Схолия Пяmнадцamая,

Схолия Пяmнадцamая,

где продолжается беседа о судьбах древней математики, которая, как выясняется, долгое время жила на положении рабыни у жестоких восточных деспотов, выполняя под их свирепым надзором всякую черную работу, пока наконец хитроумный греческий мореход с железным копьем, на котором было высечено слово "ОТЧЕГО?" с громадным вопросительным знаком, не похитил ее и не привез под лазурное небо Эллады, где она и обрела наконец свою истинную родину. Затем Илюша постепенно узнаёт все более серьезные и удивительные вещи: о том, например, как греческий философ Демокрит придумал способ для определения объема конуса, и как этот способ стал развиваться в работах Архимеда, и как впоследствии из всех этих удивительных событий вырос тот самый Великий Змий, с грозной тенью которого Илюша имел честь встретиться в Схолии Второй.

Все уселись в кружок, и Коникос начал так:

- Математика пришла в Грецию от древних восточных цивилизаций - Шумера, Вавилона, Египта. Зародилась она очень давно. Уже к концу четвертого тысячелетия у шумеров - это было на землях теперешнего Ирака - были сделаны первые основательные шаги. У шумеров, а также у их преемников - вавилонян уже было накоплено довольно много знаний. Это было связано, во-первых, со взиманием налогов, во-вторых, с различного рода расчетами при постройках.

- 301 -

Таким образом, из дошедших до нас документов - преимущественно обожженных глиняных плиток-таблеток, на которых перед обжигом наносились знаки, - большинство относится к развитой государственной жизни, когда необходимо учитывать урожай, сбор шерсти, рассчитать, как построить плотину, мост, сколько потребуется народу, чтобы возвести то или иное сооружение, и так далее. Многие таблички представляли собой учебники для школ будущих чиновников, которые и должны были уметь делать все эти вычисления. Составлялись таблицы для облегчения расчетов. Важное значение имела и астрономия, в основном как служба календаря, определявшая сроки сельскохозяйственных работ.

- А как все это узнали? - спросил Илья.

- Глиняные таблетки, - продолжал Коникос, - которые находят археологи при раскопках, - материал прочный, под землей могут пролежать тысячи лет, огня не боятся. В восточных царствах было накоплено, по-видимому, много практических знаний. Существовала ли в то время теоретическая математика, сказать трудно, но что какие-то начатки теории уже были, в этом, по-видимому, нельзя сомневаться. Среди Вавилонских таблеток можно встретить чертежи правильных многоугольников, причем вычисляются их площади, встречаются приближенные определения квадратного корня из двух, находится приближенная квадратура круга, существуют способы определения довольно сложных объемов, решаются квадратные уравнения и многое другое. Трудно сказать, осмыслено ли все это было теоретически. Но все же приходишь к мысли, что кое-что делалось... Никакой хозяйственной необходимости, например, вычислять площадь круга в то время не было. Однако в учебниках есть задачи на вычисление: сколько семян надо, чтобы засеять круглое поле? Хотя круглых полей делать никто не станет. Греческие философы передают, что в египетских храмах в течение тысячелетий хранились записи всего нужного и интересного. Там имелись и астрономические наблюдения, и очень трудно допустить, чтобы при всем этом можно было бы обойтись совсем без научных работ.

Практика больших сооружений в странах с искусственным орошением и с постоянными работами по усмирению больших рек могла поставить трудные задачи.

- Интересны эти задачи на вычисление насчет круглого поля! - заметил Илюша.

- Конечно, интересно! - откликнулся Асимптотос. - Крупные ученые-историки приходят к заключению, что у вавилонян неизбежно должно было возникнуть что-то вроде нашего доказательства, когда сложное решение вопроса опирается на целую цепь более простых соображений. Конечно, вряд ли им приходило в голову интересоваться, как достигается тот или иной теоретический вывод, но им уже нельзя было обойтись без того, чтобы не пользоваться им.

- 302 -

- Когда все это было?

- У шумеров, - отвечал Коникос, - примерно в третьем тысячелетии до нашей эры, но там о теории, наверно, еще и слуху не было, а во втором и первом тысячелетиях до нашей эры процветал Вавилон, особенно в первой половине первого тысячелетия до нашей эры. Древняя Греция оказалась наследницей всего этого научного богатства.

- А как бы в общем сказать про эту древневосточную науку? - задумался Илюша.

- Пожалуй, - заметил Асимптотос, - верней всего было бы сказать, что это была наука писцов, чиновников, казенных канцелярий. Постепенно там родился интерес и к самому искусству вычисления, а из него мало-помалу выросла и алгебра в виде первых решений квадратных уравнений. Причем пока еще никто не мог найти ни одной практической задачи на Древнем Востоке, для которой было бы необходимо решение квадратного уравнения. Поэтому историки и считают, что это решение искали не для практики, а именно из чисто научного интереса. Наука Вавилона, видимо, была выше египетской.

Одним из замечательных достижений шумеро-вавилонских ученых было построение позиционной системы счисления.

Она, правда, была не такая, как наша общепринятая десятеричная, а была шестидесятеричная. Она еще и у нас осталась в делении окружности на триста шестьдесят градусов, час мы делим на шестьдесят минут, а минуту на шестьдесят секунд.

- Какая живучая система! - усмехнулся Радикс.

- Историки считают, - продолжал Коникос, - что изобретение позиционной, или поместной, системы настолько важно было для культурного развития человека, что это можно вполне сравнить с изобретением письменности. Вавилоняне знали теорему Пифагора - и не только для отдельных случаев, по и вообще. На одной вавилонской таблетке дано численное значение корня квадратного из двух, правильное до шестого десятичного знака[22]. Конечно, корень из двух, позволяющий увеличивать данную площадь вдвое, необходим в строительном деле. Но с такой точностью он ни одному столяру или каменотесу совсем не требуется. В деле строительства вполне можно было бы удовлетвориться двумя знаками, а впрочем, можно даже взять расчеты и погрубее.

