18. Идеи возникали во множестве Анри Пуанкаре
Жюль Анри Пуанкаре
Родился: Нанси, Лотарингия, Франция, 29 апреля 1854 г. Умер: Париж, Франция, 17 июля 1912 г.
Архимеда идеи осеняли в ванне. Анри Пуанкаре они осеняли при входе в омнибус.
Пуанкаре был одним из самых изобретательных и оригинальных математиков своего времени. Кроме того, он написал несколько бестселлеров – научно-популярных книг на основе лекций, прочитанных в Парижском психологическом обществе. Пуанкаре интересовался процессом мышления у математиков и придавал особое значение подсознанию. В книге «Наука и метод» (Science and Method) он приводит пример из собственного опыта:
В течение двух недель я старался доказать, что невозможна никакая функция, которая была бы подобна тем, которым я впоследствии дал название фуксовых функций; в то время я был еще весьма далек от того, что мне было нужно. Каждый день я усаживался за свой рабочий стол, проводил за ним один-два часа, перебирал большое число комбинаций и не приходил ни к какому результату. Но однажды вечером я выпил, вопреки своему обыкновению, чашку черного кофе; я не мог заснуть; идеи возникали во множестве; мне казалось, что я чувствую, как они сталкиваются между собой, пока, наконец, две из них, как бы сцепившись друг с другом, не образовали устойчивое соединение. Наутро я установил существование класса функций Фукса, а именно тех, которые получаются из гипергеометрического ряда; мне оставалось лишь сформулировать результаты, что отняло у меня всего несколько часов[25].
Затем он описывает в некоторых подробностях собственный опыт, указывая с самого начала, что слушателям (или читателям) не обязательно понимать, что означают технические термины в его рассказе. Можно просто считать их заместителями неких продвинутых математических понятий.
Я захотел затем представить эти функции в виде частного двух рядов; это была вполне сознательная и обдуманная мысль; мною руководила аналогия с эллиптическими функциями. Я задал себе вопрос: «Каковы должны быть свойства этих рядов, если они существуют?» – и я пришел без труда к образованию рядов, названных мною тета-фуксовыми функциями. В эту пору я покинул Кан, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической экскурсии, организованной Горным институтом. Среди дорожных перипетий я забыл о своей математической работе. По прибытии в Кутанс мы взяли омнибус, чтобы поехать в какое-то место. И вот в тот момент, когда я заносил ногу на ступеньку омнибуса, мне пришла в голову идея – хотя мои предыдущие мысли, кажется, не имели с нею ничего общего, – что те преобразования, которыми я воспользовался для определения фуксовых функций, тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии. Я не проверил тогда этой идеи; для этого у меня не было времени, так как, едва усевшись в омнибус, я возобновил начатый разговор, тем не менее я сразу почувствовал полную уверенность. Возвратясь в Кан, я для очистки совести сделал проверку; идея оказалась верной[26].
Рассказ продолжают еще два случая внезапного озарения.
Размышляя задним числом над этим и другими открытиями, Пуанкаре выделяет три фазы математического открытия: подготовка, инкубационный период и просветление. То есть: проведи сознательную работу, чтобы погрузиться в задачу, дойти до предела и остановись; подожди, пока подсознание все это переработает; а потом у тебя в голове вспыхнет маленькая лампочка и наступит момент озарения.
Анализ Пуанкаре, содержащийся в его лекциях, статьях и книгах, до сих пор остается одним из лучших источников информации о работе великого математического ума.
* * *
Анри Пуанкаре родился в Нанси (Франция). Его отец Леон был профессором медицины в Университете Нанси, мать звали Эжени (урожденная Лануа). Его двоюродный брат Раймон Пуанкаре стал премьер-министром, а во время Первой мировой войны был президентом Французской Республики. В раннем возрасте Анри переболел дифтерией, и, пока не поправился, его дома обучала мать. Затем он отправился в лицей, где провел 11 лет. Анри был первым по всем без исключения предметам, а в математике – просто неподражаем. Учитель называл его «монстром математики», и национальные конкурсы Анри тоже выигрывал. У мальчика была великолепная память; он мог представить себе любую сложную трехмерную фигуру, что компенсировало ему в какой-то степени зрение – настолько слабое, что во время урока он едва видел классную доску, не говоря уже о том, что было на ней написано.
