14. Законы мысли Джордж Буль

^{Джордж Буль}

^{Родился: Линкольн, Англия, 2 ноября 1815 г. Умер: Корк, Ирландия, 8 декабря 1864 г.}

Когда Джорджу Булю было 16 лет, он решил стать англиканским священником, но тут рухнул обувной бизнес его отца, и юноше поневоле пришлось взять на себя роль кормильца семьи. Карьера в церкви уже не рассматривалась, поскольку английское духовенство не отличалось высокими доходами. К тому же юноша испытывал все большую неуверенность в отношении доктрины Святой Троицы и склонялся скорее к более буквально понимаемому монотеизму унитариев – секты, воззрения которой характеризовались «верой не более чем в одного Бога». Поэтому Джордж никак не мог, не пойдя против совести, принять «Тридцать девять статей» – свод догматов англиканской церкви.

Самым – а может, и единственным – подходящим занятием, с учетом его воспитания и способностей, было учительство, и в 1831 г. Буль получил место младшего учителя в школе мистера Хейгэма в Донкастере, примерно в 65 км от его родного города Линкольна. В середине XIX в. 65 км были приличным расстоянием, и молодой человек очень скучал по дому; в одном из писем он мечтательно замечает, что никто в Донкастере не печет таких вкусных пирогов с крыжовником, как его мать. Конечно, это могло быть всего лишь попыткой сделать ей комплимент, но Буль большую часть жизни не уставал жаловаться на свою долю. Его склонность к унитаризму, в сочетании с привычкой решать математические задачи в часовне по воскресеньям, вызвала гнев родителей его учеников, стойких методистов. Они пожаловались директору школы, а их сыновья начали молиться за душу Буля на молитвенных собраниях. Хейгэм, хотя в роли учителя Буль его полностью устраивал, вынужден был уволить его и заменить на приверженца уэслианской церкви.

Несмотря на пироги с крыжовником и разборки сектантов, Буль все глубже погружался в математику, осваивая ее совершенно самостоятельно, без помощи наставника. Поначалу он пользовался публичной библиотекой, в которой было на удивление много учебников достаточно высокого уровня, но библиотека вскоре была расформирована, и Булю пришлось покупать учебники за деньги. Оказалось, что максимальную пользу при минимальных вложениях обеспечивают именно математические учебники, и он приобрел «Дифференциальное и интегральное исчисление» Сильвестра Лакруа. Кто-то из коллег-учителей писал, что в течение часа, отведенного на обучение письму, в котором Буль не принимал участия, «мистер Буль глубоко счастлив; этот час, по крайней мере, он может без помех изучать старину Лакруа».

Позже Буль убедился, что сделал ошибку, купив такой устаревший текст, как учебник Лакруа, но самостоятельное изучение внушило молодому человеку прочную уверенность в собственных силах. Результатом этих занятий стала яркая мимолетная идея, посетившая его в начале 1833 г., когда Буль пересекал пешком поле какого-то фермера. Идея состояла в возможности записи логики в символьном виде. Реализовал он эту идею только через много лет; первая его статья на эту тему вышла в 1847 г. и называлась «Математический анализ логики, или Эссе на тему исчисления дедуктивных рассуждений». Огастес де Морган, с которым Буль вел активную переписку, посоветовал ему подготовить более объемную и продуманную книгу. Его интересы в значительной мере перекрывались с интересами Буля. Буль последовал совету, и в 1854 г. из печати вышел капитальный труд «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей». В этой работе Буль, по существу, создал математическую логику и основал то, что со временем стало теоретической базой информатики.

* * *

Отец Буля Джон происходил из старой линкольнширской семьи фермеров и торговцев, «лучших кровельщиков и самых читающих людей» в крохотной деревеньке Броксхолм. Он стал сапожником и уехал в Лондон, надеясь сделать состояние. Работая в одиночестве в темном подвале, он отгонял от себя депрессию изучением французского языка, физики и математики, особенно конструкции оптических инструментов. Джон познакомился с камеристкой Мэри Джойс, женился на ней, и через полгода молодые переехали в Линкольн, где открыли сапожную мастерскую. Оба хотели ребенка, но прошло 10 лет, прежде чем у них родился первенец; мальчика назвали Джорджем. Вскоре за ним последовали девочка и еще два мальчика.