- 303 -

- А помнишь ли ты, - спросил Радикс мальчика, - как с помощью корня из двух удваивается данная площадь?

- Еще бы! Если дан квадрат, а сторона равна единице, то диагональ по теореме Пифагора будет равна корню из двух. Вот и удвоение площади! Умножил сторону на этот корень и получил сторону квадрата с двойной площадью.

- Хорошо! Знаешь твердо.

Площадь квадрата, построенного на диагонали другого, вдвое больше площади последнего.

Учись, не отставай, и все будет в порядке. А мы всегда к твоим услугам.

- Вот что еще мы можем рассказать тебе о Древнем Востоке, - добавил Коникос. - Примерно в начале первого тысячелетия нашей эры вокруг Средиземного моря происходят огромные перемены. К морским берегам из глубины континентов приходят новые люди. Бронзовые мечи и топоры заменяются железными, гораздо более удобными и дешевыми. Несколько столетий подряд на берегах Средиземного моря и его островах бушуют непрерывные битвы. Падает под ударами врага мощное Критское царство, которое было тоже центром культуры бронзового века. Впрочем, теперь археологи склоняются к мысли, что Критская островная культура могла погибнуть почтя внезапно из-за грандиозного извержения вулкана неподалеку, страшного землетрясения и всеразрушающих морских волн, которые называются цунами (они достигают огромной высоты и все уничтожают на своем пути, неожиданно обрушиваясь на сушу, а потом с той же силой стекая обратно в море).

А затем под натиском "людей с моря" слабеет Египет.

В Греции начинается новая культура, появляются мореплаватели, купцы, градостроители - люди, пользующиеся большой свободой по сравнению с вавилонянами и египтянами.

Греческий город, а не дворец деспота становится хозяином нового мира. Восток пробует подчинить новую культуру - персидские полчища идут на греков и терпят неудачу. 11 вот в этом мире, где наука освободилась от религии, расцветает Площадь квадрата, построенного на диагонали другого, вдвое больше площади последнего.

- 304 -

10 новая мысль, жадно впитывающая все, что было создано на Востоке, и перерабатывающая все это древнейшее наследие.

Однако все же на территории Вавилона, несмотря на смены народов, научные труды и интересы сохраняются еще долгое время. Греческая культура была основана на труде рабов, которых приводили в страну в качестве военнопленных греческие воины. Тем не менее эта новая цивилизация создала нового любознательного человека, которого интересовали многие вопросы, особенно астрономия, а за ней математика, которая развивалась рядом с учением о правильном размышлении - логикой.

- Ну, разбираешься ли ты в том, что слышишь? - спросил Радикс.

- Кажется, разбираюсь. А если я в чем-нибудь запутаюсь, я потом спрошу тебя.

- Надо помнить, что новый мир Древней Греции, - взял слово Радикс, - породил людей, которые благодаря своему приволью и богатству занимались наукой не только по необходимости хозяйственной, а независимо от этого, ради желания проникнуть в суть научного рассуждения, в существо решения трудных задач. А затем греческие ученые постепенно стали переходить и к новым задачам, которых древневосточный мир либо не ставил, либо не придавал им особого значения.

- Вот мы вспоминали об удвоении площади, - добавил Коникос, - тут нужен корень из двух. В этом случае всего проще взять самое грубое приближение, то есть дробь 7/5, которая иначе 1,4, то есть корень из двух с точностью до первого десятичного знака. Если 7/5 возвести в квадрат, получается 49/25, или 1,96, то есть двойка с ошибкой на четыре сотых. Для плотника это отлично. Но греки на этом не хотели останавливаться и стали изучать теорему Пифагора (которую прекрасно знали и на Востоке) и вскоре открыли, что вся трудность не в вычислении, а в том, что корень из двух совсем необычное число, которое очень легко построить геометрически...

- А как его построить? - еще раз спросил Радикс, обращаясь к Илюше.

- Так это будет диагональ единичного квадрата, о котором мы только что говорили! - не задумываясь воскликнул Илья и посмотрел на Радикса.

- Молодец! - похвалил Асимптотос. - Признаться, не ожидал от тебя такой прыти!

- 305 -

- ... очень легко построить, - продолжал Коникос, - но невозможно точно вычислить. Вот тогда открыли иррациональные числа, а затем придумали особенное построение, при помощи которого эту величину можно вычислить с любой степенью точности[23]. Одно открытие привело к другому.

- Значит, это было замечательное открытие!

- Конечно! Наука стала объяснять законы счета, проникать во все своеобразие этих законов. Халдей говорил: "Делай так, потому что иначе ничего не выйдет!" А грек говорил:

"Рассудок учит, что, делая вот так, ты следуешь законам мира чисел, а поступая иначе, ты эти законы безрассудно нарушаешь, поэтому-то ты в последнем случае и расплачиваешься ошибкой!"

- Но ведь халдей даже не знал об этих законах? - спросил Илюша.

- Действительно, не знал, вернее, не догадывался. Да ведь и греки не сразу догадались...

- Но зачем же древневосточным ученым нужен был корень квадратный из двух с такой точностью, которая на практике была им не нужна? - спросил Илюша.

- Прямо ответить на этот вопрос невозможно, - сказал Коникос, - но уж раз мы знаем, что такие весьма точные вычисления существовали, мы убеждаемся в том, что либо это делалось просто из научной любознательности, либо это были упражнения для учеников. Но и в том и другом случае это все-таки очень похоже на то, что мы теперь называем наукой.

