ГЛАВА 6 Крах универсальной арифметики

Пифагорейская картина совершенного музыкального космоса, основанная на священном числе, столкнулась с большой проблемой: это число должно быть целым. Хотя дроби были уже известны, греческая арифметика игнорировала их. Однако сама теорема Пифагора несла в себе зерна разрушения, и чтобы они проросли, надо было всего лишь произвести некоторые простые, но фатальные расчеты. Появление иррациональных чисел означало крах пифагорейской универсальной арифметики.

Нельзя утверждать, что пифагорейцы не имели никакого представления о дробях. Последователи самосского мудреца использовали эквивалентную дробям концепцию соотношений между целыми числами, которые позволяли им, к примеру, объяснять звуковую гармонию двух струн, выражая ее в отношениях их длин: 2:1, 3:2, 4:3... Дроби были известны математике еще со времен Месопотамии, где они использовались в повседневной жизни — например, в торговле для обозначения частей денежных единиц. Но при всем этом во времена пифагорейцев математики считали дроби чем-то несовершенным и бесполезным.

Может быть точно установлено, как две величины, А и В, соотносятся друг с другом, с использованием только целых чисел.

На рисунке верхняя строка длиннее нижней, а нижняя — в 13/20 раза короче верхней.

Самое прочное убеждение последователей Пифагора, опора их арифметической вселенной, состояло в том, что любые две величины всегда соизмеримы, то есть их всегда можно сопоставить с двумя целыми числами. Принцип соизмеримости относится к тому, что сегодня называют рациональными числами. Рациональное число — это число, которое можно представить как дробь, то есть отношение, или коэффициент, между двумя целыми числами (при этом делитель не должен быть равен нулю). Пифагорова соизмеримость может быть представлена как закон, согласно которому точно устанавливается, во сколько раз величины А и В больше (или меньше) одна другой. В современных математических терминах мы бы сказали, что две произвольные величины А и В соизмеримы тогда, когда существует третья величина С и два целых числа р и q, так чтобы С укладывалось р раз в А и q раз — в В.

КЛАССИФИКАЦИЯ ЧИСЕЛ

Современная математика определяет число как элемент множества, который обладает некоторыми свойствами. Так, существуют множества N, Z, Q, R и С, которые представляют собой последовательные ступени, начиная с множества натуральных чисел N.

— Комплексные (С): сумма вещественного и мнимого чисел.

— Вещественные (R): совокупность рациональных и иррациональных чисел.

• Рациональные (Q): числа, которые могут быть представлены как одно целое число, деленное на другое целое число (а точнее, на натуральное положительное число), то есть как дробь общего вида т/п с числителем т и знаменателем п, отличным от нуля. Термин «рациональные» происходит от латинского ratio («соотношение»).

• Иррациональные: числа, которые не могут быть выражены дробью вида т/п, где т и п представляют целые числа и п отлично от нуля, или для которых дробь является бесконечной, как, например, 3, 1415... (?), 2, 7182... (е), 1, 6180... (Ф) или 1, 4142135... (?2). Всякое вещественное число, не являющееся рациональным, иррационально.

— Мнимые: комплексные числа с нулевой вещественной частью, к примеру 5/ (где / = VI1). Это число вида z = х + /у, где х = 0.

В группе рациональных чисел выделяют:

— целые (Z): совокупность чисел, которые включают натуральные числа, отличные от нуля, отрицательные числа и ноль;

— натуральные (N): любое число, которое может служить для счета. Это числа 1, 2, 3, 4...;

— ноль: числовой знак с пустым значением, который в позиционной записи занимает место, где нет никакой значимой цифры;

— целые отрицательные: вещественные числа меньше нуля. Противоположностью отрицательного числа является число положительное, и наоборот. Единственное число, одновременно и положительное, и отрицательное, — это ноль;

— дробные: числа, которые представляют собой одну величину, деленную на другую.

