Глава 8 Сложное делаем легким: продвинутое умножение

Глава 8

Сложное делаем легким: продвинутое умножение

К настоящему моменту (если вы к нему шли глава за главой) вы научились выполнять устное сложение, вычитание, умножение и деление так же хорошо, как и овладели искусством приближенной оценки, карандашно-бумажной магии чисел и создания фонетического кода чисел для запоминания. Эта глава для серьезных, несгибаемых матемагов, которые хотят раздвинуть границы своего разума для устных вычислений.

Задачи здесь варьируются от возведения в квадрат четырехзначных чисел до самых больших, которые я решал на публике: умножение двух пятизначных чисел.

Для решения этих задач особенно важно чувствовать себя уверенно при использовании фонетического кода и достаточно быстро его применять. И хотя, если вы заглянете вперед на несколько страниц, проблемы могут казаться действительно трудными, позвольте мне вновь заявить о двух основных посылах этой книги: во-первых, любой навык устных вычислений может быть освоен почти каждым, во-вторых, ключ состоит в упрощении всех примеров и их превращении в более простые задачи, которые легко решаются. В этой главе (да и любой другой) нет ни одной задачи, которая была бы неподвластна средствам техник упрощения, изученных вами в предыдущих главах. Так как мы предполагаем, что вы овладели всеми необходимыми для этого приемами, будем учить вас преимущественно с использованием схем вычислений, а не проходить задачки слово за словом. Напомним, что многие из простых задач, встроенных в эти громадные примеры, уже встречались вам в предыдущих главах.

Начнем с возведения в квадрат четырехзначных чисел.

Удачи!

КВАДРАТ ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

В качестве подготовительного навыка для развития умения возводить в квадрат четырехзначные числа вам необходимо освоить решение задач на умножение типа «4 на 1». Такую задачу мы разбиваем на две подзадачи типа «2 на 1», как показано ниже.

Овладение навыками умножения «4 на 1» будет означать, что вы готовы возводить в квадрат четырехзначные числа. Попробуем на примере числа 4267. Используя такой же метод, как и при возведении в квадрат двух- и трехзначных чисел, проделаем это с числом 4267, округлив его в меньшую сторону на 267 до 4000 и в большую — на 267 до 4534. Умножим 4534 х 4000 (задача «4 на 1») и затем прибавим квадрат числа, на которое вы изменили исходное (267²), как показано ниже.

Сейчас уже очевидно, сколько действий происходит внутри этого примера. Я осознаю, что одно дело сказать: «Прибавьте квадрат 267», и совсем другое — сделать это и запомнить число, которое следует приплюсовать. Поэтому, как только умножите 4534 х 4 и получите 18 136, можете произнести первую часть ответа вслух: «Восемнадцать миллионов…». Вы можете так сказать, потому что исходное число всегда округляется до ближайшей тысячи. Поэтому наибольшее трехзначное число, которое придется возводить в квадрат на следующем шаге, будет 500. Квадрат 500 равен 250 000. А поскольку остаток вашего ответа (в данном случае 136 000) меньше 750 000, это означает, что число миллионов не изменится.

После того как вы произнесете слова «восемнадцать миллионов…», вам нужно закрепить в памяти число 136 000, прежде чем возводить в квадрат 267. Вот где мнемонические приемы из предыдущей главы придут на помощь! Благодаря фонетическому коду число 136 можно преобразовать в слово damage (1 = d, 3 = m, 6 = j)[14]. Теперь смело приступайте к следующей части задачи, просто запомнив damage (и существование еще трех нулей в конце числа). Если в какой-то момент посреди вычислений вы забудете изначальную задачу, можете либо бросить взгляд на исходные числа, либо, если они не записаны, попросить аудиторию повторить задание (чтобы создать иллюзию, будто вы заново приступаете к решению, в то время как вы уже сделали некоторые расчеты)!

В результате возведения в квадрат трехзначного числа (изученным ранее способом) вы получите 71 289. Мне раньше было сложно запоминать сотни в ответе (в данном случае 2).