Возможно, что некоторые вопросы, вроде теории квадратного уравнения, изучались преимущественно на числовых решениях. Может быть, это не самый лучший способ анализа, но и он давал некоторые результаты. Квадратное уравнение вавилоняне решали просто: находили два числа по их сумме и произведению... Что ты на это скажешь?

- На основании формул Виета как раз выходит квадратное уравнение:

х2 + рх + q = 0.

Сумма его корней равна р с обратным знаком, а их произведение = q.

- Вавилонянин решал задачу так: либо эти искомые величины (корни) равны между собой, либо нет. Если нет, то между ними есть некая разность z. Тогда можно написать, что

x₁ = -p/2 + z; x₂ = -p/2 -z, где z = 1/2(x₁ - x₂).

- 306 -

Затем во второе уравнение x1 • x2 = q подставляем эти значения корней и приходим к известной формуле квадратного уравнения, что нетрудно проверить.

AB = a; BD = 2a; CB = a?2

Илюша немного повозился с расчетами, выяснил, что получается, а затем сказал:

- Но ведь ученый халдеи не знал формул Виета?

- Формул, конечно, он не знал, но самый факт определенных взаимоотношений между исходными данными такой задачи и ее решением не мог быть для него тайной, потому что тогда он не сумел бы так решить задачу. Формулировать это еще не умели и не понимали, может быть, сколь это полезно, но факт был известен. Догадываешься, в чем тут разница?

- Как будто... то есть, как вы говорите, не знали, почему?

- Вот именно, - подтвердил Радикс. - Удвоить квадрат оказалось довольно просто, а основное правило решения выясняется при помощи теоремы Пифагора. Если сторона квадрата равна а, то мы узнаем х из пропорции:

Ты, наверно, помнишь, как геометрически производится построение средней пропорциональной?

- Конечно! - отвечал мальчик. - Это мы по геометрии проходили. Откладываешь на прямой отрезки, равные а и 2а, и на их сумме, то есть на 3а, строишь полуокружность, радиус которой равен 1,5а. А теперь, если АВ будет отрезок а и 2а отрезок BD, то из точки В ты восстанавливаешь перпендикуляр до пересечения с окружностью - это и будет искомая средняя пропорциональная. Доказать, что это так, нетрудно. Теорема Пифагора все тут объясняет.

- Хорошо. Таким образом, тебе, следовательно, ясно, что, применяя это несложное построение, для которого ты пользуешься двумя известными тебе по своим свойствам геометрическими местами, то есть прямой и окружностью - иначе сказать, линейкой и циркулем, - ты получишь совершенно точно искомую величину. Но затем стал вопрос об удвоении объема.

- 307 -

Тут нужен не квадратный, а кубический корень из двух. Конечно, и для него не так уж трудно найти грубое приближение, вроде дроби 29/23, потому что, если эту дробь возвести в куб, получится 24389/12167 что Равно 2,0045, то есть двойка с ошибкой меньше пяти тысячных. Опять для целей строительства - прекрасное приближение! Но и в этом вопросе, который оброс в Древней Греции разными легендами и широко обсуждался, древнегреческий ученый действует по-особому. И для куба Гиппократ Хиосский вводит в пропорцию еще одну величину, у, причем он допускает, что между х и у соблюдается то же соотношение, что и между а и х. Строится пропорция

а : х = х : у = у : b,

откуда

x² = ay; y² = xb; x⁴ = a²y² = a²xb;

Положив теперь b = 2а, мы и получаем искомое решение:

х³ = 2а³

- А тут я чего-то, наверно, не понимаю, - признался Илья. - Зачем же Гиппократу понадобились все эти сложности[24] с его пропорцией? Ведь то, что ты называешь решением, то есть равенство х³ = 2а³, можно прямо написать из условий задачи. Для чего здесь нужна была эта длинная пропорция?

- Видишь ли, чтобы сообразить, зачем Гиппократу понадобилась эта сложная пропорция, надо вспомнить, что греки не располагали современной символикой. Это ты теперь можешь написать сразу:

а у греков пропорция была единственным способом для построения кратных соотношений между величинами. Следы этого громоздкого пропорционального подхода к подобным вопросам можно заметить вплоть до семнадцатого века вашей эры. Гиппократ придумал нужную пропорцию, и заслуга его в том, что он формулировал решение задачи, то есть он "составил уравнение", которое должен был далее решить геометрически, построением. Но Гиппократу это все-таки не удалось.

- 308 -

Он только указал общий принцип решения. Решили эту задачу другие греческие математики, в том числе Менехм, ученый, который много занимался коническими сечениями (так что три эти сечения даже назывались в его честь "триадой Менехма"). Это решение представляет собой нечто более сложное, нежели известное тебе построение средней пропорциональной. Искомый отрезок х строится при помощи двух пересекающихся парабол, поскольку парабола имеет близкое отношение к средним пропорциональным.

Построение Менехма.

Параболы: х² = аy; y² = аx;

Ищется средняя пропорциональная между a и 2a.

Впрочем, другие математики древности дали иные решения, не менее остроумные, и подошли впервые к решению кубического уравнения. Рассказ об этой задаче очень популярен среди ученых Возрождения, и для нас интереснее всего то, что принцип Гиппократа и всех, кто шел по его пути, представляет собой не только решение одной-единственной задачи, а является решением определенного типа задач на две средние пропорциональные. Этот вывод уже греческий.

- Это справедливо, - заметил Асимптотос, - но вот что еще можно отметить. Греческая разработка древневосточной науки привела постепенно греков к убеждению, что геометрия покоится на некоторых общих положениях, из которых путем ясного, простого и последовательного рассуждения можно вывести все важнейшие теоремы. Самые размышления стали глубже и проще: вместо того, чтобы покоряться неведомым силам природы, человек стал доискиваться их причин и мало-помалу пришел к заключению, что мировой порядок может быть изложен при помощи вычислений, то есть математически.

