Глава 7 Геометрия Земли
Глава 7
Геометрия Земли
Рассмотрим две классические задачи, связанные с геометрией Земли. Они были сформулированы известным математиком и педагогом Дьёрдем Пойа (1887–1985). Первая — рассказ-шутка, но с математическим содержанием. Она известна как задача о полярном медведе.
«Смелый охотник, выйдя из лагеря, прошел 1 км на юг. Затем он прошел 1 км на восток. И в этот момент он увидел медведя, достал пистолет и выстрелил. Довольный своей добычей, охотник пошел на север и ровно через 1 км возвратился в лагерь. Какого цвета был медведь?»
Охотник двигался по дугам меридианов, когда шел на юг и на север. Идя на восток, он двигался по дуге параллели.
Если охотник возвращается в исходную точку по другому меридиану, а не по тому, по которому вышел из лагеря, то его лагерь должен быть на Северном полюсе. Другое решение предполагает, что двигаясь на восток по параллели, охотник опишет одну, две или три полных окружности вокруг полюса. В любом случае медведь, находящийся в одном километре от Северного полюса, может быть только белым.
Другая задача Пойа не так хорошо известна, но не менее занимательна. Это задача о земле Роберта.
«Роберт хочет купить участок земли, совершенно плоский и ограниченный четырьмя строго прямыми линиями. Две из этих линий должны проходить с севера на юг, а две другие — с востока на запад. Длина каждой должна быть ровно 1000 метров. Может ли Роберт найти такой участок земли в Мексике?»
Рассуждения в этой задачи аналогичны предыдущим. Участок земли, который хочет купить Роберт, ограничен двумя меридианами и двумя параллелями. Представьте себе два фиксированных меридиана и параллель между ними. При движении от экватора дуга параллели будет уменьшаться. Таким образом, описанный в задаче участок можно найти только на экваторе. Взглянув на карту Земли, мы сразу поймем, что Роберт не сможет найти такой участок в Мексике, так как эта страна расположена в северном полушарии.
Параллели и меридианы
И во времена Пифагора, и в эпоху GPS (Глобальная система позиционирования) для определения точки на поверхности Земли (или на любой сфере) используется система позиционирования на основе понятий долготы и широты.
Большие круги, проходящие через полюса, называются меридианами, а линии, перпендикулярные им, — параллелями. Как уже говорилось, Земля напоминает апельсин, в котором края долек являются меридианами, а точки, где они пересекаются, — Северным и Южным полюсами. Единственный большой круг, одновременно являющийся параллелью, называется экватором, который делит Землю на два равных полушария. Нулевой меридиан проходит через город Гринвич в Англии.
Широтой называется расстояние до Северного или Южного полюса, в зависимости от полушария, в котором мы находимся. Широта измеряется в градусах от экватора. Долгота — это расстояние на восток или запад, то есть направо или налево от нулевого, или Гринвичского, меридиана. Долгота также измеряется в градусах.
Все точки на одной параллели находятся на одной и той же широте.
Из всей этой информации вытекает следующий вопрос: если целью системы позиционирования является определение положения точек на поверхности Земли, то почему широта и долгота измеряются в градусах, а не в километрах?
Для начала заметим, что поверхность, на которой производятся расчеты, является сферой. Чтобы отметить точку на ней, нам нужны только две координаты, потому что, хотя сфера искривляется, она не имеет третьего измерения и является двумерной поверхностью.
Это требует дополнительного разъяснения. Представьте себе круг, разделенный на 360°. Если через центр провести две перпендикулярные линии, то получатся четыре области (квадранта) в 90°, называемые круговыми секторами. Проводя через центр еще линии, можно получить сектора меньшего размера. Их дуги характеризуются размером угла. Это значит, что угловые измерения могут быть применены к любой точке окружности.
* * *
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ ЗЕМЛИ
Земля может быть разделена на бесчисленные дольки, величина каждой из которых выражается в градусах. Некоторые из этих областей используются в навигации и метеорологии и поэтому имеют специальные названия. Наиболее известными являются полярные круги, тропики и экватор.
* * *
Теперь представьте себе не круг, а сферу, такую как Земля. Если ее разделить на две части от одного полюса к другому, то можно использовать угловые измерения так же, как и в круге, и, следовательно, можно определять положение точки по угловым значениям широты и долготы.
Углы измеряются на восток (направо) и на запад (налево) от нулевого меридиана до диаметрально противоположного ему антимеридиана. Таким образом, долгота имеет значения от 0° до 180°, то есть до половины от 360°, или, другими словами, 90° + 90°. Экватор и Гринвичский меридиан можно рассматривать в качестве осей координат.
Что касается широты, она измеряется от 0° до 90° с указанием Северного или Южного полушария.
