Глава 4 Межкультурное и творческое взаимодействие

Глава 4

Межкультурное и творческое взаимодействие

До сих пор мы говорили о наиболее типичном аспекте математической деятельности — о том, как человек, сталкивающийся с событиями и явлениями, пытается объяснить их с точки зрения математики. Мы не углублялись в культурные и социальные аспекты математики, хотя в первой главе отметили, что именно они играют основную роль в ее развитии.

Математика формируется в рамках определенного социального и культурного контекста, который в значительной степени определяет ее развитие как внутри научной среды, так и вне ее. Следовательно, социокультурные факторы влияют на математическое творчество, так как придают одним задачам большую важность, чем другим, и если в одной культуре определенные задачи считаются очень важными, то в другой культурной среде им не уделяется никакого внимания.

Этноматематика — это раздел науки, изучающий развитие математики в определенных группах культур. Благодаря этноматематике мы знаем, что в разных частях света люди по-разному производят вычисления, по-своему воспринимают геометрические фигуры и используют для решения одних и тех же задач разные алгоритмы. С одной стороны, это доказывает творческую природу каждой культуры, с другой стороны — делает возможным межкультурное взаимодействие.

Далее мы вкратце расскажем о том, как автор этой книги накапливал новые математические знания вне своей научной среды и вне родной ему западной культуры. Надеемся, что читатель снисходительно отнесется к крайне субъективному характеру повествования.

Пока что мы всегда говорили об эвристике в рамках определенной культуры — как в пределах академической среды, так и за ними. Теперь мы выйдем за рамки нашей культурной парадигмы и посмотрим, как математическое творчество соотносится с различными культурными и социальными аспектами, как оно связано с ними.

Мы уже говорили, что первый шаг на пути к математическому творчеству — это начать задавать вопросы о том, что нас окружает. Что может быть лучше, чем выйти из дома и начать наблюдать, изучать новое, испытывать незнакомые ощущения?

Путешествие к другим культурам

Математики нечасто путешествуют. Мы не имеем в виду путешествия, связанные с научной работой, которые проходят в привычном для ученых контексте. Мы говорим о путешествиях с целью узнать что-то новое, познакомиться с новыми людьми, новыми культурами и обычаями, новым образом жизни и образом мыслей. К таким путешествиям не относятся организованные поездки, так как в них туриста окружает значительная часть привычной среды — хотя бы минимальные удобства, транспорт, гид-переводчик и попутчики, принадлежащие к родной культуре.

Погружения в другую культуру выглядят совершенно иначе: в них путешественник покидает привычный культурный контекст. В течение короткого промежутка времени он старается жить максимально похоже на то, как живут местные, вести себя так же, как они, есть ту же еду и в тех же ресторанах и кафе, он поселяется в тех же гостиницах, куда селятся местные жители, когда они отправляются в поездки.

В подобных путешествиях мы понимаем, что обычная жизнь представителей разных культур отличается: в разных странах люди говорят на разных языках, у них разные верования и обряды, социальная и политическая организация, система ценностей, гастрономия, архитектура, искусство, музыка, литература и многое другое, что составляет самобытность страны. Путешественник стремится найти сходства и различия между этой культурой и культурой родной страны. Так он не только близко знакомится с новой страной, но и лучше узнает самого себя и, как следствие, свою культуру.

Математика за городскими стенами

Кто-нибудь думал о математике во время путешествия? Когда лодка несет нас по водам Ганга, мы смотрим на клубы дыма, поднимающиеся от кремируемых тел, чей прах затем будет развеян по реке. Сидя на песке, мы смотрим на звездообразный силуэт пальмы в лучах закатного солнца, на то, как она колышется на ветру. Сидя на полу храма, мы восхищаемся неизмеримым множеством деталей: вот священник в клубах благовоний освящает подношения, служки в разноцветной одежде, повторяющаяся музыка гамелана, скульптуры внутри храма, декорации из бамбука и сплетенных листьев, корзины с экзотическими фруктами… Может ли кто-нибудь думать о математике, видя вокруг себя все это великолепие?

Это невозможно. Тем не менее, проведя некоторое время в чужой стране, мы привыкаем к экзотике. То, что раньше казалось странным, теперь привычно. И в этот момент мы можем заняться тем же, чем занимались дома. Когда этот первый этап пройден, но поездка еще не закончена, путешественник в свободные минуты может задуматься о чем-то привычном, свойственном его среде.