Разумеется, успехи вавилонских вычислителей-астрономов очень помогли этому. В Греции возникла пифагорейская школа мыслителей, которая учила, что все на свете определяется числом, причем целым. Значение этой школы в том, что она утверждала; мировой порядок есть нечто от человека не зависящее, что законы природы представляют собой не просто что-то таинственное, но нечто сложное, однако постижимое для человека. И вот при разработке этого учения древние мыслители столкнулись с явлением, которого не знал Древний Восток, - с иррациональностью, которая никакими числами точно выражена быть не может. Это открытие разрушило веру в целое число, а с другой стороны, показало, что геометрия в некотором смысле сильнее арифметики, ибо построить корень из двух нетрудно, а вычислить невозможно.

- 309 -

- Значит, - решил Илья, - это и было одним из завоеваний новой науки?

- Конечно! - ответил Радикс. - Иногда оно выражалось очень странно. Например, утверждали, что геометрия великая наука, а простой счет, которым люди пользуются на базаре, - нечто жалкое и убогое...

- Теперь понять это нетрудно, а тогда... - продолжал Коникос. - Греки постепенно создали такую геометрическую алгебру, где при помощи построений решались довольно сложные задачи. Причем весь ход решения, все рассуждения от начала до конца можно было проследить, обдумать и провести с точки зрения логики точно и ясно. Ясное размышление и точное доказательство - вот драгоценный вклад Древней Греции в математику.

- Но ведь все нельзя точно доказать? - усомнился Илюша. - Многое люди делают и без доказательства.

- Конечно! - подтвердил Коникос. - Мы и говорили о том, как целые поколения простых тружеников, ремесленников, со временем совершенствуя свое мастерство, добиваются замечательных успехов. А осмыслить эти достижения очень трудно. Догадка - великое дело! И обычно она идет впереди рассуждения. На опыте не только человека, но даже насекомого - пчелы, мы видим, что за миллионы лет пчелиное искусство строить соты приобретает такие качества, которые только и можно выразить математически: соты при наименьшем количестве израсходованного материала (воска) обладают наибольшей вместимостью. И это обстоятельство не осталось у греков незамеченным. Но преимущество человека перед пчелой то, что он не только может учить своего преемника на живом примере, но может еще кое-что объяснить и записать...

- Все это очень интересно! Расскажите, пожалуйста, еще про Древнюю Грецию, - попросил Илюша.

- Новый мир Древней Греции, - продолжал Коникос, - был уже в полном своем расцвете. Замечательное различие между людьми из восточных стран, где царили неумолимые деспоты, и людьми нового мира, греками, заключалось в том, что раб деспота умел только исполнять повеления, тогда как в греческом, более свободном государстве, человек научился рассуждать, опираясь не просто на приказы, а на подлинные законы общежительного мира, которые, в свою очередь, состояли из законов природы и великих достижений человеческого труда и опыта. Греки заимствовали у своих соседей ряд важных социально-экономических нововведений: у одних они заимствовали простую и удобную азбуку, у других - чеканную монету, что в результате очень облегчило торговые связи, а вскоре восточные царства пали под натиском греческого оружия.

- 310 -

Вспомни-ка походы Александра! А затем в новом богатом эллинистическом мире, где смешались древневосточная культура и греческая городская цивилизация, произошли и новые математические открытия. Великий философ Древней Греции Аристотель, основатель научной логики, учил, что геометрия занимается вещами недвижимыми, если не считать того, что двигается по небу, то есть тела небесные. Но вскоре понятие движение вошло и в геометрию. Аристотель в свое время учил, что точка "не может двигаться", что она есть пересечение двух прямых, подобно тому, как прямая - пересечение двух плоскостей, а плоскость - граница объема. Но пришло время новых задач, более трудных, и они потребовали ввести в геометрию движение.

- Вообще, - добавил Радикс, - в древности, а также и в средневековье полагали, что геометрия строится путем чистого рассуждения и как бы независимо от опыта, что, разумеется, неправильно. Отсюда делался необоснованный вывод, что такого рода наука в некотором смысле выше наук опытных, так как опыт, дескать, может и обмануть. Греческий философ и математик Платон утверждал, что геометрия "разрушается", если мы "низводим ее к чувственному миру", то есть к миру опыта, вместо того чтобы "насыщать ее невещественными и мысленными образами", то есть плодами чистого рассуждения и размышления. Отчасти это было полезно тем, что люди научились рассуждать абстрактно, а в этом был, конечно, свой смысл. Наконец греки столкнулись с задачами, к которым с помощью таких рассуждении подойти было невозможно.

И тогда-то в геометрические задачи и вторглось нечто совершенно новое, а именно движение.

- А что же тут такого? - спросил Илюша. - Почему же нельзя рассуждать о движении в математике? Разве это так сложно?

- Спустя много веков после того, как греки впервые подумали об этом, конечно, вопрос этот кажется совершенно несложным. А в то время это было не так-то просто. Геометрия Востока учила главным образом вычислять площади. Греки сами немало потрудились над определением объемов. Но вое это касалось свойств некоторых неподвижных и вполне определенных тел и фигур. Когда же дело коснулось линий, порожденных движением, то возникло немало споров о том, что такое движение, можно ли говорить о нем с той же строгостью и точностью, с какой мы говорим о геометрических соотношениях. И были такие философы, которые утверждали, что говорить о движении вообще невозможно, что это понятие разрушает всю человеческую логику.