В пределах группы натуральных чисел различаются:

— простые числа: числа больше 1, которые делятся только на себя и на 1. Например, простыми числами являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... 2 — это единственное четное простое число;

— составные числа: любое натуральное не простое число, кроме 1 и О, которые имеют 1 и более делителей, отличных от 1 и от них самих. Они называются также делимыми. К таким числам относятся, например, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18... 

Но идеальный мир, где все так прекрасно подогнано друг к другу, не мог выдержать натиска реальности. Парадоксальным образом простые вычисления на основе именно теоремы Пифагора могли свести на нет всю эту стройную конструкцию. И так как именно пифагорейцы были наиболее продвинутыми математиками своей эпохи, это был лишь вопрос времени — кто из них первым выполнит губительные вычисления.

ГИППАС ИЗ МЕТАПОНТА

Математик и философ Гиппас родился около 500 года до н.э. в городе Метапонте в Тарентском заливе, Южная Италия. Дата его смерти неизвестна, и на этом, вероятно, строится легенда, связанная с ним. Кроме несоизмеримости, математику приписывают два важных открытия: применение додекаэдра в качестве приближения шара и открытие числовых соотношений основных музыкальных аккордов путем экспериментов со звуком.

Есть надежные свидетельства о том, что Гиппас ставил акустические опыты и изучал резонанс, поэтому его считают теоретиком музыки. Согласно легенде, он не только доказал существование иррациональных чисел, но и нарушил пифагорейский закон молчания, поведав о своем открытии миру. Дошедшие до нас документы того времени приводят различные версии его смерти, но ни одну из них нельзя считать достоверной.

МИР (ПОЧТИ) СОВЕРШЕННЫЙ

Практически установлено, что математическое открытие существования отрезков, взаимно несравнимых, то есть несоизмеримых, произошло в пифагорейской школе не позднее чем в 420 году до н.э. Так как пифагорейцы весьма интересовались тройками целых чисел, которые могли представлять соотношения сторон прямоугольного треугольника, понятно, что они должны были открыть эти новые соотношения, хотя некоторые исследования указывают и на другие возможности, о которых мы поговорим позже. Как правило, исследования по истории математики согласны с традицией, которая приписывает обескураживающее открытие иррациональных чисел Гиппасу из Метапонта. По одной из версий, в качестве наказания за то, что он ввел в мир элемент, не отвечающий основополагающему принципу секты, — что все явления Вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям, — члены братства сбросили Гиппаса с борта корабля. На самом деле мы не знаем в точности, каким образом были открыты иррациональные числа. Традиция гласит также, что Гиппас изучал свойства квадрата. Хотя это и весьма простая фигура, пифагорейцы не знали никого, кому удалось бы вычислить ее диагональ: это удалось сделать Гиппасу с помощью теоремы Пифагора. В поисках универсального доказательства этот математик смог вычислить диагональ, приняв сторону квадрата за 1. Далее следовала простая операция: оставалось разбить квадрат на два треугольника и применить теорему Пифагора для вычисления их гипотенузы (см. рисунок). В равнобедренном прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату катета. Если длину катетов принять за 1, какой будет длина гипотенузы? Полученное число не будет ни целым, ни дробью... Оно будет несоизмеримым. В современной математической терминологии мы бы сказали, что прямоугольный треугольник с катетами, равными 1, имеет гипотенузу длиной ?2, и это иррациональное число. Но во времена Гиппаса это открытие потрясало основы пифагорейской философии.

Этот результат не только показывал, что гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника несоизмерима с катетами, но и поставил греческую математику перед фундаментальной проблемой.

Графическое представление доказательства Гиппаса из Метапонта. Математик из Великой Греции вычислил диагональ квадрата — величину, до тех пор неизвестную, — использовав теорему Пифагора.

