Странная задача на премию Профессор Г. Симон

Странная задача на премию

Профессор Г. Симон

Лет 20 тому назад в Берлине подвизался искусный счетчик, предлагавший публике такую задачу (переделываем ее на русский лад):

«Кто сможет уплатить 5 рублей, 3 рубля или 2 рубля полтинниками, двугривенными и пятаками, всего 20-ю монетами, — тому будет выдано наличными деньгами сто рублей».

Посетителям вручались необходимые монеты, — конечно, заимообразно. Но обещанная сотня рублей должна была остаться навсегда в руках счастливца, которому удалось бы решить задачу.

Разумеется, пол-Берлина потело над разрешением этой задачи (стояли как раз жаркие июльские дни), казавшейся не особенно трудной. Сто рублей хорошо пригодились бы всем, значит — стоит потрудиться. По мере того как выяснялась бесполезность попыток, физиономии решавших вытягивались, и розовые мечты о заманчивой награде испарялись. Надежды оказывались обманчивыми. Ловкий счетчик мог безбоязненно обещать в десять раз большую награду. Никто не вправе был бы на нее притязать, ибо задача требует невозможного.

Как в этом убедиться?

Нам не понадобится глубоко забираться в дебри алгебры, но все же не будем бояться х, у и z.

Рассмотрим сначала, можно ли уплатить требуемым образом пять рублей. Пусть для этого нужно ? полтинников, у — двугривенных и z — пятаков. Сумма их должна составить 500 копеек, т. е.

50х + 20у + 5z = 100,

или, разделив на 5,

10х + 4у + z ⁼ 100.

Это легко осуществить на разные лады. Если, например, взять х = 8, то будем иметь

80 + 4у + z = 100,

или

4у + z = 20;

последнему уравнению можно удовлетворить, если принять z = 4, или 8, или 12, или 16 и, следовательно, (при z = 4) 4у = 16, у = 4. Действительно, 8 полтинников, 4 двугривенных и 4 пятака составляют 500. Однако при этом не выполнено условие употребить в общей сложности 20 монет: мы употребили 8 + 4 + 4 = 16 монет. К нашему первому уравнению

10х + 4у + z = 100

необходимо, следовательно, присоединить второе

x + у + z = 20.

Соединяя их в одно, посредством вычитания второго из первого, мы освобождаемся от z и получаем

9х + Зу = 80;

теперь сразу становится очевидным, что не может быть таких целых чисел, которые удовлетворили бы этому уравнению. Потому что 9 раз х, каково бы ни было х, есть непременно число, кратное 3; то же верно для числа Зу; следовательно, сумма 9х + Зу должна делиться без остатка на 3, то есть никак не может равняться 80.

Задача приводит к противоречивому требованию, и значит — ее решение невозможно.

Совершенно так же невозможно и составление требуемым образом сумм в 3 рубля и в 2 рубля. В первом случае, как каждый легко может убедиться, получается уравнение:

9х+3у = 40;

во втором:

9х+ Зу = 20.

Оба равенства невозможны, так как ни 40, ни 20 не делятся без остатка на 3.

Сказанным задача собственно исчерпывается. Но поучительно присоединить к ней рассмотрение вопроса, какие же суммы можно этими 20-ю монетами в самом деле уплатить, — разумеется так, чтобы получилось целое число рублей.

Если обозначим это число рублей через т, то у нас будет уравнение:

50х + 20у + 5 z= 100m,

или

10х + 4y + z= 20 т,

при условии, что

х + у + z = 20,

откуда путем вычитания имеем:

9х + Зу = 20 т — 20 = 20 (т— 1).

Так как 9х + 3у кратно 3, то и 20 (т— 1) должно быть кратно 3.

Но 20 не делится на 3, так что кратным 3 должно быть только т — 1.

Если (т — 1) равно 0, 3, 6, 9, 12 и т. д., то т должно быть на единицу больше, т. е. одно из чисел: 1, 4, 7, 10, 13 и т. д. Только такие суммы рублей могут быть уплачены нашими 20-ю монетами. Но очевидно, что 10 рублей — наибольшая сумма, так как 20 полтинников составляют уже 10 рублей. Принимая поэтому только четыре возможных суммы — в 1 р., в 4 р., в 7 р. и в 10 р., имеем четыре случая:

9х + Зу — 20 (т — 1) = 0, или 60, или 120, или 180,

другими словами,

Зх + у = 0, или 20, или 40, или 60.

Только эти случаи и надо рассмотреть.

1) Один рубль. Зх + у = 0.

Это равенство возможно лишь тогда, когда и ? и у равны нулю, так как, приняв для них даже наименьшее целое число 1, получим 4, а не 0. Единственное решение для этого случая, следовательно, есть ? = 0, у = 0, а потому z = 20, т. е.

один рубль можно уплатить, только употребив 20 пятаков.

Рассмотрим теперь другой крайний случай:

2) Десять рублей. Зх + у = 60.

Так как у должно быть кратно 3 (иначе сумма его с Зх не делилась бы без остатка на 3), то примем у = 0, 3, 6… Для случая у = 0 имеем ? = 20 и г = 0. Это дает нам уже упомянутое решение: 20 полтинников. Но оно и единственное, потому что для у = 3 имеем ? = 19, и (х + у) превышает высшую сумму 20.

3) Четыре рубля. Зх + у = 20.

Принимая

х =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…,

получаем, что

у = 20 = 3х = 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2 (-1, -4…).

Имеют смысл, очевидно, только первые семь значений. Им соответствуют

z = 0,2,4, 6,8, 10, 12.

Четыре рубля можно, как видим, уплатить 7-ю различными способами, например: 6 полтинниками, 2 двугривенными и 12 пятаками.

4) Семь рублей. Зх + у = 40.

Здесь не приходится рассматривать значения для ? от 0 до 9, так как при этом для у получаются числа от 40 до 13, и (х + у) составляет, по меньшей мере, 22, что нарушает требование. Остается рассмотреть поэтому лишь случаи:

х= 10, И, 12, 13,

причем

у = 40-3х= 10, 7, 4, 1,

z = 0,2, 4, 6.

Остальные случаи исключаются, так как ближайшее у уже отрицательное.

Этим вопрос исчерпывается полностью. Кто хотя бы немного имел дело с уравнениями, тот заметил, вероятно, что здесь не приходится оперировать так механически, как обычно. Это оттого, что мы имеем в нашем случае больше неизвестных, нежели уравнений, а именно — 3 неизвестных при 2 уравнениях. Неизвестное z мы устранили и получили одно уравнение с двумя неизвестными хи у. Поэтому задача становится неопределенной; можно лишь установить взаимную обусловленность чисел ? и у, так что для любого ? можно найти соответствующее значение у. В сущности, имеется бесконечное множество пар решений задач такого рода. Но число их ограничивается требованием, вытекающим из сущности задачи, а именно: либо чтобы искомые числа были целые (как в нашей задаче, где речь идет о монетах), либо чтобы они не были отрицательные (наш случай), либо чтобы их сумма не превышала определенного числа (у нас — 20-ти), и т. п.

Итак, возвращаясь к первоначальной задаче, скажем: счетчик мог безопасно посулить сколь угодно большую награду — задача неразрешима. Для вас тем самым открывается легкая возможность предлагать своим друзьям крепкие головоломки. Можете обещать им величайшую награду — не попадетесь: как истые математики, вы можете быть твердо уверены в себе. А кто пожелал бы узнать подробнее об уравнениях вроде рассмотренных выше, пусть спросит своего учителя математики о Диофанте Александрийском.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.