§ 3. Несколько задач о делителях

We use cookies. Read the Privacy and Cookie Policy

§ 3. Несколько задач о делителях

Существует единственное число n = 1, которое имеет только один делитель. Числами с ровно двумя делителями являются простые числа n = р: они делятся на 1 и на р. Наименьшим числом, имеющим два делителя, является, таким образом, р = 2.

Исследуем числа, имеющие ровно 3 делителя. В соответствии с (3.2.3) имеем

3 = (?1 + 1) (?2 + 1)… (?r + 1).

Так как 3 — простое число, то справа может существовать лишь один множитель, не равный 1. Отсюда r = 1, a ?1 = 2. Таким образом,

n = p12.

Наименьшим числом с 3 делителями является n = 22 = 4. Это соображение, примененное к общему случаю, когда число делителей q является простым числом, позволяет получить, что

q = ?1 + 1, т. е. ?1 = q — 1 и n = р1q-1;

наименьшим из таких чисел является

n = 2q-1.

Рассмотрим следующий случай, когда существует ровно 4 делителя. Тогда соотношение

4 = (?1 + 1) (?2 + 1),

возможно только тогда, когда

?1 = 3, ?2 = 0 или ?1 = ?2 = 1.

Это приводит к двум возможностям:

n = p13, n = p1  p2;

наименьшее число с 4 делителями — это n = 6.

В том случае, когда имеется 6 делителей, должно выполняться соотношение

6 = (?1 + 1) (?2 + 1),

что возможно лишь тогда, когда

?1 = 5, ?2 = 0 или ?1 = 2, ?2 = 1.

Это дает две возможности:

n = p15, n = p12 p2;

при этом наименьшее значение имеет место в последнем случае, когда

p1 = 2, p2 = 3, n =12.

Этот метод можно использовать для вычисления наименьших натуральных чисел, имеющих любое заданное количество делителей.

Существуют таблицы, указывающие количество делителей для различных чисел. Они начинаются следующим образом:

Вы легко можете ее самостоятельно продолжить.

Будем говорить, что натуральное число n является сверхсоставным, если количество делителей у каждого числа, меньшего n, меньше, чем количество делителей у числа n. Глядя на нашу небольшую таблицу, мы видим, что

1, 2, 4, 6, 12

являются первыми пятью сверхсоставными числами. О свойствах этих чисел известно еще очень мало.

Система задач 3.3.

1. Взвод из 12 солдат может маршировать 6-ю различными способами: 12 ? 1, 6 ? 2, 4 ? 3, 3 ? 4, 2 ? 6, 1 ? 12. Какую наименьшую численность должны иметь группы людей, которые могут маршировать 8, 10, 12 и 72 способами?

2. Найдите наименьшие натуральные числа, имеющие: а) 14 делителей, б) 18 делителей ив) 100 делителей.

3. Найдите два первых сверхсоставных числа, следующих за числом 12.

4. Охарактеризуйте все натуральные числа, количество делителей которых является произведением двух простых чисел.

Более 800 000 книг и аудиокниг! 📚

Получи 2 месяца Литрес Подписки в подарок и наслаждайся неограниченным чтением

ПОЛУЧИТЬ ПОДАРОК