Джону гораздо больше нравилось делать телескопы, чем тачать обувь, так что дела в его мастерской шли ни шатко ни валко, и Булям приходилось, чтобы свести концы с концами, сдавать комнаты постояльцам. Джордж вырос в интеллектуальной атмосфере и обладал пытливым умом. Отец научил его английскому языку и математике. Сын обожал математику и к 11 годам умудрился осилить шеститомник по геометрии (его отец сделал об этом в книге запись карандашом). Буль много читал, обладал почти фотографической памятью и способен был мгновенно вспомнить любой нужный ему факт.

В 16 лет Буль стал учителем в школе Хейгэма. Позже, сменив еще две учительские должности, он в возрасте 19 лет основал собственную школу в Линкольне; затем взял на себя руководство Академией Холла в Ваддингтоне. Его семья присоединилась к нему, чтобы помогать в управлении школой. Буль никогда не терял интереса к высшей математике, читал Лапласа и Лагранжа. Он открыл в Линкольне школу с пансионом и начал публиковать свои исследования в недавно основанном Cambridge Mathematical Journal.

В 1842 г. Буль начал переписку (которая продолжалась до конца его жизни) с близким ему по духу де Морганом. В 1844 г. он получил медаль Королевского общества, а в 1849 г. благодаря своей растущей репутации был назначен первым профессором математики в Королевском колледже Корка (Ирландия). Там в 1850 г. он встретил свою будущую жену Мэри Эверест (племянницу Джорджа Эвереста, осуществившего первую серьезную геодезическую съемку Индии, в результате чего в его честь была названа высочайшая гора Земли). Они поженились в 1855 г. и родили пятерых замечательных дочерей: Мэри вышла замуж за математика и писателя Чарльза Говарда Хинтона, блестящего негодяя; Маргарет – за художника Эдварда Ингрэма Тейлора; Алисия под влиянием Хинтона провела серьезное исследование четырехмерных правильных многогранников; Люси стала первой в Англии женщиной – профессором химии; наконец, Этель вышла замуж за польского ученого и революционера Вильфреда Войнича и написала роман «Овод».

* * *

Среди ранних работ Буля есть одно простое открытие, приведшее в конечном итоге к созданию теории инвариантов – области алгебры, оказавшейся внезапно на самом острие науки. При исследовании алгебраических уравнений формулу иногда можно упростить, если заменить переменные в ней подходящими выражениями с новым набором переменных. Решаем это упрощенное уравнение, находим значения новых переменных, затем отступаем назад и находим значения первоначальных. Именно так решали уравнения в Вавилоне и в Европе эпохи Возрождения.

Особенно существенный класс изменений переменных наблюдается в тех случаях, когда новые переменные представляют собой линейные комбинации старых – выражения вроде 2x – 3y, не включающие в себя более высоких степеней или произведений старых переменных x и y. Таким способом можно упростить, к примеру, обобщенную квадратичную форму

ax² + bxy + cy²

с двумя переменными. Важной величиной в теории таких форм играет так называемый дискриминант b² – 4ac. Буль открыл, что после линейного изменения переменных дискриминант новой квадратичной формы равен дискриминанту оригинала, умноженному на коэффициент, определяемый только методом изменения переменных.

Такое на первый взгляд совпадение имеет геометрическое объяснение. Это действительно совпадение в том смысле, что два свойства, обычно отдельные, совпадают. Если приравнять квадратичную форму к нулю, ее решения определят две (возможно комплексные) кривые… если только дискриминант не равен нулю; в этом случае мы получаем одну и ту же кривую дважды. При этом квадратичная форма представляет собой квадрат (px + qy)² некоторой линейной формы. Изменение координат – это геометрическое искажение, преобразующее первоначальные кривые в соответствующие кривые для новых переменных. Если две кривые совпадали для первоначальных переменных, они совпадут и для новых. Так что дискриминанты должны быть связаны таким образом, что, если один из них обращается в нуль, то же самое делает и второй. Инвариантность – формальное название для такого соотношения.

Наблюдение Буля, связанное с дискриминантом, казалось всего лишь забавным фактом, до тех пор пока несколько математиков, самыми известными среди которых были Артур Кэли и Джеймс Джозеф Силвестр, не обобщили его для форм более высокого порядка с двумя или большим числом переменных. Эти выражения тоже имеют инварианты, влияющие также на значимые геометрические свойства связанной с ними гиперповерхности, определяемой приравниванием этой формы нулю. Из этого выросла целая отрасль, где математики зарабатывают себе рыцарские шпоры, вычисляя инварианты все более сложных выражений. Позже Гильберт (глава 19) доказал две фундаментальные теоремы, которые закрыли эту тему практически целиком, до тех пор пока она не ожила в более общей форме. Она и сегодня представляет интерес и имеет важные применения в физике, а новую жизнь ей придало развитие компьютерной алгебры.

