенъ съ предыдущимъ и является его предшественникомъ по времени, такъ какъ образовался въ XV в?к?. Его даетъ ученый арабъ Алькальцади изъ Андалузіи Особенность въ немъ та, что множимое переписывается н?сколко разъ и притомъ столько разъ, сколько цифръ во множител?. И еще есть особенность: множитель не стоитъ подъ множимымъ, а располагается выше его; кром? того, отд?льныя произведенія разс?яны по разнымъ строкамъ.

Множимое, повидимому, передвигается за т?мъ, чтобы не сбиться, какой разрядъ множить на какой. Впрочемъ, выгоды отъ этого передвиженія особенной не представляется.

17. Въ высшей степени искусственная запись встр?чается у Баскары, индусскаго автора, жившаго въ XII в?к?. Это та же р?шетка, что и въ 5 способ?, но только съ полными цифрами, безъ всякаго пропуска и сокращенія. У итальянцевъ она называлась «gelosia», по образцу фигурныхъ р?шетокъ, бывшихъ въ окнахъ среднев?ковыхъ теремовъ.

Множимое 456 мы пишемъ вверху, множителя 97 съ л?вой стороны. Каждый разрядъ числа 456 множится на каждый разрядъ 97-ми. Всего образуется 6 отд?льныхъ произведеній. Ихъ мы пишемъ полностью по кл?ткамъ, такъ, чтобы всякое произведеніе стояло противъ т?хъ разрядовъ, отъ которыхъ оно получилось; наприм?ръ, шестью семь 42, ставимъ это число подъ 6-ю и притомъ въ верхней строк?, потому что множитель 7 стоитъ въ этой строк? съ л?вой ея стороны, 2 пом?щаемъ въ верхнемъ правомъ углу кл?тки, а 4 десятка въ нижнемъ л?вомъ. Такъ же ведемъ д?йствіе и съ остальными разрядами. Чтобы получить отв?тъ, стоитъ только сложить числа въ діагональномъ порядк? наискось: 2 единицы сносимъ, 5+4+4 = 13 десятковъ, изъ нихъ 3 пишемъ; 8+3+5+5+1 = 22 сотни; 2 пишемъ; тысячъ будетъ 2+6+4+2=14, 4 пишемъ и, наконецъ, десятковъ тысячъ 3+1, всего 4. Искомое произведеніе выразится пятью цифрами: 44232. Способъ этотъ, какъ видно, очень сложный, фигурный и сбивчивый. Надо твердо помнить и хорошо привыкнуть къ тому, какъ чертится р?шетка, какъ пишутся производители, гд? пом?щаются отд?льныя произведенія, и какъ читается отв?тъ; стоитъ только немного не остеречься, забыть, и тогда вс? разряды перепутываются, и никакъ нельзя будетъ отличить, гд? единицы, гд? десятки, и что складывать съ ч?мъ. Вообще это вовсе не д?ловой способъ и не школьный, а скор?е плодъ математической изобр?тательности и развлеченіе въ математик?, которая въ средніе в?ка была особенно суха и недоступна, а подобныя выдумки ее оживляли.

18. Арабъ Альнасави (XI в.) училъ умножать еще бол?е чуждымъ для насъ пріемомъ. Онъ тоже не допускалъ устнаго счета и тоже подписывалъ вс? цифры сполна, но сверхъ того и въ сложеніи у него было отличіе, потому что отд?льные разряды складывались не въ конц? всего д?йствія, а постепенно, по м?р? того, какъ они получались.

Множитель 97 пишется надъ множимымъ 456 такъ, что его высшій разрядъ, 9 десятковъ, стоитъ надъ простыми единицами числа 456. Вычисленіе начинается сл?ва. 4?9 = 36, пишемъ 6 надъ четырьмя, а 3 рядомъ нал?во; 5?9=45, изъ нихъ 5 пишемъ рядомъ съ 6-ю, а 4 не подписываемъ надъ 6-ю, какъ это д?лали въ способ? треугольника, но прибавляемъ къ 6-ти, будетъ 10, прибавляемъ къ 30, будетъ 40, эти цифры пом?щаемъ надъ 36-ю. Ведемъ умноженiе дал?е: 6?9-= 54, изъ этого 4 пишемъ надъ 9-ю, потому что нижнее м?сто занято, а 5 прибавляемъ къ 5-ти, получится 10, нуль пишемъ надъ пятью, единицу—надъ нулемъ, именно т?мъ нулемъ, который принадлежитъ числу 40. Такимъ-то образомъ сложеніе идетъ рука объ руку съ умноженіемъ, и когда вс? умноженія окончатся, то окончится и сложеніе, и отв?тъ представится самыми высшими цифрами въ каждомъ вертикальномъ столбц?. Какъ видно, Альнасави допускаетъ особенность и въ множимомъ, именно онъ его еще разъ подвигаетъ и не только горизонтально, но такъ, что крайній разрядъ переставляется въ сл?дующую высшую строчку. Ц?ль перем?щенія та, чтобы единицы множимаго всегда приходились подъ т?мъ разрядомъ множителя, на какой умножаемъ.

