§ 6. Игры с числами
§ 6. Игры с числами
Существует множество видов игр с числами, некоторые из которых были известны еще в средние века. Большинство из них не представляет интереса для теории чисел, скорее всего, они подобно магическим квадратам принадлежат к классу кроссвордов с числами. Некоторые из них проиллюстрируем примерами.
Перед вами телеграмма, посланная школьником домой, с настоятельной просьбой:
S E N D
M O R E
_________
M O N E Y[11]
Будем рассматривать эту схему, как сложение двух четырехзначных чисел SEND и MORE, в сумме дающих число MONEY. Каждая буква означает определенную цифру. Задача состоит в том, чтобы определить, какие это цифры. Так как всего 10 цифр, то в каждой такой задаче может фигурировать не более 10 букв, в этом примере 8. В идеальном случае задача должна иметь единственное решение.
В нашем примере очевидно, что M = 1, так как М — первая цифра либо суммы S + М, либо S + M+1, где S и М — числа, не превосходящие числа 9. Тогда для числа S имеются две возможности:
S = 9 или S = 8,
так как либо S + 1, либо S + 1 + 1 есть двузначное число. Установим сначала, что S не может быть цифрой 8, ибо, если бы S было 8, то должен был бы быть перенос из колонки сотен, что дает
S + M + 1 = 8 + 1 + 1 = 10
при сложении в колонке сотен. Следовательно, О должно было бы быть нулем и наше послание читалось бы так:
8 Е N D
1 0 R Е
_________
1 0 N Е Y
Но, исследуя колонку сотен, находим, что обязательно должен быть перенос из колонки десятков (иначе Е + 0 = Е, а не N), и так как Е ? 9, то
E + 0 + 1 = 10.
Это вынудило бы нас положить N = 0, но мы уже знаем, что О = 0, поэтому такой случай невозможен, и мы заключаем, что S = 9, и послание теперь читается так:
9 Е N D
1 0 R E
_________
1 0 N Е Y
Так как Е ? N, то сложение в колонке сотен приводит к условию E + 1 = N,
и
9 Е E+1 D
1 0 R Е
____________
1 0 E+1 Е Y
Сложение в колонке десятков дает либо
E + 1 + R = 10 + E, либо E + 1 + R + 1 = 10 + E.
Первый случай невозможен, так как он дает R = 9, что противоречит тому, что S = 9. Во втором случае R = 8, и послание читается так:
9 Е Е+1 D
1 0 8 E
____________
1 0 E+1 Е Y
И наконец, сумма в колонке единиц такова:
D + E = 10 + Y.
Для трех букв D, E, Y остаются только значения 2, 3, 4, 5, 6, 7. Наибольшая сумма двух различных чисел из них равна 13. Отсюда существует всего две возможности для Y: либо Y = 2, либо Y = 3. Последний случай невозможен, так как при этом D + E = 13, но мы не можем иметь E = 7, так как тогда N = E + 1 = 8 = R; также не может быть D = 7, так как тогда E = 6 и N = E + 1 = 7 = D.
Таким образом, Y = 2 и D + E = 12. Из имеющихся цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7 единственной парой, в сумме дающей 12, являются 5 и 7. Так как Е ? 7, то это означает, что D = 7, Е = 5 и, таким образом, единственное решение нашей задачи следующее:
9 5 6 7
1 0 8 5
_________
1 0 6 5 2
Этот процесс довольно сложен, во многих случаях можно получить решение гораздо более простым путем.
Система задач 6.6.
1. Попытайтесь проанализировать следующие при-
меры только что показанным методом:
1. S Е N D
M O R E
G O L D
_________
M O N E Y
2. H O C U S
P O C U S
___________
P R E S T O
3. F O R T Y
T E N
T E N
_________
S I X T Y
4. A D A M
A N D
E V E
A
_______
R A F T
5. S E E
S E E
S E E
Y E S
_______
E A S Y
Переводы этих ребусов таковы:
1. «Шлите больше золотых монет», 2. «Фокус — Покус — Престо», 3. «Сорок + десять + десять = шестьдесят», 4. «Адам и Ева на плоту», 5. «Смотри, смотри, смотри. Да! Легко».
Если хотите, попробуйте придумать свои ребусы. Если вы знакомы с ЭВМ, то попытайтесь запрограммировать решение таких задач.