В эквадорском городе Баньос я впервые в жизни начал разговор о математике, находясь далеко от дома, — я разговорился с немецким туристом, который интересовался теоремами о собственных значениях.

Второй подобный разговор произошел несколько лет спустя, когда я взял с собой в Индонезию тетрадь с заметками и книгу по математике, чтобы подготовить курс лекций. Путешествие обещало быть долгим, и я планировал пробыть на одном месте несколько недель. Музыка и литература помогли мне воссоздать привычное рабочее место, очень похожее на то, что было у меня дома. Сначала это казалось мне странным, но постепенно я привык заниматься математикой в тропиках. Именно тогда мне пришла в голову описанная ниже задача об оптимизации: на мысль о ней меня навели острова Молуккского архипелага, разделенные проливом шириной всего два километра: Тернате, имеющий почти идеально круглую форму, и соседний с ним остров Тидоре.

Задача формулируется следующим образом. Даны два круглых острова, на каждом из них есть всего одна дорога, идущая вдоль побережья. Один человек находится в точке Р на дороге, проложенной на одном острове, и ему нужно попасть в точку Q на дороге, расположенной на другом острове, как показано на рисунке. Как найти кратчайшую траекторию?

Все возможные траектории, проходящие по островам, будут иметь форму дуг окружности. С одного острова можно попасть на другой, двигаясь вдоль прямой линии. Вспомним рекомендации Пойа и сведем задачу к простейшему случаю, затем будем рассматривать все более сложные случаи и в итоге найдем общее решение.

1. Оба острова представляют собой точки.

2. Один из островов представляет собой точку.

3. Острова имеют одинаковый радиус.

4. Острова имеют разный радиус.

Основную роль при решении задачи играют четыре точки, положение которых определяется общими касательными к обеим окружностям, как показано на иллюстрации.

При решении задачи возникает вопрос: путь между какими точками будет кратчайшим, если мы будем передвигаться исключительно морем? А что если один остров расположен внутри другого и они разделены озером, имеющим форму кольца?

Таблица умножения на песке

Моя третья встреча с математикой за пределами родной культуры произошла на пляже Падангбай на острове Бали. Там я встретил школьного учителя из небольшого городка, расположенного неподалеку, и его семилетнюю дочь. Учитель писал на песке примеры, а дочь должна была их решить. Меня удивил необычный способ умножения на пальцах, который они использовали. Я вспомнил одну из книг Джорджа Ифра, которая стояла в шкафу у меня дома, в 13 тысячах километров от того места, где я находился. В ней описывались различные способы умножения, используемые в разных частях света, но я не мог вспомнить, упоминалась ли в книге Индонезия и остров Бали.

Чтобы умножить, например, 6 на 8, девочка сжимала в кулак пальцы левой руки, а затем считала до 6 на пальцах, так, что в итоге один палец оказывался загнутым, 4 — разогнутыми. Затем она считала до 8 на пальцах правой руки так, что в итоге загнутыми оказывались 3 пальца, разогнутыми — 2, как показано на рисунке ниже.

Чтобы получить результат, девочка прибавляла число загнутых пальцев, умноженное на 10, то есть 10 * (1 + 3) = 40, к произведению чисел, которые обозначались разогнутыми пальцами, то есть 4·2 = 8. Результат умножения равнялся 40 + 8 = 48.

Кто придумал такой способ и как он работает? На первый вопрос ответить невозможно — способ очень древний. А ответ на второй вопрос выглядит так:

(10 — а) (10 — Ь) = 100 — 10а — 10Ь + аЬ =

= 100 —10(а + Ь) + аЬ = 10[10 — (а + Ь)] + ab.

Здесь а + b — число разогнутых пальцев, 10 — (а + Ь) — число загнутых пальцев. Число загнутых пальцев следует считать десятками, то есть умножить на 10. Наконец, а и b обозначают число загнутых пальцев на каждой руке. При умножении 6 x 7 мы получаем а = 4, b = 3. При умножении 8 x 8 загнутыми оказываются три пальца на каждой руке, они обозначают шесть десятков (60), два разогнутых пальца на каждой руке обозначают 2·2 = 4 единицы. Следовательно, результат умножения равен 60 + 4 = 64.