Я справился с этим, прибегнув к помощи пальцев (здесь — двух пальцев). Если вы забыли две последние цифры (89), то можете вернуться к исходному числу (4267), возвести последние две цифры в квадрат (67² = 4489) и взять последние две цифры полученного числа.

Для вычисления итогового ответа нужно прибавить 71 289 к damage (то есть к числу 136 000) и их сумму 207 289 уже можно проговорить вслух.

* * *

Томас Фуллер: ученые мужи и большие дураки

Трудно отнять первое место по количеству проблем в обучении у Хелен Келлер[15], но темнокожий раб Томас Фуллер, родившийся в Африке в 1710 году, буквально наступает ей на пятки. Он не только был неграмотным, но ни одного дня в своей жизни не учился. Будучи «собственностью» Элизабет Кокс, Томас Фуллер работал на полях Вирджинии. Он сам освоил счет до 100, после чего развил свои «вычислительные способности» путем подсчета предметов, которые всегда под рукой, например зерен в бушелях пшеницы, семян льна и количества волос в коровьем хвосте (2 872 волоска).

Отталкиваясь от простого счета, Фуллер научился вычислять, сколько черепицы потребуется для покрытия крыши дома; сколько столбов понадобится для его ограждения и тому подобные вещи. Его поразительные навыки развивались, а с ними вместе росла его репутация. Уже в преклонном возрасте он принял вызов двух пенсильванцев, согласившись продемонстрировать свои способности в вычислении чисел в уме, причем таких, какие вызвали бы трудности у лучших молниеносных вычислителей. Например, они спросили: «Предположим, фермер имеет шесть свиноматок, каждая из них родит шесть самок в первый год, и все они будут размножаться в той же прогрессии в течение восьми лет; сколько свиноматок в конечном итоге будет иметь фермер?» Задача может быть записана как 7

8 х 6, то есть 7 х 7 х 7 х 7 х 7 х 7 х 7 х 7 х 6. Буквально через десять минут Фуллер выдал ответ: 34 588 806.

После его смерти в 1790 году газета Columbian Centinel сообщила, что «Фуллер мог вычислить число ярдов, футов, дюймов и трети дюймов[16] для любого заданного расстояния, назвать диаметр земной орбиты, а по результатам каждого расчета давал правильный ответ за меньшее время, чем девяносто девять человек из ста сделали бы это на бумаге». Когда Фуллера спросили, жалеет ли он о том, что так и не получил традиционного образования, он ответил: «Нет. Лучшее, что у меня есть, это отсутствие образования: среди многих ученых мужей найдутся большие дураки».

* * *

Возведем в квадрат еще одно четырехзначное число: 8431².

Я не буду повторно описывать все действия, как в последней задаче, обращу ваше внимание лишь на некоторые моменты. После выполнения действия 8 х 8862 = 70 896 становится ясно, что 896 больше 750, поэтому возможен перенос единицы в старший разряд. Действительно, так как 431² больше 400² = 160 000, то определенно нужен перенос единицы во время прибавления числа 431² к 896 000. Следовательно, на этом этапе можно без опаски произнести вслух: «Семьдесят один миллион…»

При возведении в квадрат 431 получаем 185 761. Складываем 185 и 896, выходит 1081, и произносим остаток ответа.

Но помните, что мы уже предвосхитили перенос единицы, поэтому просто скажите: «…81 тысяча…761». Работа выполнена!

На еще один тонкий момент в вычислениях мы укажем в примере 2753².

Так как мы округлили исходное число 2753 до 3000, то будем умножать 3000 на другое число из области «2000 плюс».

Можно, конечно, вычесть 2753 — 247 = 2506, но это сложнее.

Чтобы получить последние три цифры этой разности, удвойте 753 — выйдет 1506. Последние три цифры данного результата (506) — это последние три цифры числа «2000 плюс»: 2506! Это прием срабатывает, поскольку сумма двух перемножаемых чисел всегда равна удвоенному исходному числу.