В 1870 г., когда Франко-прусская война была в самом разгаре, юный Пуанкаре служил вместе с отцом в медицинской части. В 1871 г. закончилась война, в 1873 г. Анри поступил в Париже в Политехническую школу, которую окончил в 1875 г. Затем он был принят в Горную школу (?cole des Mines), где изучал горное дело и вновь математику. В 1879 г. он получил диплом горного инженера. Тот год был богат событиями. Пуанкаре стал горным инспектором Горного корпуса по области Везуль; он, в частности, проводил официальное расследование несчастного случая в Маньи, когда погибло 18 шахтеров. Кроме того, Пуанкаре продолжал под руководством Эрмита работать над докторской диссертацией; он занимался уравнениями в конечных разностях – аналогом дифференциальных уравнений, в которых время изменяется не непрерывно, а дискретными шагами. Он распознал потенциал уравнений, описывающих движение многих тел под действием гравитации, к примеру Солнечной системы, и предвидел будущее развитие в этой области; важность этих исследований многократно возросла, когда компьютеры стали достаточно мощными, чтобы взять на себя громадное число необходимых расчетов.
После получения докторской степени Пуанкаре получил место младшего преподавателя математики в Университете Кана, где встретил свою будущую жену Луизу Пулен д’Андеси. Они поженились в 1881 г. и родили четверых детей – трех девочек и мальчика. К 1881 г. Пуанкаре успел получить куда более престижную работу в Университете Парижа, где за короткое время вырос в одного из ведущих математиков своего времени. Пуанкаре обладал прекрасной интуицией, и лучшие идеи, как правило, приходили к нему в те моменты, когда он думал о чем-то другом, – вспомните хотя бы историю с омнибусом. Он написал несколько научно-популярных бестселлеров: «Наука и гипотеза» (1901 г.), «Ценность науки» (1905 г.), «Наука и метод» (1908 г.). Безусловно, Пуанкаре стоял выше большинства других математиков того времени во многих областях, включая теорию комплексных функций, дифференциальные уравнения, неевклидову геометрию, топологию – которую он, по существу, основал, – и в применении математики в таких разных областях, как электричество, упругость, оптика, термодинамика, теория относительности, квантовая теория, небесная механика и космология.
* * *
Топология, если вы помните, – это «геометрия резинового листа». Евклидова геометрия строится вокруг свойств, которые сохраняются при жестких перемещениях, таких как длины, углы и площади. Топология отбрасывает все это и ищет свойства, которые, напротив, сохраняются при непрерывных преобразованиях, таких как сгибание, растягивание, сжатие и закручивание. К таким свойствам относятся связность (один кусок или два), наличие узлов и число отверстий (одно или больше). Предмет изучения здесь может показаться туманным, но свойства непрерывности фундаментальны – возможно, даже более фундаментальны, чем свойства симметрии. В XX в. топология наряду с алгеброй и анализом стала одним из трех китов теоретической математики.
В том, что так произошло, большая заслуга Пуанкаре, который перешел от резиновых листов к, если так можно выразиться, резиновым пространствам. Метафора листа – двумерная концепция. Если игнорировать все окружающее пространство – как видел его Гаусс, – то для определения точки на листе или, более формально, на поверхности, достаточно двух чисел. Классические топологи, и среди них ученик Гаусса Иоганн Листинг, сумели достаточно подробно разобраться в топологии поверхностей. В частности, они их проклассифицировали, то есть расписали все возможные формы поверхностей, воспользовавшись для этого хитроумным методом конструирования поверхности из плоского многоугольника (и его внутренней части).
Если попарно склеить противоположные стороны квадрата, получится тор. Но результат можно представить себе и исследовать, используя только начальный квадрат и правила склеивания и ничего на самом деле не сгибая.
Простой и очень важный пример поверхности – тор. В трехмерном пространстве тор имеет форму бублика с непременным отверстием посередине. Математический тор определяется как поверхность этого бублика – никакого теста внутри, одна только граница с окружающим воздухом. Концептуально эту фигуру можно определить без всякого теста и воздуха. Достаточно взять квадрат и добавить к нему правила, по которым соответствующие точки на противоположных сторонах квадрата тождественны. Если бы вы согнули квадрат и реально склеили противоположные его стороны, вы действительно получили бы поверхность тора. Но можно исследовать все и на плоском квадрате – конечно, если не забывать о правилах. Многие компьютерные игры «загибают» прямоугольный экран, графически используя правила склеивания, так что инопланетные монстры, уходящие за левый край экрана, тут же вновь появляются справа. Никто в здравом уме не будет физически сгибать экран, чтобы получить этот эффект. Этот объект известен в математике под названием, которое явственно отдает оксюмороном, – «плоский тор». Плоский он потому, что его локальная геометрия совпадает с локальной геометрией плоского квадрата. А тор – потому, что его глобальная топология представляет собой топологию… тора.
