Схолия Пятая.

Схолия Пятая.

с помощью коей герой этой правдивой книжки, думая насладиться красноречием, начинает вместо этого водить пальчиком по лицу оратора, а затем выслушивает чрезвычайно полезный и нехитрый секрет относительно того, как решаются задачи, которые ты не можешь решить (очень важно для молодых людей, скучающих на контрольной работе!). После этого нашему герою приходится выслушать длиннейшую речь, состоящую из рассуждений о том, что такое смысл и каким образом можно его отличить от бессмыслицы, даже если таковая касается вопроса о том, что можно считать недвусмысленным. Вслед за этим Илюша сталкивается вплотную с центробежной силой и неожиданно узнает о том, что такое касательная, хотя до сих пор он думал, что она, в сущности, его не касается, и совершенно не собирался к ней прикасаться. Однако она-то и возвращает наконец Илюшу к Радиксу. Тут наш герой знакомится с такой особенной породой узлов, что водятся в большом изобилии на некоторых деревьях, но до которых можно добраться не иначе, как через целый ряд мостов, по коим строго-настрого воспрещается проходить второй раз. И вот тут-то бедный Илюша неожиданно встречается с ужасающим и известным из древности людоедом, по прозванью Минотавр, который долго питался самыми способными выпускниками средней школы, пока наконец не попался на ниточку... Все это производит на нашего героя несколько странное впечатление, которое, впрочем, довольно скоро рассеивается при непосредственном участии богини Лилавати и ее удивительных ровесниц, отнюдь не склонных к красноречию.

- 44 -

После этого почтенный Кандидат Тупиковых Наук У. У. Уникурсальян, кавалер Ордена Семи Мостов и даже командор оного, прошелся не спеша по комнатке и, обернувшись к Илюше и хорошенькой Розамунде, произнес:

- Почтеннейшие члены нашего ученого общества, которых объединяет, так сказать, бескорыстная привязанность именно к тому, к чему они так бескорыстно привязаны!..

Тут уважаемый Доктор Четных и Нечетных Узлов вдруг пошатнулся, ибо язык Розамунды незаметно подобрался к нему и дернул за локоть. Доктор Уникурсальян рассеянно взглянул на язык и продолжал:

- А сверх того, поскольку привязанность всегда может быть рассматриваема...

И опять почтеннейший доктор покачнулся, ибо язык Розамунды снова дернул его за локоть.

- Позвольте? - вопросительно сказал Магистр Деревьев.

- Невозможно! - ответила ему Розамунда.

- Что невозможно? - спросил нетерпеливо Доктор Узлов.

- Начнем сначала, - предложила примирительно Розамунда.

- Так это же и есть начало! - воскликнул в отчаянии командор.

- Тогда лучше с конца, - заявила Розамунда.

Командор прошелся по комнатке и взглянул на Илюшу.

- Мне бы очень хотелось посмотреть, какой у вас орден.

- Это немыслимо! - сердито заявил командор, обращаясь к Розамунде. - Это нарушает весь порядок дня и даже ночи.

- Пусть нарушает, - ответила Розамунда.

Командор У. У. Уникурсальян пожал в недоумении плечами, подошел к Илюше и гордо сказал:

- Прошу!

На груди его красовался Орден Семи Мостов самого первого класса, украшенный самоцветными камушками.

Илюша посмотрел на орден и сказал:

- Похож на лабиринт.

Командор скромно, но гордо улыбнулся. А Илюша стал тут же водить пальцем по белым дорожкам, в центре которых стояли римская цифра "VII" и буква "М".

- Темные пятна, - объяснил доктор, - представляют собой речку, а белые дорожки - это берега речки и мосты. Задача очень простая: обойти все мосты и по каждому пройти только один раз. Знаешь ли ты, что это за речка? Ты ведь иногда заглядываешь в атлас?

- 45 -

- Нет, - промолвил Илюша. - А разве есть на самом деле такая речка?

- Есть! - отвечал обладатель великолепного ордена. - Это речка Прегель с островом Кнейпгоф, а на ней стоит город Калининград, бывший Кенигсберг. Узнай же, о любознательный юноша, что эти-то мосты и оказались случайно причиной для возникновения очень важной отрасли геометрии. Был на свете такой математик Леонард Эйлер, швейцарец по происхождению, член Санкт-Петербургской Академии наук, один из крупнейших ученых восемнадцатого века. Он был другом Ломоносова и, пожалуй, был один из первых ученых в то время, который оценивал научную деятельность Ломоносова по достоинству. Он долго жил в Санкт-Петербурге, там и скончался. Так вот однажды на одном вечере в обществе кто-то задал Эйлеру вопрос: можно ли пройти по всем семи кенигсбергским мостам, не проходя ни по одному по два раза? Эйлер заинтересовался этой задачей, доказал, что сделать это невозможно, и нашел общие правила, которым подчиняются задачи подобного рода. В честь этого замечательного события и учрежден этот превосходный и в высшей степени достопримечательный орден.

Илюша повел пальцем по дорожкам, но у него не вышло.

Он попробовал еще - не вышло. Попробовал в третий раз - опять то же самое.

- Не выходит, - сказал Илюша.

- Взгляни на мое честное и открытое лицо. Можешь ли ты обойти все его линии и по каждой линии пройти один раз?

Илюша попробовал, и очень скоро это ему удалось.

- Выходит! - сказал Илюша. - А на ордене никак не получается.

- О неопытный и трижды легкомысленный отрок! - произнес, покачивая головой, Командор Ордена Семи Мостов. - Во-первых, докажи, что это действительно невозможно, ибо ты получишь право утверждать это только тогда, когда сможешь твердо и определенно объяснить, почему одна такая задача решается, а другая не имеет решения.

- А какой смысл, - сказал Илюша, - заниматься задачами, которые не имеют решения?

- Смысл? .. - лениво протянула тетушка Розамунда. - А можешь ли ты толком объяснить, что значит: "решить задачу"? Попробуй реши вот эту: "Скорый поезд прошел за два часа сто километров.