Затем работаем в обычном режиме, перемножив 3000 х 2506 = 7 518 000; преобразуем 518 в слова[17] light off и произносим вслух первую часть ответа: «Семь миллионов…». Здесь это можно утверждать, так как 518 меньше 750, поэтому переноса единицы не будет.

Далее прибавляем квадрат числа 247. Не забудьте, что 247 можно быстро получить как дополнение для 753. Затем переходим к окончательному ответу, как это сделано в предыдущем примере.

УПРАЖНЕНИЕ: КВАДРАТЫ ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

1. 1234² 2. 8639² 3. 5312²

4. 9863² 5. 3618² 6. 2971²

УМНОЖЕНИЕ «3 НА 2»

В ходе решения задач типа «2 на 2» мы уже убедились в существовании нескольких путей решения одного и того же примера. Многообразие методов увеличивается параллельно росту количества цифр в задаче. В случае задач «3 на 2» я предпочитаю «предварительный просмотр» для определения самого оптимального метода расчета.

Методы разложения

Самые легкие задачи типа «3 на 2» — те, в которых двузначные числа можно разложить на сомножители. Например:

Потрясающе, что здесь не нужно ничего складывать. Вы просто представляете 56 как 8 х 7, затем решаете пример на умножение типа «3 на 1» (637 х 8 = 5096) и, наконец, пример типа «4 на 1» (5096 х 7 = 35 672). Больше не требуется никаких дополнительных действий, и необходимости запоминать промежуточные результаты тоже нет.

Свыше половины всех двузначных чисел раскладываются на сомножители, среди которых число 11 и меньшие числа. Поэтому данный метод подойдет для многих задач. Вот пример:

Чтобы умножить 853 х 11, представьте 853 в виде 850 + 3 и далее рассуждайте так:

Теперь умножим 9383 х 4, представив 9383 как 9300 + 83, следующим образом:

Если двузначное число не раскладывается на сомножители (или они большие), рассмотрите возможность разложения трехзначного числа.

Обратите внимание, что последовательность умножений выстроилась из задач типа «2 на 1», «3 на 1» и, наконец, «4 на 1».

Это те задачи, которые вы уже умеете решать с легкостью. Поэтому тип примеров «3 на 2» не должен оказаться сложным для вас.

Еще один пример, где не двузначное число подвергается разложению, а трехзначное.

Здесь последовательность задач типа «2 на 2», «3 на 1» и «4 на 1». Но если трехзначное число имеет множитель 11, можно использовать метод умножения на 11 (как описано в главе 4) и получить простой пример типа «2 на 2» (53 х 11 = 583). В данном случае нахождение сомножителя 11 у числа 462 оправдывает себя.

Если двузначное число не раскладывается на «хорошие» сомножители, а трехзначное раскладывается только на сомножители в виде «2 на 1», с задачей все еще можно легко справиться путем умножения типа «2 на 2», а затем «4 на 1», как показано в следующем примере:

Здесь необходимо учесть, что 423 делится на 9 и исходная задача преобразуется в 83 х 47 х 9. В данном случае пример «2 на 2» не настолько прост, но если представить 83 в виде 80 + 3, получится следующее:

Теперь решаем задачу типа «4 на 1» в виде 3901 х 9 для получения итогового ответа 35 109.

Метод сложения

Когда двух- и трехзначное числа в задаче типа «3 на 2» не поддаются простому разложению, можно прибегнуть к методу сложения.

Данный метод предполагает суммирование ответов задач на умножение типа «2 на 2» и «2 на 1». Такого рода задачи включают в себя более сложные элементы (нежели те, которые имеют место в методе разложения), поскольку при решении примера «2 на 1» приходится держать в уме пятизначное число, а затем складывать результаты. Возможно, проще решить эту задачу путем разложения 721 на 103 х 7 и последующего вычисления 37 х 103 х 7 = 3811 х 7 = 26 677.

Вот другой пример:

Хотя обычно при использовании метода сложения на слагаемые разбивается трехзначное число, порой разбиение двузначного числа более удобно, в особенности если его последние цифры равны 1 или 2, как в следующем примере.

