§ 3. Задача Пифагора
§ 3. Задача Пифагора
Примером ранней теории чисел может служить задача Пифагора. Как мы знаем, в прямоугольном треугольнике длины сторон удовлетворяют соотношению Пифагора
z2 = x2 + y2, (1.3.1)
где z — длина гипотенузы. Это дает возможность в прямоугольном треугольнике вычислить длину одной стороны, если известны две другие. Между прочим, то, что эту теорему назвали в честь греческого философа Пифагора, не совсем справедливо: она была известна вавилонянам почти за 2000 лет до Пифагора.
Иногда все длины сторон x, y, z в (1.3.1) выражаются целыми числами. Простейший случай,
x = 3, y = 4, z = 5, (1.3.2)
был найден на вавилонских глиняных табличках. Этому случаю можно дать следующее истолкование. Предположим, что у нас есть веревочное кольцо с узелками или метками, расположенными на равных расстояниях и делящими кольцо на 12 частей. Тогда, если мы растянем кольцо на трех колышках, вбитых на поле, так, чтобы получился треугольник со сторонами 3 и 4, то третья сторона будет иметь длину 5, а противоположный ей угол будет прямым (рис. 1). Часто можно прочесть в книгах по истории математики, что именно этот метод построения прямого угла использовался египетскими землемерами или «натягивателями веревки» при размежевании полей по окончании разлива Нила. Однако вполне возможно, что это один из мифов, которых так много в истории науки; у нас нет документов, подтверждающих это предположение.
Рис 1.
Существует много других целочисленных решений уравнения Пифагора (1.3.1), например,
х = 5, у = 12, z = 13,
х = 7, у = 24, z = 25,
x = 8, у = 15, z = 17.
Далее мы покажем, как можно получить все такие решения. Способ находить их был известен древним грекам, а возможно, и вавилонянам.
Если даны два целых числа, x и y, то всегда можно найти соответствующее число z, удовлетворяющее уравнению (1.3.1), но вполне возможно, что z будет иррациональным числом. Если же потребовать, чтобы все три числа были целыми, то тогда возможности существенно ограничиваются. Греческий математик Диофант (время его жизни точно не известно, приблизительно 200 г. нашей эры) написал книгу Arithmetica («Арифметика»), в которой рассматриваются подобные задачи. С этого времени задача нахождения целочисленных или рациональных решений уравнений называется задачей Диофанта, а диофантов анализ — важная часть современной теории чисел.
Система задач 1.3.
1. Попытайтесь найти другое решение уравнения Пифагора в целых числах.
2. Попытайтесь найти решения уравнения Пифагора, в которых гипотенуза на единицу больше, чем больший из двух катетов.