* * *

Исследование, которое сделало Буля широко известным среди математиков и специалистов по информатике – и вообще в любом доме, где пользуются Гуглом, поскольку это вариант Булева поиска, – все больше занимало его мысли. Буль всегда видел в математических понятиях внутреннюю простоту. Ему нравилось формулировать общие принципы, выражать их в символьной форме – и дальше за него думали символы. В «Законах мышления» эта программа была реализована для правил формальной логики. Главной идеей произведения была интерпретация этих правил как алгебраических операций с символами, представляющими некие утверждения. Поскольку логика – не арифметика, некоторые из обычных алгебраических правил в ней могут оказаться неприменимы; с другой стороны, в ней могут возникнуть новые законы, не применимые к арифметике. Результат, известный как Булева алгебра, позволяет доказывать логические утверждения посредством алгебраических вычислений.

Книга начинается с предисловия, которое выдержано в уважительном тоне и обозначает место предлагаемой дискуссии в контексте существующей философии. Затем Буль переходит к существу дела – к математике – и для начала предлагает обсудить использование символов. Он поясняет, что речь идет о символах (он называет их «знаками»), представляющих логические утверждения, и особенно сосредоточивается на общих законах, которым они подчиняются. Он говорит, что будет обозначать класс, или набор, объектов, к которым применимо определенное общее имя, одной буквой, к примеру x. Если общее имя – «овца», то x – это класс всех овец. Класс может описываться прилагательным, к примеру «белый»; в этом случае мы получаем класс y всех белых объектов. Тогда произведение xy обозначает класс всех объектов, обладающих обоими свойствами, то есть класс всех белых овец. Поскольку этот класс не зависит от порядка, в котором называются определяющие его качества, то xy = yx. Аналогично если z – некоторый третий класс (в примере Буля x = реки, y = устья, z = судоходные), то (xy) z = x (yz). Это коммутативный (переместительный) и ассоциативный (сочетательный) законы стандартной алгебры в интерпретации, приспособленной к новому контексту.

Он отмечает один закон, который принципиально важен для всего этого дела, но не выполняется в обычной алгебре. Класс xx есть класс всех объектов, обладающих свойством, определяющим x, и свойством, определяющим x, так что он должен совпадать с x. Следовательно, xx = x. Так, класс объектов, которые суть овцы и еще раз суть овцы, – это просто класс всех овец. Этот закон можно записать также как x² = x, и он представляет собой первый пункт, в котором законы Булевой алгебры отличаются от законов мышления обычной алгебры.

Далее Буль переходит к знакам, «посредством которых мы собираем части в единое целое или делим целое на части». Положим, к примеру, что x есть класс всех мужчин, а y – класс всех женщин. Тогда класс всех взрослых людей – мужчин и женщин – обозначается x + y. Здесь опять же действует коммутативный закон, который Буль формулирует явно, и ассоциативный закон, подпадающий под обобщающее заявление о том, что «законы идентичны» с законами алгебры. Поскольку, к примеру, класс европейских мужчин или женщин – это то же самое, что класс европейских мужчин или европейских женщин, дистрибутивный закон z (x + y) = zx + zy тоже выполняется, если z – класс всех европейцев.

Вычитание может быть использовано для исключения части объектов из класса. Если x представляет мужчин, а y – азиатов, то x – y представляет всех мужчин, которые не являются азиатами, и z (x – y) = zx – zy.

Возможно, самой поразительной особенностью этих формулировок является то, что речь идет вроде бы вовсе не о логике. Речь идет о теории множеств. Вместо того чтобы манипулировать логическими утверждениями, Буль работает с соответствующими им классами, охватывающими те объекты, для которых эти утверждения верны. Математики давно распознали двойственность этих концепций: каждый класс соответствует утверждению «принадлежит к классу»; каждое утверждение соответствует «классу объектов, для которых это утверждение верно». Это соответствие переводит свойства классов в свойства связанных с ними утверждений и наоборот.

Буль вводит эту идею посредством третьего класса символов, «при помощи которых выражаются отношения и при помощи которых мы формируем высказывания». К примеру, представим звезды как x, солнца[22] как y и планеты как z. Тогда утверждение «звезды – это солнца и планеты» можно будет записать как x = y + z. Так что высказывания – это равенства между выражениями с участием классов. Несложно сделать вывод, что «звезды, которые не планеты, являются солнцами»; то есть x – z = y. «Это, – говорит нам Буль, – соответствует алгебраическому правилу транспозиции» (переноса). Аль-Хорезми узнал бы в этом правиле аль-мукабалу (см. главу 3).

