§ 4. Совершенные числа

§ 4. Совершенные числа

Нумерология (или гематрия, как ее иногда еще называют) была распространенным увлечением у древних греков. Естественным объяснением этому является то, что числа в Древней Греции изображались буквами греческого алфавита, и поэтому каждому написанному слову, каждому имени соответствовало некоторое число. Люди могли сравнивать свойства чисел, соответствующих их именам.

Делители или аликвотные части[6] чисел играли важную роль в нумерологии. В этом смысле идеальными, или, как их называют, совершенными числами являлись такие числа, которые составлялись из своих аликвотиых частей, т. е. равнялись сумме своих делителей. Здесь следует отметить, что древние греки не включали само число в состав его делителей.

Наименьшим совершенным числом является 6:

6 = 1 + 2 + 3.

За ним следует число 28:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,

далее число 496:

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Часто математик, увлеченный решением какой-либо проблемы и имеющий одно или несколько частных решений этой задачи, пытается найти закономерности, которые смогли бы дать ключ к нахождению общего решения. Указанные нами совершенные числа могут быть записаны в виде

6 = 2  3 = 2(2² — 1),

28 = 2²  7 = 2²(2³ — 1),

496 = 24  31 = 2⁴(2⁵ — 1).

Это наталкивает нас на гипотезу:

Число является совершенным, если оно представляется в виде

Р = 2^p-1(2^p — 1) = 2^р q, (3.4.1)

где

q = 2^p — 1

является простым числом Мерсенна.

Этот результат, известный еще грекам, несложно доказать. Делителями числа Р, включая само число Р, очевидно, являются следующие числа:

1, 2, 2²…, 2^р-1,

q, 2q, 2²q…, 2^р-1q.

Запишем сумму этих делителей

1 + 2 +… + 2^р-1 + q(1 + 2 +… + 2^р-1),

которая равна

(1 + 2 +… + 2^р-1)(q + 1) = (1 + 2 +… + 2^р-1) 2^р

Если вы не помните формулы для суммы членов геометрической прогрессии,

S = 1 + 2 +… + 2^р-1,

то умножьте эту сумму на 2:

2S = 2 + 2² +… +2^р-1 + 2^р,

а затем, вычтя S, получите

S = 2^p — 1 = q.

Таким образом, сумма всех делителей числа Р есть

2^pq = 2 • 2^p-1q,

а сумма всех делителей, кроме самого числа Р = 2^p-1q, равна

2 2^p-1q — 2^p-1q = 2^p-1q = Р.

Итак, наше число является совершенным.

Из этого результата следует, что каждое простое число Мерсенна порождает совершенное число. В § 2 второй главы говорилось, что известно всего 23 простых числа Мерсенна, следовательно, мы знаем также и 23 совершенных числа. Существуют ли другие виды совершенных чисел? Все совершенные числа вида (3.4.1) являются четными, можно доказать, что любое четное совершенное число имеет вид (3.4.1). Остается вопрос: существуют ли нечетные совершенные числа? В настоящее время мы не знаем ни одного такого числа, и вопрос о существовании нечетных совершенных чисел является одной из самых знаменитых проблем теории чисел. Если бы удалось обнаружить такое число, то это было бы крупным достижением. Вы можете поддаться соблазну найти такое число, перебирая различные нечетные числа. Но мы не советуем этого делать, так как по последним сообщениям Брайена Такхермана из IBM[7] (1968), нечетное совершенное число должно иметь по крайней мере 36 знаков.

Система задач 3.4.

1. Используя список простых чисел Мерсенна, найдите четвертое и пятое совершенные числа.