Спичечный коробок

— Помните, — сказал мне Сева, — вы вчера обещали нам объяснить, как фокусник превратил Единицу в Великана.

— Ну что ж, — ответил я, — обещал, так объясню.

Ребята уселись поближе и приготовились слушать.

— Возьмём какое-нибудь число, — начал я, — ну, скажем, сто. И разделим его сперва тоже на сто. Получим единицу, не так ли? Ну, а если мы разделим сто на пятьдесят, что тогда получим?

— Два!

— Правильно, два. Два — это уже больше, чем единица. А потом разделим сто на двадцать пять, получим ещё больше — четыре. Затем — на двадцать. Частное будет пять. А если мы разделим сто на два, то частное будет ещё больше — пятьдесят. Так? Выходит, чем меньше делитель, тем больше частное. Разделим теперь сто на единицу.

— Так и останется сто, — сказал Сева.

— Нетрудно было догадаться, — продолжал я. — Ну, а если мы станем делить сто на числа, меньшие, чем единица. Что тогда? Частное будет уменьшаться или ещё больше увеличиваться?

— Увеличиваться, — сказала Таня.

— Конечно. Чем меньше делитель, тем всё больше и больше частное. Разделим 100 на ¹/₂, получим уже 200, а если разделить 100 на ¹/₅, то частное будет 500.

— Ну конечно, — сказал Олег, — разделить на ¹/₅ — это всё равно что умножить на 5.

— Молодец, — похвалил я Олега. — Так вот, если мы будем делить число на одну миллионную, то…

— …это всё равно что умножить это число на миллион, — победоносно закончил Сева.

— Вот и подумайте, — снова сказал я, — нуль маленькое число или большое?

— Нуль меньше любого малого числа, — ответил Олег.

— Что же получится, если разделить сто на самое маленькое число? — снова задал я вопрос.

— То же, что получится, если умножить сто на самое большое число, — ответил Сева.

— Правильно, — подтвердил я. — Фокусник разделил единицу на нуль — появился Великан! И никаких фокусов!

Ребята удовлетворённо вздохнули.

— Вот я вам покажу фокус так фокус! — продолжал я после некоторой паузы. — Как вы думаете, сколько чисел может уместиться в этом спичечном коробке?

— Это смотря как писать, — озабоченно сказал Сева, — крупно или мелко.

— Ну, пусть будет мелко, — решил я великодушно.

— Тогда — много, — ответила Таня.

— Что значит — много?

— Тысяча! — закричал Сева.

— Больше.

— Миллион! — предположила неуверенно Таня.

— Еще больше! — подзадоривал я.

— Ну, это уж сказки! — проворчал недоверчиво Сева.

— Что ж, послушайте мою сказку. Сказку да не сказку. — Я вынул все спички из коробка. — Допустим, что этот коробок разделён на две равные части, ну, хотя бы спичкой. Поместим в одной части число 1.

— Пишите единицу, — деловито предложил Сева и протянул карандаш.

— Нет, — возразил я. — Единица будет воображаемая. Нам, математикам, без воображения нельзя! Итак, в этой половине — единица, а другая пустая.

— Очень неэкономно, — заявил Сева. — Целую половину коробка занимать единицей.

— Ничего, — ответил я, — места хватит. Теперь разделим свободную половину снова пополам. Тоже в воображении, конечно. Можем?

— Можем! — сказали ребята.

— Итак, у нас снова два пустых отделения. В одном из них опять-таки мысленно поместим число 2. А свободное отделение ещё раз разделим пополам. И в одну из этих половинок поместим число 3. Потом снова то же самое. Так и будем каждый раз в одно из свободных отделений помещать по числу: 4, затем 5, 6, 7… 100… 1000 и так далее. И каждый раз будем свободное отделение снова делить пополам.

— Нет, — остановил меня Сева, — тут что-то не то. Как же вы будете делить коробок? Если спичками, они туда не влезут.

— А я буду вместо спичек класть волоски, — ответил я.

— Всё равно, — не сдавался Сева, — можно разделить коробок на пятьсот, на тысячу частей, а потом и волосок не полезет!

— Какая же у тебя бедная фантазия! — покачал я головой. — Сумел же кузнец Левша подковать блоху да ещё на каждом гвоздике расписаться! Ведь ещё совсем недавно не было меньшего деления времени, чем секунда. А теперь учёные научились измерять даже миллиардные доли секунды! Раньше, желая похвалить пряху, говорили, что прядёт она нить с паутинку. Тоньше паутинки ничего и представить не могли. А уж измерить паутинку и вовсе не умели. А теперь измеряют размеры молекул, атомов, электронов… Перед ними паутинка что дуб перед мошкой! Так вот. Допустим, найдётся такой искусный мастер, который сумеет разделить наш коробок на самые-самые малые отделеньица. Далеко ходить не надо: разве воображение не лучший мастер на свете? Итак, мастер работает, отделения становятся всё меньше и меньше, вот уж ни в один микроскоп их нельзя разглядеть! А мастер всё делит и делит. Отделения становятся всё меньше, а числа, помещаемые в них, — всё больше. И чем меньше отделение, тем большее число мы в него помещаем. Будет ли этому конец? Нет, не будет! Ведь делить-то можно без конца, да и больших чисел тоже бесконечно много. Вот и выходит, что в этом коробке собрались все бесконечно малые и все бесконечно большие величины. Карлики и великаны!

— Так вот почему эта страна называется Карликанией! — обрадовался Олег.

— Вещий Олег! — сказала Таня.