Вывод из всего этого состоит в том, что алгебра классов подчиняется тем же законам, что и обычная алгебра чисел, и еще странному новому закону x² = x. В этот момент Буля осеняет очень умная мысль. Единственными числами, подчиняющимися этому закону, являются 0 = 0² и 1 = 1². Он пишет:

Тогда давайте представим себе алгебру, в которой символы x, y, z и т. п. принимают безразлично значения 0 и 1, и только их. Законы, аксиомы и процессы такой алгебры будут идентичны во всем своем объеме с законами, аксиомами и процессами алгебры логики. Одна только разница в интерпретации будет разделять их.

Это загадочное заявление можно интерпретировать как относящееся к функциям f(z, y, z, …), определенным на некотором списке символов, принимающих только значения 0 (ложь) и 1 (истина). Мы сегодня называем их Булевыми функциями. Упоминания заслуживает одна связанная с ними приятная теорема. Если f(x) – функция одного логического аргумента, то Буль доказывает, что

f(x) = f(1) x + f(0) (1 – x).

Более общее уравнение того же типа верно для любого числа аргументов, что приводит к систематическим методам обращения с логическими высказываниями.

Вооружившись этим принципом и другими общими результатами, Буль прорабатывает многочисленные примеры и показывает, как его рассуждения применимы к темам, которые заинтересовали бы читателей того времени. Среди этих тем и «Проявление бытия Бога и его атрибутов» (Demonstration of the being and attributes of God) Сэмюела Кларка – книга, состоящая из серии теорем, доказанных с использованием наблюдаемых фактов и различных «гипотетических принципов, значимость и универсальность которых полагается принимать a priori», и «Этика» Бенедикта Спинозы. При этом целью Буля было показать в точности, какие допущения использованы в выводах, сделанных этими авторами. В этом, возможно, проявились и квазиунитарианские воззрения самого Буля.

* * *

Прежде всякий анализ логики должен был быть словесным, с небольшим количеством символьных обозначений, просто для памяти. Аристотель разбирал силлогизмы – рассуждения примерно следующего содержания:

Все люди смертны.

Сократ – человек.

Следовательно, Сократ смертен –

с вариантами использования слов «все» и «некоторые». Средневековые ученые подразделяли силлогизмы на 24 типа; каждый из этих типов имел мнемоническое название. К примеру, Bocardo относится к силлогизмам вида:

Некоторые свиньи имеют закрученные хвостики.

Все свиньи – млекопитающие.

Следовательно, некоторые млекопитающие имеют закрученные хвостики.

Здесь на формат силлогизма «bOcArdO» указывают гласные; O = «некоторые», A = «все». По такому же принципу названы и другие типы силлогизмов. Но никакой системы записи нотации для логики до Буля никто не предлагал. Обратите внимание: если заменить «некоторые» на «все», получив при этом:

Все свиньи имеют закрученные хвостики.

Некоторые свиньи – млекопитающие.

Следовательно, все млекопитающие имеют закрученные хвостики –

новый силлогизм получится неверным. С другой стороны:

Все свиньи – млекопитающие.

Все млекопитающие имеют закрученные хвостики.

Следовательно, все свиньи имеют закрученные хвостики –

вполне корректное с точки зрения логики рассуждение, хотя в реальности второе из входящих в него утверждений неверно. Мало того, по случайному стечению обстоятельств заключительное утверждение верно – разве что найдется где-нибудь особая порода свиней.

Чтобы объяснить, как его символьные обозначения относятся к классической логике, Буль заново интерпретирует Аристотеля, показывая, корректность или некорректность каждого типа силлогизмов может быть доказана в символьном виде. К примеру, пусть

p = класс всех свиней;

m = класс всех млекопитающих;

c = класс всех существ с закрученными хвостиками.

Тогда последний из приведенных выше силлогизмов переводится на Булев символьный язык в виде p = pm и m = mc, следовательно, p = pm = p (mc) = (pm) c = pc.

В оставшейся части книги прорабатываются аналогичные методы расчета вероятностей, и завершается книга общими рассуждениями о «природе науки и устройстве интеллекта».

