Схолия Двенадцатая,
Схолия Двенадцатая,
где читатель снова встречает Мишеньку, который показывает талисман, замечательный своей полной неистребимостью, а Радикс рассказывает поучительную сказку об одном остроумном директоре гостиницы, а также о том, как Галилей подсчитал однажды, сколько всего есть на белом свете полных квадратов, и о том, как на школьном вечере все танцевали вальс. Тут наш герой проявляет необычайный интерес к прядильному делу, однако с этой проблемой приходится обождать, ибо в это время Илюша должен срочно разрезать одно яблоко на семнадцать миллионов частей. Далее идет очень сложное обсуждение вопроса о том, существует ли особая форма для кривых и какова она. А после того, когда все по этой части благополучно разрешается при помощи прямого угла, так что Илюше удается даже выяснить, какие у этих кривых корни, друзья наши отправляются в лес, где их встречают очень странные существа, наперерыв расхваливающие свой товар, сообщая, кстати, Илюше рецепт, с помощью которого жизнь человека удлиняется ровно вдвое. Наконец друзья приходят в прелестную столовую, где один подслеповатый повар принимает Илюшу в своем кулинарном рвении за гриб.
- Все это может быть и так, - начал снова Илюша, - но мне все-таки хотелось бы узнать у тебя еще кое-что об этой бесконечности. Как ни удивительны те числа, о которых мы говорили с тобой раньше, все-таки это ужасно странное число...
- 205 -
- Фф-у! - в величайшем негодовании воскликнул Радикс. - Я же тебе говорил, что это не число! Запомни это раз навсегда! Если ты не хочешь сейчас же и немедленно поссориться со мной, то лучше и не заикайся об этом.
- Хорошо, хорошо! - торопливо согласился Илюша. - Я только...
- Только что? - раздался тоненький голосок.
Илюша обернулся и увидел старого знакомого - плюшевого Мишку. Мишка хихикнул и сказал:
- Я страшный! Я удивительный! Я очень страшный! Это потому, что у меня есть талисман. Замечательная штучка!
Тут Мишка засунул лапку куда-то за спину, и Илюша увидел, что у этого смешного зверька в его плюшевой шубе сзади устроен еще карманчик. Мишка вытащил большую новенькую серебряную монету и с торжеством показал Илюше.
- На-ка! - важно провозгласил Мишка. - Это, по-твоему, что? Это, брат, неразменный рубль.
Илюша с удивлением взял в руки монету. На ней посреди узора из лежащих на боку восьмерок было выгравировано:
"НЕРАЗМЕННЫЙ РУБЛЬ. Отчеканен высоким повелением ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА и в силу оного имеет дивное хождение и чудное взлетание наравне с чудесами и дивами, каковые при его помощи очень легко приобрести. Беспрепятственно разменивается, нимало не размениваясь, на страх и удивление самым непослушным задачкам".
- Так... - нерешительно произнес Илюша, прочитав эту странную надпись и не зная, чему тут можно верить.
- А знаешь ли, как этот аппарат действует? В этом-то весь секрет! - С этими словами Мишка разломил рубль пополам.
И обе половинки вдруг стали целыми рублями! Самое странное было, однако, в том, что Илюша отлично видел, как Мишка разламывал рубль, но уследить, когда и как обе половинки снова стали целыми рублями, он не мог. Может быть, в этом и заключается секрет неразменного рубля?
Потом Мишка положил эти два рубля друг на друга, и они снова превратились в одну целую монету.
- Видал? - победоносно сказал Мишка. - Вот рублик!
Вот так Мишкина монетка! Вот меня все и боятся! А почему?
Потому что у меня есть неразменный рублик.
Илюша посмотрел с удивлением на равнодушную мину Радикса.
- Что это значит?
- 206 -
- Вот как? - с подчеркнутым удивлением сказал Радикс. - Значит, ты ничего не понял? Достойно сожаления, молодой человек! Ну, в таком случае я расскажу тебе другую историю, не менее поучительную, но, быть может, более понятную... В некотором царстве случилось великое празднество, на каковое съехалось несметное число гостей. И накануне праздника они явились в столицу этого царства и все стали толпой около гостиницы. Выходит директор гостиницы. Спрашивает: "Скажите, пожалуйста, дорогие гости, сколько вас?"
Ему отвечают: "Нас бесчисленное множество. Вот наши делегатские билеты. На них стоят номера от единицы до бесконечности". Директор говорит: "Так как в моей гостинице бесконечное число номеров и как раз они перенумерованы от единицы до бесконечности, то я размещу вас всех. Прошу вас, входите!" И все разместились. Не прошло и часа, как снова на площади перед гостиницей собралась такая же толпа. Снова выходит директор. Снова спрашивает: "Сколько вас, дорогие гости?" И опять ему отвечают: "Столько же, сколько было и в первой партии!" Директор говорит: "Так как в моей гостинице как раз бесконечное число номеров, то я размещу вас всех. Пожалуйста, входите!" Они входят. И что же он делает?
Он перемещает всю свою первую партию гостей. Гостя из номера первого он переводит в номер второй, из номера второго в четвертый, из номера третьего в шестой, из номера четвертого в восьмой, из номера пятого в десятый и так далее. Таким образом, у него все нечетные номера оказались свободными, и там-то он и разместил вторую партию гостей, которая, как и первая, заключала в себе несметное число приезжих.
Понял?
- Ничего не понял! - воскликнул Илюша.
- Прекрасно! - отвечал Радикс. - Начнем сначала. Ты знаешь, что такое четные числа?
- Ну конечно. Это те, которые делятся на два.
- Верно. А нечетные?
- 207 -
- Ну, которые на два не делятся: три, пять, семь и так далее.
- Приятно слышать. Какой милый, догадливый мальчик!