Смысл подобной системы в том, чтобы свести умножение двух чисел больше 5 к умножению чисел меньше 5. Чтобы использовать эту систему, не нужно знать таблицу умножения до 10 — достаточно таблицы умножения до 5.

Вернувшись домой, я открыл главу книги об истории чисел. Ифра писал, что схожие приемы умножения используются в разных частях света: «Подобные методы до сих пор встречаются в Индии, Иране, Сирии, Сербии, Бессарабии, Валахии, Оверни и на севере Африки». Индонезии среди упоминаемых им регионов не было. Так я впервые в жизни увидел что-то, что не было описано в книге. Жители Бали исповедуют индуизм, и нет никаких сомнений, что способ умножения, которым пользовались учитель и его дочь, был частью индийского культурного наследия.

* * *

УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ БОЛЬШЕ 10

Секрет описанного метода умножения основан на остатках от деления на 5. Такое умножение выполняется на пальцах. Так как у нас по 5 пальцев на каждой руке, число загнутых или разогнутых пальцев будет равно остатку отделения искомого числа на 5. Чтобы умножить 13 на 14, отсчитаем единицы на пальцах. В итоге на одной руке будут загнуты 3 пальца, на другой — 4, что соответствует остатку от деления 13 и 14 на 5:13 = 5·2 + 3; 14 = 5·2 + 4. Что нужно сделать дальше, чтобы найти результат умножения? Ответ на этот вопрос подскажет алгебра:

(10 + а)(10 + Ь) = 100 + (а + Ь)·10 + аЬ.

Иными словами, нужно прибавить к 100 столько десятков, сколько пальцев загнуто на обеих руках (3 + 4), и их произведение:

13·14 = 100 + (3 + 4)·10 + 3·4 = 100 + 70 + 12 = 182.

* * *

Гравюры тораджи: можно ли создать их, не зная математики?

Произошедшее заставило меня по-новому посмотреть на окружающее. Вскоре мне попалось на глаза нечто особенное: гравюры народа тораджи с индонезийского острова Сулавеси. Вначале я увидел в них лишь произведение искусства и часть культуры тораджи, отличительной чертой которой является традиционная архитектура. Дома и амбары для хранения риса сделаны из дерева и стоят на толстых сваях.

В нижней части строений обычно хранят инструменты и держат скот, наверху располагаются жилые комнаты со стенами из деревянных панелей. Крыша дома по форме напоминает седло.

Одинаковые геометрические фигуры, равноудаленные друг от друга, и круг, разделенный на шестнадцать равных частей.

На фасады домов наносятся различные узоры, расположение и значение которых отражают представления тораджи об окружающем мире, космосе и обществе. Авторов узоров вдохновляет окружающая природа, образы которой воплощаются в гравюрах в виде геометрических абстракций.

После увиденного на пляже Падангбай и после того, как я понял, что в книге Джорджа Ифра ничего не говорится об этом регионе, я внимательно изучил некоторые фотографии архитектуры тораджи. Я по-прежнему видел в них произведения искусства, полные символов, но начал замечать и тщательно выстроенную сеть параллельных и перпендикулярных прямых, окружностей, спиралей, переносов, отражений и других видов симметрии. Можно ли создать все эти узоры, не зная математики?

Геометрия неизменно присутствует в произведениях искусства и узорах народа тораджи с острова Сулавеси.

Как создаются гравюры тораджи

Изучив гравюры тораджи, европейский математик свяжет их с евклидовой геометрией и сделает вывод, что они с большой вероятностью созданы на основе понятий и методов, введенных Евклидом. Подобная трактовка будет неразрывно связана с самими геометрическими фигурами, увиденными на гравюрах. Термины, которыми математик описывает эти фигуры, являются частью его собственной математической культуры. Однако ни один из этих терминов не знаком мастерам, изготовившим гравюры.

Когда математики получили возможность посмотреть, как тораджи создают узоры, и пообщаться с мастерами, они поняли, что некоторые их методы не относятся к геометрии Евклида. Граверы создавали узоры с высокой точностью: чаще всего каждый узор наносился с помощью сетчатой ткани, в некоторых случаях — поверх заранее намеченных эскизов. И всегда тщательно проведенные линии служили основой для фигур, которые наносили на гравюру позже.