Иоганн Листинг и другие топологи показали, что любая замкнутая поверхность конечных размеров может быть получена концептуальным склеиванием сторон подходящего многоугольника. Обычно такой многоугольник имеет больше четырех сторон, а правила склеивания могут быть довольно сложными. Исходя из этого, можно доказать, что любая ориентируемая – то есть имеющая две различные стороны, в отличие от знаменитой ленты Мёбиуса, – поверхность представляет собой k-тор, или тор k-го рода. Это поверхность, подобная тору, но с k отверстиями, где k = 0, 1, 2, 3, … Если k = 0, мы получаем сферу, если k = 1, получаем обычный тор, если k ? 2, получаем нечто более сложное. Аналогичная классификация существует и для неориентируемых поверхностей, но мы не будем вдаваться в подробности.
Тор-2 и тор-3
Пуанкаре хотел обобщить топологию и распространить ее на пространства размерностей больших, чем два, и очевидным первым шагом в этом направлении был переход к трем измерениям. Здесь принципиальное значение имеет Гауссов объективный взгляд на геометрию; дело в том, что мало смысла в попытках встроить сложное топологическое пространство в обычное трехмерное Евклидово пространство. Это как встраивать тор в плоскость, причем без фокуса с отождествлением сторон. Не получится.
Чтобы понять, что интересные трехмерные топологические пространства – трехмерные многообразия – возможны, мы обобщим прием, которым пользовался еще Листинг. К примеру, чтобы получить плоский трехмерный тор, берут объемный куб (чтобы получить что-то трехмерное, требуется внутренность куба, а не только шесть его квадратных граней) и концептуально склеивают попарно (отождествляют) противоположные грани. Теперь объемный инопланетянин может выйти через одну грань и тут же вновь появиться с противоположной стороны, как если бы эти две грани были двумя сторонами некоего портала в стиле «Звездных врат» и инопланетянин просто проходил бы сквозь этот портал.
В обобщенном смысле мы можем взять многогранник и склеить его грани в соответствии с некоторым набором правил. Этот рецепт позволяет получить множество трехмерных многообразий различных топологий, но таким способом уже невозможно получить их все. (Неочевидно, но это правда.) Мало того, классифицировать топологические типы многообразий с тремя и более измерениями принципиально невозможно; фигур с разной топологией существует слишком много. Но, приложив достаточные усилия, можно выделить кое-какие общие закономерности. В этой связи Пуанкаре принадлежит фундаментальный вопрос, известный как гипотеза Пуанкаре, которую на самом деле, как мы вскоре увидим, лучше было бы назвать ошибкой Пуанкаре, но будем милосердны. В 1904 г. Пуанкаре обнаружил, что некий факт, который он все время неявно полагал очевидным, не был даже верным, и задался вопросом, нельзя ли исправить ситуацию, начав с более сильной гипотезы. Сам он не смог в этом разобраться, лишь заметил, что «этот вопрос увел бы нас слишком далеко в сторону», и оставил головоломку будущим поколениям.
Чтобы понять гипотезу, о которой идет речь, мы для начала рассмотрим аналогичный вопрос в более простом контексте поверхностей: как отличить сферу от всех остальных k-торов? Пуанкаре заметил, что для этого достаточно обратить внимание на одно простое топологическое свойство. Если нарисовать петлю – замкнутую кривую – на сфере, то ее можно непрерывно деформировать, все время оставаясь на сфере, до тех пор, пока она не сожмется в точку. Поскольку в сфере нет отверстий, которые могли бы этому помешать, можно просто сжимать петлю все плотнее и плотнее. Однако на торе k-го рода с одним или несколькими отверстиями (k > 0) петлю, проходящую через отверстие, не удастся сжать в точку. Она в любом случае останется продетой в отверстие.