Так вот, Мишкина задачка, а также задачка с бесконечной гостиницей заключаются вот в чем. Если взять все числа, то есть четные и нечетные, ведь это будут все натуральные числа, не правда ли?
- Ну конечно, потому что, кроме четных и нечетных, больше никаких нет. Так они и идут одно за другим: нечетное, потом четное, потом опять нечетное и так далее без конца.
- Одно за другим, по очереди?
- Конечно! Что ты меня спрашиваешь о таких вещах?
Уж это, кажется, до того просто, что малое дитя знает!
- Ах, так это просто, по-твоему? Ну посмотрим, что ты дальше скажешь! Так, значит, выходит, что четных и нечетных чисел одинаковое количество.
- Конечно, - ответил Илюша. - Если взять, например, до какого-нибудь четного числа, ну хоть до этого нонильона децильонов, то будет поровну и четных и нечетных.
- Так и запишем. Попробуем только взять еще немножко подальше, а то для Мишкиной задачки это крохотное числишко - нонильон децильонов - не подходит. Возьмем до бесконечности. Так вот, ответь мне, пожалуйста: если мы возьмем все числа, а потом выберем только одни четные и напишем в два ряда - в одном ряду будут все: и четные и нечетные, а в другом одни четные, - так в котором ряду будет чисел больше, в верхнем или в нижнем?
- Ну конечно, во втором ряду будет вдвое...
Но тут почему-то Илюша замолчал, и на его лице изобразилось полнейшее недоумение.
- Ну-с, - сказал Радикс, - я вас слушаю! В котором ряду будет больше, в верхнем или в нижнем?
Илюша грустно вздохнул и сказал:
- Должно быть во втором ряду вдвое меньше, а на самом деле...
- А на самом деле? - повторил вопросительно Радикс. - Да что тут долго думать! Вон они, посмотри-ка!
Илюша обернулся, посмотрел на стену и увидел:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28...
Оба ряда тянулись вправо ужасно далеко, но как ни заглядывал Илюша вправо, как он ни напрягал зрение, оба они шли совершенно вровень, а конца им не было.
- Так как же? - опять спросил Радикс.
- 208 -
- Выходит, что их - и тех и других - одно и то же количество.
Илюша пожал плечами.
- Не понимаю! - сказал он. - Вижу, что одно и то же количество, и соображаю, что сколько ни тяни верхний ряд, нижний от него отставать не будет, потому что нижний - это тот же верхний, только умноженный на два, но понять не могу.
Не могу, потому что нижний в то же самое время есть часть верхнего. Но ведь часть меньше своего целого?
- Меньше, покуда речь идет о числах, о конечных величинах. А раз ты имеешь дело с бесконечностью, то, как ты сейчас сам видишь, это не так. Там вовсе не обязательно, чтобы часть была меньше своего целого. В данном случае часть совершенно такая же, как и ее целое. И это странное целое можно еще по-разному разбить на части, и опять получится то же самое. Великий Галилео Галилей в книге, которая называется "Беседа о двух новых науках" и которая вышла б свет в тысяча шестьсот тридцать восьмом году, задает примерно такой вопрос: "Верно ли будет, если я скажу, что количество правильных квадратов, как "четыре", "девять", "шестнадцать", "двадцать пять" и так далее, меньше количества всех чисел, поскольку число правильных квадратов непрерывно и очень скоро убывает по мере того, как мы двигаемся вперед по натуральному ряду чисел по направлению ко все большим и большим числам? Для примера укажу, что в первой сотне я насчитываю десять квадратов, что составляет одну десятую всех чисел до сотни включительно; затем до десяти тысяч их будет сто, то есть одна сотая, а до миллиона их будет одна тысячная и так далее". Поскольку это так, то несомненно правильно, что в любом конечном числе квадратов будет гораздо меньше, чем всех чисел, и чем оно будет больше, тем относительно их будет меньше. Однако, как только мы переходим к бесконечности, оказывается, что я могу все это рассмотреть совершенно с другой точки зрения. Напишем вот таких два ряда:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12...
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144...
Под каждым числом натурального ряда я подписываю во втором ряду его квадрат, и оба ряда будут тянуться вровень без конца. "Поэтому, - говорит далее Галилей, - нельзя сказать, которых чисел больше, которых меньше. Можно только сказать, что их бесконечное множество - и тех и других". Свойства конечных чисел, таким образом, на бесконечные множества распространять невозможно.
- 209 -
Из этого луча можно сделать два луча.
- Все это так, - медленно произнес Илюша, - а понять все-таки очень трудно.
- Ничего удивительного здесь нет, - отвечал Радикс, - что тебе вся эта задача кажется такой трудной.
Современные ученые полагают, что она была настолько трудна для современников Галилея, что не столько привлекла их внимание к этим тонким вопросам, сколько отпугнула их своей необычностью и необъяснимостью. Но не торопись, кое-что можно будет тебе разъяснить в дальнейшем.
- Хорошо бы... - отвечал наш герой.
- Трудность здесь заключается в том, что мы не можем пересчитать числа в том и другом ряду. Так как это невозможно, то нам остается только подумать, нельзя ли найти какой-нибудь способ сравнивать друг с другом бесконечные множества.
И вот что тут можно предложить.
Представь себе, что ты пришел в школу на вечер. Собралась масса мальчиков и девочек. Зал большой, страшная толкотня, а тебе хочется узнать, кого больше: мальчиков или девочек? Сколько тех и других, тебя не интересует. Ты хочешь только выяснить, кого больше. Как это сделать? Самое простое - попросить оркестрантов, чтобы они заиграли вальс. Тотчас же все станут парами, и тут ты увидишь, кого больше. Теперь ты видишь, что я и применяю этот самый способ к бесконечным множествам, например ко множеству всех чисел и множеству квадратов: сопоставляю их попарно, а раз это удается, значит, что никакой разницы между множеством всех чисел и множеством квадратов в отношении количества их элементов нет.