- 46 -

Однако, если бы он шел не два часа, а столько часов, сколько километров прошел в течение второго часа, и при этом с той же скоростью, с какой шел в первый час, то он прошел бы не сто километров, а две тысячи пятьсот два километра. Спрашивается: какова была скорость поезда в первый час и какова была его скорость во второй час?"

Услыхав условие задачи, доктор Уникурсальян презрительно нахмурился:

- Не сложна ли эта задача для такого богатыря, который только что пал бездыханным при осаде Квадратного Трехчлена?

Однако тетушка Розамунда была настроена довольно милостиво; она улыбнулась почти до самых ушей, а ее проворный язык быстро притащил откуда-то карандаш и бумагу и вручил их Илюше.

- Ничего, - отвечала тетушка Магистру Деревьев. - Эти волшебные предметы ему помогут. Он поумнеет. Он хороший мальчик.

- Разве это волшебные предметы? - спросил с напускным удивлением гордый Доктор Узлов.

- Да, - отвечала тетушка, - давно уж доказано, выяснено и принято всеми академиями к сведению и руководству, что карандаш и бумага суть волшебные предметы неограниченного могущества.

- Ах, вот как! - мрачно провозгласил командор. - Простите, я забыл.

Илюша прекрасно понял, что все это было одно притворство: ничего он, конечно, не забывал! Мальчик храбро схватил волшебный карандаш, но не прошло и нескольких минут, как он разочарованно пробурчал, что решить эту задачу немыслимо.

- Очень рад! Восхищен! - отвечал ему Доктор Четных и Нечетных. - А нельзя ли как-нибудь иначе изложить результаты этого маленького опыта? Что обозначает "немыслимо"?

- Нет на свете таких двух чисел, которые годились бы для этой задачи, - вот что это означает, - отвечал Илюша. - Следовательно... тут ни я, ни кто другой ничего сделать не может. Чисел таких нет. Вот мое решение.

- Согласен, - спокойно ответствовал доктор Уникурсальян. - Это действительно можно считать решением. Другими словами: раз ты доказал, что задача неразрешима, то у нас здесь считают, что ты ее решил. Заданный тебе вопрос исчерпан.

- Так, - сказал Илюша, - это я понимаю. Но мне неясно, зачем надо задавать такие вопросы? Мало ли что тут можно придумать!

- Эту важнейшую проблему надлежит с осторожностью рассматривать двояко.."

- 47 -

- Двояко! - повторила тетушка Розамунда.

- Вот именно! - громогласно возопил доктор. - Ибо дело не в выдумке, а в том, что если бы наука не занималась вопросами, которые кажутся неразрешимыми, она бы не двигалась вперед. В том-то и сила, что неразрешимые требуют новых способов для своего разрешения, а каждый новый способ - это новый шаг вперед. Слушай внимательно: вот тебе простой и превосходный пример. Это будет у нас часть вторая, ибо с первой мы уже покончили. Есть возражения? Говори прямо.

- Возражений, - отвечал мальчик, - как будто бы и нет, но.,.

- Но ты желаешь, чтобы тебя убедили. Слушай, и все получишь... Итак, в геометрии издавна возникла необходимость разделить данный угол на несколько частей, скажем, на три. У геометра в руках есть линейка и циркуль. Может он с этими инструментами проделать это деление или нет? Со времен седой древности пробовали это сделать, но ни у кого не выходило. Вот тут-то и надо выяснить, почему не выходит.

В чем тут дело? Долго не могли добиться. Но наконец выяснили, что имеется бесконечное число таких углов, которые точно разделить натрое с помощью циркуля и линейки невозможно.

- А прямой угол как будто можно разделить? - осторожно осведомился Илюша.

- Как? Ты умеешь делить прямой угол на три? - с искренним изумлением сказала тетушка. - А умеешь, так рассказывай.

- Прямой угол - это девяносто градусов, - отвечал Илюша, - значит, надо получить тридцать. Отнимем шестьдесят, а это сделать нетрудно - ведь он один из углов равностороннего треугольника, потому что сумма углов треугольника равна 2d, то есть 180°. На чертеже совсем просто получается!

- Не смею спорить! - ответствовал свирепый доктор Уникурсальян, раскланиваясь с Илюшей очень любезно, но все же ехидно. - Кто станет спорить? Прямой угол, поистине прямой, ты прав. Но с непрямыми не выходит.

- 48 -

Еще в древности пытались, а причины затруднений еле-еле выяснили только во второй половине шестнадцатого столетия нашей эры. И ни один грамотный человек, кроме нелепых упрямцев-чудаков, заниматься этим не будет. К таким безнадежным задачам относятся еще древние задачи о квадратуре круга, когда требуется построить опять-таки с помощью циркуля и линейки квадрат, равновеликий данному кругу, затем задача об удвоении куба.

Впрочем, обо всем этом ты узнаешь попозже[5]. Но это еще отнюдь не все... Самое главное в том, что попутно с этими решениями выяснено вполне и до конца, какие именно задачи можно решать с помощью циркуля и линейки, а какие нельзя, и почему нельзя. Вот в чем дело. А если ты уяснил, и почему какая-нибудь задача не имеет решения, то тогда ты можешь узнать, что именно тебе требуется для решения подобных задач.

- Извините... - произнес Илюша. - А с другими углами очень трудно?

- Не столь трудно, - отвечал с усмешкой Доктор Четных и Нечетных, - сколь замысловато...

- Когда готово, то нетрудно! - кротко заметила тетушка Розамунда, а язык ее, громко прищелкнув, вдруг нарисовал в воздухе чертеж. Все линии были голубоватые и очень приятно светились.

DF=EF=AB; HF || AC; AH = HE; DE = 2 AB

^AFD=2^AEF=2^DBK; ^ABD=2^DBK

Линейка для невсиса с двумя отметками.