Альнасави заимствовалъ свой пріемъ у индусовъ; индусы же предпочитали устный счетъ письменному, не любили лишнихъ цифръ и. во всякомъ случа?, не стали бы вычислять такъ растянуто, какъ это д?лаетъ Альнасави. У какого же индуса онъ его заимствовалъ? Или онъ самъ его такъ изм?нилъ? Объяснить это все можно такъ. Индусы вычисляли на песк? и сейчасъ же стирали т? цифры, которыя имъ не нужны, поэтому имъ было такъ легко передвигать множимое или множителя: они стирали прежнее и писали новое. Поэтому и мелкія сложенія и умноженія они писали только на одну минуту, и если имъ цифра не нужна, они ее сейчасъ за-м?няли новой; такъ что, д?йствительно, индусы не сбивались въ длинныхъ рядахъ цифръ и не запутывались, т?мъ бол?е, что ихъ работ? много помогалъ устный счетъ. Но арабы и Западная Европа переняли способы индусовъ, а прим?нять ихъ стали чаще всего на доскахъ и на бумаг?, гд? цифры перетирать совершенно неудобно; отъ этого и получилась масса лишняго письма, сбивчивость и трудность въ вычисленіяхъ. Не скоро поняли европейскіе математики, что не достаточно перенести чужой пріемъ къ себ?, но надо еще прим?нить его къ своимъ условіямъ, и тогда онъ будетъ пригоднымъ и удобнымъ.

19. Во вс?хъ разобранныхъ нами 18-ти способахъ, какъ они ни сложны и ни разнообразны, существенный ыорядокъ д?йствія все время остается тотъ же, везд? дается 2 числа, множимое и множитель, и первое число, т.-е. множимое, помножается такъ или иначе на отд?льные разряды множителя, сперва на его единиы, потомъ на десятки, сотни и т. д., или же, наооборотъ, раньше на сотни, а потомъ уже на десятки и единицы. Но н?тъ ничего легче прим?нить другой порядокъ: не ц?лое множимое умножать на отд?льные разряды множителя, а отд?льные разряды множимаго на ц?лаго множителя. Такъ училъ индусскій авторъ Брамегупта (въ VII ст. по Р. X.).

Отв?тъ у него пом?щается въ самомъ верху, данныя числа— внизу. Множитель переписывается столько разъ, сколько цифръ во множимомъ. Начинаемъ умножать 4 сотни на 97, получится 388 сотенъ, ихъ пишемъ надъ сотнями. Такъ же поступаемъ съ десятками и единiцами.

20. Самыми старыми первоначальными способами умноженія надо считать т?, когда умноженіе зам?няется сложеніемъ. Умноженіе, конечно, и есть въ существ? д?ла сложеніе, но только сокращенное, благодаря таблиц? и всл?дствіе равенства слагаемыхъ. Чтобы, на-прим?ръ; умножить 9 на 27, можно бы 9 выписать 27 разъ и потомъ посл?довательно складывать: 9 + 9 = 18, 18 + 9 = 27, 27 + 9 = 36 и т. д. до 243-хъ. Но такое сосчитываніе было бы слишкомъ продолжительнымъ, и вотъ зд?сь является на помощь таблица умноженія, которая значительно сокращаетъ работу; изъ таблицы намъ изв?стно, что 9 ? 2 = 18, а сл?довательно 90 ? 2 = 180, да 9 ? 7 = 63, всего составится 180 + 63 = 243. Такимъ образомъ мы зам?нили набираніе 27 слагаемыхъ бол?е простыми д?йствіями, именно 2 умноженіями и однимъ сложеніемъ. Не сразу выработала ари?метика такой простой и легкій путь, чтобы зам?нять сложеніе равныхъ слагаемыхъ умноженіемъ. Поэтому на первыхъ ступеняхъ ея развитія, при наглядномъ счет? и при выкладкахъ на разныхъ счетныхъ приборахъ, преобладаетъ чистое сложеніе, а умноженіе является только урывками и проблесками. Едва къ концу среднихъ в?ковъ оно вполн? вступило въ свои права.