- 210 -
Но только математики говорят в таких случаях не "количество" элементов, а так: эти два множества имеют "одинаковую мощность"[16].
- А теперь уже мне кажется, что всякие два бесконечных множества будут иметь одинаковую мощность! - сказал Илюша. - Если я, например, начну располагать в ряд элементы одного из них, а ты в это время будешь делать то же самое с другим, то выйдет, что мое и твое множества одинаковой мощности, как если я буду перебирать подряд все числа, а ты одновременно со мной только все четные.
- Нет, - ответил Радикс, - не все бесконечные множества можно так исчерпать. Например, если взять множество всех точек на отрезке прямой, то его таким способом исчерпать нельзя. У нас говорят, что оно имеет "более высокую мощность", чем множество, например, всех натуральных чисел.
- По поводу точек на отрезке я вспоминаю, - сказал Илюша, - что ты мне говорил, будто из одного луча можно сделать два.
- Даже не два, а бесконечное множество. И это очень просто. Представь себе, что на твоем луче отложен отрезок, равный единице, потом еще один, и так до бесконечности. Перенумеруй по порядку эти отрезки, а затем, как хозяин Мишкиной гостиницы, из четных, сдвинув их вместе, сооруди один луч, а из оставшихся нечетных - другой. Потом можешь повторить это с каждым из них, и так столько раз, сколько тебе угодно. А если догадаешься, можешь и сразу начать так перераспределять эти единичные отрезки, чтобы получилось бесконечное число лучей.
- Но если конечный отрезок разделить пополам, в каждой части будет вдвое меньше точек, чем в целом отрезке?
- Нет! - ответил Радикс. - Это снова тот же самый Мишкин неразменный рублик. В смысле "мощности" количество точек в целом отрезке и в его половине одинаково. Ты можешь в этом убедиться хотя бы так. Помнишь, что средняя линия треугольника равна...
- Половине основания!
- Вот именно. А теперь проведи из вершины противоположного угла прямые, соединяющие ее с точками основания.
Каждая из этих прямых пересечет и среднюю линию в какой-нибудь точке. Вот и получится, что каждой точке основания отвечает при таком построении точка на средней линии.
- 211 -
- И все-таки основание вдвое длиннее! Как это объяснить?
- Ты забываешь, что точки "не имеют длины" и длина отрезка вовсе не слагается из "длин" составляющих его точек.
Поэтому к длинам отрезков сравнение мощностей здесь никакого отношения не имеет.
- Я не пойму, - сказал Илюша. - Ведь отрезок состоит из точек, а точка не имеет длины. Откуда же берется в таком случае длина отрезка?
- Ты не понимаешь потому, что ты привык изображать точки маленькими пятнышками, которые, конечно, имеют протяженность. Если бы ты изображал точки маленькими отрезками, расположенными вдоль этого отрезка, то на тех же основаниях ты мог бы сказать, что "направление" отрезка "слагается" из "направлений" составляющих его точек. Но ведь ты этого не скажешь: тебе ясно, что точка "не имеет направления". Говорить о направлении можно, только если есть по крайней мере две различные точки. Согласен?
- Выходит, так, - со вздохом признался Илюша.
- Вот теперь ты знаешь секрет Мишкиного неразменного рубля. И ты видишь, что эти его хитрые фокусы с рублем совсем не пустяк, а связаны с очень серьезными вещами. Вот тебе и сказка. Знаешь, как говорится в одной сказке:
Сказка ложь, да в ней намек,
Добру молодцу урок!
- 212 -
- Знаю! - засмеялся Илюша. - Это у Пушкина в "Золотом петушке". Но теперь, когда я еще и это узнал, то уже совсем не понимаю, на что может быть нужна такая чудовищно громадная величина, которую и представить себе невозможно и с которой не знаешь, как обращаться, потому что она даже и правил наших никаких знать не хочет.
- Когда-нибудь ты еще много чудес узнаешь об этом удивительном чудовище. Узнаешь, может быть, и то, что это еще не самое большое из наших чудовищ...
- Как так?
- А очень просто, - коротко ответил Радикс. - Что же касается странных свойств нашего чудовища, то какими бы они странными тебе ни казались с первого раза, они тем не менее в высшей степени полезны. Если обращаться с ними с должной осторожностью, то они нам помогут в таких случаях, когда никто другой помочь не может. Разумеется, никаких обычных действий, которые мы производим с числами, с бесконечностью производить нельзя, ибо это ведь не число.
Она служит нам для рассуждения о процессах измерения таких величин, которые невозможно измерить, так сказать, "попросту". А рассуждения эти позволяют нам установить соотношения между этими трудными для измерения величинами (вроде длины окружности) и обыкновенными линейными мерами.
- Значит, есть задачи, в которых участвует бесконечность?
- Сколько хочешь! Вот тут-то и выступает перед нами мощный и совершенный Великий Змий, победитель веретен, развертыватель спиралей, покоритель бочек, великий механик центра тяжести, слагающий скорости, тот, кто открывает законы природы и записывает их простыми и понятными знаками.
И неясный облик Великого Змия мелькнул перед глазами Илюши.
- Тсс! - таинственно зашипел Радикс, подняв свой единственный указательный палец.
Но призрак уже исчез.
- Вот ты опять говоришь про спирали, бочки и законы природы!.. А я ничего не понимаю!
- В свое время ты все узнаешь. А сейчас нам надо еще потолковать с Мишенькой.
Плюшевый Мишка немедленно проснулся и начал играть со своим рубликом.