- Прелестный чертеж! - вежливо заметил доктор. - Ну-с, вот тебе угол ABC - 75°, а вот угол СВЕ - 25°. Но делается это не линейкой и циркулем, а линейкой, на которой есть две отметки - одна за другой, и каждая равна отрезку АВ. Этот способ в древности назывался способом невсиса. Через точку В надо провести прямую так, чтобы отрезок DE равнялся бы удвоенному отрезку АВ. При помощи вспомогательных прямых на чертеже нетрудно доказать, что угол AFD равен двум углам AEF…

- Как внешний угол по отношению к треугольнику AEF, - догадался Илюша.

- 49 -

- Точно... - протянула тетушка.

И у Илюши на душе стало на минутку полегче - он все-таки догадался. Ему хотелось еще кое о чем спросить, но доктор Уникурсальян не дал ему и рта раскрыть.

- Сделать можно, - возопил доктор, - а вот объяснить, почему надо делать так, а не иначе, то есть, почему этот способ в данном случае приводит к цели, - это потруднее!

- А когда-нибудь... - робко начал Илюша.

- Все должно двигаться в самом удивительном порядке, - заявила тетушка Розамунда, а ее неукротимый: язык принес откуда-то линейку с двумя отметками, приложил ее на чертеже к отрезку DE, и вышло точь-в-точь.

- Вот именно! - воскликнул доктор Четных и Нечетных - Это невсис Паппа Александрийца. Замысловато, а зато точь-в-точь! Терпи, мой любезнейший, сами греки тоже помучались как следует. А разобрать до конца не удалось. Только в шестнадцатом веке Франциск Виета разобрал[6]. Вот и смекай - нехитрая на вид задача, а в руки попросту не дается. - Вслед за этим доктор мрачно покосился на Илюшу и пробормотал угрожающе: - Внимание и молчание!..

- А ведь, пожалуй, теперь я начинаю соображать... - сказал Илюша.

- Прелестно! - отвечал командор. - Я вижу, что вы, любезнейший юноша, делаете некоторые успехи, как сказала одна заботливая мамаша, ухватив за ухо своего предприимчивого отпрыска в ту минуту, когда он забрался во вторую банку с вареньем.

- Только как это сделать? - со вздохом сказал Илюша. - То есть я не про варенье, а про невсис.

- Все в свое время, - отвечала Розамунда.

Она поглядела на Доктора Четных и Нечетных Узлов и сказала:

- Ну-с?

Доктор Узлов начал свою замечательную речь:

- Досточтимые и глубокоуважаемые друзья мои, слушательницы и слушатели! То, что я имею сказать вам в настоящей моей изумительной речи, так необыкновенно важно, так страшно серьезно, так дивно поучительно, что у меня, признаться, у самого заранее дух захватывает. И ты, о неопытный и желторотый юнец, неизвестно как затесавшийся в наш волшебный мир, повесь свои мохнатые уши на гвоздь внимания и восхищения...

- 50 -

Илюше очень хотелось обидеться, когда он услыхал про чьи-то мохнатые уши, но он решил, что лучше уж притвориться, что не понимает, о ком тут идет речь.

- Понимаешь ли ты, достопочтенный слушатель, куда ты попал? Постигаешь ли ты, что великая наука наша - одна из древнейших наук мира; что именно на ней некогда человек чуть не впервые учился размышлять и доказывать; на ее примерах человек учил сам себя рассуждать, сам с собой обсуждал свои замыслы, сам научился поправлять их и в течение многих и многих столетий шел осторожнейшими шагами, дабы наконец овладеть тем, чем он сейчас владеет? Можешь ли ты вообразить себе, что много и много человеческих жизней трудолюбиво и самоотверженно положено на то, чтобы мир мог сделать хотя бы еще один шаг в науке? Сумеешь ли ты представить себе, что ты легко можешь услыхать здесь какое-нибудь занимательное слово, но для того, чтобы объяснить тебе, что обозначает это слово, нам всем придется положить немало труда? И поверь, что все мы готовы это для тебя сделать, но и ты должен стараться и относиться к каждому нашему слову так вдумчиво и так серьезно, как только позволяют тебе твои способности! Итак, начнем сначала! Я утверждаю, что путешествовать по нашим чудесным краям невозможно без неких мощных вспомогательных аппаратов. Вот первое, что должен я открыть вам, опираясь на всю силу моего прославленного красноречия, сиречь элоквенции. Что же это за аппараты и как ими пользоваться? Во времена великого Архимеда это были палочка и песок, а в наше время - это карандаш и бумага. Хотя, впрочем, никому не возбраняется, находясь на чистом воздухе, пользоваться для тех же целей палочкой и песочком. Кроме того, надо вооружиться самым прочным терпением: если ты чего-нибудь не понял, ты должен тотчас же возвратиться обратно и снова пуститься в путь в том же направлении. Имей в виду, что нет такого маршрута на свете, который не уступил бы твоему упорству. Все, что мы будем говорить и утверждать, должно быть полно совершенно определенного смысла, и все это должно быть выражено в сжатой, ясной, совершенно недвусмысленной и легко запоминающейся форме. Как это делается, понять очень легко: подражайте мне, и всё! Однако я вынужден идти еще далее. Дело в том, что я требую, и ты требуешь, и мы требуем, и все, кто может нас услыхать, требуют, чтобы все вводимые нами новые наименования, способы выражения и обозначения были исчерпывающим образом объяснены, то есть определены. Всякое заключение наше или вывод, то есть равенство, неравенство, какая-нибудь формула, а также всякое словесное или иное (а стало быть, бессловесное!) утверждение, с полной необходимостью должны вытекать из того, что было принято нами ранее в качестве условия или было ранее доказано, то есть из наших предпосылок.

- 51 -

Клянусь вам, что это самый непреложный закон в нашем хитроумном мире, где все подчинено Дедукции, что обозначает, как вам, быть может, известно, "вывод", или "заключение". Надо всегда подумывать и о том, есть ли на что сослаться, если ко мне начнут придираться по этому самому поводу самые хитрые, самые сварливые, самые несговорчивые придиры на всем белом свете?.. Когда ученым приходится удостовериться, что некоторая задача совершенно не разрешима известными им способами, то нередко это ведет к глубоким переменам в самой науке. Кажется, чего уж проще - вычислить диагональ квадрата со стороной, равной единице?