На языке математики утверждение «любая петля деформируется в точку» обозначается термином «гомотопическая сфера». Мы только что набросали кратко доказательство того, что, если речь идет о поверхностях, любая гомотопическая сфера топологически эквивалентна настоящей сфере. Это позволяет характеризовать сферу при помощи простого топологического свойства. Гипотетический муравей, живущий на поверхности, мог бы, в принципе, разобраться, является ли эта поверхность сферой; для этого ему надо было бы раскладывать всюду веревочные петли и стягивать их в точку. Пуанкаре предположил, что нечто подобное характеризует и трехмерную сферу, или 3-сферу, которая представляет собой трехмерное многообразие, аналогичное сферической поверхности. Это не просто заполненный шар. У шара есть граница, у 3-сферы ее нет. Можно представить себе 3-сферу как шар, поверхность которого стянута в одну точку, – в точности так же, как тонкий диск топологически превращается в сферу, если стянуть все граничные точки в одну. Представьте себе мешок со шнурком вокруг горловины. Когда вы затягиваете шнурок, граница стягивается в точку и мешок приобретает топологию сферы.
А теперь проделаем то же самое, но в условиях, когда у нас есть возможность поиграть еще с одним измерением.
Гипотеза возникла потому, что Пуанкаре в то время размышлял еще об одном топологическом свойстве, которое называется гомологией… Интуитивно это свойство менее понятно, чем стягивающиеся петли, но близко с ними связано. В определенном смысле петли, продернутые через различные отверстия k-тора, представляют независимые способы не быть сводимыми в точку. Гомология выражает эту же идею без привязки к отверстиям, которые представляют собой всего лишь визуально понятную нам интерпретацию результата. Понятие отверстия несколько обманчиво, поскольку отверстие не есть часть поверхности: это место, где данная поверхность отсутствует. В двух измерениях, благодаря теореме о классификации, сферу можно охарактеризовать по ее гомологическим свойствам (отсутствие отверстий).
В одной из ранних работ Пуанкаре принял допущение о том, что это же утверждение верно и для трех измерений. Это показалось ему настолько очевидным, что он даже не потрудился это доказать. Но затем он открыл пространство, обладающее той же гомологией, что и 3-сфера, но топологически от нее отличное. Чтобы получить такое пространство, склейте попарно противоположные грани сплошного додекаэдра, – примерно так получается плоский трехмерный тор из сплошного куба. Чтобы доказать, что это «додекаэдрическое пространство» топологически не эквивалентно трехмерной сфере, Пуанкаре и придумал гомотопию – то, что происходит с петлей при деформировании. В отличие от 3-сферы, его додекаэдрическое пространство содержит петли, которые невозможно непрерывными деформированиями свести в точку. Затем он задался вопросом: не является ли это дополнительное свойство характеристикой 3-сферы? На самом деле это был вопрос, даже не гипотеза, поскольку Пуанкаре не высказал по ее поводу собственного мнения. Однако ясно: он полагал, что ответ должен быть «да», так что, называя этот вопрос гипотезой, мы не проявляем особой несправедливости по отношению к автору.
Гипотеза Пуанкаре оказалась твердым орешком. Очень твердым. Если вы тополог и привычны к соответствующей терминологии и мышлению, вопрос покажется вам простым. Он должен иметь естественный ответ и простое доказательство. Однако, судя по всему, это не так. Но идеи, которые натолкнули на него Пуанкаре, вызвали взрывной рост исследований топологических пространств и их свойств, таких как гомология и гомотопия, которые, если вам повезет, вы сможете различить. Гипотеза Пуанкаре была в конечном итоге доказана в 2002 г.; Григорий Перельман сделал это при помощи новых методов, на которые его отчасти вдохновила общая теория относительности.
* * *
Для Пуанкаре топология была не просто интеллектуальной игрой. Он применял ее в физике. Традиционный метод анализа динамической системы состоит в том, чтобы записать ее дифференциальное уравнение, а затем решить его. К несчастью, этот метод редко дает точный ответ, так что математики столетиями использовали приближенные методы. До тех пор пока не появились доступные и эффективные компьютеры, аппроксимации принимали вид бесконечного ряда, из которых использовались только первые несколько членов; компьютеры сделали численные методы аппроксимации вполне практичными и применимыми. В 1881 г. Пуанкаре разработал совершенно новый способ подхода к дифференциальным уравнениям и изложил его в «Записке о кривых, определенных дифференциальным уравнением». Этой статьей он заложил фундамент качественной теории дифференциальных уравнений, которая пытается вывести свойства решений дифференциального уравнения, не записывая для этого ни формул, ни рядов и не вычисляя их численно. Вместо этого теория использует общие топологические свойства фазового портрета – множества всех решений, рассматриваемого как единый геометрический объект.