- 213 -
Он подкидывал его в воздух, и рубль, взлетая, рассыпался в мельчайшую серебряную пыль, которая потом спускалась сверкающим облачком в лапки Мишки. Мишка прыгал вверх ей навстречу, на миг исчезая в этом красивом облачке, а когда он падал обратно, то уже облачка не было, а у Мишки в лапках опять сверкал новенький неразменный рублик, отчеканенный (не забудь об этом, мой милый!) высоким повелением ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА.
- Вот что, - вымолвил Радикс, - давай-ка возьмем убывающую геометрическую прогрессию. Пусть первый ее член будет половиной, а знаменатель одна вторая. Ну-ка, давай рассчитаем сумму.
Илюша написал формулу суммы.
- Давай переменим знаки в числителе и знаменателе, так будет попроще, - предложил Радикс.
Илюша послушался, и формула стала такая:
S = a1 (1 - qn) / (1 - q)
Потом Илюша стал подставлять данные. Вышло так:
S = 1/2 • (1 - (1/2)n) / (1 - 1/2)
- Внизу, - произнес Илюша, - получается половина, и я ее сокращаю с половиной, которая стоит спереди множителем.
Значит, у меня остается штука нехитрая:
S = 1 - (1/2)n)
Ну вот-с! - сказал Радикс. - Теперь давай-ка разберем, сколько выйдет, если мы опять возьмем шахматную доску, на первую клетку положим половину... Чего бы нам взять?..
Ну, возьмем половину яблока! На вторую клетку кладем четверть яблока, на третью восьмушку и так далее. Сколько же выйдет на восьмой клетке?
- На восьмой будет единица минус половина в восьмой степени, то есть
1 - (1/2)8
- 214 -
Впрочем, можно ведь и так написать:
1 - 1/28
- Можно, - сказал Радикс. - А сколько будет два в восьмой степени?..
- Двести пятьдесят шесть! Значит, из единицы надо вычесть одну двести пятьдесят шестую. Получится двести пятьдесят пять двести пятьдесят шестых.
- Так! Это мы прошли первый ряд клеток. В конце второго ряда...
- Будет единица минус одна вторая в шестнадцатой степени.
- То есть знаменатель шестьдесят пять тысяч пятьсот.
- Можно сказать, сумма равна единице минус одна шестидесятипятитысячная. Вот как ловко! В конце третьего ряда двойка возводится уже в двадцать четвертую степень.
- Это будет примерно семнадцать миллионов.
- Значит, в сумме будет единица минус одна семнадцатимиллионная! А к концу четвертого ряда - это уж половина всей доски - одна вторая в степени тридцать два...
- Знаменатель дроби будет примерно равен четырем биллионам.
- Как быстро растет! Мастерица она, оказывается, расти, эта прогрессия! - воскликнул Илюша. - Значит, к половине доски мы уложим все яблочко, исключая одну четырехбиллионную. Уж не знаю, как же разрезать яблоко на четыре биллиона частей? Ведь биллион - это тысяча миллионов! Ну, а что же будет дальше? Когда мы доберемся до конца доски, то возведем нашу половину в шестьдесят четвертую степень, то есть это будет одна восемнадцатиквинтиллионная! Вот так дробь! Но как же отрезать от яблочка такой малюсенький кусочек?
- Дело не в этом, - отвечал Радикс. - Допустим, что мы уж сумеем отрезать.
- Охотно допускаю! - воскликнул Илюша.
- Но скажи: каким образом ты отличишь целое яблоко от яблока, у которого не хватает... ну, хотя бы одной шестидесятипятитысячной доли, чтобы быть целым? Я уже не говорю о еще более крохотных долях единицы.
- Да-а! Ни в какой микроскоп не усмотришь!
Тут Мишка подошел к Илюше и гордо спросил:
- А если я буду опять расти, как рос раньше, тогда что будет?
- 215 -
- Тогда, - сказал Илюша, - мне кажется, что эта дробь почти совсем не будет отличаться от нуля.
- Верней, - сказал Радикс, - было бы сказать так: если и будет расти до бесконечности, то эта дробь, изменяющая свое значение по закону геометрической прогрессии, может стать сколь угодно малой, то есть, проще сказать, меньше всякой наперед заданной величины. Вот такого-то рода изменяющиеся, переменные величины, которые бесконечно уменьшаются, и называют бесконечно малыми. Но если это так, то, следовательно, нам, чтобы получить нашу сумму, придется вычитать из единицы величину бесконечно малую. Что ни дальше мы двигаемся по нашему ряду, то есть по убывающей геометрической прогрессии, тем ближе подходим к некоторой границе нашего движения. Ясно это тебе или нет?
- Не очень, - признался Илюша.
- Припомни, - сказал Радикс, - припомни-ка хорошенько, как мы с тобой толковали насчет того, что будет происходить с частными от деления единицы на все большие и большие числа. Ясно, что величина частного будет изменяться, то есть это будет величина переменная. Не так ли?
- Так, - согласился Илюша.
- Хорошо, - продолжал Радикс. - И как величина переменная и безгранично уменьшающаяся она имеет в данном случае некоторый предел, к которому она приближается...
Ну, как ты скажешь?
- Ясное дело, - отвечал мальчик, - что таким пределом будет нуль. Если взять очень большой делитель, то частное от деления единицы на него станет таким малым, что его от нуля, пожалуй, и не отличишь.
- Совершенно очевидно! - воскликнул Радикс. - И запомни: мы называем бесконечно малой величиной такую переменную величину, которая имеет своим пределом нуль.
Бесконечно большая и бесконечно малая тесно связаны друг с другом в том смысле, что если делить единицу на бесконечно большую величину, то получится бесконечно малая, и наоборот. Ну, так что же из всего этого следует в отношении нашей задачи о яблоке и шахматной доске?