Извлек из двойки квадратный корень - и готово! Но когда в древности ученые греки впервые убедились в том, что в точности они это вычисление проделать не могут, то целая система математических воззрений была ниспровергнута! Наш волшебный мир, видишь ли, это очень серьезный волшебный мир: прошу не забывать!

Тут Магистр Деревьев надменно обвел сверкающим взором своих притихших слушателей и продолжал с новой силой:

- Помните: следует знать и нельзя ни в коем случае забывать о том, что-то, что необходимо, не всегда достаточно, а что достаточно, не всегда необходимо. А потом не забывайте о том, чтобы весь ход ваших рассуждений определялся четко поставленным вопросом, чтобы вы не упускали на каждом шагу поставленную вами цель. С другой стороны, смотрите, не внесли ли вы в суждения ваши чего-либо лишнего, что не было предусмотрено теми условиями или ограничениями, которые вы имели в виду. Помните: раз вам даны для задачи некоторые условия, то все они до одного должны быть использованы в решении так или иначе, а если какое-нибудь условие окажется лишним, то и это должно быть установлено с полной убедительностью, о чем мы еще потолкуем с вами в Схолии Седьмой. При этом надо знать, что это правило касается не только тех случаев, когда речь идет об обычном, или "положительном", решении задачи, которое в то же время должно являться общим решением для многих задач, подобных данной. Оно касается также и тех, нередко гораздо более трудных случаев, когда мы собираемся установить, что у нас нет возможности найти в данной области искомое или выполнить заданное предписанным способом, как заметил один прилежный юноша, подавая своему преподавателю на контрольной работе чистый лист бумаги...

Командор прервал свою речь и задумался.

- 52 -

- Так вот-с... - произнес, помолчавши, доктор Четных и Нечетных Узлов. - Может быть, тебе еще не ясно, почему он такой серьезный, наш волшебный мир? Объяснить тебе? Слушай! При помощи нашего "волшебства" мы можем сделать некоторые довольно трудные вопросы более наглядными для нашего читателя - несколько облегчить их, другими словами.

Это - раз. Второе, и еще более важное, - это то, что наше "волшебство" позволяет нам вводить некоторые требования или, скажем, "условия", нужные для изложения. Такого рода "условия" необходимы и для самой науки. Со времен древности было сделано немало усилий, чтобы изъять из геометрии все неясности или недоказуемости. Однако, невзирая на то, что это повело, в частности, к замечательным открытиям, все это, вместе взятое, оказалось недостижимым. И некоторые определенные условия, или, так сказать, "соглашения", остаются в науке, и без них нельзя. По мере надобности мы и будем прибегать к "волшебству" для того, чтобы показать смысл и выводы из такого рода соглашений.

- Однако, - с трудом переводя дух, гордо воскликнул Кандидат Тупиковых Наук, - однако, хоть я теперь уж уверен, что вы все прекрасно усвоили содержание моей речи, заключающейся в том, в чем она заключалась, и утверждающей именно то, что она утверждала! И хотя все это так, но тем не менее я должен опять начать все сначала...

При этих словах тетушка Розамунда тихо ахнула...

- Да! - во все горло гаркнул совершенно рассвирепевший Доктор Узлов. - Я по той причине должен начать сначала, что ведь дело-то совсем не в этом, а именно в том, чтобы...

Что не дальше разглагольствовал почтеннейший Уникурсал Уникурсалыч, тем речь его становилась все более витиеватой, все более сложной и непонятной. Он сыпал полнозвучными и высокопарными фразами, в которых внимательный слушатель мог обнаружить изрядное количество существительных, прилагательных, глаголов и всего такого прочего, однако что все это вместе значило, понять было - увы! - невозможно.

Сперва тетушка Розамунда слушала доктора внимательно, но теперь на лице ее было написано что-то вроде: "Караул! Помогите!" Язык хозяйки в недоумении завился огромным вопросительным знаком. Три тысячи серебряных колокольчиков вопросительно позвякивали то так, то сяк. Вдруг они все сразу зазвонили, да все громче и громче, заглушая премудрые речи Доктора Четных Узлов.

Розамунда махнула рукой, взяла Илюшу за левую руку и повела к двери. Однако Кандидат Тупиковых Наук вцепился в правую руку Илюши и стал тащить его назад, все время продолжая ораторствовать. Серебряные колокольчики звонили так оглушительно, что, кроме их звона, ничего услыхать было невозможно.

- 53 -

Розамунда тащила Илюшу налево, Магистр Деревьев - направо, и длиннейший язык Розамунды решил, что ему сейчас самое время вмешаться в эту непонятную историю, закрутился вокруг всех трех наших героев, ухватившись за какое-то колечко на потолке, и все они понеслись по кругу с такой невероятной быстротой, что теперь уже не только не было ничего слышно, но и ничего не было видно. Илюша, совершенно оцепеневший от страха и удивления, летал по Розамундину домику в полной уверенности, что сейчас его расшибут вдребезги, искренне удивляясь, как жестоко наказывает его судьба за то, что он забыл про квадратный трехчлен.

- 54 -

И вдруг...

И вдруг он почувствовал, что никто его не держит и он мчится по воздуху с быстротой пикирующего самолета.

"Центробежная сила! - подумал впопыхах Илюша, быстро перевертываясь в воздухе то вниз, то вверх головой и размахивая руками. - Оторвался и лечу по касательной. Вот так история! .."

Тут он почувствовал, что скорость его полета начинает понемногу ослабевать. Вдруг он перевернулся вверх головой и стал сразу на обе ноги.

- Наконец-то! - сказал ему с облегчением Радикс.

- А! - обрадовался Илюша. - Это ты! А я уж думал, что лечу прямо в тартарары. Фу! И как это я жив до сих пор?!

Я видел совершенно удивительные вещи, только вот беда - мало что понял... Кое-что разобрал, да и то, по правде сказать, через пятое на десятое. А в общем... ужас что такое!

Надоело ужасно - слушаю, гляжу и ничего не понимаю. Если бы ты мне рассказал...

- Это можно, - сказал Радикс. - Ну, выкладывай, чего ты не понял.