Решение дифференциального уравнения описывает то, как его переменные меняются с течением времени. Решение можно визуализировать, если построить график, использовав эти переменные как координаты. С течением времени координаты меняются, так что определяемая ими точка движется вдоль кривой – траектории решения. Возможные сочетания переменных определяют многомерное пространство – по одному измерению на каждую переменную, – которое называют фазовым пространством, или пространством состояния. Если решения существуют при любых начальных условиях, как обычно и бывает, каждая точка в фазовом пространстве ложится на ту или иную траекторию. Таким образом, фазовое пространство разбивается на семейство кривых – фазовый портрет. Кривые эти ложатся рядом друг с другом как гладко расчесанные длинные волосы, за исключением окрестностей установившегося состояния уравнения, где решение остается все время постоянным, и волоски сжимаются в точку. Установившиеся состояния найти нетрудно; они обеспечивают фазовому портрету начало «скелета»: диаграмму его основных отличительных признаков.
Если исходить из этого описания, то для того, чтобы нарисовать фазовый портрет, нам нужно знать решения – или, по крайней мере, их численные приближения. Пуанкаре открыл, что некоторые свойства решений можно определить топологически. К примеру, если у системы есть периодическое решение – такое решение, которое снова и снова повторяет одну и ту же последовательную цепочку состояний, – то траектория представляет собой замкнутую петлю и решение просто ходит по ней кругами, как белка в колесе. Топологически любую петлю можно превратить в окружность, так что задача упрощается и сводится к топологическим свойствам окружностей. Присутствие петли иногда можно распознать, рассмотрев сечение Пуанкаре. Это поверхность, рассекающая поперек пучок траекторий. Взяв любую точку этого сечения, мы следуем по ее траектории до того момента, когда (если это произойдет) она вновь дойдет до этого сечения. Таким образом мы получим отображение поверхности на саму себя – отображение Пуанкаре, или отображение «первого возврата». Если сечение рассекает периодическую траекторию, то она, обойдя круг, возвращается в ту же точку, а соответствующая точка на отображении Пуанкаре остается на месте.
Предположим, в частности, что сечение представляет собой диск, шар или аналогичную фигуру с бо?льшим числом измерений и что мы можем показать, что образ сечения, полученный в результате преобразования Пуанкаре, укладывается внутрь того же сечения. Тогда мы можем воспользоваться топологической теоремой, известной как теорема Брауэра о неподвижной точке, и заключить, что какая-то неподвижная точка в этой системе должна существовать; это будет означать, что дифференциальное уравнение имеет периодическое решение, проходящее через данное сечение. Пуанкаре предложил целый ряд подобных методик и сформулировал общую гипотезу о долговременном поведении траекторий (решений) для дифференциальных уравнений с двумя переменными. А именно: траектория может сойтись к точке, к замкнутой петле или к гетероклинному циклу – петле, образованной траекториями, которые соединяют между собой конечное число неподвижных точек. Эту гипотезу доказал в 1901 г. Ивар Бендиксон, и результат теперь известен как теорема Пуанкаре – Бендиксона.
* * *
Вывод Пуанкаре о том, что топологические методы позволяют сделать глубокие выводы о решениях дифференциальных уравнений даже в тех случаях, когда формул для этих решений не существует, составляет основу сегодняшнего подхода к нелинейной динамике, которая находит применение едва ли не во всех областях естественных наук. Этот вывод привел Пуанкаре к еще одному эпическому открытию: он открыл хаос, ставший одним из крупнейших триумфов топологической динамики. Контекстом для этого открытия было движение нескольких тел под действием Ньютоновой гравитации – иначе говоря, задача многих тел.
Иоганн Кеплер из наблюдений Марса заключил, что орбита одиночной планеты, обращающейся вокруг Солнца, представляет собой эллипс. Ньютон объяснил этот геометрический факт в рамках своего Закона всемирного тяготения: любые два тела во Вселенной притягивают друг друга с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. В принципе, Ньютонов закон предсказывает движение любого числа взаимно притягивающихся тел, таких как планеты Солнечной системы. К несчастью, Закон всемирного тяготения не предсказывает движение тел непосредственно: он позволяет записать дифференциальное уравнение, решение которого дает положение тел в любой момент времени. Ньютон обнаружил, что для двух тел это уравнение решаемо, и результатом решения является Кеплеров эллипс. Но для трех и более тел никаких аккуратных решений подобного рода не просматривалось, и математикам, работавшим в области небесной механики, приходилось прибегать к особым приемам и приближениям.