Когда западные математики увидели, как мастера проводят линии сетки, то поняли, что тораджи строят параллельные и перпендикулярные линии не по методам, описанным Евклидом в «Началах», а согласно приближенным алгоритмам, которые казались намного менее строгими, чем можно было подумать, глядя на конечный результат. Параллельные линии и окружности были построены с очень высокой точностью с помощью циркулей, подобных европейским (на их обеих ножках имелись иглы, которыми можно делать отметки на деревянной поверхности), и циркулей из бамбука традиционной конструкции. Мастера ничего заранее не измеряли и не проводили никаких расчетов. Бамбуковая рейка служила как для измерений и откладывания размеров, так и для построения прямых линий.

Мастер тораджи рисует ряд спиралей.

Спираль, нарисованная от руки в углу сетки.

При этом мастера должны были решать важную задачу: перед тем как провести линии сетки на прямоугольной панели, где затем изображался узор, необходимо было отметить концы линий на краях панели. Две, три, четыре, шесть и восемь равноудаленных точек определялись методом проб и ошибок. Одни мастера использовали для этого бамбуковую рейку, другие — циркуль, и все они при этом отмечали точки в нужных местах и с поразительной быстротой.

Бамбуковый циркуль.

Эврика!

Сначала я подумал, что мастер хотел разделить сторону панели на две, три, четыре, шесть и восемь равных частей и что указанные им точки и станут концами линий сетки, поверх которой будет наноситься гравюра. Он действовал иначе, чем поступил бы я: я измерил бы сторону панели и разделил ее длину на нужное число частей, а затем отметил бы соответствующие точки. В распоряжении мастеров были линейки с миллиметровыми делениями и калькуляторы, однако они не пользовались этими инструментами, а применяли свой способ, достаточно эффективный и надежный: я видел, как они работают, собственными глазами.

Тогда я задумался: как бы решил эту задачу я, имея их инструменты? Я бы отмерил на глаз половину, треть и четвертую часть стороны, которую требовалось разделить на две, три или четыре равные части. Я отметил бы точку, примерно обозначавшую середину стороны, на бамбуковой рейке, а затем отложил ее на стороне прямоугольной панели, которую требовалось разделить. Затем я передвинул бы рейку так, чтобы ее конец совпал с отметкой, нанесенной на панели. Если я отмерил середину панели точно, то точка, отмеченная мной на середине бамбуковой рейки, совпала бы с краем панели.

По-видимому, мастера действовали точно так же. Однако суть задачи заключалась в другом: если нужные точки не совпадали, это означало, что я определил середину панели неверно. Как исправить эту ошибку? Мастера работали так быстро, что было сложно уследить, в чем заключалась суть их метода. Казалось, что они, на основе проб и ошибок, несколько раз отмечали нужную точку, пока не получали желаемый результат. Но как им удавалось без всяких расчетов находить нужные точки так быстро? Возможно, я недооценивал их метод, и он был намного эффективнее, чем мне казалось?

На следующее утро мы сели в автобус. Был солнечный день, нас ожидала долгая дорога, поэтому в начале пути я занимал себя тем, что наблюдал, как просыпалась жизнь на рисовых полях и в деревнях, мимо которых мы проезжали. Я чувствовал себя прекрасно, и мой разум переключался между реальностью и выдумкой.

Я попеременно видел сначала то, что в действительности находилось передо мной, затем — какие-то воображаемые картины. Внезапно у меня возник вопрос: как исправить ошибку измерений и получить точный результат?

Я вновь представил себе мастеров за работой, с бамбуковой рейкой в одной руке и с карандашом — в другой. Я отметил середину рейки на глаз, затем перенес отметку на край деревянной панели. Затем я сдвинул рейку до конца. Конец рейки и край панели не совпали — я ошибся, но… Эврика! Как же я раньше не додумался? Чтобы исправить ошибку, нужно было найти половину допущенной ошибки и прибавить (или вычесть) ее к исходной оценке в зависимости от того, в какую сторону я ошибся — в большую или в меньшую. Так я нашел решение: эта сумма или разность половин и была равна искомой половине стороны панели. Если же панели требовалось разделить на три части, следовало действовать так же: нужно было прибавить или отнять треть величины, на которую мы ошиблись. Если, повторив эти действия дважды, я не получал удовлетворительный результат, следовало повторить все с самого начала.

