§ 4. Фигурные числа

§ 4. Фигурные числа

В теории чисел мы часто встречаемся с квадратами, т. е. такими числами, как

3² = 9, 7² = 49, 10² = 100,

и аналогично с кубами, т. е. такими числами, как

2³ = 8, 3³ = 27, 5³ = 125.

Рис. 2.

Этот геометрический образ рассматриваемой операции с числами является частью богатого наследства, оставленного древнегреческими мыслителями. Греки предпочитали думать о числах, как о геометрических величинах: произведение с = аb рассматривалось как площадь с прямоугольника со сторонами a и b. Также можно было рассматривать a•b как число точек в прямоугольной таблице с а точками на одной стороне и b точками на другой. Например, 20 = 4•5 есть число точек в прямоугольной таблице на рис. 2.

Любое целое число, которое является произведением двух целых чисел, можно было бы назвать прямоугольным числом. Когда две стороны прямоугольника имеют одну и ту же длину, то такое число является квадратным числом, или квадратом. Некоторые числа нельзя представлять в виде прямоугольных чисел иначе, как тривиальным способом — в виде цепочки точек, лежащих в одном ряду. Например, пять может быть представлено как прямоугольное число лишь единственным способом, взяв одну сторону равной единице, а другую — пяти (рис. 3).

• • • • •

Рис. 3.

Такие числа греки называли простыми числами. Точка, взятая в одном экземпляре, не рассматривалась как число. Число 1 явилось тем кирпичом, из которого строились все остальные числа. Таким образом, 1 не была для них и не считается сейчас простым числом.

Можно было бы рассматривать точки, равномерно заполняющие не только прямоугольники и квадраты, но и другие геометрические фигуры. Последовательные треугольные числа изображены на рис. 4.

Рис. 4.

В общем случае n-е треугольное число задается формулой

Т_n = ? n (n+1), n = 1, 2, 3… (1.4.1)

У этих чисел масса интересных свойств: например, сумма двух последовательных треугольных чисел является квадратом

1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6 + 10 = 16 и т. д. (1.4.2)

Обобщением треугольных чисел и квадратов явились многоугольные числа. Метод их получения проиллюстрируем на примере пятиугольных чисел. Для этого рассмотрим рис. 5.

Рис. 5.

Глядя на него, легко найти несколько первых пятиугольных чисел,

1, 5, 12, 22, 35. (1.4.3)

Можно показать, что n-е пятиугольное число выражается формулой

p_n = ? (3n² — n). (1.4.4)

Шестиугольные числа, и вообще k-угольные числа, аналогично определяются с помощью правильного k-угольника, и мы не будем больше тратить времени на их обсуждение. Фигурные числа, особенно треугольные, пользовались большой популярностью при изучении чисел в конце эпохи Возрождения, после того как греческая теория чисел проникла в Западную Европу. И сейчас их можно иногда встретить в статьях по теории чисел.

Проводя анализ такого геометрического представления чисел, можно получить несколько простых соотношений. Остановимся лишь на одном примере. Уже давно было известно, что складывая последовательно нечетные числа, мы все время будем получать квадраты, например,

1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 и т. д.

Чтобы доказать это соотношение, достаточно лишь взглянуть на рис. 6, на котором изображены последовательно вложенные квадраты.

Рис. 6.

Система задач 1.4.

1. Докажите по индукции общую формулу (1.4.1) для треугольных чисел.

2. Докажите формулу (1.4.4) для пятиугольных чисел.

3. Докажите, что произвольное k-угольное число выражается формулой

? k (n² - n) — n² + 2n.