В 1889 г. исполнилось 60 лет Оскару II, королю Швеции и Норвегии, которые в то время составляли единое государство. В честь юбилея король объявил приз за решение задачи многих тел; тему королю предложил Миттаг-Леффлер. Ответ следовало дать не в виде простой формулы, которой почти наверняка не существовало, но в виде сходящегося бесконечного ряда. Тогда, чтобы решить задачу со сколь угодно высокой точностью, достаточно было бы всего лишь вычислить нужное число членов ряда.
Пуанкаре решил поучаствовать в конкурсе – и выиграл приз, несмотря на то что его записка не решала задачу целиком. Он рассматривал только три тела и при этом считал, что два из них имеют равную массу и обращаются друг вокруг друга в диаметрально противоположных точках окружности, а третье имеет настолько малую массу, что не оказывает никакого действия на два более массивных тела. Его результаты доказывали, что в определенных обстоятельствах решений требуемого типа не существует. Система может иногда вести себя весьма необычным, неправильным образом, и ее геометрия выглядит так, будто кто-то случайно уронил на землю слабо смотанный моток веревки. Пуанкаре описал свое главное геометрическое открытие – как две значимые кривые, определяющие динамику системы, пересекаются одна с другой:
Когда пытаешься изобразить фигуру, которую образуют эти две кривые и бесконечность их пересечений, каждое из которых соответствует дважды асимптотическому решению, эти пересечения образуют своего рода сеть, паутину или бесконечно плотную решетку… Поражает сложность этой фигуры, которую я даже не пытаюсь нарисовать.
Мы сегодня понимаем, что Пуанкаре обнаружил первый важный пример динамического хаоса: существование у детерминистических уравнений решений настолько нерегулярных, что некоторые их аспекты кажутся попросту случайными. Но в то время этот результат – хотя и любопытный – многим представлялся тупиковым.
До недавнего времени то, что я изложил выше, представляло собой официальную историю. Но в 1990-е гг. Институт Миттаг-Леффлера в Швеции посетила историк математики Джун Бэрроу-Грин. Она обнаружила там печатный экземпляр другой версии записки Пуанкаре – и в ней ничего не говорилось о возможном существовании нерегулярных орбит. Оказалось, что на конкурс Пуанкаре подал именно этот вариант записки, но уже после объявления победителя заметил в своей работе какую-то ошибку. Почти весь тираж уже изданной записки был уничтожен, а взамен за счет Пуанкаре был быстро напечатан исправленный вариант. Однако один экземпляр оригинальной записки сохранился в архиве института.
* * *
Возможно, Пуанкаре производит впечатление типичного непрактичного ученого, но на самом деле он до конца жизни сохранил связь с горным делом и в 1881–1885 гг. руководил строительством северной железной дороги в качестве инженера Министерства общественных работ. В 1893 г. его назначили главным инженером Горного корпуса, а в 1910 г. он был повышен до должности генерального инспектора. В Университете Парижа Пуанкаре возглавлял кафедры по многим предметам: механике, математической физике, теории вероятностей и астрономии. В Академию наук он был избран в возрасте всего 32 лет, в 1887 г., за два года до конкурса, объявленного королем Оскаром; в 1906 г. стал президентом Академии. В 1893 г. Пуанкаре работал в Бюро долгот, которое пыталось установить по всему миру единую систему времени и предложило для этого разделить мир на часовые пояса.
Пуанкаре едва не опередил Эйнштейна в разработке специальной теории относительности; он еще в 1905 г. показал, что уравнения Максвелла для электромагнетизма инварианты относительно того, что мы сегодня называем группой преобразований Лоренца, а это подразумевает, что скорость света в движущейся системе отсчета должна быть постоянна. Возможно, главным, что Пуанкаре пропустил, а Эйнштейн заметил, был тот факт, что в физике именно так и обстоит дело. Кроме того, Пуанкаре предложил понятие гравитационной волны, распространяющейся со скоростью света, в плоском пространстве-времени специальной теории относительности. Эксперимент LIGO зарегистрировал такие волны в 2016 г., но к тому моменту наука необратимо сместилась к искривленным вариантам пространства-времени, с которыми имеет дело общая теория относительности.
Пуанкаре умер от эмболии после онкологической операции в 1912 г. и был похоронен в фамильном склепе на кладбище Монпарнас. Его математическая репутация продолжала расти, по мере того как другие ученые развивали предложенные им идеи. Сегодня Пуанкаре считается в математике одним из великих зачинателей – и одним из последних математиков-универсалов, которому удалось охватить своей деятельностью почти весь математический ландшафт своего времени. Его математическое наследие живо и активно до сих пор.