Эпилог

Эпилог

Руководство по математическому творчеству

Может ли кто-то представить себе, что «Весна священная» Стравинского или «Герника» Пикассо — не продукты творчества, а открытия? Почему результаты математического творчества в большинстве своем рассматриваются как открытия, а не творения? Почему Пифагор считается творцом музыкального диатонического строя, но не творцом доказательства теоремы, носящей его имя? Ни описание диатонического строя, ни доказательство теоремы не были погребены под грудой бумаг или сокрыты в глубине пещеры, ожидая своего первооткрывателя, — они являются результатом творчества одного человека. Если читатель усомнится в этом, то может сам легко найти доказательство этой знаменитой теоремы, приведенное в «Началах» Евклида.

Британский математик Эндрю Уайлс очень хорошо описал, что чувствует математик начиная с того момента, когда сталкивается с задачей, которую не может решить, и до того момента, когда он находит решение:

«Наверное, лучше всего описать мои занятия математикой можно по аналогии с темной комнатой. Вы входите в большой дом, и вас окружает тьма. Вы то и дело натыкаетесь на мебель, но постепенно узнаете, где что стоит. Наконец, месяцев через шесть или около того вы нащупываете выключатель, и внезапно становится светло. Вы отчетливо видите, где находитесь».

Не все обладают столь выдающимися способностями, как Уайлс, который смог доказать великую теорему Ферма, неподвластную математикам всего мира в течение более трех столетий. Однако, быть может, великим математикам известны какие-то общие схемы или способы решения задач и доказательства теорем?

Первое правило творчества заключается в том, что нужно осмелиться войти в темную комнату. Встречаясь с незнакомой задачей, многие недооценивают свои способности. Нужно набраться смелости и быть готовым натыкаться на стены и мебель в темноте. Совершенные ошибки только помогут вам, хотя в это непросто поверить и об этом математики и преподаватели обычно умалчивают. Натыкаясь на мебель в темноте, вы постепенно узнаете, где что стоит. Вы не можете видеть шкаф, но представляете, как он выглядит и сколько в нем полок. В этот момент вы понимаете, с чем столкнулись, и можете четко сформулировать задачу. И хотя снаружи по-прежнему темнота, ваши мысли озаряет свет.

Краткий итог

Каковы особенности математического творчества? Творить математику означает, прежде всего, иметь необходимые идеи, чтобы прокладывать пути к новым формулам, теоремам и методам, которые постепенно позволят понять интересующие нас события и явления.

«Эврика!» Архимеда — тот момент вдохновения, описанный Пуанкаре, который многие называют «счастливым озарением», является лишь частью творчества. Это вдохновение приходит не случайно — оно является результатом длительного и упорного труда, а в психологии понимается как часть творческого процесса.

Эвристика, искусство изобретать и совершать открытия, описанное Дьёрдем Пойа и Имре Лакатосом, — путеводитель в мире математического творчества. И логика, которая сама по себе не творит, необходима в этом мире, особенно на таком важном этапе, как проверка правильности гипотезы.

Великие математические открытия неизменно сопровождаются кризисами и влекут значительные изменения, которые помогают преодолевать кризисы. Развитие знаний предполагает изменение сложившейся парадигмы, так как новые понятия обычно выглядят «чудовищно» и требуют глубокого пересмотра всего, что уже известно. В качестве примера можно привести степени с отрицательным показателем, квадратный корень из 2 и квадратные корни из отрицательных чисел. С созданием альтернативных геометрий геометрия Евклида перестала занимать привилегированное положение. Последней из альтернативных геометрий стала фрактальная геометрия, созданная во второй половине прошлого века благодаря развитию технологий.

Раньше багаж математика был очень легким — достаточно бумаги и карандаша, но теперь во многих разделах науки не обойтись без компьютера.

Чтобы обычный человек смог понять суть математического творчества, ему стоит применить математические методы и понятия для анализа различных событий повседневной жизни, явлений из сферы искусства, литературы или рабочих ситуаций. Взгляд в зеркало или в сторону горизонта побуждают творить формулы и определять отношения, помогающие лучше понять мир. Ни одну из этих формул нельзя считать результатом открытия — она не находилась по другую сторону зеркала и не была погребена в песке. Эти формулы родились благодаря нашему воображению, способному моделировать реальность в виде множества геометрических фигур.

Без нас не было бы ни формул, ни горизонта.

В этой книге мы привели примеры задач, с которыми сталкиваются художники и ремесленники. Произведения и тех, и других часто должны обладать достаточной геометрической точностью, поэтому, например, орнаментальная вязь, которая часто встречается в декоративно-прикладном искусстве, изображается поверх квадратной сетки. Ключ к задаче о циклических, или бесконечных кельтских узлах, которые являются частью кельтской культуры, связан с делимостью чисел. Не теорема помогла создать узлы — напротив, узлы помогли сформулировать теорему.