- По-моему, вот что: если вычитаемое стало бы нулем...
- Чтобы нам не сбиваться, - поправил его Радикс, - давай говорить так: "Если вычитаемое в пределе превратится в нуль". Тогда все будет ясно.
- Хорошо, - согласился мальчик, - будем говорить так.
Значит, если вычитаемое в пределе превратится в нуль, то, следовательно, я буду вычитать из единицы чистый нуль, и останется единица.
- 216 -
- Так! - промолвил Радикс. - Значит, мы выяснили таким образом, что сумма нашей прогрессии все приближается и приближается к единице, так что разность между суммой и единицей может быть сделана меньше любого сколь угодно малого числа. Другими словами, эта разность как угодно близко подходит к нулю. Можно сказать, что когда число членов стремится к бесконечности, сумма стремится к пределу, равному единице. Но у нас, в царстве ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА, говорят, что сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии
1/2 + 1/22 + 1/23 + ...
равна единице.
- Хмм... - промычал недоуменно Илюша. - Все это, конечно, так, но мне пока еще не верится... Вот чего я не пойму: что значит "сумма всех членов"? Ведь их у нас бесконечное множество. Как же их все сложить? Складывать-то я начну, а как и когда я эти все сложения кончу?
- Замечание, не лишенное смысла! - усмехнулся Радикс. - Однако в этом случае нельзя понимать сложение так, как это ты понимал, когда складывал конечное число слагаемых столбиком в первом классе школы. Здесь надо складывать все большее и большее число слагаемых и при этом проследить, найти и определить, к какому ты пределу приближаешься. Вот этот-то предел мы и называем результатом сложения бесконечно большого числа слагаемых, или их суммой.
- 217 -
В этом смысле мы и говорим, что если просуммировать все члены убывающей геометрической прогрессии:
1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/16 + 1/32 + ...
то в результате и получится сумма, равная единице. Вот тебе еще пример. Возьмем отрезок, равный единице. Разделим его пополам. Затем правую половину раздели опять пополам, правую четверть дели снова пополам, потом правую восьмую еще раз пополам и так далее. Теперь давай складывать. Если возьмем два слагаемых - половину и четверть, - то до единицы нам не будет хватать четверти. Если возьмем три слагаемых, нам не хватит одной восьмой; если четыре - не хватит одной шестнадцатой и так далее. Ну вот, когда ты будешь
увеличивать число слагаемых до бесконечности, то в пределе ты и получишь единицу, то есть тот самый отрезок, равный единице, с которого ты начал. Знай, что одним из первых, кто просуммировал бесконечную убывающую геометрическую прогрессию для решения сложной геометрической задачи, был не кто иной, как Архимед. Вот теперь ты и сам видишь, что мы недаром познакомились с Мишенькой: он помогает нам иной раз сосчитать сумму все уменьшающихся дробей. При этом обрати внимание: сумма получается вовсе не бесконечная, а самая обыкновенная! Как видишь, наше бесконечное чудовище, если оно возьмется за иную задачу, может нам помочь узнать самое обыкновенное конечное число,, с которым мы уже можем действовать как нам заблагорассудится.
- Значит, когда Мишенька растет, в одних случаях может получиться бесконечный предел, вот как первый раз с суммой, в других - нуль, как для синьориты Одной Энной, а в третьих - просто какое-нибудь число, не равное нулю, как только что у нас получилось? - спросил Илюша.
- Совершенно "верно, - отвечал его друг. - Чтобы подтвердить тебе это на знакомом уже примере, вспомним построение с перпендикуляром и наклонной из предыдущей схолии.
Если откладывать вдоль перпендикуляра один за другим равные отрезки и соединять получающиеся на перпендикуляре точки с другим концом основного отрезка, к которому восстановить перпендикуляр, то каждая следующая наклонная будет образовывать с основным отрезком все больший и больший угол. Проследи за углами, на которые поворачивается наклонная при переходе от одной точки на перпендикуляре к следующей, и ты увидишь, что эти углы будут все время уменьшаться и стремиться к нулю. Сумма откладываемых отрезков на перпендикуляре будет стремиться к бесконечности, а сумма углов, о которых мы говорим, будет стремиться к прямому углу, как к пределу.
- 218 -
- Но в результате этого процесса угол ведь станет прямым, - сказал Илюша.
- Ну вот, ты опять за старое! - недовольно промолвил Радикс. - Если поворачивать наклонную, то, конечно, можно повернуть ее на такой угол, чтобы она стала параллельной. Однако и здесь тоже замешана та же бесконечность. И ты легко убедишься в этом, если рассмотришь все промежуточные положения ее. И это очень хорошо понимали греческие ученые времен Архимеда. Если говорить о бесконечном процессе удаления точки по перпендикуляру, то, разбивая этот процесс на бесконечное число последовательных этапов, тем самым вводится и бесконечное число этапов в изменении угла, и мы говорим только о том, что происходит при самом этом процессе; при неограниченном удалении точки по перпендикуляру угол неограниченно приближается к прямому как к своему пределу.
- И никогда его не достигает! - воскликнул Илюша.
Ахиллес, и некая безвестная черепаха состязаются в беге. Черепаха находится вначале на расстоянии ста шагов впереди Ахиллеса, а ползет она в десять раз медленнее его. Все очень просто. Когда Ахиллес пробежит указанное расстояние, черепаха успеет проползти еще десять шагов. Когда Ахиллес пробежит эти десять шагов, черепаха окажется еще на один шаг впереди. Когда Ахиллес пробежит этот шаг, то черепаха, очевидно... Ну, ты и сам видишь - процесс бесконечный, а следовательно, как ты это только что сказал, Ахиллес "никогда" но догонит черепаху.