Пифагорейцы постулировали абсолютную связь между числом и геометрией, но существование несоизмеримых величин подрывало сами основы этих отношений. Конечно, из-за этого члены братства не перестали изучать длины и соотношения в геометрии, но ограничились числовыми соотношениями только в тех случаях, когда они были соизмеримы. Со временем геометрические величины дистанцировались от величин числовых, так что те и другие стали изучаться раздельно. Введение понятия несоизмеримости убедило греческих математиков в том, что геометрия должна развиваться независимо от арифметики. Так разрушалась пифагорейская традиция, которая не делала различия между этими областями знания. Из «Диалогов» Платона ясно видно, что уже в его время геометрия считалась отдельной наукой.

Каким образом пифагорейцы так поздно заметили этот слабый пункт, который привел к кризису их систему? Что они ожидали найти в диагонали квадрата? Согласно теореме Пифагора, для квадрата со стороной 1 построенный на его диагонали квадрат будет иметь площадь, равную 2, и, таким образом, длина d данной диагонали должна быть числом, которое при возведении в квадрат дает 2 (то есть (d2 = 2). Здесь на сцену возвращается ?2. Величина ?2 была длиной отрезка, который можно, опираясь на квадрат, легко построить с помощью линейки и циркуля. Естественным было и предположение, что введя некую величину u (меньшую 1), можно было ею одновременно измерить и сторону (1), и диагональ (?2) квадрата? Очевидным было предположение, что сторона и диагональ квадрата должны быть соизмеримы. Однако это оказалось не так.

Такая постановка задачи приводит к следующему выводу: при умножении общей единицы и на некое целое число п должна получиться длина стороны 1 = nu, а при умножении ее на другое целое число m получается длина диагонали ?2 = mu. Следовательно, должно быть верно следующее:

Иными словами, соизмеримость предполагает, что ?2 представляет собой дробь вида m/n, где m и n — целые положительные числа. Идя по этому пути, пифагорейцы столкнулись с весьма неприятным результатом: они выяснили, что существуют числа, которые невозможно выразить через отношение целых чисел, и это открытие было несовместимо с их идеей универсальной арифметики. Последователи учителя назвали соизмеримыми соотношениями те, которые можно было выразить целыми числами, что означало, что обе величины могли быть измерены некоей общей единицей, а остальные — несоизмеримыми соотношениями.

Таким образом, то, что в современной математике выражается как

?2/2,

есть несоизмеримое соотношение.

ПЕНТАГРАММА ГИППАСА

История Гиппаса с ее совершенной фабулой, включая драматический финал, сочетает в себе элементы, которым позавидовал бы любой писатель: простой квадрат таит в себе семена разрушения, недальновидный член братства открывает ящик Пандоры... На самом деле не существует доказательств, что эти факты действительно имели место, и невозможно утверждать, что именно Гиппас открыл несоизмеримость квадрата. Еще одна легенда приписывает ему совсем другое доказательство существования несоизмеримости. В истории он остался человеком, который предъявил публике шар, составленный из 12 пятиугольников. Правильный пятиугольник — это математическая фигура, на которой относительно легко продемонстрировать свойство несоизмеримости, особенно с помощью древнего метода бесконечного спуска, который имел фундаментальное для греческой математики значение. С его помощью находили, к примеру, наибольший общий делитель двух чисел.

Метод состоит в следующем: даны две различные величины (a, b), где a < b, и из большей вычиталась меньшая; получалась новая величина b — a, и она вычиталась из a, и так далее. Эта процедура неприменима к паре величин (a и b), если они несоизмеримы. Когда a и b представляют собой натуральные числа, можно определить их наибольший общий делитель (НОД). Данная процедура, называемая евклидовым алгоритмом, всегда конечна и приводит к точному результату. Если процедура бесконечна, то наибольшего общего делителя не существует, и величины несоизмеримы. Эта теорема — мы не будем ее здесь приводить — была доказана Евклидом в книге X «Начал»: «Если даны две величины, и при последовательном вычитании меньшей из большей остаток никогда не сравняется с предыдущей величиной, то эти две величины несоизмеримы ».