Это превращает задачу «3 на 2» в «3 на 1», делая ее абсолютно легкой, так как второе действие представляет собой умножение на 1. Заметьте, кстати, 5 здесь умножается на четное число, что дает дополнительный 0 в ответе. Поэтому в задаче на сложение надо суммировать только две цифры.

Другой пример умножения 5 на четное число показан в следующей задаче:

При умножении 6 (из 60) на 5 (из числа 835) появляется дополнительный 0 в ответе, что максимально упрощает задачу на сложение.

Метод вычитания

Как и в задачах на умножение типа «2 на 2», иногда проще решить задачу «3 на 2» путем вычитания вместо сложения, как в следующих примерах.

Чтобы сравнить методы вычитания и сложения, применим метод сложения к задаче, которая показана выше.

Мое предпочтение при ее решении — использование метода вычитания, потому что я всегда стараюсь оставить максимально легкую задачу на сложение или вычитание на самый конец. В данном случае я бы лучше вычел 86, чем прибавил 344, даже притом, что решить задачу типа «2 на 2» (см. выше) методом вычитания немного сложнее, чем методом сложения.

Метод вычитания тоже можно применять для трехзначных чисел, которые меньше кратного 100 или близки к кратному 1000, как в следующих двух примерах.

Последние три цифры ответа получены путем использования дополнения для числа 816.

В следующем примере мы умножили на двузначное число с помощью метода вычитания. Обратите внимание, как мы отняли 736 путем вычитания 1000 и обратного прибавления дополнения:

УПРАЖНЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ «3 НА 2»

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ РАЗЛОЖЕНИЯ, СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

Решите представленные ниже задачи типа «3 на 2» с использованием методов разложения, сложения или вычитания.

Разложение, если оно возможно, обычно облегчает задачу. Сверьтесь с ответами в конце книги.

Следующие примеры типа «3 на 2» появятся в разделах по возведению в квадрат пятизначных чисел и умножению типа «5 на 5».

ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ПЯТИЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Освоение задач на умножение типа «3 на 2» требует значительно больше практики, но как только вы освоитесь с ними, можете сразу переходить к задачам по возведению пятизначных чисел в квадрат, потому что они упрощаются до умножения типа «3 на 2» плюс возведение в квадрат двух- и трехзначных чисел. Например, чтобы возвести в квадрат число 46 792, можно выполнить следующие действия:

Используя распределительный закон, разделим задачу на такие операции:

46 000 х 46 000 + 2(46 000)(792) + 792 х 792.

Последнее выражение нужно немного упростить:

46² х 1 миллион + (46)(792)(2000) + 792².

Но я не решаю подобные задачи в последовательном порядке, а начинаю с середины, потому что задача типа «3 на 2» труднее, чем возведение в квадрат двух- и трехзначных чисел.

Итак, в соответствии с принципом «в первую очередь со своего пути убирай сложное», я вычисляю 792 х 46 х 2 и добавляю три нуля в конец результата, то есть выполню следующие действия:

Используя метод вычитания, как показано выше, вычисляем 792 х 46 = 36 432, затем удваиваем результат для получения 72 864. Применение фонетического кода к числу 864 позволяет хранить его в памяти как 72 Fisher.

Следующий шаг: подсчитываем 46² х 1 000 000, что равно 2 116 000 000.

На этом этапе вы можете произнести: «Два миллиарда…».

Активизировав в памяти 72 Fisher, прибавляем к этому числу 116 миллионов, чтобы получить 188 миллионов. Но прежде чем озвучить количество миллионов, нужно проверить, следует ли переносить единицу в старший разряд при сложении Fisher, то есть числа 864 и 792². Здесь на самом деле не надо вычислять 792²; достаточно определить, что результат вычисления 792² будет довольно большой, чтобы в сумме с 864 000 превысить 1 миллион. (Вы можете предположить это исходя из того, что 800² = 640 000, и это число в сумме с 864 000 явно превысит 1 миллион.) Таким образом, к 188 надо прибавить единицу и сказать: «…189 миллионов…».