Мастер исправляет ошибку, допущенную при измерении на глаз.

Пусть L — длина отрезка, который мы хотим разделить на три части. Сначала определим треть отрезка на глаз. Отметим на отрезке три точки, обозначающие отрезки длиной a₁, 2a₁ и 3a₁ (см. рисунок на следующей странице).

Если последняя точка совпадает с концом отрезка, то наше решение верно. В противном случае требуется исправить допущенную ошибку Е. Как это сделать? Нужно найти ее треть, Е/3, и прибавить или отнять ее от первой оценки at в зависимости от того, в какую сторону мы ошиблись, большую или меньшую:

а₁ ± E/3.

Мы получим новую оценку, а₂, затем повторим эти же действия сначала.

Последовательные оценки образуют ряд, сходящийся к правильному результату, так как найти середину или треть очень маленького отрезка, длина которого равна величине ошибки, намного проще, чем найти длину исходного отрезка. У мастеров был острый взгляд, поэтому описанный выше алгоритм должен был привести к желаемому результату. Так и происходило.

Как рассуждают мастера?

Математический анализ задачи подтвердил мои ожидания: числовой ряд сходился к желаемому результату. Тогда я задал себе еще один, возможно, более сложный вопрос, который, однако, был крайне важен в моих исследованиях, посвященных математическим методам мастеров тораджи: думают ли они так же, как я? Я не мог просто подойти и задать им этот вопрос. Нужно было сделать так, чтобы они сами объяснили, как они рассуждают, решая эту задачу.

Некоторые из мастеров немного говорили по-индонезийски, но большинство общалось только на местном наречии тораджи. Раньше я пользовался услугами переводчика на английский, но иногда замечал, что он, вместо того чтобы переводить то, что говорил мастер, приводил собственную трактовку его слов. Сейчас я не мог допустить подобного. Я немного понимал по-индонезийски и решил еще немного подучить язык, чтобы поговорить с авторами гравюр. А то, что я уже был знаком с некоторыми из них, должно было помочь в общении. Так происходило межкультурное взаимодействие.

Деление отрезка на равные части неевклидовым методом

Мне стоило немалых трудов объяснить одному из мастеров суть моего вопроса, и в итоге он подтвердил, что при делении отрезка на равные части он рассуждал точно так, как я и представлял. На это указывали все выполняемые им действия, но я хотел, чтобы мастер изложил ход своих мыслей полностью, поэтому я решил действовать как ученик и попросил его объяснить, как он работает. Я решил приступить к работе сам, взял инструменты, с которыми работали мастера, и начал делить деревянную панель на равные части. Потом я спросил, что нужно делать, если я ошибся при делении отрезка на две части, и получил ответ: «Разделить излишек на две части». Затем я уточнил, что делать, если отрезок нужно разделить на три части, и получил ответ: «Точно так же — разделить излишек на три части».

Этот метод мастера называли «метод кира-кира», так как «кира-кира» в переводе с индонезийского означает «примерно». Отрезок делится на части примерно, но не произвольно: мастер отмечает последовательность точек и в конце концов получает желаемый результат. Он считается удовлетворительным, когда величина допущенной ошибки меньше ширины грифеля карандаша, которым наносятся отметки, или визуально неразличима. Это рекурсивный неевклидов алгоритм, который можно использовать на любой плоскости. Именно для таких задач решение методами евклидовой геометрии, которая преподается в европейских и индонезийских школах, оказывается неоптимальным. Мастера тораджи учились у мастеров прошлых поколений, и многие из них не ходили даже в начальную школу. Перед нами — новое решение одной из древнейших задач, новое по меньшей мере для европейской математики, результат этноматематического творчества.

Метод «кира-кира» представляет собой обычное деление, и он намного проще и понятнее, чем может показаться на первый взгляд. Так, можно убедиться, что его, по сути, без каких-либо изменений можно использовать и при делении чисел.

Ведь как мы делим одно число на другое? Мы начинаем с того, что оцениваем, сколько раз делитель укладывается в делимом. Если числа не делятся друг на друга нацело, образуется остаток. Например, когда мы делим 13 на 5, то говорим, что 5 укладывается в 13 два раза, а остаток от деления равен 13 — 2·5 = 13–10 = 3. Что делать дальше? Нужно разделить остаток 3 на тот же делитель, то есть на 5.