* * *

В Корке Буль не был особенно счастлив. В 1850 г., после возвращения с каникул, прекрасно проведенных в Йоркшире, он попросил де Моргана: «Если услышите о каком-нибудь месте в Англии, которое могло бы мне подойти, дайте мне знать, – и заметил: – Я больше не чувствую, что мог бы сделать это место своим домом». Одним из источников раздражения было авторитарное и религиозно-консервативное руководство университета, которое обрушивалось на каждого, кто высказывал несогласие. Совсем недавно профессор современных языков Раймонд де Верикур был уволен за антикатолические замечания, допущенные в написанной им книге. Совет университета под руководством президента университета Роберта Кейна действовал так поспешно, что нарушил устав этого учебного заведения и жалоба де Верикура вернула ему место. Буль сочувствовал де Верикуру, но не лез на рожон. В 1856 г. очередные бесцеремонные действия Кейна, направленные против дяди его жены Джона Райалла, заставили Буля написать ядовитое письмо в местную газету Cork Daily Reporter. Кейн прислал в редакцию длинный ответ, в котором пытался оправдать себя, и Буль отозвался новым письмом. В конце концов правительство начало официальное расследование, обвинило Кейна в том, что тот проводит в колледже недостаточно времени, и сделало выговор обоим участникам дискуссии за то, что они вынесли свои разногласия на публику. Кейн перевез свою семью в Корк, и все успокоилось, хотя с тех пор они с Булем проявляли по отношению друг к другу холодную вежливость.

В 1854 г. Буль всерьез обдумывал возможность занять один из освободившихся постов в Мельбурне (Австралия), но в конце 1855 г. совершенно отказался от этой идеи, когда Мэри Эверест приняла его предложение. Були сняли большой дом с видом на море, неподалеку от недавно открытой железнодорожной линии, чтобы Джорджу было удобнее ездить на работу, хотя однажды он все же попросил колледж перевести часы на 15 минут назад, чтобы дать возможность ему и студентам пользоваться более поздним поездом. Колледж отказал Булю в этой просьбе. Его эксцентричность проявлялась не только в этом: однажды он прибыл на лекцию, раздумывая о какой-то задаче, и ходил туда-обратно по аудитории, продолжая размышлять о ней; студенты сидели рядами на скамьях и чувствовали себя не в силах прервать размышления преподавателя. Проведя таким образом час, он ушел – и пожаловался жене, что «сегодня произошла необычайнейшая вещь. Никто из студентов не явился на мою лекцию».

В конце 1864 г. Булю довелось пройти пешком от дома до колледжа – примерно 4–5 км – в сильный ливень. В результате он свалился с сильной простудой, которая затем распространилась и на легкие. Мэри Буль, которая была поклонницей гомеопатии, пригласила к мужу гомеопата. Лечение не помогло, и Буль умер от плевропневмонии. Этель Войнич, его младшая дочь, писала:

По крайней мере по мнению тетушки Мэри [сестры Буля], причиной ранней смерти отца была… вера хозяйки дома [Мэри Буль] в некоего оригинала-доктора, который предлагал все что угодно лечить холодной водой… Эвересты и правда, кажется, всегда были семьей оригиналов и последователей оригиналов.

По иронии судьбы сам Буль считал гомеопатию неэффективной. В 1860 г. де Морган написал, что, по его мнению, гомеопатия излечила его от плеврита. Буль ответил скептически:

Мне приходилось видеть плеврит и прежний способ его лечения… Можно заранее сказать, что гомеопатия не могла бы никак повлиять на такую болезнь… Вот мораль – если вас сваливает воспаление и гомеопатия не работает… не приносите свою жизнь в жертву мнению… но пригласите какого-нибудь признанного доктора.

* * *

Открытая Булевой алгеброй область математической логики сегодня известна нам как исчисление высказываний. Она восходит к V в. до н. э., когда Евклид Мегарский (не путайте с геометром Евклидом Александрийским) основал то, что позже стало стоической школой логики. Ключевой особенностью стоической логики является использование условных рассуждений вида «если A, то B». Диофант и Филон из Мегары разошлись во мнениях по фундаментальному вопросу, который до сих пор продолжает смущать студентов-математиков. А именно: при заданных истинности или ложности A и B когда утверждение «если A, то B» истинно? Обратите внимание: речь идет не об истинности A или B самих по себе, но об истинности следования A из B. По мнению Филона, утверждение ложно, если A истинно, а B ложно, а в остальных случаях утверждение истинно. В частности, оно истинно всегда, когда A ложно. Ответ Диодора был иным: A в любом случае не может вести к ложному заключению. По существу, это сводится к «и A, и B истинны».

