Задача Брокара

Для любого целого числа n факториал n! равен произведению

n ? (n — 1) ? (n — 2) ? … ? 3 ? 2 ? 1.

Это число различных способов расставить по порядку n объектов. К примеру, английский алфавит, содержащий 26 букв, можно расставить

26! = 403 291 461 126 605 635 584 000 000

разными способами. В статьях, опубликованных в 1876 и 1885 гг., Анри Брокар отметил, что

4! + 1 = 24 + 1 = 25 = 5?,

5! + 1 = 120 + 1 = 121 = 11?,

7! + 1 = 5040 + 1 = 5041 = 71?

представляют собой полные квадраты. Он не обнаружил других факториалов, которые при прибавлении единицы давали бы полный квадрат, и задался вопросом, существуют ли такие. Индийский гений-самоучка Шриниваса Рамануджан независимо задался этим же вопросом в 1913 г. В 2000 г. Брюс Берндт и Уильям Голуэй при помощи компьютера показали, что для факториалов чисел до 1 млрд других решений не существует.