15. Доказуемость и истина

Крупной вехой в истории математической логики стал 1931 г. Именно в этом году Гёдель опубликовал знаменитую теорему о неполноте. Свою эпохальную работу[8] он начинает следующими словами:

«Развитие математики в направлении все большей точности привело к формализации целых ее областей, в связи с чем стало возможно проводить доказательства, пользуясь небольшим числом чисто механических правил. В настоящий момент наиболее исчерпывающими системами являются, с одной стороны, система аксиом, предложенная Уайтхедом и Расселом в работе „Princlpia Mathematica“, а с другой — система Цермело — Френкеля в аксиоматической теории множеств. Обе эти системы настолько обширны, что в них оказывается возможным формализовать все методы доказательства, используемые сегодня в математике, — иначе говоря, все эти методы могут быть сведены к нескольким аксиомам и правилам вывода. Поэтому, казалось бы, разумно предположить, что указанных аксиом и правил вполне хватит для разрешения всех математических проблем, которые могут быть сформулированы в пределах данной системы. Ниже будет показано, что дело обстоит не так. В обеих упомянутых системах имеются сравнительно простые задачи из теории обычных целых чисел, которые не могут быть решены на базе этих аксиом».[9]

Далее Гёдель объясняет, что такая ситуация обусловлена отнюдь не какими-то специфическими особенностями двух упомянутых систем, но имеет место для обширного класса математических систем.

Что имеется в виду под «обширным классом» математических систем? Это выражение интерпретировалось по-разному, и соответственно по-разному обобщалась теорема Гёделя. Как ни странно, одно из самых простых и доступных для неспециалиста объяснений остается наименее известным. Это тем более удивительно, что на такое объяснение указывал и сам Гёдель во вводной части своей первой работы. К нему мы сейчас и обратимся.

Рассмотрим систему аксиом со следующими свойствами. Прежде всего пусть у нас имеются имена для различных множеств положительных целых чисел, причем все эти «именуемые», или допускающие наименование, множества мы можем расположить в виде бесконечной последовательности A₁, A₂…, A_n… (точно так же, как в системе Фергюссона, рассмотренной в предыдущей главе). Назовем число n индексом именуемого множества А, если А=n. (Таким образом, если, например, множества A₂, A₇ и A₁₃ совпадают между собой, то тогда числа 2, 7 и 13 — это все индексы одного и того же множества.) Как и для системы Фергюссона, с каждым числом x и с каждым числом у мы связываем утверждение, записываемое в виде x ? A_y, которое называется истинным, если x принадлежит А у, и ложным, если x не принадлежит A_y. Однако в дальнейшем мы не предполагаем, что утверждения типа x ? A_y являются единственно возможными утверждениями в данной системе, поскольку могут существовать и другие. Предполагается также, что любое возможное утверждение обязательно классифицируется либо как истинное, либо как ложное.

Каждому утверждению в данной системе присваивается некий кодовый номер, который мы будем называть геделевым номером, причем гёделев номер утверждения x ? A_y будем обозначать x*y. (Теперь уже нет нужды предполагать, что число x*y состоит из цепочки единиц длиной х, за которой следует цепочка нулей длиной у; сам Гёдель фактически использовал совсем другую кодовую нумерацию. Можно пользоваться самыми разными видами кодовой нумерации, и какой вид оказывался более удобным — это зависит от конкретного вида рассматриваемой нами системы. Так или иначе, для доказательства той общей теоремы, которую мы скоро докажем, нет необходимости вводить какую-то конкретную гёделеву нумерацию.)

Определенные утверждения в данной системе принимаются как аксиомы; кроме того, вводятся также некие специальные правила, по которым можно на основании этих аксиом доказывать различные другие утверждения. Таким образом, в данной системе имеется вполне определенное свойство утверждения, называемое его доказуемостью. Далее предполагается, что система правильна в том смысле, что каждое доказуемое в этой системе утверждение является истинным; отсюда, в частности, следует, что если утверждение x ? A_у доказуемо в данной системе, то число x действительно является элементом множества A_y.