- Как так? - спросил Илюша. - Ясно, что Ахиллесу надо будет пробежать... сколько же это выходит? .. всего сто одиннадцать шагов, чтобы догнать черепаху...
- Твое слово "никогда", видишь ли, нехорошо в этом случае по той причине, - пояснил Радикс, - что на самом дело ты ведь не имеешь в виду времени, а хочешь только сказать, что в разложении процесса на этапы придется иметь дело с бесконечным числом этих этапов. К фактическому осуществлению вращения наклонной, протекающему в конечный промежуток времени, или к движению Ахиллеса это прямого отношения не имеет. Нас здесь интересует не время, а именно последовательные этапы процесса. Их удобнее всего было бы просто нумеровать: первый этап, второй и так далее, вовсе не упоминая о времени. Если тебе придет в голову разлагать какой-нибудь действительный процесс движения на такого рода этапы, то это будет только воображаемая операция.
- 219 -
И при подсчете времени, например, надо будет учесть, что действительное движение вовсе не обязано считаться с этим разложением и может проскочить через все твои этапы за конечный промежуток времени. Конечно, это все не очень простые вещи. Здесь есть над чем подумать, но мы пока ограничимся этим...
- Ограничимся? То есть как это ограничимся? - снова окрысился командор. - Ведь молодой человек сказал же, что переменная величина (помнится, там шла речь об угле) никогда не достигает своего предела...
- Но теперь я буду это понимать в том смысле... – заторопился Илюша.
- Ни в каком смысле это не верно, молодой человек! Вот рассмотри такое движение наклонной.
Из ее основания по другую сторону основного отрезка я восстановлю к нему перпендикуляр, а около него построю полуокружности одинакового радиуса, с центрами на этом перпендикуляре: одну по одну сторону от него, а следующую, соседнюю с ней снизу, - по другую, и так змейкой все дальше и дальше. Теперь вообрази себе прямую, которая все время проходит через основание этого перпендикуляра и через меняющую свое положение вторую точку, а та, в свою очередь, пробегает построенную тобой змейку сверху вниз. Что будет происходить с этой прямой?
- 220 -
- Она начнет поворачиваться сначала в одну сторону, потом немного меньше в другую, потом опять в ту...
- Вот теперь и проследи, хотя бы для сравнения с наклонной, за верхней частью этой твоей прямой: она будет колебаться около перпендикуляра. И, как ты думаешь, в пределе, когда точка по змейке будет удаляться все дальше и дальше, что же ты сможешь сказать об угле, который образует эта прямая с основным отрезком?
- Этот угол будет стремиться к прямому как к своему пределу, - отвечал Илюша. - Каждый раз, когда точка на змейке будет попадать на перпендикуляр, этот угол будет прямым... Но в конце концов...
- Если точка будет двигаться по змейке, то никакого конца концов тут нет. Только колебания около перпендикуляра будут, как говорится, затухать. Но ты мог бы прекратить строить змейку в каком-нибудь месте и заставить точку бежать дальше по перпендикуляру. Тогда у тебя прямой угол появился бы на соответствующем этапе процесса. И дальше он так бы и оставался прямым на всех дальнейших этапах бесконечного удаления точки вниз по перпендикуляру. И в этом случае ты можешь сказать, что в пределе угол, за изменением которого ты следил, будет равен прямому. В последней нашей схолии мы еще покажем тебе нечто в этом роде.
А вслед за этим командор улетел в неизвестность.
- Только вот чего я еще не понимаю, - сказал, вздыхая, Илюша.
- Ты говоришь, что в случае с Ахиллесом и черепахой мы только воображаем разложение процесса на бесконечное количество этапов и что действительное движение происходит непрерывно, без всяких этих этапов. Тогда зачем же такие разложения рассматривать?
- Видишь ли, - ответил Радикс, - на этот вопрос я тебе сейчас коротко ответить не могу. Дальше мы познакомимся с очень важными задачами, в решении которых бесконечные процессы играют основную роль. Тебе дана некоторая конечная величина; ты начинаешь как бы "исчерпывать" ее, и при этом столь ничтожными частицами, что в пределе действительно приходишь к полному ее "исчерпанию". Такое "исчерпание" конечной величины как раз и является одним из самых сильных средств математики, владея которым она и справляется с вопросами, относящимися к непрерывно изменяющимся переменным. Сейчас я могу только привести еще один, уже немного знакомый тебе пример, в котором оказывается полезным способ представления конечной величины в виде предела суммы неограниченно возрастающего числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю.
- 221 -
- Как это может быть? - спросил Илюша. - Если каждое слагаемое стремится к нулю, то, по-моему, и их сумма...
- Ты забываешь, что их число неограниченно возрастает.
Начнем с простейшего случая. Представь себе, что единицу ты разделишь сначала на две части, возьмешь сумму этих двух дробей и получишь опять единицу. Но совершенно такой же результат получится, если разделить единицу на три части и сложить полученные три дроби, и так далее. Если ты произведешь деление на и равных частей, то каждая из них выразится дробью 1/n, а при неограниченном возрастании n будет бесконечно малой. Но если при каждом значении и составлять сумму и таких дробей, то все время будет получаться единица.
- Единица и есть единица. К чему же разбивать ее на части и потом опять собирать ее в целое из этих частей? - спросил Илюша.
- Представь себе, что часто, и притом в очень важных вопросах, именно этот способ и оказывается чрезвычайно мощным средством, но только, конечно, он применяется не в слишком уж простом виде. Вот послушай, я приведу тебе пример немного посложнее. Ты, конечно, помнишь, что отношение длины окружности к ее диаметру равно числу ?. Так что длина круга с радиусом r будет выражаться числом 2?r. Представь себе, что формула для нахождения площади круга тебе неизвестна. Разбей весь круг на большое число - назовем его опять n - маленьких секторов, разделив окружность на n равных маленьких дужек и соединив точки деления с центром.