- Во-первых, - начал Илюша, - часы...

В это время какие-то часы звучно пробили четыре. Илюша обернулся и увидел странный циферблат.

- Что такое? Бьют четыре, а показывают десять!

Илюша внимательно поглядел на часы. Раз-два-три... десять? .. Снова - раз-два-три и опять новый десяток?

- Ох! - воскликнул Илюша, хлопнув себя по лбу. - Другой циферблат! Да это не десяток! Чепуха какая! Это просто другая система исчисления. Четверичная система. Первый класс - единицы, потом второй - четверки класс будет четыре в квадрате, то есть шестнадцать. Как у нас на первом месте единицы, на втором - десятки, а третье место занимают сотни, а это ведь десять в квадрате. У нас число пишется так:

a10⁰ + b10¹ + c10² + ...

а у них:

a₁4⁰ + b₁4¹ +c₁4² + ...

причем а, b, с... могут принимать все значения от нуля до девяти, но a1, b1 c1. .. могут принимать значения от нуля до трех. И так далее.

- 55 -

Если, значит, написать девятнадцать по этой системе, будет шестнадцать плюс три, то есть сто три. А если взять сто, то выйдет тысяча двести десять. Экая досада, что я не догадался!

- Штука нехитрая, - сказал Радикс.

- Вот то-то и обидно! - отвечал Илюша.

- Они тебя, - заметил Радикс, - все-таки немножко надули. То есть были приняты меры к тому, чтобы ты не догадался. Ведь перерыв-то у них сдвинут так, что прием кончается раньше перерыва.

- Экая досада! - возмущенно повторил Илюша. - А все-таки я должен был догадаться!

- Разумеется. Зевать не надо. Ну-с, далее?

- Дальше вот что. Часы что - это пустяк, шутка...

- Не всегда, - заметил Радикс, посмеиваясь.

- Ну все-таки. А вот этот невсис... Я о нем даже не слыхал. Прямо удивительно. Поставь на линейке две метки - в сразу готово!

- В том-то вся и сила, что просто. Узнаешь немного погодя.

- А потом все эти мои скитания по коридорам. Ведь это был настоящий лабиринт. Так или нет?

- Не совсем настоящий, но вроде этого.

- Я решил, что если все время буду держаться правой или левой рукой (это все равно, только не менять руку) за стену, то можно дойти до середины и выйти назад.

- Почему ты так решил?

Илюша постарался изложить своему другу все, что придумал о сходстве лабиринта с тупиком.

Радикс выслушал и процедил:

- Да-а... Но я берусь выстроить лабиринт, где твое правило правой руки ни к чему не приведет. В лабиринт надо войти, дойти до некоторой заранее определенной точки, которая будет центром этого лабиринта, и выйти обратно. Не так ли?

Илюша согласился.

- Так вот. Мой лабиринт будет представлять собой то, что ты называешь петлей. То есть тот же тупик, только вместо замыкающей стенки будет еще один кругообразный ход. В середине этого хода находится островок, в нем дверь, за ней коридор, который и кончается той точкой - центром. Далее я утверждаю, что какой бы рукой ты ни пользовался, правой или левой, ты обойдешь мой лабиринт, выйдешь обратно, но не попадешь в центр, и задача не будет решена. Что ты на это скажешь?

Илюша нарисовал чертеж и углубился в его рассмотрение.

Двойной лабиринт Радикса.

- 56 -

- Да, - сказал Илюша, - действительно, в центр не попаду. Тогда, мне кажется, можно поступить так. При обходе лабиринта по правилу правой руки я убеждаюсь, что в центр не могу попасть, и замечаю, что какой бы рукой я ни пользовался, всегда на противоположной от меня стене, то есть на той, которой я не касаюсь рукой, мне встречается дверь, и я в нее не попадаю. Если в лабиринте есть такая дверь, то я поставлю против нее крестик на моей стене, сменю руку и пойду кругом островка. Когда я попаду в эту дверь, то дойду до центра, выйду из него и, снова дойдя до моего крестика, сменю руку во второй раз. Мне кажется, что это получается лабиринт в лабиринте, и, по-моему, такой лабиринт надо называть двойным. Так можно и тройной построить!

- Можно, - спокойно ответствовал Радикс. - Во-первых, эта система внутренних петель и островков может быть довольно сложной, а во-вторых, именно на такого рода усложнениях и основана путаница лабиринта. Ну, что у тебя еще есть? Выкладывай. А к лабиринту мы вернемся еще.

- Еще про этого противного Доктора Узлов. Почему он так называется?

- Начнем с его рожицы, - отвечал Радикс. - Ее линии, как ты заметил, легко можно обойти, пройдя при этом один раз по каждой линии. Такая фигура называется уникурсальной. Вот почему его так зовут.

Правда, это слово - "уникурсальный" - иногда применяется и в другом смысле, но уж этого мы касаться не будем. Уникурсальную фигуру можно начертить, не отнимая пера от бумаги, как говорится - одним росчерком. Конечно, так начертить можно не всякую фигуру. Попробуй, например, начертить фигуру, нарисованную налево.

Попробуй начертить одним росчерком!

У тебя ничего не получится, как бы ты ни старался. Эта фигура не уникурсальная.

- 57 -

- В чем же тут дело? - спросил Илюша. - Как узнать, какая фигура уникурсальная, а какая нет?

- Назовем каждый перекресток нашей фигуры узлом. Если от него отходит четное число путей, то это будет четный узел, а если нечетное - нечетный. Если узел четный, то ты можешь прийти к нему и уйти от него по новому пути. Сколько бы ни было четных узлов, они тебе не помешают.

Нечетный узел.

В каждый из них ты можешь пройти.

Другое дело - нечетный узел. Например, из него три пути...

- Ясно, - подхватил Илюша. - Раз приду и раз уйду - значит, две дороги я уже использовал. А опять приду по третьей - и конец, потому что нехоженых дорог больше нет.

- Совершенно верно, - отвечал терпеливый Радикс. - Ну, а что будет, если ты встретишь два нечетных узла?