- 311 -

- Как странно это! - сказал Илюша. - Впрочем, мне вспоминаются стихи Пушкина:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый,

Другой смолчал и стал пред ним ходить.

Сильнее бы не мог он возразить;

Хвалили все ответ замысловатый.

Но, господа, забавный случай сей

Другой пример на память мне приводит:

Ведь каждый день пред нами солнце ходит,

Однако ж прав упрямый Галилей.

Но что же такого в движении, что оно казалось таким неопределенным?

- При рассмотрении движения древние мыслители сталкивались с большим для них затруднением, которое представляло тогда понятие непрерывности, ибо для понимания движения следовало представить себе, что движущееся тело проходит через бесконечное множество промежуточных положений. Вспомни рассказ про Ахиллеса и черепаху из Схолии Двенадцатой.

- Как же они применили движение в геометрии? - спросил Илюша.

- Ну вот, - сказал Асимптотос, - посмотри, как решил задачу о трисекции угла греческий математик Гиппий Элидекий, современник Сократа, в пятом веке до вашей эры. Возьмем квадрат ABCD. Радиусом АЕ, равным стороне квадрата, проведем четверть окружности BED.

Приведем теперь радиус АЕ в совпадение со стороной АВ и будем поворачивать его по движению часовой стрелки по направлению к стороне AD. В то же время будем перемещать сторону ВС вниз параллельно ей самой так, чтобы это перемещение шло равномерно, согласованно с движением радиуса.

- Не понимаю, - сказал Илюша. - В каком смысле согласованно?

Сторона ВС опускается вниз; радиус АЕ поворачивается вокруг точки А по часовой стрелке. Кривая BFG называется квадратрисой. Она есть геометрическое место точек пересечения двигающихся линий ВС и АЕ. АВ = ВС = АЕ.

- 312 -

- В таком, что обе линии начинают двигаться в один момент, а затем в один и тот же момент сливаются с линией AD.

Квадратриса делит угол на три части.

Если они будут двигаться именно так, то когда линия ВС пройдет половину стороны АВ, радиус АЕ пройдет половину угла BAD. Следовательно, если линия ВС пройдет четверть своего пути, то и радиус АЕ пройдет четверть прямого угла, и так далее. Будем теперь отмечать точки пересечения радиуса АЕ и стороны ВС. Геометрическим местом этих точек пересечения будет кривая BFG, намеченная пунктиром. Очевидно, что мы можем получить любое число таких точек, то есть построить всю кривую BFG. Когда же это сделано, нам достаточно разделить сторону CD на любое число равных частей, чтобы разделить угол на то же число частей. Если я разделю сторону CD на три части, как показано на этой странице, и проведу через точки II и I линии, параллельные стороне ВС, то точки пересечения этих прямых НК и IL с кривой BF1F2G, то есть точки F1 и F2, достаточно соединить прямыми с точкой А, чтобы разделить угол BAD на три части. И подобным же образом можно поступить не только с прямым, но и с любым углом и с любыми его частями, то есть разделить любой угол на любое число частей. Видишь, как все это просто и как остроумно решено.

- Да! - сказал Илюша. - Правда, очень просто! А что же это за кривая?

- Кривая эта называется квадратрисой. Это гораздо более хитрая кривая, чем те, с которыми древние геометры имели дело до нее. Следовательно, древним для решения этой задачи пришлось изобрести новую кривую. Именно это решение и вводит в ход рассуждения движущиеся линии, тогда как раньше речь шла только о соотношениях неподвижных линий. Говорят, философы были недовольны и считали, что это решение не геометрическое, а механическое. Но опыт показывал, что решение получается скоро и просто.

- 313 -

- Вот, значит, - добавил Асимптотос, - и выходит, что, заставив точку непрерывно двигаться и, полагая, что она, двигаясь, может начертить кривую, мы и получаем несложное средство для деления угла на любые части. Только в дальнейшем выяснилось, что сама эта кривая значительно сложнее и окружности и параболы. Но тем не менее был найден новый способ для решения задач. Это одна из так называемых "механических кривых" древности. "Механической" она называлась потому, что ее тогда невозможно было обосновать теоретически из геометрических соображений. И как ни странно, ни одна из таких "механических" кривых не повлияла непосредственно на развитие древней науки. Они стали приносить пользу только уже во времена Ньютона. Древняя математика еще не в силах была осмыслить их. Догадаться, как надо сделать, смогли, а рассудить почему - не сумели. Поэтому и философы ворчали и говорили, что это "не настоящая" геометрия.

- Однако имей в виду, - заметил Радикс, - что в руках Архимеда этот способ чертить кривые при помощи движущейся точки дал необыкновенный результат.

- Какой?

- Ты, наверно, знаешь, что такое граммофонная пластинка?

- Еще бы! - отвечал Илья не без удивления. - У нас их очень много.

- Очень хорошо - одобрил Радикс. - А теперь скажи, пожалуйста, какую кривую описывает иголка звукоснимателя, когда она бежит по бороздке пластинки?

- Папа говорит, что это спираль...

- Верно. Так эту самую спираль и нашел Архимед. Она так и называется "спираль Архимеда". Точка чертит спираль.

- А как она чертит? Я понимаю, как иголка бежит по пластинке. Но как это получается с точкой?

- В проигрывателе пластинка вращается. Но в нашем опыте мы ее оставим неподвижной, а в центре укрепим отрезок прямой и, пользуясь нашими волшебными возможностями, прикажем отрезку: вращайся вокруг этой средней точки против часовой стрелки (это направление мы будем считать положительным), но при этом увеличивайся в длине в соответствии с углом, на который ты повернулся. Чтобы нам удобней отсчитывать вращение отрезка, мы направо от точки в середине проведем горизонтальную прямую и назовем ее полярной осью. Пока отрезок - радиус-вектор - будет еще лежать на полярной оси, угол его с ней равен нулю, а затем он будет увеличиваться. Итак, вперед!

