§ 4. Наименьшее общее кратное

§ 4. Наименьшее общее кратное

Вновь вернемся к дробям. Чтобы сложить (или вычесть) две дроби

c/a, d/b,

мы приводим их к общему знаменателю, а затем складываем (или вычитаем) числители.

Пример.

2/15 + 5/9 = 6/45 + 25/45 = 31/45.

Вообще, чтобы получить сумму

c/a + d/b,

мы должны найти общее кратное для чисел а и b, т. е. число m, на которое делятся как число а, так и b. Одно из таких чисел очевидно, а именно, их произведение m = ab; в результате получаем в качестве суммы дробей

c/a + d/b = cb/ab + da/ab = (cb + da)/ab.

Но существует бесконечно много других общих кратных для чисел а и b. Предположим, что мы знаем разложение этих двух чисел на простые множители:

а = р₁^?₁ • … • р_r^?r, b = р₁^?₁ •… • р_r^?r. (4.4.1)

Число m, которое делится одновременно на числа а и b, должно делиться на каждый простой делитель p_i чисел а и b и содержать его в степени ?_i не меньшей, чем большая из двух степеней ?_i и ?_i. Таким образом, среди общих кратных существует наименьшее

m₀ = р₁^?₁ • … • р_r^?r, (4.4.2)

в котором каждый показатель степени ?_i равен большему из чисел ?_i и ?_i. Очевидно, что число m₀ является наименьшим общим кратным и любое другое общее кратное чисел а и b делится на m₀. Для наименьшего общего кратного существует специальное обозначение

m₀ = K(a, b). (4.4.3)

Пример. а = 140, b = 110. Разложение на простые множители этих чисел таково:

a = 2²  5¹ • 7¹ • 11⁰, b = 2¹ • 5¹ • 7⁰ • 11¹,

следовательно,

К(а, b) = 2² 5¹ • 7¹ • 11¹ = 1540.

Существует следующее простое соотношение между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным:

ab = D(a, b) K(a,b). (4.4.4)

Доказательство. Перемножив два числа из (4.4.1), получим

аb = p₁^?₁+?₁ … • p_r^?_r+?_r. (4.4.5)

Как мы отмечали, степень числа р_i в D(a, b) является меньшей из двух чисел ?_i и ?_i, а в числе К(а, b) она большая из них. Предположим, что ?_i ? ?_i. Тогда степень числа р_i в числе D(a, b) равна ?_i, а в К(а, b) равна ?_i; следовательно, в их произведении

D(a, b) К(а, b)

она равна ?_i + ?_i, что в точности равняется степени в произведении (4.4.5). Это показывает справедливость соотношения (4.4.4).

Пример. а = 140, b = 110, D(a, b) = 10, К(а, b) = 1540.

ab = 140 •  110 = 10 • 1540 = D(a, b) К(а, b).

Из правила (4.4.4) вытекает, что если а и b взаимно простые, то их произведение равно их наибольшему общему кратному; действительно, в этом случае D(a, b) = 1 и поэтому ab = K(а, b).

Система задач 4.4.

1. Найдите наибольшее общее кратное пар чисел в системе задач 4.1 (с. 49).

2. Найдите наибольшее общее кратное для каждой из четырех первых пар дружественных чисел.