- Допустим, что они будут тройные.

- Два нечетных узла? .. - повторил Илюша. - Я сейчас нарисую.

Илюша нарисовал два чертежа.

Один изображал два ромба, соединенных прямой, а другой ромб с одной диагональю (рисунок на стр. 59).

- Ну вот, - сказал он, - две фигуры с двумя нечетными, тройными узлами. Попробую начать с первой. Итак, я выхожу из нечетного узла, то есть из точки А, потом возвращаюсь к нему через В, С и D и выхожу из него опять. Значит, я все его пути уже прошел. Иду по последнему пути, то есть через АЕ во второй узел (в точку Е). Прихожу во второй, выхожу из него по второму пути и через F, G и H возвращаюсь в Е обратно по третьему пути. Значит, выходит так: если у меня два нечетных узла, то я могу из одного прийти в другой, но во втором застряну, и дальше мне уже некуда будет идти...

- Так, - сказал Радикс. - Из этого, я думаю, тебе ясно, что больше двух нечетных узлов в уникурсальной фигуре быть не может, а четных может быть сколько хочешь. Ты можешь нарисовать фигуру с двумя нечетными узлами, а между ними наставить сколько угодно четных. И это будет уникурсальная фигура.

- 58 -

Если есть только одни четные узлы, то ты, обойдя фигуру, вернешься к тому узлу, с которого начал, а если в твоей фигуре есть два нечетных узла, то ты уже вернуться к тому узлу, с которого начал, не можешь, а закончишь путешествие в другом. А теперь изобрази-ка мне схему путей на ордене Уникурсала Уникурсалыча и узлов, в которых эти пути сходятся.

- Как это? - спросил Илюша.

- Ты водишь пальцем по дорожкам и мостам, вот и покажи, по каким линиям ты при этом двигаешься. Поэтому давай изобразим условно оба берега и оба острова точками, а мосты - линиями, соединяющими эти точки.

Илюша начертил фигуру, нарисованную внизу.

- Ну вот, - сказал Радикс. - Это и есть схема путей и перекрестков на ордене Уникурсала Уникурсалыча. Ясно, что вопрос о том, можно ли обойти все мосты, проходя через каждый только один раз, сводится к вопросу, можно ли вычертить эту фигуру непрерывным движением, то есть уникурсальна она или нет.

Илюша начал рассматривать схему, раза два сбился и наконец ответил:

- Тут выходит четыре нечетных узла - А, В, С и D.

- Ну, вот тебе и решение! -усмехнулся Радикс. - Мы с тобой сейчас установили, что в уникурсальной фигуре может быть любое число четных узлов и не более двух нечетных. Если в фигуре есть только четные узлы, то обход фигуры можно начать с любой точки.

- 59 -

Если в фигуре есть два нечетных узла, то нужно начать обход именно с одного из них, а закончить в другом нечетном узле. А теперь представь, что тебе дана очень сложная фигура без нечетных узлов или с двумя нечетными узлами.

Какие основания утверждать, что ты, выйдя из первого нечетного узла, сможешь обойти ее всю, не проходя ни одного пути дважды?

- Если она не состоит из нескольких несвязанных частей, то я, конечно, могу попасть в любую точку, а в четных узлах застрять не могу...

- Таким образом, раньше всего надо сказать, что фигура должна быть связной. А не может ли случиться, что ты, проходя через четные узлы, оставишь в стороне какую-нибудь часть фигуры так, что к ней уже больше нельзя будет добраться, а потом застрянешь во втором нечетном узле и не обойдешь всю фигуру?

- Как же это может случиться? - спросил Илюша.

- А вот, например, если на нашем первом чертеже, где два ромба соединены перемычкой, ты сначала пойдешь не по сторонам одного из ромбов, а по этой перемычке. Однако то же самое может случиться и как-нибудь иначе, если ты незаметно для себя разобщишь две части фигуры и она потеряет связность. Это значит, что свободных, то есть еще не пройденных путей, соединяющих две эти части, уже не останется.

Представь себе, что путь, по которому ты только что прошел, тем самым вычеркнут: ведь второй раз по нему идти нельзя, и, следовательно, он для тебя уже больше не существует.

Вот тебе фигура: если ты пойдешь по пути ABCDEA, то вычеркнешь путь BCDE, а ромб CFDG окажется отрезанным.

- Значит, я шел неправильно. Мне надо было прежде из D попасть не в Е, а обойти сперва ромб DFCG, то есть идти в F или G.

- Это, конечно, верно, но только для данного случая. Вот ты говоришь, что шел неправильно. Но для того, чтобы идти правильно, надо показать, что возможно найти правильный способ обхода и при этом не для какой-нибудь определенной фигуры, а в самом общем виде, то есть для любой заданной фигуры, как бы она ни была сложна. Не забудь, что при этом ты должен будешь рассуждать, не зная ничего об этой фигуре, кроме того, что это фигура связная и что в ней нечетных узлов или совсем нет, или только два. Именно так следует поставить задачу общего математического доказательства.

- 60 -

- Я буду рассуждать так. Раз это фигура связная, то, значит, я имею возможность так или иначе из первого узла попасть в тот, где должно закончиться мое путешествие, то есть либо во второй нечетный узел, либо, если это фигура только с одними четными узлами, вернуться обратно в начальный узел. Чтобы не путаться, я самый простой такой маршрут отмечу красной линией, а остальные оставлю черными. А затем пойду по этой красной линии, но в каждом узле буду останавливаться и проверять, нет ли из него еще черных путей, которые надо обойти раньше, чем отправиться дальше по красному маршруту. Вот это и значит "идти правильно".

- Нет, - ответил Радикс, - это еще не всё. Почему ты так уверен, что можешь обойти каждую из твоих черных фигур?

- Потому что все узлы у них четные. И если в точках, через которые проходят и красные пути, не считать этих красных путей, то для черных путей и эти узлы тоже будут четными...

