§ 1. Предварительные замечания

§ 1. Предварительные замечания

Во введении (§ 3, гл. 1) мы упоминали об одной из древнейших теоретико-числовых задач: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами, т. е. найти все целочисленные решения уравнения

х² + y² = z². (5.1.1)

Эта задача может быть решена с использованием лишь простейших свойств чисел. Прежде чем приступить к ее решению, проведем некоторые предварительные исследования. Тройка целых чисел

(х, у, z), (5.1.2)

удовлетворяющая уравнению (5.1.1), называется пифагоровой тройкой. Отбросим тривиальный случай, когда одна из сторон треугольника равна нулю.

Ясно, что если множество (5.1.2) является пифагоровой тройкой, то любая тройка чисел

(kx, ky, kz), (5.1.3)

получающаяся умножением каждого из этих чисел на некоторое целое число k, также будет пифагоровой, и наоборот. Таким образом, при поиске решений достаточно ограничиться нахождением простейших треугольников, длины сторон которых не имеют общего множителя k > 1. Например, тройки

(6, 8, 10), (15, 20, 25)

являются пифагоровыми тройками, получающимися из простейшего решения (3, 4, 5).

В простейшей тройке (x, у, z) не существует общего множителя для всех трех чисел. В действительности справедливо более сильное утверждение: никакие два числа из простейшей тройки не имеют общего множителя, т. е.

D(x, y) = 1, D(x, z) = 1, D(y, z) = 1. (5.1.4)

Чтобы доказать это, предположим, что, например, х и у имеют общий делитель. Тогда они имеют общий простой делитель р. В соответствии с (5.1.1) число р должно также делить и r. Итак, (х, у, z) не может быть простейшей тройкой. Такие же рассуждения применимы для доказательства остальных двух утверждений.

Рассмотрим еще ряд свойств простейших троек. Мы только что получили, что числа х и у не могут быть оба четными, но мы можем также показать, что они не могут быть и оба нечетными. Действительно, предположим, что

x = 2a +1, y = 2b + 1.

После возведения в квадрат этих чисел и сложения их, получим число

x² + y² = (2a + 1)² + (2b + 1)² = 2 + 4а + 4a² + 4b + 4b² = 2 + 4 (а + а² + b + b²),

делящееся на 2, но не делящееся на 4. В соответствии с (5.1.1) это означает, что z² делится на 2, но не делится на 4, но это невозможно, так как если z² делится на 2, то и z делится на 2, но тогда z² делится на 4.

Так как одно из чисел х и у — четное, а другое — нечетное, то z — также нечетное. Для определенности будем считать, что в наших обозначениях число х — четное, а у — нечетное.