Все еще держа в памяти слово Fisher, посчитайте квадрат числа 792, используя метод возведения трехзначных чисел в квадрат (округление в большую и меньшую стороны на 8 и т. д.), чтобы получить 627 264. Наконец, прибавьте 627 к Fisher, то есть к числу 864, и получите 1491. Так как мы уже сделали перенос единицы в разряд миллионов, отбросьте первую 1 у числа 1491 и произнесите: «…491 тысяча 264».

Иногда я забываю последние три цифры ответа, поскольку мой мозг полностью поглощен большими вычислениями. Поэтому, перед тем как выполнить итоговое сложение, я сохраняю цифру 2 (из числа 264) на пальцах и стараюсь запомнить 64, что обычно сделать нетрудно, потому что мы имеем склонность к запоминанию того, что слышали недавно. В случае же неудачи я могу восстановить последние две цифры путем возведения в квадрат последних двух цифр исходного числа, то есть 92² = 8464. Последние две цифры этого числа и есть те самые последние две цифры 64. (В качестве альтернативы можно преобразовать число 264 в фонетический код.)

Я сознаю, что процесс вычисления квадрата 46 792² довольно громоздкий. Представляю вам схему того, как я возводил это число в квадрат:

Рассмотрим другой пример на возведение пятизначного числа в квадрат: 83 522².

Как и прежде, вычисляем ответ в таком порядке:

83 х 522 х 2000, 83² х 1 миллион, затем 522².

В первой задаче обратите внимание на то, что 522 имеет делитель 9. Значит, 522 = 58 х 9. Раскладывая 83 как 80 + 3, получим:

Результатом удвоения 43 326 будет число 86 652, что можно запомнить как 86 Julian. Поскольку 832 = 6889, мы можем произнести: «Шесть миллиардов…»

Сложение 889 + 86 = 975. Прежде чем произнести «975 миллионов», мы проверяем, не приведет сумма Julian (652 000) и квадрата 522² к переносу единицы в разряд миллиардов.

Приблизительно оценив 522² как 270 000 (500 х 540), убеждаемся, что переноса не будет. Поэтому можно спокойно сказать: «…975 миллионов…».

Наконец, возведение в квадрат 522 обычным способом приведет к числу 272 484, а его сложение с числом Julian (652 000) даст последнюю часть ответа: «…924 484».

В виде схемы решение данной задачи выглядит следующим образом:

УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ПЯТИЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

1. 45 795² 2. 21 231² 3. 58 324²

4. 62 457² 5. 89 854² 6. 76 934²

УМНОЖЕНИЕ «3 НА 3»

Задачи на умножение типа «3 на 3» будут последним барьером на пути к грандиозному финалу в виде умножения «5 на 5».

Здесь, как и в случае с задачами типа «3 на 2», существует многообразие методов, которые могут быть использованы для упрощения процесса умножения.

Метод разложения

Начнем с метода разложения. К несчастью, большинство трехзначных чисел не раскладывается на множители в виде отдельных цифр, но если разложение найдется, процесс вычисления будет не таким уж и сложным.

Обратите внимание на последовательность действий. Путем разложения 288 на 9 х 8 х 4 мы упрощаем задачу «3 на 3» (829 х 288) до «3 на 1 на 1 на 1». Далее она превращается в «4 на 1 на 1» (7461 х 8 х 4) и, наконец, в «5 на 1» для получения итогового ответа 238 752. Прелесть данного решения состоит в отсутствии каких-либо действий на сложение и в том, что ничего не нужно хранить в уме. Добравшись до задачи типа «5 на 1», мы оказались в одном шаге от окончательного ответа.

Задачу типа «5 на 1» можно решить в два действия, если представить 59 688 как 59 000 + 688, а затем сложить результаты задач «2 на 1» (59 000 х 4) и «3 на 1» (688 х 4), как показано ниже.

