§ 2. Делители
§ 2. Делители
Разложим на множители какое-нибудь число, скажем, 3600. Это разложение
3600 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5
может быть записано как
3600 = 24 • 32 • 52.
Вообще при разложении числа n на множители аналогично можно собирать одинаковые простые множители в виде степеней и записывать
n = p1?1 • p2?2 • …. • рr?r, (3.2.1)
где p1, p2 …. рr — различные простые множители числа n, причем число p1 входит ?1 раз, p2 входит ?2 раз и т. д.
Если мы знаем вид (3.2.1) для числа, то мы сможем тотчас же ответить на некоторые вопросы об этом числе.
Например, если мы захотим, то можем узнать, какие числа делят число n. Возьмем для примера рассмотренное выше число 3600. Предположим, что число d является одним из его делителей, т. е.
3600 = d • d1.
Приведенное разложение на простые множители показывает, что единственными числами среди множителей числа d будут лишь 2, 3, 5. Кроме того, число 2 может содержаться не более 4 раз, а числа 3 и 5 не более, чем по 2 раза каждое. Итак, мы видим, что возможными делителями числа 3600 будут числа вида
d = 2?1 • 3?2 • 5?3,
при этом показатели степени могут принимать значения:
?1 = 0, 1, 2, 3, 4;
?2 = 0, 1, 2;
?3 = 0, 1, 2.
Так как эти значения могут сочетаться всеми возможными способами, то число делителей равно
(4 + 1)•(2 + 1)•(2 + 1) = 5 • 3 • 3 = 45.
Для любого числа n, разложение которого на простые множители дается формулой (3.2.1), положение точно такое же. Если число d является делителем числа n, т. е.
n = d • d1
то единственными простыми числами, на которые может делиться число d, будут только те, которые делят число n, а именно: p1…, рr. Таким образом, мы можем записать разложение числа d на простые множители в виде
d = p1?1 • p2?2 • …. • рr?r, (3.2.2)
Простое число p1 может содержаться не более ?1 раз, как и в самом числе n; аналогично — для p2 и других простых чисел. Это значение для числа ?1 мы можем выбрать ?1 + 1 способом:
?1 = 0, 1…, ?1;
аналогично и для других простых чисел. Так как каждое из ?1 + 1 значений, которые может принимать число ?1, может сочетаться с любым из ?2 + 1 возможных значений числа ?2 и т. д., то мы видим, что общее число делителей числа n задается формулой
?(n) = (?1 + 1) (?2 + 1)… (?r + 1). (3.2.3)
Система задач 3.2.
1. Сколько делителей имеет простое число? Сколько делителей имеет степень простого числа р??
2. Найдите количество делителей у следующих чисел: 60, 366, 1970, вашего почтового индекса.
3. Какое натуральное число (или числа), не превосходящее 100, имеет наибольшее количество делителей