Демонстрация существования несоизмеримых отрезков в пентаграмме.

Как видно на рисунке, диагонали правильного пятиугольника образуют другой правильный пятиугольник и так далее. Для цепочки пятиугольников, получаемых с помощью такого процесса, действительны отношения АЕ =АВ' и B'D =В'Е, где AD - АЕ = В'Е и аналогичным образом АЕ = ED' = ЕА' и В'Е' = B'D = ?'?, следовательно, АЕ - ?'?' = В'А', и так далее до бесконечности.

Из этого можно вывести, что:

— разница между диагоналями и сторонами большего пятиугольника такая же, как у меньшего пятиугольника;

— разница между сторонами большего пятиугольника и диагоналями меньшего равна сторонам меньшего пятиугольника;

— разница между диагоналями меньшего пятиугольника и его сторонами снова равна диагоналям следующего меньшего треугольника и так далее.

Эта процедура бесконечного спуска никогда не завершится, и, соответственно, невозможно найти наибольшую общую величину для диагоналей и сторон правильного пятиугольника, следовательно, взаимно несоизмеримые отрезки существуют.

Некоторые исследования показывают, что доказательство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата относится к более позднему времени, чем эпоха пифагорейцев, так как оно более изощренное, чем метод бесконечного спуска. Квадрат с его диагоналями лишь потом позволили констатировать наблюдение, уже замеченное в других примерах, таких как пентаграмма.

НЕСОИЗМЕРИМЫЙ ЕВКЛИД

В книге X «Начал» Евклид берется за задачу классификации иррациональных чисел по типам: в этом тексте содержится 115 предложений, хотя наиболее древние издания добавляют к ним предложения 116 и 117. Это последнее представляет доказательство иррациональности на основе теоремы о четных и нечетных числах с применением теоремы Пифагора, где оно излагается так же, как и в наше время во многих книгах на эту тему.

По словам Евклида, согласно теореме Пифагора, в равнобедренном прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату каждого из катетов. Если длину катета считать за 1, какой будет длина гипотенузы?

Предположим, что ее длина составляет т/п метров:

m2/n2 = 2

Предположим m и n не имеют общего делителя и делятся друг на друга, тогда m или n должно быть нечетным. Так как m² = 2n², то m² четное и, следовательно, m тоже четное, то есть n — нечетное. Таким образом, мы можем подставить m = 2p. Следовательно, 4p² = 2n²; из этого выводится, что n² = 2p², и значит, n четное. Выходит, что никакая дробь вида m/n не может выражать длину гипотенузы. Это соображение подчеркивает, что при любой единице измерения есть такие длины, которые не могут быть выражены числовым соотношением на основе этой единицы, в том смысле что не существует таких целых чисел тип, чтобы взятая т раз длина совпадала с взятой п раз единицей измерения. Метод Евклида используется и сегодня для доказательства иррациональности ?2, однако ученые склонны считать, что он был добавлен в текст «Начал» значительно позже. В современных изданиях Евклида этот метод обычно опускается, и книга X оканчивается предложением 115.

Как мы уже говорили, введение иррациональных чисел определило независимость геометрии от арифметики. В книге II «Начал» Евклид геометрическим методом доказывает многие вещи, которые сегодня доказываются алгебраически, к примеру (a + b)² = a² + 2ab + b². К этому его вынуждала проблема несоизмеримых величин, и пока не была найдена арифметическая теория, пригодная для операции с подобными числами, геометрический метод Евклида оставался для этого наиболее удобным.