Чтобы упростить вычисления, мы умножаем 3 на 10 и делим 30 на 5. Эти числа делятся друг на друга нацело, результатом деления является 6. Однако этот результат затем нужно разделить на 10 и прибавить полученное число, 0,6, к уже известному частному: 2 + 0,6 = 2,6. Так мы получили окончательный результат деления.

Именно так действуют мастера тораджи — разница заключается лишь в том, что они не выполняют расчеты явно и начинают с визуальной оценки. При делении чисел мы можем действовать точно так же. Допустим, нам нужно разделить 2345 на 3. Будем действовать так:

Ошибка, допущенная на третьем шаге (2345/3 = 780), уже достаточно мала и имеет порядок 0,2 % по сравнению с точным результатом, равным 781,666… Но, хотя этот метод эффективен при делении отрезков на практике, он не вполне применим при делении чисел.

Новая проблема

Некоторое время спустя я вновь общался с одним из мастеров. Я с удивлением увидел в его мастерской необычную геометрическую фигуру — пентаграмму. Спросив мастера, как он построил такую фигуру, я узнал, что построить шестиконечную звезду несложно, пятиконечную — намного труднее.

Мастер указывает на неточно проведенную касательную при построении пентаграммы.

Это и в самом деле так. Мастера вписывали пятиконечную звезду в кольцо, радиус которого определялся визуально. Если результат построения отличался от ожидаемого, мастер исправлял ошибку, но не по методу «кира-кира», а на глаз, не следуя какому-то четко определенному методу, который обязательно приводил бы к нужному решению.

Я задумался над тем, как можно помочь мастерам в решении этой задачи. Было очевидно, что она заключалась в построении пяти равноудаленных точек на окружности, которые затем соединялись попарно, образуя пентаграмму. Следовательно, задача сводилась к построению правильного пятиугольника. Решение, предложенное Евклидом, не подходило по двум причинам. Во-первых, мне казалось бессмысленным чертить пятиугольник на стене дома тораджи с помощью громоздкого метода Евклида, который я и сам не помнил во всех подробностях. Во-вторых, не совсем этично привносить подобный метод в другую культуру. И тут… Эврика! Почему бы не попытаться решить задачу с помощью методов, свойственных культуре, в которой возникла эта задача? Иными словами, можно ли применить метод «кира-кира» для построения правильных многоугольников? Ответ на этот вопрос оказался утвердительным, хотя и не совсем таким, как предположил бы европейский математик.

Нам дана окружность, в которую мы хотим вписать правильный пятиугольник.

Применим метод «кира-кира», отложив на бамбуковой рейке пятую часть длины окружности. Затем отложим на окружности полученной меркой пять отрезков: P₀P₁, Р₁Р₂…., P₄P₅. Если конец последнего отрезка совпадает с точкой P₀, то есть первая и последняя точки совпадают, замыкая цикл, то отмеченные нами пять точек являются вершинами правильного пятиугольника. Хорды, стягивающие пять дуг окружности, соответствующих этим пяти точкам, являются сторонами искомого пятиугольника. Чтобы построить пентаграмму, достаточно соединить точки нужным образом.

Если цикл не замыкается, то есть если Р₅ не совпадает с P₀, это означает, что мы допустили ошибку. Сначала я считал, что эту ошибку следует исправить, найдя ее треть с помощью бамбуковой рейки, а затем прибавить ее к исходной длине отрезка (или вычесть из нее). Но это не помогло улучшить результат. Как же решить задачу? Эврика! Я работал с точками на окружности, но по-прежнему использовал отрезки, в то время как мне нужно было исправить ошибку, допущенную при откладывании дуги. Мне нужно было обратить внимание не на рейку, которой я откладывал хорды, а на дугу окружности, соответствующую величине допущенной ошибки.

Спрямленная окружность

Все ясно: требуется рассмотреть окружность как отрезок. Закрепив один конец рейки во второй точке, отмеченной на окружности, я переместил другой конец рейки туда, где, по моему мнению, должен был находиться конец третьей части дуги, соответствующей допущенной ошибке. В результате я получал новую длину хорды.