- 314 -

Конус разбивается на маленькие цилиндры.

Усеченный конус и цилиндр.

Тотчас в полутьме возникло все, что заказал Радикс: в середине светилась оранжевая точка, а от нее направо шла розовая полярная ось. Что-то очень маленькое лежало на этой оси...

- А, Мнимий Радиксович! Мое почтение! - воскликнул Илюша.

И Мнимий, возникший из средней точки, стал вращаться, постепенно вырастая, и своим кончиком чертить спираль Архимеда. Описав несколько витков, Мнимий исчез, а спираль так и осталась висеть в воздухе.

- Эта спираль, - сказал Коникос, - умеет делить как угодно любые углы. А с ее помощью Архимед даже построил очень точно длину, окружности.

- Длину окружности? - воскликнул Илюша. - Да ведь это что-то вроде квадратуры круга! Разве это можно?

- Для такой умницы спирали оказалось возможным, - произнес Коникос[25].

- Так вот каким образом греки, решая геометрические задачи, пришли, во-первых, к новым основаниям для геометрических суждений и убедились до некоторой степени, что геометрия не такова, какой они себе ее представляли; во-вторых, они пришли к новым кривым, неизвестным египетским вервиетягателям, о которых вспоминал Демокрит. Именно его атомистическая теория, кстати сказать, и привела к новым удивительнейшим открытиям в математике.

- Как же это так? - спросил Илюша. - Ведь атомы - это касается физики и химии. А при чем здесь математика?

- 315 -

- Мы уже говорили о том, как связана математика с изучением природы, поэтому вполне естественно, что человек, который пришел к убеждению, что весь мир состоит из атомов, начинает думать и о том, что геометрические образы, то есть кривые, площади, объемы, тоже как бы составлены из некоторых элементарных частиц. Кроме того, в таком деле играет очень большую роль опыт. В одном своем сочинении Архимед рассказывает, что Демокрит нашел объем конуса и показал, что его объем равен одной трети объема цилиндра с тем же основанием и той же высотой. Проверить это на практике, то есть путем опыта, ровно ничего не составляет.

Любой слесарь сделает тебе цилиндр, то есть ведерко, и конус.

Налей в ведерко воды, смеряй конусом, сколько ее там, и найдешь это соотношение. Вот что говорит тебе опыт. Если не поверишь первому опыту, можешь повторить его, сделав цилиндр и конус, например, с другим основанием. И снова ты убедишься, что соотношение это правильно. Необходимо только найти логический способ, которым можно это доказать без участия слесаря.

- Значит, Демокрит раньше теоремы своей уже знал это решение? - спросил заинтересованный Илюша.

- Возможно, что и так. Возможно и обратное. Может быть, он сперва вывел свою теорему, а потом проверил ее на опыте. Но еще более вероятно, что он узнал ее от слесаря, кузнеца или медника, которые благодаря своему ремеслу сталкивались с такого рода соотношениями уже не раз. Кстати сказать, теорема эта была доказана со всей необходимой строгостью гораздо позже Демокрита. Весь вопрос заключался в том, чтобы вывести это - такое простое на вид -соотношение теоретически. И я не знаю, с чего начал Демокрит: атомистическая ли теория привела его к этому решению или это решение привело его к мысли об атомах.

- Как это интересно! - воскликнул Илюша. - Значит, у них и физика, и философия, и геометрия - все было вместе?

- Конечно. Над входом в одну греческую академию было написано: "Да не входит сюда никто, кто не знает геометрии!"

- А как Демокрит решил эту задачу?

- Решил он ее вот как. Он предположил, что конус можно весь разрезать на очень тоненькие кружочки, если резать параллельно основанию, то есть на цилиндрики с очень малой высотой. Правило, по которому изменяется диаметр кружков, вывести не очень трудно. Мы этого пока еще делать не будем, так как сейчас речь не о выводе формулы, а о способе рассуждения, с помощью которого ее можно вывести. Теперь допустим, что цилиндриков не только очень много и толщина их ничтожно мала, но что число их безгранично увеличивается, а толщина тем же порядком уменьшается. Конус заменяется ступенчатой фигурой из кружков. Конечно, это ступенчатое тело не есть конус, но чем дальше я буду уменьшать толщину кружков, которых будет накопляться все больше и больше, тем меньше это ступенчатое тело будет отличаться от конуса.

- 316 -

Допустим, что высота конуса равна 500 мм, а цилиндрики, на которые его режем, сделаны из бумаги, толщина которой примерно равна 0,05 мм, следовательно, всего в конусе их будет десять тысяч. Вряд ли такой конус, склеенный из десяти тысяч листов бумаги, можно отличить от сделанного, скажем, из гипса. А так как объемы цилиндров определить нетрудно, то таким путем мы определим и объем конуса.

- Что-то я плохо понимаю, - грустно сказал Илюша.

- Ничего! Не падай духом! Слушан хорошенько и понемногу поймешь, - подбодрил его Радикс. - Ясно, что когда я заменяю маленький усеченный конус маленьким цилиндром, то делаю ошибку. Но эта ошибка, вычисленная в процентном отношении к измеряемой величине (так называемая "относительная ошибка"), будет сколь угодно мала. Ведь можно взять настолько тонкие кружки, что объем, которым я пренебрегаю, составит, например, менее одной десятой, либо сотой, либо тысячной процента и так далее по отношению к объему конусика (или цилиндрика; считай как хочешь, это неважно). Но раз это так, то нетрудно сообразить, что если суммировать цилиндрики, то и искомый объем большого конуса тоже будет с той же относительной ошибкой, то есть менее одной десятой, либо сотой, либо тысячной процента и так далее по отношению к истинному объему. Следишь ли ты за развитием моего рассуждения?