КОРЕНЬ ИЗ ДВУХ

?2 был первым открытым иррациональным числом, научным успехом величайшей важности, который на века определил задачи математики в области вещественных чисел. Хотя история Гиппаса, по-видимому, показывает нам величественную картину краха пифагорейской Вселенной, найти ?2 несложно — сложно понять, что с ним делать. Чтобы обнаружить его, достаточно нарисовать на листе квадрат, как это сделано на рисунке 1. Главный квадрат делится на четыре маленьких со стороной 1, а затем проводятся их диагонали. Таким образом мы получаем внутренний квадрат с площадью 2, который занимает половину квадрата со стороной 2. Сторона этого внутреннего квадрата, умноженная на себя, будет равна 2. Таким образом, мы получили квадратный корень из двух, или, в современной нотации, ?2. Нарисовав эту фигуру на бумаге, уже невозможно смотреть на месопотамскую табличку, хранящуюся в Йельском университете под номером YBC 7289, без некоторого изумления. Эта находка датируется периодом между 1800 и 1600 годом до н.э. и на ней изображен квадрат с двумя диагоналями, которые с легкостью позволяют найти ?2. Рисунок сопровождается семью цифрами, нацарапанными клинописью по вавилонской шестидесятеричной системе. Исследователи утверждают, что эти числа соответствуют приближению ?2 в первых знаках после запятой:

1 + 24/60 + 51/60 2 + 10/60 3 = 1, 41421296.

РИС. 1

Как можно увидеть на этой фотографии, исследователи смогли расшифровать клинопись на табличке YBC 7289, хранящейся в Йельском университете.

В индийском трактате «Сульвасутра» значительно более позднего времени (между 800 и 200 годом до н.э.) также можно узнать, что квадрат со стороной 1 и его диагональ не могут быть соизмеримыми. Историки математики интерпретируют следующие слова из книги как приближение ?2: «...длина стороны увеличивается на треть, а эта треть на ее четвертую часть, и из этого вычитается тридцать четвертая часть этой четверти». Числовое выражение этой формулы будет таким:

?2 = 1 + 1/3 + 1/(3 · 4) - 1/(3 · 4 · 34) = 577/408 = 1, 414215686.

И все-таки, хотя подобные свидетельства весьма впечатляют, вавилоняне, индийцы и, конечно, египтяне использовали дроби исключительно в практических целях, и это положение не изменилось до развития греческой математики. Вавилоняне не знали, что их шестидесятеричные приближения никогда не будут вполне точными, так же как и египтяне не могли понять саму суть иррациональных чисел. Вопреки намерениям пифагорейцев, их заслуга состояла в открытии, что несоизмеримые соотношения — это нечто совершенно отличное от соизмеримых. Теория пропорций для несоизмеримых соотношений и для любых типов величин была впоследствии выдвинута Евдоксом Книдским (ок. 408-355 до н.э.), философом, математиком и врачом, который был учеником Платона (ок. 427-347 до н.э.).

НЕДОСТАТКИ ГРЕЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ

Невероятные успехи греческой классической цивилизации до сих пор поражают воображение. Несмотря на это, греческая математика оказалась неспособна преодолеть некоторые свои серьезные ограничения, что поставило перед последующими поколениями ряд фундаментальных проблем. В конце концов, то, что было главным достоинством греков — точность концепций и определений, — стало огромным грузом для развития креативной математики.

Арифметика, персонифицированная в лице Боэция и Пифагора, гравюра из «Жемчужины философии», книги Г регора Рейша (1503).

Теорема Пифагора, изложенная в «Атлантическом кодексе» Леонардо да Винчи (Амброзианская библиотека, Милан).

Фрагмент готического рельефа из собора в Шартре с изображением свободных искусств. Фигура слева представляет Пифагора.