Если оба трехзначных числа можно разложить на «2 на 1», то задача «3 на 3» упрощается до «2 на 2 на 1 на 1», как в следующем примере.

Как обычно, лучше сразу избавиться от трудного элемента задачи, то есть от умножения типа «2 на 2». Как только вы это сделаете, задача будет сведена к «4 на 1», а затем к «5 на 1».

Очень часто бывает так, что раскладывается только один из сомножителей. В таком случае задача сводится к умножению типа «3 на 2 на 1», как в этом примере:

Следующая задача «3 на 3» в действительности просто замаскированная задача типа «3 на 2».

Путем удвоения 435 и уменьшения 624 наполовину получаем эквивалентную задачу.

Метод совместной близости

Вы готовы к чему-нибудь попроще? Следующий прием, который был представлен еще в главе 0, основан на такой алгебраической формуле:

(z + a)(z + b) = z

2 + za + zb + ab

Переписываем ее:

(z + a)(z + b) = z(z + a + b) + ab

Эта формула справедлива при любых значениях z, a и b.

Мы будем пользоваться ею всякий раз, когда трехзначные числа, которые нужно перемножить (z х a и z х b), находятся близко к легкому числу z (типичный случай, когда число z имеет большое количество нулей). Например, умножим

Будем рассматривать эту задачу как (100 + 7) х (100 + 11).

Задав z = 100, a = 7, b = 11, наша формула даст:

100 (100 + 7 + 11) + 7 х 11 = 100 х 118 + 77 = 11 877.

Я схематически изобразил решение так:

Числа в скобках равны разностям между исходными числами и нашим подходящим «базовым числом» (здесь z = 100).

Число 118 получено путем сложения 107 + 11 или 111 + 7. По законам алгебры, эти суммы эквивалентны, так как (z + a) + b = (z + b) + a.

На этот раз без лишних слов решим еще один «ускоренный» пример:

Метод работает великолепно!

Теперь немного повысим ставки и возьмем большее базовое число.

Хотя данный метод, как правило, используется для умножения трехзначных чисел, его также можно применить для задач типа «2 на 2».

Здесь базовое число 70 умножается на 81 (78 + 3). В таких задачах даже действие на сложение обычно очень простое.

Этот метод также применим, когда оба числа меньше базового. Как, например, в следующей задаче, где оба числа меньше 400.

Число 383 получено путем вычитания 396 — 13 или 387 — 4.

Данный метод также можно использовать и для задач типа «2 на 2», таких как следующие.

В следующем примере базовое число по величине находится между перемножаемыми числами.

Число 409 получено в ходе операций 396 + 13 или 413 — 4.

Обратите внимание, что, поскольку числа –4 и 13 имеют противоположные знаки, из результата умножения необходимо вычесть 52.

Поднимем ставки еще выше, до уровня, где второе действие требует умножения типа «2 на 2».

Здесь обратите внимание на то, что первое действие в задаче (600 х 658) является хорошей оценкой ответа. Но наш метод позволяет перейти от оценки к точному ответу.

Обратите также внимание, что во всех примерах сумма чисел, которые мы перемножаем в первом действии, такая же, как и исходные числа. Например, в задаче выше 900 + 829 = 1729, как и 876 + 853 = 1729. Это следует из равенства:

z + [(z + a) + b] = (z + a) + (z + b)

Поэтому, чтобы получить число, которое надо умножить на 900 (оно будет в диапазоне «800 плюс»), нужно всего лишь взглянуть на последние две цифры суммы 76 + 53 = 129, чтобы вышло 829.

В следующем примере сложение 827 + 761 = 1588 подсказывает, что нужно перемножить 800 х 788, а затем из полученного результата вычесть произведение 27 х 39.

Этот метод настолько эффективен, что если задача типа «3 на 3», над которой вы думаете в настоящий момент, состоит из чисел, далеких друг от друга, то иногда можно видоизменить ее путем деления одного и умножения другого числа на одинаковое число (тем самым сблизив сомножители по величине). Например, задачу 672 х 157 можно решить следующим образом.