- Да-да! - ответил поспешно мальчик. - Слежу и пока, кажется, все понимаю.

- Приятно слышать. Ну, слушай далее! Итак, если конус высотой в метр делить на кружки, толщина которых равна одному микрону, то есть тысячной доле миллиметра, то велика ли - опять-таки в процентах! - будет разница между объемом кружка и объемом усеченного конусика, на которые делится конус, если действовать совершенно точно?

- Нет, - ответил Илюша. - Раз каждый кружок будет толщиной в микрон, то наверно разницу-то и заметить будет невозможно.

- Справедливо, - отвечал Асимптотос. - Но ведь у нас нет надобности резать на самом деле конус на кружки, нам достаточно только вообразить это, ибо мы это делаем только для рассуждения, а если так, то никто не мешает нам допустить, что мы будем разрезать каждый кружок в тысячную долю миллиметра толщиной еще на миллион сверхтончайших кружков.

- 317 -

Как ты тогда обнаружишь разницу между объемом кружка и элементарного усеченного конусика? А ведь в рассуждении я могу повторять мое деление на миллион еще любое число раз. Этот метод деления объема на крайне малые объемы назывался в древности "методом исчерпания", ибо такими крохотными объемами мы как бы "исчерпываем" данный объем.

- Значит, - сказал Илюша, - мы будем все делить и делить, и "высота-толщина" цилиндрика-кружка будет изменяться...

- Как и полагается переменной величине! - сообщил многозначительно Радикс.

- Ну да, - отвечал Илюша, - конечно, если она все время меняется, то ясно, что это величина переменная. И так она изменяется, уменьшаясь и приближаясь, - я думаю, здесь можно сказать - к некоторому пределу?

- Разумеется, - отвечал Асимптотос, - так сказать не только можно, но даже и должно. Но вот вопрос: к какому именно пределу стремится эта твоя "высота-толщина"?

- Мне кажется, - осторожно произнес Илюша, - что если она будет уменьшаться все больше и больше, то естественно, что пределом ее будет нуль.

- А мы уже говорили в Схолии Двенадцатой, - заметил Радикс, - что если переменная величина имеет своим пределом нуль, то мы называем ее бесконечно малой. А это обозначает, что какое бы малое положительное число ни задать, в течение ее изменений наступит момент, начиная с которого ее абсолютная величина станет и будет оставаться меньше этого числа.

- Это я понимаю, - отвечал Илюша. - Но ведь это еще не все. А что же делается в это время с числом кружков-цилиндриков? .. Мне кажется, что число их в это время растет безгранично.

- Разумеется. Однако не забудь о том, что я собираюсь получить при помощи такого деления на кружки вовсе не приближенный объем конуса, а совершенно точный! Ведь мы действительно убедились с тобой, что в процентном отношении к искомому объему разница может быть сделана сколь угодно малой, если мы будем уменьшать толщину цилиндриков. Убедились мы также и в том, что если в каждом слагаемом мы сделаем ошибку меньше тысячной процента, то при вычислении всей суммы общая ошибка не может превысить того же самого процентного отношения. Не так ли? Тебе все здесь ясно?

- Как будто так, - отвечал Илюша. - То есть этот множитель-ошибка при суммировании просто выйдет за скобку?

- 318 -

- Ну разумеется! А теперь сообрази-ка, что же получится в пределе. Разницу между истинным объемом конуса и суммой можно сделать меньше 0,001, или меньше 0,000001 процента, то есть одной миллионной, или меньше 0,0000000000000000001, то есть одной десятиквинтиллионной процента.

- Постой-ка! - воскликнул Илюша. - А нельзя ли изображать и десятичные дроби через отрицательные степени "десяти"?

- Разумеется, можно. 10¹ будет 10; 10^-1 - единица, деленная на 10, то есть 0,1, ибо,

10^-1 = 10ⁿ / 10ⁿ⁺¹ = 1 / 10 = 0.1

а следовательно, 10^-2 будет 0,01, и так далее.

- А тогда, - сказал Илюша, - эти проценты я запишу так: вместо 0,000001-10^-6, а вместо 0,0000000000000000001 - 10^-19.

Но если делать так, то, значит, можно и здесь воспользоваться самыми громадными делителями единицы, вплоть до того невероятного архимедова числа в сто шестьдесят биллионов километров длиной, о котором мы говорили в Схолии Десятой.

Слушай, Радикс! Скажи мне, пожалуйста: может быть,Архимед именно это и имел в виду, когда сочинял "Псаммит"? ..

- Весьма вероятно! И очень хорошо, что ты сам теперь это понял.

- Но если, - продолжал далее мальчик, - точность суммы неограниченно возрастает за счет увеличения числа цилиндров и утончения их, то ясно, что в пределе я и получу совершенно точно искомую величину!

- Так, - отвечал Коникос. - Вот выходит, что "чем больше ошибок ты сделаешь, тем лучше окажется твой результат", ибо чем больше ошибок, тем каждая из них меньше. А отсюда ясно, что ты действительно имеешь возможность при вычислении объема конуса разбивать его на тончайшие слои и считать каждый слой цилиндром, пренебрегая теми крохотными колечками (они у нас останутся, если из каждого цилиндрика вычесть соответственный усеченный конусик), которые представляют собой бесконечно малые более высокого порядка.

А это уже величины такой малости, что по сравнению с ними бесконечно малые первого порядка, о которых мы до сих пор говорили, суть величины бесконечно большие.

- А все-таки есть одна вещь, которую мне очень трудно усвоить! - вздохнул Илюша. - Как это так можно чем-нибудь пренебрегать в математике?