Приведемъ образецъ вычисленій на римскихъ цифрахъ. Изъ него хорошо видно, насколько сложеніе преобладало надъ умноженіемъ и зам?няло его. Требуется, положимъ, СХХХХIIIІ умножить на XXX. Тогда д?йствіе располагается сл?дующимъ образомъ:

С · Х = М

С · Х = М

С · Х = М

ХХХХ · XXX = МСС

XXX + XXX + XXX + XXX = СХХ.

Такъ какъ множитель XXX состоитъ изъ X + X + X, то достаточно повторить множимое сперва X разъ, потомъ еще X разъ, и, наконецъ, еще X разъ и полученные отв?ты сложить. Но когда мы начнемъ повторять X разъ, то множимое, въ свою очередь, разложится на отд?льныя слагаемыя: С + X + X + X + X + IIII; и придется намъ каждое слагаемое перваго числа помножать на каждое слагаемое второго.

21. Двадцать первымъ способомъ будетъ такъ называемый „per aschapezza“. Въ перевод? съ итальянскаго языка,—способъ чаще другихъ прим?няли итальянцы,—это значитъ способъ «разложенія». Прим?ръ: 44?26. Для этого 26 разлагаемъ на какія-нибудь легкія cлагаемыя, обыкновенно однозначныя, въ род? 3 + 4 + 5 + 6 + 8, и составляемъ пять произведеній: 44 · 3, 44 · 4, 44 · 5, 44 · 6, 44 · 8. Вс? ихъ можно легко найти устно, и въ этомъ заключается преимущество подобнаго умноженія. Но иногда, забывая о главномъ условіи удобства, прим?няли этотъ способъ и тогда, когда онъ не даетъ никакого выигрыша ни во времени, ни въ письм?. Хорошимъ прим?ромъ такого теоретическаго пользованія разложеніемъ можетъ служить пом?щенный въ арі?метик? Брамегупты (VII в.): 235?288, съ разложеніемъ числа 288 на 9 + 8 + 151 + 120. Очевидно Брамегупта, выбирая такія неудобныя слагаемыя, не только не упростилъ д?іствія, а скор?е усложнилъ и затруднилъ; но онъ, нав?рное, и не задавался ц?лью упростить и облегчить вычисленіе, а желалъ только представить новую форму умноженія.

22. Какъ мы уже сказали, зам?на умноженія сложеніемъ является самымъ легкимъ и простымъ пріемомъ и въ то же время самымъ старымъ и испытаннымъ. Египтяне за много стол?тій до Р. X. ум?ли съ болышшъ искусствомъ, чрезвычайно свободно и остроумно пользоваться этой зам?ной. Если, наприм?ръ, имъ требовалось умножить на 17, то они сперва складывали множимое само съ собой и получали такимъ образомъ двойное число; его тоже складывали само съ собой, получали четверное число; четверное складывали съ четвернымъ, получали восьмерное; восьмерное съ восьмернымъ, получится 16 ть слагаемыхъ, а такъ какъ ихъ задано набрать 17-ть, то остается добавить только одно слагаемое и отв?тъ будетъ найденъ. Подобнымъ же образомъ они могли, наприм?ръ, вычислять 466 .13. Они составляли 466.2 = 932, 932.2 = 1864, 1864.2 = 3728, зат?мъ складывали восьмерное число съ четвернымъ и съ простымъ и получали 466 .13 = 3728 + 1864 + 466 = 6058. Такимъ путемъ египтяне ум?ли добираться до сложныхъ результатовъ, хотя и медленно, но довольно в?рно и усп?шно. Изъ вс?хъ умноженій у нихъ было только одно удвоеніе; они даже не знали таблицы умноженія. Не они ли пришли къ мыели выд?лить удвоеніе въ особое д?йствіе, къ мысли, которая прим?нялась очень долго и едва въ ХУІ стол?тіи была оставлена, потому что съ этого времени удвоеніе вошло въ составъ вообще умноженія.