Когда перемножаемые числа одинаковы, метод совместной близости генерирует такие же вычисления, как и в традиционном методе возведения в квадрат.

Метод сложения

Когда ни один из предыдущих методов не работает, я ищу возможность использовать метод сложения, в особенности если первые две цифры одного из трехзначных чисел просты в разложении. Например, в нижеприведенном примере 64 (первые две цифры числа 641) раскладывается как 8 х 8, поэтому я его решаю следующим образом.

По тому же принципу в примере ниже 42 из числа 427 раскладывается как 6 х 7, поэтому можно использовать метод сложения, представив 427 в виде 420 + 7.

Часто я разбиваю последнюю задачу на сложение на два этапа, как показано ниже.

Поскольку задачи, решаемые методом сложения, требуют определенных усилий, обычно я ищу другой способ, который приведет к простым вычислениям в конце процесса решения.

Например, задачу, показанную выше, можно решить с помощью разложения. Вот какие действия я бы выполнил:

В самых простых задачах, решаемых методом сложения, одно из чисел содержит 0 в середине числа, как показано ниже.

Такие задачи, как правило, самые легкие из тех, которые можно решить аналогичным способом. Поэтому стоит приглядеться к задаче типа «3 на 3», чтобы определить возможность ее преобразования в задачу с нулями. Это окупается.

Например, в задачу 732 х 308 можно преобразовать следующие «безнулевые» примеры.

Мы уже упоминали, что другой способ решения данной задачи сводится к выполнению операций 308 х 366 х 2 и использованию преимущества близости чисел 308 и 366.

Щелкаем еще один «крепкий орешек»:

Метод вычитания

Метод вычитания — это орудие, которое я время от времени применяю, когда одно из трехзначных чисел можно округлить до простого трехзначного числа с нулем на конце, как в следующем примере:

Подобным образом решаем такую задачу:

Метод «когда все остальное не работает»

Когда все остальное не срабатывает, я применяю один очень надежный метод. При его использовании задача на умножение типа «3 на 3» разбивается на 3 части: задача типа «3 на 1», типа «2 на 1» и типа «2 на 2». По мере решения этих задач их ответы суммируются. Такие задачи всегда сложные, особенно если нельзя видеть исходные числа. Во время выступлений с задачами на умножение типа «3 на 3» и «5 на 5» у меня всегда под рукой записанные условия, но все расчеты я произвожу в уме.

Вот пример:

На практике вычисления выполняются так, как показано ниже. Иногда я использую фонетический код для хранения в памяти тысяч (здесь 447 = our rug) и сотен (здесь 1) — на пальцах.

Решим еще один пример, но на этот раз я разобью на части первое число. (Обычно я так поступаю с б?льшим из чисел, так решить задачу на сложение становится легче.)

Эти задачи встроены в примеры «5 на 5», которые находятся в следующем разделе.

УМНОЖЕНИЕ «5 НА 5»

Самая большая задача, которую мы попытаемся решить в уме, состоит из двух пятизначных чисел. Для выполнения умножения типа «5 на 5» вам необходимо в совершенстве овладеть навыком решения задач типа «2 на 2», «2 на 3» и «3 на 3» (а также уметь применять фонетический код). Решение задачи «5 на 5» — это просто вопрос сведения воедино всех типов задач, освоенных вами ранее. Как и при возведении в квадрат пятизначных чисел, вы будете использовать распределительный закон для разделения чисел на составные части. Например:

Основываясь на этом разделении, данную задачу можно разложить на четыре более простые задачи на умножение в стиле «крест-накрест», что я покажу ниже, как задачу типа «2 на 2», две задачи типа «3 на 2» и одну типа «3 на 3».

Далее суммируются решения всех этих задач. Вот как это выглядит:

Как и при возведении пятизначных чисел в квадрат, я начинаю с середины, берясь за задачу «3 на 2» (как самую трудную):

Запомнив число 33 228 с помощью мнемоники Mom, no knife, далее переключаюсь на вторую задачу типа «3 на 2».