- Справедливо! Но ведь таким образом мы приходим к той же самой задаче: снова надо доказать, что можно обойти эти фигуры. И вот мы подошли к самому важному пункту нашего рассуждения. Теперь будет не так трудно. Потому, что нам удалось привести задачу об обходе фигуры с некоторым данным числом путей к задаче об обходе фигуры с меньшим числом путей. Понимаешь?

- Понимаю! - воскликнул Илюша. - А эти новые, более простые задачи я опять сведу к таким же, но еще более простым... И так можно каждый раз уменьшать число путей, а ведь нам дано только некоторое определенное число путей...

- Будем говорить - конечное число путей.

- Хорошо. А так как нам дано конечное число путей, то в конце концов все они будут исчерпаны. А следовательно, я доказал, что всякую связную фигуру, у которой нечетных узлов или нет совсем, или их только два, можно обойти непрерывным движением, проходя по каждому пути только один раз, то есть, другими словами, что всякая такая фигура действительно уникурсальна. И при этом я нашел и общее правило такого обхода.

- Попробуй теперь изложить это правило коротко и ясно, то есть сформулировать его.

- 61 -

- Мы начинаем наше путешествие в одном из нечетных узлов, а если их нет, то в каком угодно. Потом наметим какой-нибудь маршрут, который вернет нас в начальный узел или в случае двух нечетных узлов приведет во второй нечетный узел. Затем идем в обход, погашая в каждом узле тем же способом все те черные закоулки, которые не вошли в наш маршрут. Вот и всё.

- Хорошо, - отвечал Радикс. - А как ты полагаешь, надо ли заранее намечать маршрут или можно обойтись и без этого?

- Мне кажется, - начал Илюша, - что нельзя только упускать из виду того, что путь следует выбрать так, чтобы не нарушить связность фигуры. То есть я могу, например, при первой встрече с черным закоулком не обращать на него внимания, но надо обязательно обойти его из того узла, в котором я должен с ним расстаться. На чертеже (стр. 60) вот что получается: я могу пройти мимо черного закоулка - ромба CFGD, когда я дойду до узла С, но нельзя этого делать, когда я буду в узле D. Ну, разумеется, я говорю о том случае, когда мы двигаемся по направлению от В к Е.

- Так, - благосклонно отвечал Радикс, - все это верно.

И, в общем, ты рассуждал довольно мило. Ну, а теперь уж тебе не так трудно будет доказать и еще один пункт, а именно: что всякое путешествие по уникурсальной фигуре, при котором ты, проходя через пути, не нарушаешь связности, приведет тебя к цели. Постарайся теперь это сформулировать?

- По-моему, это уже совсем просто. Мы идем вперед, не нарушая связности. Число путей у нас все время в силу этого уменьшается. Ясно, что в конце концов мы обойдем все пути.

- Точно, правильно, прекрасно! - задумчиво пробормотал Радикс. - А теперь вот что: дана фигура с несколькими нечетными узлами, и если их больше чем два, то она не уникурсальна.

Возникает вопрос: сколько надо сделать в таком случае обходов? Вот тебе фигура с четырьмя нечетными узлами.

Фигура с четырьмя нечетными узлами.

Рассмотри, сколько надо сделать обходов. Ты увидишь, что обходов надо столько, сколько пар нечетных узлов имеется в фигуре. Это вполне естественно. Вот тебе еще задачка. Возьмем твой первый чертеж - два ромба, соединенных прямой (эту соединительную прямую в фигуре мы называем мостом).

Теперь разорвем наш мост посредине. Подумай над таким вопросом: давай заполним разрыв моста какой-нибудь фигурой, то есть вставим в уникурсальную фигуру с двумя нечетными узлами еще одну связную фигуру, и разберемся, какую фигуру и как можно вставить.

- 62 -

Только с четными узлами или с двумя нечетными (стр. 65)? Это особенная геометрия. Она называется геометрия положения или топология. Вот тебе, кстати, прекрасная фигурка. Попробуй нарисовать ее одним росчерком. Ее придумал когда-то геометр Листинг.

- Так, значит, - сказал Илюша, - на свете есть не одна геометрия? Не только та, которую мы учим в школе?

- Далеко не одна.

- А почему этот ваш командор еще и Кандидат Тупиковых Наук? Что это за науки?

- Ну, в лабиринте ты видел немало тупиков. Это они самые.

- А почему он Магистр Деревьев?

- Если из твоего первого чертежа с двумя ромбами я уберу мост, система путей потеряет связность, будет опять два отдельных ромба - и все. Линию, которая соединяет два узла, мы называем путем, а если путь имеет то свойство, что при удалении его система теряет связность и распадается, то мы такой путь и называем мостом. Может существовать система, состоящая только из тупиков и мостов.

Фигура Листинга.

- 63 -

Такая система называется деревом. В ней ни одного пути, который можно было бы удалить без того, чтобы система не распалась. Ну, а теперь давай подумаем, нет ли чего-нибудь общего между двумя такими задачами: нарисовать уникурсальную фигуру одним росчерком и обойти лабиринт, у которого только один вход. Ты, я думаю, понимаешь, что любой лабиринт можно считать лабиринтом с одним входом, потому что всякий лабиринт мы всегда можем "обнести" еще одним "забором".

- Уж не знаю, - вымолвил не сразу Илюша. - Правда, быть может, если начертить план лабиринта не так, как мы его чертили до сих пор, а изображать линиями не стенки, а самые пути, как раз и получится такая фигура, которую нужно обойти или начертить...

- Постой, постой минуточку! - прервал Радикс его рассуждения. - А как ты полагаешь, нужно ли в таком случае вычерчивать точный план путей?

- Я должен быть точен в том смысле, чтобы на плане было то число перекрестков, какое есть на самом деле, и то же самое относительно путей между ними. А как именно я нарисую самые пути - это неважно, лишь бы не спутаться, куда какой из них ведет.

- Правильно, - резюмировал его собеседник. - Следовательно, вообще можно сказать, что ты интересуешься топологической схемой путей. Если ты представишь себе, что линии путей изображены нитками, которые связаны в узлах-перекрестках, то можешь как угодно деформировать, или видоизменять, "сетку путей" - топологическая схема останется неизменной.