Покончимъ теперь на египтянахъ и не будемъ уходить дал?е въ глубь в?ковъ, т?мъ бол?е, что у насъ н?тъ фактическаго матеріала для этого. Подведемъ итоги всему. что сказали объ умноженіи. Оно начинается съ сложенія равныхъ слагаемыхъ и въ этомъ случа? не пользуется никакими особенными правилами, сокращеніями и удобствами. Зат?мъ, благодаря практик?, начинаетъ выд?ляться удвоеніе и оно образуетъ фундаментъ новаго д?йствія—умноженія: по образцу удвоенія легко могли возникнуть другіе подобные разсчеты и удвоеніе натолкнуло на то, чтобы находить тройное число, четверное, десятерное и т. п. Вс? эти употребительные случаи, повторяясь часто, привели къ таблиц? умноженія и выд?лили окончательно д?йствіе умноженія изъ массы случаевъ сложенія. Тогда же начинается письменное производство этого д?йствія, сначала въ грубой и несовершенной форм?, при помощи абака и другихъ похожихъ на него пособій, съ многочисленными стираніями и изм?неніями цифръ; сложеніе отд?льныхъ произведеній сначала шло попутно, вм?ст? съ умноженіемъ разрядовъ, но потомъ его начали относить на самый конецъ и производить тогда, когда уже вс? произведенія найдены. Въ старинныхъ способахъ умноженія устный счетъ почти не допускался, и вс? цифры, какія надо, писались безъ пропуска, и въ ум? ничего не удерживалось: такъ, по крайней м?р?, было въ Западной Европ? въ средніе в?ка. Ближе къ нашему времени стали прим?нять и устный счетъ, начали помогать письму т?мъ, что н?которыя цифры удерживали въ ум?, и такимъ то образомъ развился и принялъ окончательную отд?лку нашъ современный нормальный способъ умноженія.

23. Индусы и Адамъ Ризе, и итальянцы XVI в. часто разлагали множителя на производителей. У итальянцевъ это называлось «per repiego». Чтобы, напр., умножить 15, можно данное число умножить на 5 и полученное вновь умножить на 3. Чтобы умножить на 121, можно умножить на 11 и опять на 11. Еще лучше у Адама Ризе: если ему надо какое-нибудь число взять слагаемымъ 46 разъ, то онъ умножаетъ данное число на 9, полученный результатъ—на 5 и ко всему этому прикладываетъ еще одно, 46 слагаемое. Хорошо бы и намъ пользоваться почаще такими сокращеніями и пріучать къ нимъ своихъ д?тей въ училищахъ. Есть, правда, во многихъ школахъ, особенно въ начальныхъ, спеціальныя занятія по устному счету, но, во-первыхъ, очень жаль, что они въ средней школ? глохнутъ и не продолжаются, и, во-вторыхъ, они ведутся, обыкновенно, по шаблону и не столько развиваютъ личную сообразительность д?тей, сколько пріучаютъ ихъ къ готовымъ формуламъ.

24. Другимъ хорошимъ способомъ, который тоже можетъ развивать сообразительность и помогать вычисленію, является сл?дующій. Множитель зам?няется новымъ числомъ, которое болыпе его въ н?сколько разъ или на н?сколько единицъ, и притомъ гораздо удобн?е для д?йствія, ч?мъ самъ данный множитель. Наприм?ръ, если намъ задано умножить какое-нибудь число на 25, то мы вм?сто этого умножимъ на 100—такъ гораздо легче—и полученное отъ этого умноженія число разд?лимъ на 4. Точно также, чтобы умножить на 98, мы можемъ умножить на 100 и изъ этого произведенія вычесть двойное множимое, потому что мы его взяли лишнихъ 2 раза. Оба эти пріема хороши для устныхъ вычисленій, они придуманы давно, еще индусами, но все еще не им?ютъ такого большого прим?ненія на практик?, какого заслуживаютъ по своей легкости и удобству.