Пусть P — это набор гёделевых номеров всех доказуемых в данной системе утверждений. Пусть опять же для любого множества чисел А его дополнение обозначается символом A? (это множество всех чисел, не принадлежащих А). Наконец, через А* мы будем обозначать множество всех чисел х, для которых число x*х принадлежит А. При этом нас будут интересовать системы, для которых выполняются следующие три условия G₁, G₂ и G₃:

Условие G₁. Множество P допускает наименование в данной системе. Иначе говоря, существует по крайней мере одно число р, для которого А_р представляет собой множество гёделевых номеров доказуемых утверждений. (Для системы Фергюссона таким р было число 8.)

Условие G₂. Дополнение любого множества, допускающего наименование в данной системе, также именуемо в этой системе. Иначе говоря, для любого числа x найдется такое число х', для которого множество А_x' является дополнением множества А_х. (Для системы Фергюссона таким x' было число 3·х.)

Условие G₃. Для любого именуемого множества А множество А* также именуемо в данной системе. Иначе говоря, для любого числа x всегда найдется такое число х*, что множество А_x, — представляет собой, множество всех чисел n, для которых n*n принадлежит А_x. (Для системы Фергюссона таким х* было число 3·x + 1.)

Очевидно, что условия F₁, F₂ и F₃, характеризующие машину Фергюссона, представляют собой не более чем частные случаи условий G₁, G₂ и G₃. Последние имеют большое значение потому, что они действительно выполняются для самых разнообразных математических систем, в том числе и для тех двух систем, которые рассмотрены в работе Гёделя. Другими словами, оказывается возможным расположить все допускающие наименование множества в виде бесконечной последовательности A₁, A₂…, A_n… и ввести для всех утверждений некоторую частную нумерацию Гёделя, причем так, что будут выполняться условия G₁, G₂ и G₃. В результате все то, что является доказуемым для систем, удовлетворяющих условиям G₁, G₂ и G₃, будет применимо ко многим другим важным системам. Теперь мы можем сформулировать и доказать теорему Гёделя в общей форме.

Теорема G. Для любой правильной системы, удовлетворяющей условиям G₁, G₂ и G₃, должно существовать утверждение, которое является истинным, но недоказуемым в данной системе.

Доказательство теоремы G представляет собой простое обобщение доказательства, которое уже известно читателю для системы Фергюссона. Обозначим через К множество таких чисел х, для которых элемент x*x не принадлежит множеству P. Поскольку множество P (согласно условию G₁) именуемо в данной системе, то же можно сказать и о его дополнении P? (согласно условию G₂), а следовательно, и о множестве P?* (согласно условию G₃). Но множество P?* совпадает с множеством К (поскольку P?* — это множество таких чисел х, для которых х*x принадлежит P?, или, другими словами, множество таких чисел х, для которых элемент x*x не принадлежит P). Таким образом, множество К допускает наименование в данной системе, откуда следует, что К = А_k по крайней мере для одного числа k. (Для системы Фергюссона одним из таких значений k было число 73, другим — число 75.) Таким образом, для любого числа x истинность утверждения x ? A_k равносильна утверждению, что число x*x не принадлежит P, а это в свою очередь означает, что утверждение x ? A_x недоказуемо (в данной системе). В частности, если мы возьмем в качестве x число k то истинность утверждения k ? A_k будет равносильна его недоказуемости в данной системе, что означает либо истинность, но недоказуемость этого утверждения, либо его ложность, но доказуемость в той же системе. Но последняя возможность исключена, поскольку мы предположили, что наша система является правильной; следовательно, указанное утверждение истинно, но недоказуемо в данной системе.

