1. Существует оптимальное решение, соответствующее одному из углов многогранника
Отметим, что в выражении стоимости 1020 ? 2 ? АЮ ? 5 ? БЮ в нашем примере оптимальные значения АЮ и БЮ не зависят от слагаемого 1020. Решение будет то же, если мы будем минимизировать ?2 ? АЮ ? 5 ? БЮ или максимизировать 2 ? АЮ + 5 ? БЮ.
Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными в общем виде.
Заметьте, что, во-первых, задача максимизации эквивалентна задаче минимизации с коэффициентами ?с1 и ?с2. Во-вторых, любое неравенство со знаком ? можно превратить в эквивалентное неравенство со знаком ?, умножив обе части неравенства на –1. Поэтому задача выше, для двух переменных и m ограничений, сформулирована действительно в общем виде. Все значения коэффициентов a, b, с – произвольные действительные числа, которые могут быть как положительными, так и отрицательными.
Каждое ограничение задает полуплоскость значений, на которой оно выполняется. Если пересечение всех m полуплоскостей пусто, то допустимого решения просто не существует. Поэтому допустим, что m полуплоскостей содержат общую ограниченную область S допустимых значений. (Мы не будем рассматривать случай, когда область не ограничена.) Очевидно, что S – это многоугольник, поскольку область S ограничена прямыми.
Утверждение. Максимальное значение целевой функции достигается в одном из углов S.
Доказательство. Обозначим оптимальное решение через x*1, x*2. Заметьте, что x*1, x*2 не может быть внутренней точкой S, потому что в этом случае оба значения переменных можно либо увеличить, либо уменьшить, таким образом увеличивая значение целевой функции. Например, в нашей задаче в главе 2 решение (58,8) является внутренней точкой, поэтому не может быть оптимальным.
Значит, x*1, x*2 лежит на одной из сторон многоугольника S. На каждой из сторон одно из ограничений превращается в равенство. Рассмотрим сторону, которая соответствует первому ограничению: a11x1 + a12x2 = b1. Что происходит, если мы начнем двигаться вдоль этой стороны?
Не уменьшая общности, допустим, a12 ? 0. Для начала перепишем равенство в более привычном виде как уравнение прямой:
Допустим, мы начали в точке (x1,x2). Теперь допустим, что мы немного изменили х1 и получили новую координату x1+?, где ?>0 достаточно мало, чтобы все остальные ограничения, кроме первого, по-прежнему строго выполнялись. Тогда значение х2 изменится на величину
При этом нетрудно проверить, что целевая функция изменится на величину
Заметьте, что это число не зависит от (x1,x2). Значит, в какой бы точке прямой (П.1) мы не начали движение, в результате перемещения по этой прямой, изменение значения целевой функции зависит только от коэффициента
Если он отрицательный, то, увеличивая x1 и двигаясь по прямой, мы можем только уменьшить целевую функцию. Аналогично если коэффициент положительный, то, двигаясь по прямой в сторону увеличения x1, мы можем целевую функцию только увеличить. Наконец, если коэффициент равен нулю, значение целевой функции на всей прямой постоянно.
Стало быть, из любой точки на данной стороне S мы можем двигаться либо в сторону уменьшения, либо в сторону увеличения x1 так, чтобы значение целевой функции не уменьшалось. Таким образом мы можем менять значение x1, пока какое-то другое ограничение не превратится в равенство. В этом случае мы столкнулись с углом многоугольника S, в котором достигается максимальное значение целевой функции на всей рассмотренной нами стороне. Поскольку сторону мы выбрали произвольно, делаем вывод, что максимальное значение целевой функции достигается в одном из углов S и мы можем выбрать этот угол в качестве x*1, x*2.
Очевидно, что это доказательство легко обобщить на любое количество n переменных.