25. Есть еще методъ умноженія многозначныхъ чиселъ, очень интересный и оригинальный. Онъ построенъ на совершенно иной руководящей мысли, ч?мъ нашъ настоящій методъ. Мы теперь интересуемся множимымъ и множителемъ, старательно подписывая ихъ другъ подъ другомъ или рядомъ, разлагаемъ ихъ на разряды и разсуждаемъ, съ которой стороны лучше начать; такъ что порядокъ вычисленія у насъ опред?ляется множимымъ и множителемъ, и наши заботы мало касаются произведенія, которое выходитъ какъ-то само собой, изъ сложенія частныхъ результатовъ. Наоборотъ, способъ «крестикомъ», о которомъ мы будемъ сейчасъ говорить, обращаетъ исключительно свое вниманіе на результатъ умноженія и изъ его разбора, а не изъ разбора данныхъ чиселъ, выводитъ порядокъ д?йствія. Въ способ? «крестика» надо сперва вычислить единицы произведенія, потомъ его десятки и притомъ сразу вс?, какіе только могутъ оказаться, чтобы зат?мъ къ десяткамъ бол?е не возвращаться; потомъ надо вычислить сотни произведенія, опять-таки вс?, какія только могутъ въ немъ быть; и такъ мы идемъ посл?довательно отъ одного разряда къ другому. Еще греки любили пользоваться этимъ умноженіемъ и назвали его «хіазмомъ», потому что греческая буква хи «Х» какъ разъ своей фигурой напоминаетъ крестикъ.

Возьмемъ прим?ръ сперва двузначный: 56?97 и поставимъ такой вопросъ: откуда могутъ получиться единицы произведенія? Очевидно, только отъ перемноженія простыхъ единицъ, потому что отъ умноженія десятковъ будутъ десятки, отъ сотенъ будутъ сотни и т. д. 6?7 = 42, сл?д. простыхъ единицъ въ отв?т? будетъ дв?, не больше и не меньше. Итакъ, одну цифру мы нашли, она будетъ обязательно 2. Р?шаемъ теперь второй вопросъ: откуда получаются десятки произведенія? Во-первыхъ, отъ умноженія десятковъ на единицы, во-вторыхъ, отъ умноженія единицъ на десятки и, кром? того, н?сколько десятковъ образовалось отъ перемноженія простыхъ единицъ. Больше ни откуда десятковъ получиться не можетъ, такъ какъ во всякомъ случа? сотни и тысячи дадутъ по крайней м?р? сотни же и тысячи. Вычисляемъ десятки: 5?7 — 35, 9?6 = 54, да 4 десятка осталось отъ единицъ, всего составится ихъ 93; изъ этого 9 сотенъ пока зам?тимъ, а 3 десятка можемъ записать спокойно: это ужъ цифра окончательная. Высчитываемъ сотни. Въ нашемъ прим?р? он? могутъ получиться только отъ умноженія десятковъ на десятки и ихъ будетъ 45, да 9 сотенъ отъ десятковъ, всего 54 сотни. Пишемъ ихъ въ окончательномъ отв?т? и получаемъ: 56?97 = 5432. «Крестикъ» мы зд?сь прим?няли, когда составляли десятки произведенія, потому что въ этомъ случа? мы умножали крестъ на крестъ 5 на 7 и 6 на 9. Все д?йствіе можно изобразить такой фигурой:

5 6

X

9 7

————

5432

Чтобы читателю былъ ясн?е виденъ ходъ вычисленія, разберемъ еще трехзначныи прим?ръ. Возьмемъ 467 X 893. Низшимъ разрядомъ въ произведеніи будутъ простыя единицы, а высшимъ—десятки ты-сячъ, потому что сотни, умноженныя на сотни, даютъ десятки ты-сячъ; всего, сл?довательно, въ произведеніи будетъ 5 разрядовъ. Оііред?ляемъ ихъ постепенно. Прежде всего запишемъ данныя числа такъ, чтобы цифры стояли пор?же и между ними были свободные промежутки, э зач?мъ,—это будетъ понятно дал?е.

Простыя единицы образуются отъ перемноженія простыхъ же единицъ; 7 ? 3 = 21, единицу пишемъ и 2 въ ум?. Десятки образуются отъ умноженія десятковъ на единицы и единицъ на десятки и дадутъ: 6 ? 3 = 18, 9 ? 7 = 63, да 2, всего 83, три пишемъ и 8 зам?чаемъ. Но мы пишемъ 3 десятка не подъ десятками, а въ промежутк? между единицами и десятками: ц?ль зд?сь та, чтобы сохранить полную симметрію въ расположеніи цифръ и строгій порядокъ, который не допустилъ бы насъ сбиться; д?йствительно, какъ у насъ образовалась цифра единицъ и гд? она подписана? Она образовалась отъ единицъ и подъ ними подписана:

7

3

—

1

.