Главное ограничение греческой математики, очевидно, состояло в ее неспособности принять идею иррациональных чисел. Это замедлило развитие арифметики и алгебры и вызвало еще большие трудности, поскольку греки в результате свели математику к геометрии, так как геометрические рассуждения не нуждались в таком иррациональном концепте, как число. Из этого проистекало вынужденное разделение числа и величины, в результате которого алгебра и геометрия на долгие века стали восприниматься как дисциплины, не имеющие ничего общего. Кроме того, греческая геометрия была довольно ограниченной. Древние принимали во внимание только те геометрические концепции, которые они могли выстроить в действительности, то есть те, которые могли существовать или быть нарисованы с использованием линейки и циркуля (при этом не допускалось использование линейки с какими-нибудь отметками на ней). Таким образом, геометрия ограничивалась фигурами, которые можно было получить с помощью прямой и круга. Единственными допустимыми поверхностями были те, которые образовывались вращением прямых и кругов вокруг оси, такие как цилиндр, конус и шар, полученные соответственно вращением прямоугольника, треугольника и круга вокруг прямой; призма, являющаяся особой разновидностью цилиндра, или пирамида, которая получается путем разложения призмы. Конические сегменты были результатом сечения конуса плоскостью.

Все эти ограничения, оставляющие в поле зрения строго определенные фигуры, позволили развиться геометрии простой, упорядоченной, гармоничной и красивой, но слишком строгой: утверждая единство, совершенство и простоту и отделяя созерцательную мысль от практической пользы, классическая греческая геометрия ограничивала взгляд математиков, удерживала их разум от новых идей и методов и ставила непреодолимые пределы для новых достижений.

Неспособность принять иррациональные числа как достойные рассмотрения привела к тому, что вопрос числового выражения несоизмеримых соотношений, которым могла бы заняться арифметика, остался открытым. Концепция иррационального числа могла бы расширить и инструментарий алгебры, а вместо этого для решения квадратных или других уравнений приходилось прибегать к геометрии. Все эти задачи могли решаться в числовом виде, и тогда алгебра получила бы развитие по сравнению с тем положением, в котором ее оставили вавилоняне.

БЕСКОНЕЧНОСТЬ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ

Второе ограничение греческой науки состояло в том, что ей так и не удалось осознать понятия бесконечно большого, бесконечно малого и бесконечного процесса. Пифагорейцы связывали добро и зло с ограниченностью и неограниченностью соответственно. Избегая каких-либо заявлений о бесконечности прямой линии, Евклид в «Началах» утверждает, что отрезок при необходимости может быть продлен до нужных пределов. Что касается соотношения между точкой и прямой, то Аристотель настаивал на разделении этих понятий. С одной стороны, он признавал, что точки лежат на прямой, а с другой — утверждал, что непрерывная прямая не может быть образована из дискретных точек.

Даже в области целых чисел и их соотношений у греков не было никакой логической базы: ее заменяли некоторые неточные определения Евклида. Необходимость в логическом фундаменте числовой системы стала, однако, критической, когда александрийцы начали свободнее использовать числа, включая иррациональные.

Таким образом, греки оставили человечеству две отдельные ветви математики: строгую, дедуктивную и систематизированную геометрию и слишком формализованную и эмпирическую арифметику с некоторым продолжением в алгебру. Отсутствие дедуктивной алгебры привело к тому, что всякое упоминание о математической строгости относилось исключительно к геометрии, и эта ситуация сохранялась вплоть до XVII-XVIII веков, когда было положено начало развитию алгебры и математического анализа. Наконец, ограничение евклидовой геометрии фигурами, которые можно построить только с помощью линейки и циркуля, не позволяло математике решить две великие задачи. Первой было разрешение трех проблем, которые в течение веков занимали великие умы и до сих пор привлекают к себе внимание, хотя их решение было найдено в XIX веке: мы говорим о квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба с помощью циркуля и линейки. Вторая задача состояла в расширении критериев существования геометрических фигур, поскольку тот факт, что доказать это существование можно было, лишь построив такую фигуру, сдерживал развитие науки. Кроме того, евклидова прямая не позволяет отложить некоторые длины, и математика, чтобы стать полезной для изучения физического мира, должна была освободиться от этого технического ограничения.