* * *
ДВА КОНЦА ЗЕМЛИ
Нью-Йорк и Сидней не являются антиподами, то есть на поверхности планеты они не находятся в диаметрально противоположных точках, но, конечно, они очень далеки друг от друга. Тем не менее по их координатам широты и долготы это неочевидно.
* * *
Сфера Земли с меридианами и параллелями. Эти линии используются для определения точного положения точки на поверхности.
Три точки с разными координатами широты и долготы на двух проекциях Земли. На плоской проекции (вверху) мы получаем обычный треугольник, в то время как на сферической проекции (внизу) мы получаем сферический треугольник.
От Марра Mundi до Google™ Планета Земля
Традиционный глобус Земли, используемый сегодня во многих школьных классах, представляет собой сферу с сеткой координатных линий, представляющих меридианы и параллели планеты. Очень часто в классах также имеется карта мира с линиями, напоминающими декартовы координаты.
Вертикальные линии показывают долготу. Слева от начала координат — западная долгота, справа — восточная долгота.
Горизонтальные линии указывают широту; вверх от начала координат — северная широта, вниз — южная. На предыдущей странице изображен один и тот же регион мира на двух типах карт. На первом рисунке меридианы и параллели — прямые линии, а на втором они искривлены.
Как найти кратчайшее расстояние между Барселоной и Токио?
На карте мира мы видим, что Барселона находится в точке с координатами 2° восточной долготы и 41° северной широты, а Токио — около 140° восточной долготы и 36° северной широты. Рассмотрим сферический треугольник с вершинами А (Барселона), В (Токио) и D (Северный полюс).
Обозначим буквой d геодезическую линию, соединяющую Барселону и Токио. Длина d и будет минимальным расстоянием между двумя городами. Для вычисления этой длины мы используем теорему косинусов для сферических треугольников:
cos d = cos a · cos b + sin a · sin b · cos D.
Чтобы найти d, мы должны знать величины сторон а и b и угла D. Чтобы вычислить длину стороны сферического треугольника, возьмем экватор за горизонтальную ось и вычтем из 90° широту каждой точки. Для нахождения угла D мы поступаем аналогично, на этот раз беря в качестве оси координат Гринвичский меридиан:
а = 90°- 41° = 49°
Ь = 90–36° = 34°
D = 140°- 2° = 138°.
Подставляя эти значения в теорему косинусов и используя калькулятор, получим:
cos (d) = cos(49°)·cos(54°) + sin(49°)·sin(54°)·cos(138°) =
= 0,656059029·0,5877852523 + 0,7547095802·0,809016944·(-0,7431448255) =
= -0,06812225162.
Используя клавишу cos-1, мы найдем расстояние d: 93,90614266°.
Однако, было бы более полезно определить это расстояние в километрах. Учитывая, что радиус Земли составляет 6350 км, длина окружности большого круга на поверхности земного шара может быть вычислена по формуле:
2·?·R = 2·?·6350 = 39 898,23 км.
Таким образом, длина 39898,23 км соответствует полному кругу в 360°. Остается узнать, скольким километрам соответствует угол в 93,90614266°.
Обозначим это значение за х и посчитаем следующую пропорцию:
Выражая отсюда х, получим х = 10407,46911 км.
Первая страница приложения Google™ Планета Земля позволяет «перенестись» в любую точку планеты и рассчитать расстояние между двумя точками на поверхности Земли.
Таким образом, расстояние между Токио и Барселоной составляет около 10407 км. Пожалуй, самое удивительное, что этот результат может быть получен лишь с помощью координат на карте мира.
Современные технологии позволяют рассчитывать расстояния с гораздо большей точностью. Такие программы, как Google™ Планета Земля, позволяют сделать эти расчеты очень быстро и точно. Например, Google™ Планета Земля показывает, что расстояние от Барселоны до Токио равно 10442,62 км.
Расчеты, сделанные вручную, как, например, приведенные выше, не слишком отличаются от результатов специализированного программного обеспечения. Результат программы Google™ Планета Земля отличается от нашего лишь на 35 км. Однако эти компьютерные программы позволяют вычислять расстояния между конкретными точками, например, между конкретными зданиями на той или иной улице.
Такие сложные расчеты невозможно сделать с помощью обычной бумажной карты мира. На самом деле использование компьютеров породило новую область геометрии под названием вычислительная геометрия.
Наш рассказ о геометрии поверхности Земли мы закончим классическим описанием сферы из диалога Платона «Тимей, или О природе»:
«По такой причине Бог построил во всем его разнообразии единое целое, совершенное и непричастное дряхлению и недугам. Что касается формы целого, то ему подобают такие очертания, которые содержат в себе все другие. Именно поэтому Он округлил Землю до состояния сферы, поверхностъ которой повсюду равно отстоит от центра. Эти очертания из всех очертаний наиболее совершенные и подобные самим себе, потому что подобное он нашел в мириады раз более прекрасным, чем неподобное».