Решения

1. Одно из решений состоит в том, чтобы принять X = 4325243 и Y = 524325243. Поскольку число 25243 порождает число 5243, то число 325243 порождает ассоциат 5243, или число 524325243, которое и есть Y.

Далее, так как число 325243 порождает Y, то число 4325243 порождает обращение Y, но 4325243 — это как раз и есть X. Таким образом, X порождает обращение Y. Кроме того. Y, очевидно, порождает повторение X (потому что Y — это есть число 52X, а поскольку число 2X порождает X, то число 52X будет порождать повторение X). Итак, X порождает обращение Y, а Y порождает повторение X.

2. Крейг воспользовался законом Мак-Каллоха, а именно: для любого числа А существует некоторое число X (а именно число 32A3), которое порождает число АХ. Так, в частности, если мы примем А за число 2, то получим некоторое число X (а именно число 3223), которое порождает 2X. Число же 2X в свою очередь будет порождать X. Таким образом, в качестве решения этой задачи подходит пара чисел 3223 и 23223: 3223 порождает 23223, а 23223 порождает 3223.

3. Крейг решил эту задачу следующим способом. Он рассудил, что ему надо всего лишь найти такое число X, которое порождает 27X. Тогда, положив Y = 27X, мы получим, что число X порождает Y, а число Y порождает 7X. Такое число X он тоже нашел — это число 32273. Поэтому решение Крейга имеет вид: X = 32273, Y = 2732273.

То же самое происходит, конечно, и в том случае, если вместо конкретного числа 7 мы возьмем любое число А. В самом деле, если X = 322АЗ, а Y = 2A322АЗ, то число X будет порождать Y, а число Y будет порождать АХ.

4. Что же касается Мак-Каллоха, то он подошел к решению данной задачи несколько иначе. Он начал с того, что стал искать такое число Y, которое порождает 72Y. Теперь, если обозначить через X число 2Y, то мы получаем, что число X порождает Y, а число Y порождает 7X. При этом нам уже известно, как найти такое число Y — надо взять Y = 32723. Итак, решение Мак-Каллоха имеет вид: X = 232723, Y = 32723.

5. Единственное, что нам нужно — это найти такое число X, которое порождало бы число А2ВХ. Тогда, если мы положим Y = 2ВХ, то будем иметь, что число X порождает АY, а число Y порождает BX. Таким числом X, которое порождает А2ВХ, является число 32А2ВЗ. Стало быть, решение задачи выглядит так: X = 32A2ВЗ, Y = 2B32A2ВЗ. (В частном случае А = 7, В = 8 и решением будет X = 327283, Y = 28327283.)

6. Сначала попробуем решить эту задачу с помощью второго принципа Крейга, который, как мы помним, гласит, что для любого операционного числа M и для произвольного числа А существует некоторое число X (а именно число М32АМЗ), которое порождает М(АХ). Возьмем теперь два любых операционных числа M и N. Тогда, согласно этому принципу (если взять в качестве А число N2), найдется некое число X (а именно число M32N2M3), которое порождает число M(N2X). Ясно также, что число N2X порождает N(X). Поэтому если обозначить число N2X через Y, то мы получим, что число X порождает М(Y), а число Y порождает N(X). Следовательно, решение задачи имеет вид: X = M32N2M3, Y = N2M32N2M3. (Для конкретной задачи, предложенной Фергюссоном, положим M = 4 и N = 3, тогда решение будет таким: X = 4323243, Y = 324323243, читатель сам может убедиться в том, что X порождает обращение Y, а Y порождает ассоциат X; последняя часть этого утверждения особенно очевидна.)

Можно подойти к решению этой задачи и по-другому. Из решения задачи 5 мы знаем, что существуют числа Z и W, при которых Z порождает NW, a W порождает MZ (а именно числа Z = 32N2M3 и W = 2M32N2M3). Тогда, согласно утверждению 1 из предыдущей главы, число MZ порождает M(NW), a число NW порождает N(MZ). Поэтому если мы обозначим MZ через X, a NW через Y, то сразу получим, что число X порождает М(Y), а число Y порождает N(X). Таким образом, мы получаем то же самое решение: X = M32N2M3 и Y = N2M32N2M3.

7. Здесь нам необходимо найти такое число X, которое порождало бы число М(AN2BX); согласно второму принципу Крейга, таким числом X является число M32AN2BM3. Возьмем N2BX в качестве Y; тогда число X порождает М(AY), а число Y (которое есть N2BX), очевидно, порождает N(BX). Итак, общее решение задачи (или, по крайней мере, одно из возможных общих решений) имеет вид: X = M32AN2BM3, Y = N2BM32AN2BM3. Для конкретного частного случая положим M = 5, N = 4, А = 7 и В = 89.

8. Согласно второму принципу Крейга, существует некоторое число X, которое порождает М(2ВХ), а именно X = М322ВМЗ. Положим теперь Y = 2ВХ. Тогда X порождает М(Y), а Y порождает BX. Для конкретного частного случая примем M = 3 и В = 78; при этом решение будет иметь вид: X = 33227833, Y = 27833227833.

9. а) Возьмем некоторое число X, которое порождает M(AN2X), и обозначим через Y число N2X. (Мы можем взять X равным M32AN23, a Y = N2M32AN23.) Тогда X порождает М(AY), а Y порождает N(X).

б) Теперь возьмем X, которое порождает М(А2ВХ), и обозначим через Y число 2ВХ. (Итак, в этом случае решение имеет вид: X = М32А2ВЗ, Y = 2ВМ32А2ВЗ.)

в) Если число X порождает М(Y), а Y = 2X, то мы сразу имеем решение задачи; поэтому положим X = М322МЗ, Y = 2М322МЗ.

г) Если X порождает М(AY), а Y = 2X, то мы сразу получаем требуемое решение; поэтому положим X = М32А2МЗ и Y = 2М32А2МЗ.

10. Согласно второму принципу Крейга, существует некое число X, которое порождает M(N2P2X), a именно X = M32N2P2M3. Положим Y = N2P2X, тогда число X порождает М(Y). Пусть теперь Z = P2X, тогда Y = N2Z; при этом число Y порождает N(Z), а число Z порождает P(X). Таким образом, в явном виде решение будет таким: X = M32N2P2M3, Y = N2P2M32N2P2M3, Z = P2M32N2P2M3.

Для частного случая это решение имеет вид: X = 432523243, Y = 5232432523243, Z = 32432523243.

Читатель сам может легко убедиться, что действительно X порождает обращение Y, Y порождает повторение Z, a Z порождает ассоциат X.

Кстати говоря, для любых трех чисел А, В и С мы всегда можем найти такие числа U, V и W, при которых U порождает AV, V порождает BW, a W порождает CU. Для этого надо просто взять такое число U, которое порождало бы число А2В2СU (если же мы воспользуемся вторым принципом Крейга, то получим U = 32A2B2C3). Положим теперь V = 2B2CU и W = 2CU. Тогда число U будет порождать AV, число V будет порождать BW, а число W будет порождать CU. Наконец, если теперь принять А, В и С за операционные числа и положить X = AV, Y = BW и Z = CU, то мы получим, что число X порождает A(Y), число Y порождает B(Z), а число Z порождает С(X). Таким образом, мы нашли еще один способ решения данной задачи.