Ключ к решению заключался в том, что все отметки на бамбуковой рейке соответствовали хордам дуг окружности и… эврика! Результирующая дуга должна представлять собой сумму дуг. Если складывать хорды подобно отрезкам, это условие не выполняется — результирующая дуга не будет равна сумме двух других. Иными словами, сумма хорд будет равна результирующей хорде, только если мы определим сумму хорд как хорду, равную стороне треугольника, построенного на двух исходных хордах:

Мы определили рекурсивный неевклидов алгоритм построения правильных многоугольников, так как описанный нами способ применим при делении окружности на n частей. Кроме того, мы определили новую аддитивную группу, которую назовем «группой хорд окружности». Сумма двух хорд имеет смысл, если определить ее как сторону треугольника, построенного на исходных хордах, — в этом случае результирующая дуга будет равна сумме двух исходных дуг. Метод «кира-кира» оказался достаточно гибким, чтобы его можно было использовать при решении тех задач, для которых он не предназначался.

* * *

ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ДЕВЯТИУГОЛЬНИКОВ В УЗОРАХ АЛЬГАМБРЫ

Метод «кира-кира» позволяет объяснить трюк, о котором упоминают авторы, описывающие построение правильных девятиугольников, встречающихся в узорах Альгамбры в испанском городе Гранада. Я называю этот метод построения трюком потому, что, как известно благодаря трудам Гаусса, правильный девятиугольник нельзя построить с помощью циркуля и линейки.

Нам доподлинно неизвестно, каким именно методом руководствовались арабские мастера, однако вполне возможно, что он был схож с методом «кира-кира». При использовании этого метода окружность сначала делится на три равные дуги, затем одна из них делится на три части, при этом всякий раз применяется тот же метод, что использовали мастера тораджи. Таким образом мы делим окружность на девять равных дуг, при этом стягивающие их хорды будут сторонами правильного девятиугольника, вписанного в исходную окружность.

* * *

Общение с мастерами тораджи

Я сомневался, стоит ли рассказать мастерам тораджи о том, что метод «кира-кира» можно применить на окружности. До того как встала задача о построении пятиконечной звезды, мастера использовали свой метод для решения любых других задач, но здесь он оказался бессилен. Я боялся, что если расскажу, как можно расширить используемый метод, то тем самым укажу мастерам на то, что их искусство недостаточно высоко. И все же я решил, что после моих объяснений они поймут, что сами сформулировали новую задачу, неподвластную их методу.

* * *

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕОБЫЧНОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Какую ошибку мы совершаем, когда используем хорду окружности в качестве приближенного значения длины ее дуги? Пусть а и с — длина дуги окружности и стягивающей ее хорды соответственно, r — радиус исходной окружности, ? — центральный угол, определяющий дугу.

Следовательно, функция f(x) = sin (х)/х описывает соотношение хорды и стягиваемой ею дуги окружности. Таким образом, мы показали, как можно по-новому использовать эту необычную тригонометрическую функцию, ранее представлявшую интерес главным образом как пример нестандартного вычисления предела. Несмотря на то что при х = 0 эта функция имеет разрыв, предел функции в этой точке существует и равен 1. Существование этого предела доказывается именно путем сравнения дуг и хорд окружности.

* * *

Когда спустя полтора года я вернулся в эту деревню, мастера по-прежнему чертили пятиконечные звезды на глаз. Когда я рассказал им о том, как можно изменить их метод и использовать его для деления окружности на части, они поняли, что я имел в виду, уже по ходу объяснений, и верно предугадали результат. Они приняли предложенный мною метод и стали применять его.

Хроника математических переживаний

Оригинальное название книги Дэвиса и Херша «Математический опыт» на английском языке звучит как The Mathematical Experience. Английское слово experience имеет более широкое значение, чем слово «опыт» в русском языке. Experience — это одновременно жизненный опыт и переживание, которое вносит вклад в формирование личности. При этом переживание — это психологический, личностный процесс. Таким образом, название книги Дэвиса и Херша можно было бы перевести как «Математическое переживание» — процесс, который, с одной стороны, является личным, с другой — выходит за рамки отдельной среды и культуры. Он не ограничивается исключительно научным миром или, напротив, только повседневной жизнью, может относиться как к теории, так и к практике, к западной культуре и любой другой. Переживания, изложенные в этой главе, отражают математический опыт. Описанные ситуации выходят за рамки отдельной культуры, в них сочетаются наука и повседневная жизнь, психологическое и личное, поэтому их по праву можно назвать математическими переживаниями.