Обсуждение. В своей предыдущей книжке «Как же называется эта книга?» я рассматривал аналогичную ситуацию — остров, все жители которого делятся на рыцарей, которые всегда говорят только правду, и плутов, которые всегда лгут. При этом некоторых рыцарей мы называли признанными рыцарями, а некоторых плутов — отъявленными плутами. (Все рыцари высказывают истинные суждения, а признанные рыцари высказывают утверждения, которые не только истинны, но и доказуемы.) Далее, ни один из жителей острова не может сказать: «Я не рыцарь» — ведь рыцари никогда не лгут и, стало быть, рыцарь не станет говорить, будто он не рыцарь; плут же никогда не скажет о себе правдиво, что он не рыцарь. Именно поэтому ни один из обитателей острова никак не может заявить, что он не рыцарь. Вместе с тем некий островитянин вполне может сказать: «Я непризнанный рыцарь». Противоречия в таком заявлении нет, однако вот что интересно: сказавший это наверняка должен быть рыцарем, но непризнанным рыцарем. Дело в том, что плут никак не может сделать правдивого заявления, что он непризнанный рыцарь (поскольку он и в самом деле им не является); стало быть, говорящий должен быть рыцарем. Но раз он рыцарь, то, значит, должен говорить правду; стало быть, он рыцарь, но, как он сам утверждает, — непризнанный рыцарь. (Точно так же высказывание k ? A_k выдающее свою недоказуемость в данной системе, должно быть истинным, но недоказуемым в этой системе.)

Утверждения Гёделя и теорема Тарского

Рассмотрим теперь систему, удовлетворяющую условиям G₂; и G₃ (условие G₁ пока несущественно). Ранее мы определили P как множество гёделевых номеров всех утверждений, доказуемых в данной системе; пусть теперь Т будет множеством гёделевых номеров всех истинных утверждений в этой системе. В 1933 г. логик Альфред Тарский поставил вопрос: «Именуемо ли множество Т в данной системе или нет?» — и ответил на него. Ответ может быть получен на основе лишь условий G₂ и G₃. Однако, прежде чем говорить об этом, обратимся сначала к вопросу не меньшей важности — о системах, которые удовлетворяют по крайней мере условию G₃.

Для любого заданного утверждения X и любого множества положительных целых чисел А мы будем называть X гёделевым утверждением для A, если либо X истинно и его гёделев номер принадлежит A, либо X ложно и его гёделев номер не принадлежит A. (Подобное утверждение можно представлять себе как высказывание о том, что его собственный гёделев номер принадлежит A: если это утверждение истинно, то его гёделев номер действительно принадлежит A; если же оно ложно, то его гёделев номер не принадлежит A.) Далее, мы будем называть систему гёделевой в том случае, если для каждого множества A, допускающего наименование в этой системе, существует хотя бы одно гёделево утверждение для A.

При этом самым существенным для нас пунктом является следующая теорема.

Теорема С. Если система удовлетворяет условию G₃, то эта система является гёделевой.

1. Докажите теорему С.

2. В качестве частного случая рассмотрите систему Фергюссона. Найдите гёделево утверждение для множества A₁₀₀.

3. Предположим, что некоторая система является гёделевой (даже если она и не удовлетворяет условию G₃). Если эта система правильна и удовлетворяет условиям G₁, и G₂, то обязательно ли она содержит утверждение, которое является истинным, но недоказуемым в данной системе?

4. Пусть Т — множество гёделевых номеров всех истинных утверждений. Существует ли гёделево утверждение для Т? Существует ли гёделево утверждение для множества T?, то есть дополнения Т?

Вот теперь мы наконец можем ответить и на вопрос, поставленный Тарским. В самой общей форме теорема Тарского формулируется следующим образом:

Теорема Т. Для любой заданной системы, удовлетворяющей условиям G₂ и G₃, множество Т гёделевых номеров истинных утверждений не именуемо в данной системе.

Примечание. Иногда слово «именуемо» заменяется словом «определимо», в результате чего теорему Т формулируют так: для достаточно богатой системы истинность в ее рамках не определима в пой системе.