Сегодняшние специалисты по математической логике согласны с Филоном. Контринтуитивный случай, конечно, возникает, когда A ложно. Если B тоже ложно, то представляется разумным считать, что утверждение «если A, то B» верно. В частности, «если A, то A» кажется разумным утверждением, каким бы ни было значение истинности A. Если B истинно или его текущий статус неизвестен, может показаться неразумным его следование из ложного утверждения. К примеру, утверждение

Если 2 + 2 = 5, то Великая теорема Ферма верна

считается истинным – вне зависимости от того, верна Великая теорема Ферма на самом деле или нет. (Это не дает нам простого доказательства Великой теоремы Ферма, потому что для того, чтобы считать это доказательством, вам придется сперва доказать, что 2 + 2 = 5, что невозможно, если математика непротиворечива. Именно поэтому предложенная Филоном договоренность не приносит вреда.) Чтобы проиллюстрировать рассуждения, стоящие за этой договоренностью, рассмотрим два следующих вывода:

Если 1 = –1, то 2 = 0

[добавляем по единице с каждой стороны].

Если 1 = –1, то 1 = 1

[возводим обе стороны квадрат].

Оба высказывания логически оправданы рассуждениями, приведенными в скобках. Первое из них принимает вид

Если (ложное утверждение), то (ложное утверждение),

а второе принимает вид:

Если (ложное утверждение), то (истинное утверждение).

Таким образом, верные рассуждения, начатые с ложной посылки, могут привести как к ложному, так и к истинному утверждению.

Другой подход, позволяющий получить тот же результат, состоит в том, чтобы задать вопрос: что нужно, чтобы опровергнуть высказывание «если A, то B»? То есть доказать его ложность. К примеру, чтобы опровергнуть высказывание

Если бы у свиней были крылья, они бы летали,

мы должны продемонстрировать крылатую нелетающую свинью. Так что «если A, то B» ложно, если A истинно, а B ложно, а во всех остальных случаях оно истинно, поскольку мы не можем доказать обратного.

Это рассуждение – не доказательство. Это объяснение договоренности, которая используется в логике предикатов. В модальной логике с условными высказываниями обращаются иначе. К примеру, утверждение о крылатых свиньях считалось бы верным при условии, что крылья пригодны для полета. А вот аналогичное высказывание

Если бы у свиней были крылья, они бы играли в покер

считалось бы ложным, поскольку – даже гипотетически – обладание крыльями никак не способствует игре в покер. Напротив, последнее высказывание в логике предикатов рассматривается как истинное, поскольку крыльев у свиней нет. Покер тут вообще ни при чем. Этот пример иллюстрирует некоторые трудности, с которыми столкнулись Буль и другие первые логики, и предупреждает: не стоит считать, что сегодняшние договоренности – обязательно последнее слово науки.

Использование Булевой алгебры, или исчисления высказываний, в расчетах объясняется представлением числовых и других данных в двоичной системе, то есть с использованием только двух цифр: 0 и 1. В простейших случаях это соответствует состояниям «нет электрического напряжения» и «есть электрическое напряжение» (на заданном уровне, скажем, 5 В). В сегодняшних компьютерах все данные, включая программы, кодируются в двоичной системе. Эти данные обрабатываются электронными схемами, которые, помимо прочего, производят операции исчисления высказываний – по существу, Булевой алгебры. Каждая такая операция соответствует своеобразному «вентилю», и когда электрический сигнал или сигналы проходят через этот вентиль, то выходной сигнал, определяемый входным или входными сигналами, зависит от «зашитой» в этом вентиле логической операции.

Первым эту идею выдвинул гуру теории информации Клод Шеннон. Действия с цифровыми данными, производимые компьютерами, могут быть реализованы на подходящих электронных схемах, собранных из логических вентилей. Так что Булева алгебра – естественный математический язык компьютеров. Первые инженеры-электронщики реализовывали эти операции на релейных, а затем на ламповых схемах. С изобретением транзистора радиолампы сменились твердотельными (полупроводниковыми) схемами; сегодня мы пользуемся сложным набором невероятно крохотных схем на основе кремниевых кристаллов.

Проведенная Булем формализация логики в символьном виде открыла нам новый мир, проложила путь цифровой эре, плодами которой мы сейчас наслаждаемся. И часто клянем их, поскольку еще не овладели до конца своими новыми технологиями, хотя и передаем им постепенно все больший контроль над самыми разными составляющими нашей жизни.