Каждый из этих секторов будет при неограниченном увеличении и все больше и больше напоминать равнобедренный треугольник, основание которого очень мало и почти сливается с дужкой, ограничивающей этот сектор. А сумма их площадей будет ведь все время оставаться равной все той же площади круга, совсем как в нашем первом примере.
- 222 -
Однако смысл всего этого в том, что площадь очень узенького сектора можно со все большей и большей точностью вычислять по формуле для площади треугольника, умножив основание - длину дужки - на половину высоты, то есть на половину радиуса. А если теперь собрать снова все это в одно целое, то достаточно умножить сумму длин всех дужек, то есть 2?r, на половину радиуса, и получится выражение для площади круга - ?r2. Если ты интересовался не всем кругом, а только каким-нибудь его сектором, ограниченным дугой длиною l, то можно найти площадь такого сектора, умножив l на половину радиуса. Выходит, что ты действительно можешь совершенно точно получить площадь сектора по формуле площади треугольника, принимая длину дуги за основание, а радиус за высоту. Но сектор с большим центральным углом совсем не похож на треугольник, и ты смог прийти к этому результату здесь только потому, что предпринял то самое деление площади, которое казалось сперва совершенно бессмысленным. Разумеется, эти рассуждения мы провели схематично, в общих чертах; если их немного уточнить, то мы могли бы сказать, что площадь круга определяется нами как предел суммы площадей бесконечно возрастающего числа треугольников, боковые стороны которых равны радиусу, а основания равны неограниченно уменьшающейся хорде маленьких секторов. Ну, а теперь уж, - промолвил в заключение Радикс, - можно, пожалуй, сказать, что у нас в этом трудном вопросе в первом приближении все более или менее в порядке...
- В порядке! Ха-ха-ха! - раздалось откуда-то из-под облаков страшное громыхание плюшевого Мишки-великана.
- Хм! .. - грустно заметил Радикс. - Он, кажется, еще сомневается, все ли ты уразумел?
- Н-не знаю... - неуверенно признался Илюша.
- А не попробовать ли нам сначала? - крикнул Мишка.
- Давай попробуем! - робко сказал Илюша.
И снова вдруг сбежались знакомые человечки, составили формулу, опять Мишка стал маленьким и мирно сидел на тулье цилиндра, но справа появилось много человечков-малюток:
- 223 -
S = a1 (qn - 1) / (q - 1) - a1 / (q - 1) = a1 + a2 + a3 + ... an
- Ну? - вопросительно заявил Мишка.
Мгновенно человечки справа исчезли все, кроме первого, у которого на груди появилась цифра "1". Немедленно в лапке Мишки тоже оказалась единица, а на груди у тощей Суммы появилась та же самая единица.
- Вперед, друзья! - энергично скомандовал Мишка.
Сейчас же вслед за первым человечком появился второй, у которого на груди было число "1/2", в лапке Мишки оказалась уже двойка, а на груди у Суммы появилось не "1", а "1 1/2". Затем появился третий человечек, имя которого было "1/4", и Мишка показал своей лапкой, что это номер третий, а Сумма сложила все три члена, и вышло 1 3/4. Появился еще новый член прогрессии, его звали "1/8". Мишка засвидетельствовал, что это был четвертый номер, а Сумма заявила, что теперь всего выходит 1 7/8. Все было правильно, как заметил Илюша. Затем человечки стали появляться все дальше и дальше, быстро и равномерно выпрыгивая на сцену и мелькая один за другим. Казалось, будто прямо перед тобой проходит лента кинокартины и все понемножку меняется, точно толчками. А вместе с тем все быстрее мелькали номера у Мишки в лапке и менялось число на груди у Суммы. Но самое интересное заключалось в том, что человечки, что ни дальше, стали появляться все скорей и скорей, и наконец глаз почти перестал замечать эти толчкообразные изменения картины, а просто казалось, что длинная-предлинная вереница членов прогрессии все удлиняется и удлиняется. А дальше уже стало казаться, что просто куда-то очень-очень далеко вправо растет длинненькая тоненькая ниточка, и уж нельзя было разобрать, что она состоит из человечков, которых делается все больше и больше... Наконец Мишка взмахнул лапкой и сказал: "Всё!"
Сумма с облегчением вздохнула. На груди ее красовалась цифра "2".
Илюша засмеялся.
- А теперь, - сказал он, - обязательно расскажи мне про бочки, про Великого Механика, про яблоки и веретена и вообще...
- Постой, постой! - сказал Радикс. - Не все сразу! Я должен указать еще тебе, наконец, - и прошу это запомнить всерьез и как следует! - что эта картина приближения к пределу не является единственным объяснением явления предела, есть и другие, не менее, а даже более важные. Но она сравнительно проста и для нас с тобой вполне удовлетворительна. А теперь мне нужно задать тебе еще два-три вопросика, а потом мы пойдем с тобой в гости к двум моим приятелям, которые нас угостят, накормят и напоят чудным кваском.
- 224 -
Скажи, пожалуйста: тебе никогда не приходило в голову, для чего применяются в геометрии формулы?
- Чтобы вычислить что-нибудь, ну, например, длину какого-нибудь отрезка или площадь какой-нибудь фигуры...
- Ты говоришь мне о том применении формул в геометрии, с которым тебе до сих пор приходилось иметь дело. Это естественно. Геометрия ведь и родилась из задач по измерению земли, как указывает ее название. Но ведь, кроме размеров фигуры, нас может интересовать и ее форма. Не правда ли?
- Да, конечно.