5. Докажите теорему Т.

6. Следует отметить, что, доказав теорему Т, мы сразу и в качестве непосредственного следствия получаем теорему G. Может ли читатель сообразить, как это сделать?

Двойственная форма доказательства Гёделя

Те системы, которые, как доказал Гёдель, являются неполными, обладают также следующим свойством: с каждым утверждением X связано утверждение X', о называется отрицанием X, которое истинно в том только том случае, если утверждение X ложно. Далее, если X' — отрицание некоего утверждения X — доказуемо в данной системе, то само утверждение X называется опровержимым в данной системе. Если предположить, что система правильна, то ни одно ложно, утверждение в этой системе не будет доказуемо и ни одно истинное утверждение не будет в ней опровержимо.

Ранее мы убедились, что условия G₁, G₂ и G₃ влекут за собой существование некоего гёделева утверждения, или высказывания, G для множества, также что такое утверждение G является истинным, не. недоказуемым в данной системе (предполагая, конечно, что система правильна). Но поскольку G истинно, оно не может быть опровержимым в этой системе (опять, же в предположении правильности системы). Значит утверждение G в данной системе и не доказуемо, и неопровержимо. (Такое утверждение называется неразрешимым в данной системе.)

В своей монографии «Теория формальных систем»[10] (1960 г.) я рассматривал «двойственную» форму доказательства Гёделя, а именно: что будет, если вместо высказывания, утверждающего свою недоказуемость, построить высказывание, утверждающее свою опровержимость? Более строго эту проблему можно сформулировать так. Пусть R — множество гёделевых номеров опровержимых утверждений. Предположим, что X — гёделево утверждение для R. Что можно сказать о свойствах утверждения X?

Высказанная здесь идея развивается нами в следующей задаче.

7. Рассмотрим теперь правильную систему, которая удовлетворяет условию G₃, а вместо условий G₁, G₂ потребуем выполнения следующего условия.

Условие G'₁. Множество R именуемо в данной системе. (Таким образом, мы предполагаем, что система правильна и удовлетворяет условиям G₁ и G₃.)

а. Показать, что существует такое утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в данной системе.

б. Рассмотрим следующий частный случай: пусть нам дано, что A₁₀ — это множество R и что для любого числа n множество A_5*n представляет собой множество (таких чисел х, для которых число x*x принадлежит А_n (здесь мы имеем частный случай условия G₃). Задача теперь состоит в том, чтобы найти утверждение, которое было бы и недоказуемым, и неопровержимым и данной системе, а также определить, является ли это утверждение истинным или ложным.

Примечания. 1. Гёделев метод получения неразрешимого утверждения сводится к построению гёделева утверждения для множества P? — дополнения P; такое утверждение (его можно рассматривать как высказывание, утверждающее собственную недоказуемость) должно быть истинным, но недоказуемым в данной системе. Двойственный метод сводится к построению гёделева утверждения не для множества P?, а для множества R; такое утверждение (его можно рассматривать как высказывание, утверждающее собственную опровержимость) должно быть ложным, но неопровержимым. (Поскольку оно ложно, оно так же недоказуемо и, следовательно, неразрешимо в данной системе.) Следует отметить, что те системы, которые рассматриваются в оригинальной работе Гёделя, удовлетворяют всем четырем условиям — G₁, G₂, G₃ и G₁, так что для построения неразрешимых утверждений можно использовать как тот, как и другой метод.

2. Высказывание, которое утверждает собственную недоказуемость, можно сравнить со словами того обитателя острова рыцарей и плутов, который заявляет, будто он непризнанный рыцарь, точно гак же высказывание, утверждающее свою собственную опровержимость, можно уподобить словам такого обитателя острова, который заявляет, что он отъявленный плут; этот человек и в самом деле мошенник, но неотъявленный. (Предоставляю читателю возможность доказать это самому.)