Математика применяется для решения множества рабочих задач, и часто теоретическое решение практической задачи не является ее лучшим практическим решением. Изучив различные ситуации, мы увидели, что построить равносторонний треугольник можно разными способами, что сумма округленных значений не равна округленному значению суммы и что, как правило, треть того, что мы видим, — вовсе не треть того, на что мы смотрим. Источники математического творчества и вдохновения могут лежать за пределами самой математики. Аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес создал два вымышленных артефакта, которые, в свою очередь, представляют собой два невозможных и удивительных математических объекта: книгу с бесконечным количеством страниц и диск, у которого нет второй стороны. И всего одна фраза из произведения итальянского писателя Итало Кальвино стала источником геометрической задачи и новой теоремы.

Рассмотрев теорему Вариньона, мы увидели, что логическое доказательство не объясняет суть рассматриваемого явления, и необходим контекст, чтобы понять его. Этот пример, показывающий, как важен контекст для понимания любой задачи, служит потрясающей метафорой, которая помогает понять еще одну основную мысль этой книги: математика создается не только профессионалами из мира математики, не только представителями университетской науки, не только исследователями и не только в рамках западной культуры. То, как ремесленники народа тораджи научились строить правильные многоугольники с помощью неевклидовых методов, показывает, насколько важны в математическом творчестве культурные и социальные аспекты. Необычные переживания расширяют кругозор и помогают творить, поскольку в подобных ситуациях нам приходится объяснять новое с помощью того, что нам уже известно. Например, мы можем провести аналогию между бамбуковой рейкой и компьютерной программой: в обоих случаях мы используем итеративный процесс, который гарантированно приводит к нужному результату.

Своеобразными испытательными полигонами творчества сегодня стали реклама и дизайн. Когда исчерпаны все известные способы и кажется, что мы придали вещам все возможные формы, возникают новые идеи, которые питаются из прежних источников. Математика помогает и в продажах. Математические объекты и понятия стали частью нашей повседневной жизни — мы постоянно встречаем их в рекламных сюжетах и в дизайне объектов, которые находятся от нас на расстоянии вытянутой руки. Пропорциональность чисел и фигур, лента Мёбиуса, теорема Пифагора, симметрия, бесконечность, функции и их графики, вероятность… И это далеко не все математические объекты, которые можно использовать в дизайне и рекламе.

Традиционно различают два основных вида творчества, которые взаимно влияют друг на друга: творчество через расширение и творчество через ассимиляцию. Расширение означает сдвиг известных горизонтов, а под ассимиляцией понимается творчество, предполагающее изменение базовых понятий математики. Результаты подобного творчества обычно становятся причиной крупных изменений в науке.

Законы математического творчества

Творить означает создавать что-то, чего раньше не существовало, будь то объект, процедура или понятие. Творить математику, по сути, означает решать задачи, поэтому мы делаем первый шаг к творчеству, когда задаемся вопросом, на который может ответить математика. Этот вопрос может родиться из другой математической задачи, теоремы или какого-то явления повседневной жизни. Погрузившись в суть вопроса, нужно внимательно изучить его, и в этом очень важную роль может сыграть социальное и культурное взаимодействие. Когда мы обмениваемся с другими людьми нашими идеями и рассказываем им о неудачах, это помогает осветить «темную комнату», в которую мы попали. Технологии могут оказать нам огромную помощь и стать источником вдохновения, поскольку позволяют реализовать самые немыслимые плоды нашего воображения.

Наконец, мы не устаем повторять, что цель математического творчества — в том, чтобы объяснить рассматриваемое событие или явление. Логика помогает подтвердить правильность рассуждений, но сама по себе не всегда объясняет. Доказательство теоремы Ферма в итоге было найдено, однако в нем используется так много совершенно разных аргументов и аналогий, что оно не объясняет самой сути теоремы. Поэтому мы по-прежнему ждем, когда же будет найдено то самое «чудесное доказательство», о котором писал Ферма. Мы ждем этого потому, что по-прежнему считаем: к доказательству этой теоремы должен быть не только более короткий, но и более ясный путь. Мы хотим прежде всего понять, а уже затем, поняв, сформулировать доказательство.

Автор этой книги полагает, что творить математику может любой и что математика намного более демократична, чем это кажется с учетом человеческой истории и традиций в сфере образования. В чем же состоит метод, который поможет нам стать творцами и создать новую математику? На основании всего изложенного в книге можно заключить, что этот метод состоит в том, чтобы:

— задаться математическими вопросами о пережитом опыте;

— посмотреть на ситуацию с точки зрения математики;

— сформулировать задачу на языке математики;

— не стесняясь, использовать эксперимент, интуицию, аналогии, логику, технологии и социокультурные достижения, например труды экспертов и работы других авторов.

Иными словами, нужно каждый день хотя бы несколько мгновений жить математически.

Успехов вам в творчестве!