2. 27 х 196 = 27 х (200 — 4) = 5400 — 108 = 5292.

И прибавляю этот результат к числу, которое хранится в памяти.

Получаем новую сумму и сохраняем ее в уме как:

Movie lines (38 миллионов, 520 тысяч)

Запомнив этот мнемонический код, решаем задачу «2 на 2».

4. 52 х 27 = 52 х 9 х 3 = 1 404.

На данном этапе уже можно дать частичный ответ. Поскольку задача «2 на 2» — это перемножение миллионов, то 1 404 означает 1 миллиард 404 миллиона. Так как 404 миллиона не подразумевают переноса единицы в разряд миллиардов, то можно спокойно произнести: «Один миллиард…».

5. 404 + Movie (38) = 442.

Теперь прибавляем 404 к movie (38), получается 442. В этот момент можно сказать «…442 миллиона…». Это можно сделать потому, что на 442 не будет переноса единицы. Чтобы удостовериться в этом, надо посмотреть наперед на задачу типа «3 на 3». Если ее ответ говорит о переносе единицы, то надо сказать «443 миллиона». Но так как результат задачи «3 на 3» (639 х 196) не превысит 500 000 (что показывает грубая оценка 600 х 200 = 120 000), этого не произойдет.

6. 639 х 196 = 639 х 7 х 7 х 4 = 4 473 х 7 х 4 = 31 311 х 4 = 125 244.

Все еще удерживая в голове слово lines, решаем задачу «3 на 3» с помощью метода разложения и получаем 125 244.

Чтобы запомнить число 244, переводим его в слово nearer.

Итоговое действие представляет собой простое сложение:

7. 125 244 + Lines (520 000) = 645 244.

Это позволяет произнести оставшуюся часть ответа: «…645 244».

Так как один рисунок стоит тысячи слов, вот схема всех выполненных вычислений в данном примере.

Здесь необходимо сделать небольшое замечание о моем предположении, что при решении задачи типа «5 на 5» у вас есть возможность записать ее условие на доске или бумаге.

Если такой возможности нет, то вам придется задать мнемонический код для всех четырех чисел (два исходных числа и два промежуточных результата). Например, условие предыдущей задачи можно запомнить в виде слов:

Потом надо умножить lion х jump (52 х 639), dopish х neck (196 х 27), lion х neck (52 х 27) и, наконец, dopish х jump (196 х 639). Очевидно, эти действия несколько замедлят процесс вычислений, но если вы хотите решать задачи не глядя на их условия, то после тренировок будете в состоянии это делать.

Закончим главу еще одним примером «5 на 5».

Последовательность действий в этом примере такая же, как и при решении предыдущего. Начинаем с самой сложной задачи типа «3 на 2» и сохраняем ответ в виде мнемонического кода.

Затем решаем вторую задачу типа «3 на 2».

2. 838 х 45 = 838 х 5 х 9 = 4190 х 9 = 37 710.

Суммируем полученное и вверяем итог своей памяти.

4. 79 х 45 = 79 х 9 х 5 = 711 х 5 = 3 555.

Результат задачи «2 на 2» дает первую цифру окончательного ответа, которую с уверенностью можно произнести вслух: «Три миллиарда…».

5. 555 + Face (80) = 635.

Миллионы в ответе содержат перенос единицы, то есть число 635 надо заменить на 636, потому что к числу Panama (923) достаточно прибавить 77 000, чтобы превысить 100 000 и вызвать перенос единицы. А результат задачи «3 на 3» (838 х 547) с легкостью превысит это значение. Поэтому следует сказать: «…636 миллионов…».

Задача «3 на 3» была посчитана с использованием метода сложения.

На следующем этапе прибавляем этот результат к числу Panama (923 000).

Так как перенос числа 1 мы уже использовали при получении 636 миллионов, нам осталось лишь проговорить тысячи: «…381 тысяча…386» и насладиться аплодисментами!

Решение данной задачи схематически можно представить следующим образом:

Данный текст является ознакомительным фрагментом.