- А ты никогда не думал, - продолжал его наставник, - нельзя ли с помощью формул определить также вид или форму какой-нибудь линии?
- Не знаю, - ответил Илюша. - Я не совсем понимаю: как это так определить форму? В каком смысле?
- Вот, например, так. Ты, конечно, знаешь, что такое прямая? Попробуй определи мне прямую как геометрическое место.
- Ну, это нетрудно, - отвечал Илюша. - Вот, например, биссектриса. Она прямая, и вместе с тем она есть геометрическое место точек, лежащих внутри данного угла и равноотстоящих от двух его сторон.
- А если рассматривать окружность?
- Окружность есть геометрическое место точек, равноотстоящих от центра, то есть от данной точки.
- Правильно! Но вот ты видишь, что эти два определения дают тебе две линии различной формы. Следовательно, при помощи старинного понятия геометрического места ты можешь определять кривые, различные по форме. Так как на свете очень много кривых линий, а прямая только одна, то мы ее тоже будем причислять к кривым, а потом выясним, как выделить ее из них. Ты узнаешь далее, почему люди так заинтересовались определением именно формы кривых. Но вот еще что: давай нарисуем прямой угол и проведем его биссектрису.
Илюша нарисовал.
- Будем теперь рассматривать этот чертеж как диаграмму, или график. Разделим обе стороны угла на равные промежутки и дадим делениям номера по порядку.
Илюша сделал и это.
- 225 -
- Теперь посмотрим, как расположена относительно сторон угла биссектриса. Когда на горизонтальной стороне мы найдем четвертую точку деления и восстановим из нее перпендикуляр, то он пересечет биссектрису в точке, которая по вертикальной стороне прямого угла соответствует...
- Тоже четвертому делению, - сказал Илюша. - Да ведь так и должно быть, потому что это биссектриса и обе стороны угла расположены симметрично по отношению к биссектрисе. По-моему так!
- Верно, - отвечал Радикс. - Но если так, значит, деления на сторонах угла позволяют нам определить положение точки внутри угла с помощью двух чисел, выражающих расстояния точки от сторон угла. Раз мы это выяснили, то тем самым мы сделали первый шаг к формулам, потому что формулы относятся именно к числам. Эти два числа называются координатами точки. Расстояние от вершины угла до основания перпендикуляра, опущенного на горизонтальную сторону угла, обычно обозначают буквой х и называют абсциссой точки. Горизонтальную сторону угла называют при этом осью иксов, или осью абсцисс. Другую сторону угла называют осью ординат, или осью игреков. Вторую координату точки - ее расстояние от оси абсцисс - обозначают буквой у, называя это число ординатой точки. Ось иксов и ось игреков называют осями координат, а точку их пересечения - началом координат. Очевидно, что для точки, лежащей в начале координат, и х и у равны нулю. Если двигать точку вправо, то значение х будет увеличиваться, а если ты будешь двигаться вверх, то будет расти значение у.
- Ясно. Если я пойду в левую сторону от оси ординат, то мне уже придется значения х считать отрицательными, а если пойду вниз, ниже осп абсцисс, то там надо значения у считать отрицательными.
- Совершенно верно. Теперь ты сможешь определить положение любой точки на плоскости с помощью двух чисел. Ну, а теперь подумаем, нельзя ли нам как-нибудь записать с помощью формулы то свойство биссектрисы, о котором мы только что говорили. Какую бы точку ни взять на биссектрисе, для нее длины перпендикуляров, опущенных на обе стороны угла, должны быть равны...
- 226 -
- То есть абсцисса и ордината всякой точки на биссектрисе равны между собой! - воскликнул Илюша. - Это я понимаю, но как же это записать, если абсцисса и ордината могут принимать какие угодно числовые значения? Когда, например, х равен единице, то и у должен равняться единице; когда х равен двум, то и у равен двум...
Илюша внимательно посмотрел на чертеж, потом на своего друга, немного поколебался и написал:
у = х.
- Правильно! - сказал Радикс. - Если ты будешь искать на плоскости те точки, координаты которых удовлетворяют этому условию, то ты как раз и получишь твою биссектрису.
Мы будем называть такие равенства, переводящие свойства геометрических образов на алгебраический язык, уравнениями кривых. Такие уравнения определяют положение точек по отношению к выбранным координатным осям. Кстати сказать, угол между осями необязательно нужно брать прямой. Вообще можно определять положение точки на плоскости и другими способами, то есть можно применять, как говорят, различные системы координат. Некоторые элементы такого рода системы употреблялись еще в Древней Греции, у Аполлония Пергейского (эллинистическая эпоха, время Архимеда).
- 227 -
А у нас здесь самая простая система прямоугольных координат на плоскости. Она потому так называется, что угол между осями прямой. Их называют также декартовыми, по имени замечательного француза, крупнейшего математика и философа Ренэ Декарта, жившего в семнадцатом веке, который впервые ввел их в науку. Их называют еще картезианскими, ибо ведь в то время ученые сочинения писали по-латыни и имена авторов тоже переделывали на латинский лад, а по-латыни Декарт называл себя Картезием. Однако надо тебе знать, что впервые метод координат был предложен тем самым удивительным математиком Пьером Ферма, с чьей замечательной теоремой ты недавно познакомился. Это было в тридцатых годах семнадцатого столетия, хотя некоторые схожие с этим методом приемы были известны еще древним. Ферма много и плодотворно занимался вопросом о значении понятия геометрического места, и вот в результате этих его размышлений и опытов родился на белый свет метод координат. В одной из своих работ великий французский геометр говорил, что он придумал этот метод специально для изучения вопроса о геометрических местах и что он уверен, что благодаря этому новому способу анализа изучение этой отрасли геометрии станет для всех доступным.