Длина окружности не может быть больше периметра описанного многоугольника и меньше периметра вписанного. Однако если бесконечно удваивать число сторон многоугольников, то оба периметра будут приближаться к длине окружности, как к пределу.

- 319 -

- Чем можно пренебрегать, а чем нельзя, мы узнаем первоначально, разумеется, из опыта. Замечательный физик и мыслитель девятнадцатого века Больцман утверждал, рассуждая о вопросах, близких к тем, о которых мы сейчас говорим, что не логика решает в конце концов, правильна ли данная система размышлений или неправильна. Решает этот вопрос дело, то есть наша человеческая повседневная деятельность. "То, что ведет нас к верному делу, - говорил Больцман, - то и есть истина". И если бы мы с помощью данных рассуждений не могли достигнуть некоторых неоспоримых практических результатов, то никогда и не могли бы установить, как же, наконец, следует рассуждать - так или иначе. Если я путем такого процесса бесконечного уменьшения слагаемых кружков получаю правильное решение, то, следовательно, и способ мой правилен.

Длина окружности не может быть больше периметра описанного многоугольника и меньше перимерта вписанного. Однако если бесконечно удваивать число сторон многоугольников, то оба перимера будут приближаться к длине окружности, как к переделу.

Конечно, затем нужно обсудить теоретически, обосновать и осмыслить все эти операции. Очевидно, что можно так обращаться с конусом только в том случае, если есть возможность убедиться, что этим путем я действительно могу приблизиться к некоторому пределу. И вот так-то, перерешав бесчисленное множество таких задач, люди и научились складывать бесконечно малые величины и узнали постепенно их свойства. Ничего нет удивительного в том, что человек, который никогда не имел дела с бесконечно малыми, не знает, как с ними обращаться. Что же касается понятия предела, то тут вот что можно сказать для выяснения. Ясно, что периметр вписанного многоугольника, если мы будем последовательно удваивать число его сторон, должен безгранично приближаться к длине окружности. Стать больше ее он не может, ибо ведь он вписанный, а не описанный, но, увеличиваясь, он все тесней и тесней приближается к ней по мере новых удвоений его сторон. Отсюда мы можем прийти к определению длины окружности как предела периметров вписанных многоугольников, если мы безгранично удваиваем число их сторон. С другой стороны, и периметр описанного многоугольника при бесконечном удвоении числа сторон также будет стремиться, уменьшаясь, к тому же пределу, то есть к длине окружности. Стать меньше ее он не может, так как он описанный, а не вписанный.

- 320 -

Длина окружности лежит всегда между периметром описанного и периметром вписанного многоугольников. Она меньше первого и больше второго.

И оба стремятся к ней. Поэтому можно проверять одно приближенное решение при помощи другого и установить границы, между которыми лежит искомая величина, наподобие того, как Архимед установил, что правильное значение корня квадратного из трех лежит между двумя неправильными дробями.

265/153 и 1351/780

(если взять корень из трех с точностью до семи десятичных знаков, то есть до одной десятимиллионной, то первая дробь дает значение корня из трех с недостатком в 247 десятимиллионных, а вторая с избытком в пять десятимиллионных). Архимед, кстати, при вычислении длины окружности пользовался вписанным и описанным многоугольниками с девяноста шестью сторонами. Однако это касается уже самого вычисления, и там, разумеется, ты волен остановиться на таком приближении, которое кажется нужным. А выкладки дают способ вычисления. А какая нужна точность в каждом данном случае - это уже дело твое. Повторим теперь еще раз знакомый нам из древности пример убывающей геометрической прогрессии. Пусть ее первый член будет равен единице, а знаменатель - половине. Тогда предел, к которому стремится ее сумма, будет равен двум целым. И это очень легко заметить. Вот эта прогрессия:

1; 1/2; 1/4; 1/8; 1/16; 1/32; 1/64...

Теперь запишем последовательные суммы:

1 = 1

- 321 -

Но

откуда ясно, что каждый следующий член этого ряда сумм будет все ближе и ближе к двойке.

- Да-да! - сказал Илюша. - Вот как раз именно так мы с Радиксом делили яблочко в Схолии Двенадцатой. Я сразу сейчас вспомнил.

- Вот именно. Однако самый процесс разыскания пределов отнюдь не так-то прост, и в нем очень легко ошибиться.

Например, не во всякой геометрической прогрессии сумма имеет предел. Если взять геометрическую прогрессию с первым членом, равным единице, а знаменателем минус единице, то получим следующий ряд:

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...

Попробуем вычислить сумму такого ряда. Если я напишу ряд в таком виде:

S = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + …

то очевидно, что сумма его равняется нулю. Однако стоит его изобразить иначе:

S = 1 - (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + …

и получится в сумме не нуль, а единица! Но я могу придумать еще одно начертание:

S = 1 - ( 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...),

и тогда сумма S будет, очевидно,

S= 1 - S.

- 322 -

Получающееся уравнение, как ты видишь, решить нетрудно, но в таком случае сумма равняется уже и не единице и не нулю, а просто половине! Из ряда подобных "вычислений" можно заключить, что о сумме такого ряда говорить в том же смысле, в каком мы говорим о сумме конечного числа членов, невозможно. Математики бились с этим рядом очень долго, пока не убедились наконец, что прежде чем говорить о сумме бесконечного ряда, надо сперва точно определить, что следует понимать под этими словами. В данном случае то общее определение, согласно которому мы под суммой бесконечного ряда

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …

понимали рассмотренный выше предел, то есть двойку, нам совершенно не подходит, так как последовательные суммы нового ряда попеременно равны то единице, то нулю, и ни к какому пределу не стремятся.