Какъ образовалась цифра десятковъ и гд? ее лучше всего подписать? На это отв?тимъ мы такимъ чертежомъ:

6 7

?

9 3

———

 3

Цифра 3 стоитъ симметрично подъ т?ми цифрами, отъ которыхъ она получилась. Вотъ дал?е чертежи для сотенъ, тысячъ и десятковъ тысячъ:

Сотни высчитываются такъ. Он? получаются отъ умноженія сотенъ на единицы, единицъ на сотни и десятковъ на десятки, будетъ 4.3 = 12, 7.8 = 56, 6.9 = 54, да отъ умноженія десятковъ осталось 8 сотенъ, всего ихъ составится 130, нуль пишемъ подъ чертой, а 13 тысячъ пока держимъ въ ум?. Отыскиваемъ теперь тысячи нашего произведенія: он? получаются тогда, когда сотни множатся на десятки и десятки на сотни, сл?д. 4?9 = 36, 6?8 = 48, да еще зам?ченныхъ 13, и составится ихъ всего 97. Цифру 7 пишемъ подъ чертой. Легко, наконецъ, опред?лить и десятки тысячъ: их? будетъ 41.

Такимъ же образомъ можно умножить и всякія многозначныя числа, до пятизначныхъ, шестизначныхъ и выше. Симметрія руководитъ нами во вс?хъ этихъ прим?рахъ и не позволяетъ сбиться. Поэтому, если во множимомъ и во множител? цифръ не поровну, напр., четырехзначное число берется съ двузначнымъ, то лучше всего приписать пару лишнихъ нулей и получить опять симметричную фигуру:

Индусы были въ восхищеніи отъ этого способа, часто имъ поль-зовались и ум?ли умножать по этому способу очень быстро, за что и прозвали его «молніеноснымъ». Онъ вовсе не труденъ, если только научиться быстро складывать двузначныя числа; что онъ не нуждается въ большомъ письм? и даетъ выигрышъ во времени, въ этомъ, конечно, нечего и сомн?ваться. Какъ было бы хорошо, если бы онъ, почти забытый посл? индусовъ и грековъ, получилъ доступъ въ наши школы, распространился въ народ? и оправдалъ свое названіе «молніеноснаго».

26. Закончимъ нашу бес?ду объ умноженіи объясненіемъ посл?дняго, въ высшей степени оригинальнаго пріема, который незнающаго наблюдателя можетъ даже поразить. Передаютъ, будто одинъ н?мецкій школьный учитель показалъ д?тямъ это умноженіе, а потомъ при пос?тителяхъ спрашивалъ считать устно и приводилъ въ удивленіе быстротой счета, разум?ется въ томъ случа?, если пос?титель не зналъ секрета.

Учнтель: «83?87!»

— Ученикъ: «80?90 = 7200 да 3-жды семь 21, всего 7221».

—Учитель: «24?26!»

—Ученикъ: «20?30 = 600, да четырежды шесть 24, всего 624».

— Учитель: «92 ? 98!»

—Ученикъ «90 ? 100 = 9000, да дважды восемь 16, всего 9016».

Секретъ, какъ видно, заключается въ томъ, что не всякій прим?ръ годится для этого правила, а только такой, гд? бы десятки въ обоихъ множителяхъ были одинаковыми, а единицы составляли въ сумм? десять; такъ что если взять одинъ множитель, наприм., 41, то парнымъ къ нему множителемъ обязательно долженъ быть 49. Правило для подобныхъ прим?ровъ сл?дующее: надо десятки помножить на сл?дующіе десятки (40?50=2000), а единицы просто перемножить (1?9 = 9) и все сложить: 2000 + 9 = 2009. Правило это далъ итальянецъ Тарталья (XVI в.), большой изобр?татель разныхъ способовъ, и письменныхъ, и устныхъ.

Объяснимъ посл?дній прим?ръ: 41?49. Какъ бы мы попросту стали его вычислять? Сперва 40 помножили бы на 40, потомъ 40 на 9, потомъ 1 на 40 и, наконецъ, 1 на 9. Намъ пришлось бы 40 повторить 40 разъ и 9 разъ и еще 1 разъ, потому что 1 ? 40 все равно, что 40 ? 1; такимъ образомъ 40 надо помножить на 50, да 1 на 9, всего 2009.

Подобные пріемы, д?йствительно, даютъ при устномъ счет? громадную выгоду и удобство. См?ло рекомендуемъ ихъ вниманію любителей ари?метики.