- 64 -

Ты только не должен рвать нитки, развязывать узлы или завязывать новые. Ну, а как же все-таки начертить такую фигуру?

В фигуру вставлен еще один ромб.

А теперь ромб вставлен по-другому.

- А вот тут, - признался Илюша, - я затрудняюсь: ведь в лабиринте может быть сколько хочешь всяких тройных и вообще нечетных перекрестков, то есть узлов... Как же с этим быть?

- Вот то-то и дело! - отвечал Радикс. - Это значит, что далеко не все лабиринты можно обойти, если ты решишь идти по каждому коридору только один раз. Но ведь это совсем не обязательно...

- Ну конечно! - радостно воскликнул Илюша. - Это как с моим тупиком, то есть я должен пройти именно по два раза по каждому коридору. Значит, и на чертеже лучше всего изобразить каждый коридор двумя линиями. А после этого все нечетные узлы станут четными, потому что они удвоятся: тройной, например, станет шестерным и так далее. И весь план лабиринта превратится в фигуру, у которой есть только одни четные узлы. А такую фигуру, как мы уже доказали, можно нарисовать одним росчерком.

Стало быть, всякий лабиринт можно обойти, проходя два раза по каждому из его коридоров. Вот это действительно замечательное доказательство!

- Нет сомнений, что это действительно доказательство, по только это еще не решение задачи лабиринта. И вот почему. Когда ты чертишь фигуру, тебе необходимо видеть ее всю, а иначе нельзя установить, правильно ли ты идешь и сохраняешь ли все время ее связность.

- 65 -

В лабиринте совсем иное дело: там плана нет и ты не знаешь, каков он в целом, а значит, надо придумать такое правило для его обхода, которое дало бы возможность обойти любой лабиринт, не зная заранее, каковы его нескончаемые коридоры.

- Да, это правда, - согласился Илюша. - Только как?

- Ты что-то толковал насчет правила правой руки? - услышал он в ответ. - А теперь что ты о нем скажешь?

- Когда мне пришло в голову это правило, я думал о тупике, у которого имеются разветвления, а они, в свою очередь, тоже тупики. Если лабиринт построен по этому правилу, то я, конечно, обойдя два раза каждый коридор, обойду весь лабиринт, если нет петель. А если есть петли, то все, что приходится внутри петли, я могу пропустить.

- А что такое "петля", как ее можно обнаружить на схеме путей лабиринта, о которой мы только что говорили?

- Это на схеме будет замкнутый путь, кольцо, то есть круговой маршрут внутри лабиринта. Если я попал на такой маршрут, то могу вернуться к тому месту, где вступил на него с другой уже стороны, причем я приду туда по еще нехоженому пути. В тупиковом лабиринте таких замкнутых маршрутов нет.

- Правильно. Мы можем даже это свойство - отсутствие петель - принять за определение того, что такое тупиковый лабиринт. Теперь от простого случая попробуем перейти к более сложному. Скажи-ка, нельзя ли превратить какой-нибудь лабиринт с петлями в тупиковый и как это сделать?

- Если бы я был строителем этого лабиринта, то отметил бы все петли и перегородил их, чтобы нельзя было больше пройти по ним кругом.

- Превосходно. Ну вот и расскажи мне подробно, как бы ты на месте строителя лабиринта все это сделал.

- Раньше всего, конечно, я бы достал план лабиринта и на нем начертил бы дорогу, начиная от входа и все дальше в глубь лабиринта. Каждый раз у кольцевого маршрута отмечал бы, что здесь ставлю перегородку... Ну, где бы ее поставить? Поставим в том конце кольцевого коридора, где он выводит опять к моим старым следам. Если так сделать, каждая петля станет тупиком, стало быть, я пройду ее всю, дойду до перегородки, поверну обратно, выйду из этого нового тупика и пойду дальше по основной дороге. Да буду посматривать, не набреду ли еще на петлю, которую надо перегородить. Когда я пройду таким образом на плане весь лабиринт...

- А уверен ты в том, что пройдешь таким образом действительно весь лабиринт?

- 66 -

- Кажется, уверен, - отвечал Илюша, размышляя. - Да, разумеется, пройду весь лабиринт и даже дважды, потому что я ведь представляю себе лабиринт в виде хитро завинтившегося тупика с рядом петель. Но если лабиринт представляет собой тупик, то нет сомнений, что я его пройду дважды: один раз двигаясь в глубь тупиковых коридоров, а другой - возвращаясь из них обратно. Каждую петлю я превращаю перегородкой тоже в тупик, а следовательно, каждую петлю тоже обойду дважды. Так что у меня нет сомнении в том, что обойду весь лабиринт и пройду его два раза - туда и обратно.

Ошибиться можно только в том случае, если я пропущу какой-нибудь коридор, что может нарушить связность. Если этого не случится, то я обойду эту самую уникурсальную фигуру двойных путей.

- Молодец! - одобрительно пробурчал Радикс. - Теперь мы подошли к концу наших рассуждений. Подумай: нельзя ли обойтись без плана и ничего не замуровывать? Скажи, пожалуйста, знаешь ли ты древнегреческий миф о Тезее, Ариадне и страшном Минотавре?

- Как будто знаю.

- А ну-ка расскажи мне.

- В то древнее время на острове Крит царствовал жестокий царь Минос. И вот он обложил Афинское царство ужасной данью: афиняне должны были каждый год отправлять Миносу в дар семерых юношей и семерых девушек. А коварный Минос посылал их в лабиринт на съедение чудовищу Минотавру - получеловеку-полубыку. В Афинах тогда царствовал Эгей, и вот его сын Тезей, когда подрос, попросил отца отправить его на остров Крит, к Миносу, в числе семерых несчастных юношей, чтобы положить конец этой ужасной дани критскому царю. Эгей долго колебался, но потом решил исполнить просьбу своего воинственного сына. Тезей поехал на Крит, там его полюбила царевна Ариадна и дала ему путеводную нить. Тезей сразился с Минотавром, убил его своей булавой и вышел из лабиринта. А затем он уехал с острова Крит вместе с Ариадной.