Математическое понятие: системы счислений

Цифры, которые мы используем каждый день, настолько привычны, что иногда мы не ценим их определенные аспекты. Но если бы вы пригляделись к нашим цифрам, то вы бы начали замечать их особенности. Например, наши числа состоят лишь из 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Но почему нет специального числа для 10? Или 85? Или 3001?

Ответ кроется в том, что наши цифры используют десятичную систему счисления. В этой системе каждая позиция в цифре обозначает определенную степень десяти. Если 1, 2, 3 или любое другое число находится в этой позиции, мы умножаем это число на эту степень десяти. Приведем пример:

642

В этой цифре 2 стоит на первом месте справа. Это место единиц, или 10⁰. Итак, мы умножаем 2 на 1. Следующая цифра левее – 4. Это десятки, или 10¹, поэтому мы умножаем 4 на 10. А 6 – это сотые, или 10², так что мы умножаем 6 на 100. Таким образом, цифра 642 обозначает (6 ? 100) + (4 ? 10) + (2 ? 1), или шестьсот сорок два.

А есть ли другая система, которая использует не десятичную систему? Да, и на самом деле ее поддерживает каждый существующий компьютер! Это двоичная система, и, подобно десятичной, она основывается на позициях. Самая первая позиция справа – это 2⁰, или позиция единиц. Следующая позиция левее – это 2¹, или позиция двоек. Дальше идут позиции четверок, восьмерок и так далее. Но, в отличие от десятичной системы, в двоичной системе есть только две цифры: 1 или 0. Итак, если бы мы захотели записать цифру 5 в двоичной системе, то у нас получилось бы:

101

Здесь 1 находится на позиции четверок, 0 – на позиции двоек и 1 – на позиции единиц; вместе они равны пяти. (Компьютеры используют двоичную систему прежде всего потому, что легче определять два состояния – 1 и 0, которые соответствуют включению и выключению, – чем десять.)

Нули и единицы можно использовать для кодирования букв. Двоичный код переводит каждую букву в уникальный ряд из восьми нулей и единиц. Вариации такого кода были изучены мыслителем XVI века Фрэнсисом Бэконом и математиком и философом Готфридом Лейбницем в XVII веке.