Глава 5. Содержательные математические задачи
Учителя — самый важный ресурс для учеников. Именно учителя создают увлекательную среду для освоения математики, подают позитивные сигналы, в которых дети так нуждаются, и добиваются того, чтобы любая задача пробуждала интерес. Исследования свидетельствуют, что учитель оказывает на обучение учеников большее влияние, чем любой другой фактор (Darling-Hammond, 2000). Но есть еще один крайне важный аспект изучения математики (во многих смыслах это лучший друг учителя): программа, с которой работает учитель, а также задания и вопросы, с помощью которых ученики осваивают этот предмет. Все учителя знают, что интересные математические задачи — прекрасный ресурс. Именно они определяют разницу между счастливыми учениками, которые с воодушевлением изучают математику, и незаинтересованными, немотивированными. Задания и вопросы помогают развивать математическое мышление и создают условия для глубокого, связного восприятия изучаемого материала. В этой главе представлен подробный анализ истинной вовлеченности в изучение математики, а также рассматривается вопрос о том, как добиться ее путем постановки математических задач.
Я преподавала математику на всех уровнях среднего и высшего образования в Англии и США. Кроме того, я изучила сотни заданий по математике на всех уровнях 16-летнего образования в обеих странах и проанализировала, как дети и подростки изучают математику и какие условия благоприятны для этого. Мне удалось накопить богатый опыт — и это большая удача по многим причинам, одна из которых состоит в том, что это помогло мне понять суть истинной вовлеченности и глубокого изучения математики. Я наблюдала, как самые разные школьники и студенты вдохновляются математикой, что дало им прекрасную возможность получить представление о математических концепциях и взаимосвязях между ними. Я пришла к выводу, что и 11-летние ученики, сталкивающиеся с серьезными трудностями в изучении математики, и успешные студенты лучших университетов испытывают одинаковое воодушевление, которое включает в себя такие аспекты, как любознательность, установление связей, вызов, творчество и, как правило, сотрудничество. На мой взгляд, это и есть пять аспектов вовлеченности. Ниже я расскажу о характере вовлеченности и воодушевления в связи с изучением математики, прежде чем рассматривать свойства задач, обеспечивающих вовлеченность. Их могут давать на своих уроках математики все учителя.
Вместо того чтобы анализировать суть вовлеченности бесстрастно и абстрактно, я хочу показать вам пять примеров истинного воодушевления. Я считаю его вершиной вовлеченности. Речь пойдет о ситуациях, которые я наблюдала в разных группах и благодаря которым сделала важные выводы о сути преподавания и задачах, которые открывают такие возможности для обучения. Первый пример взят не из школы, а из особой среды одного из стартапов Кремниевой долины. Он раскрывает один сильнейший аспект воодушевления, который я хотела бы донести до всех учителей математики.
1. Понимание открытости чисел
В конце декабря 2012 года, за несколько дней до отъезда в Лондон на праздники, я впервые встретилась с Себастьяном Труном и его командой в Udacity — компании, которая занимается организацией онлайн-курсов. Мне предложили приехать к ним, чтобы дать членам команды консультации по поводу математических курсов и способов создания возможностей для эффективного обучения. В тот день я зашла в просторный офис компании в Пало-Альто и сразу поняла, что попала в стартап Кремниевой долины. Велосипеды на стенах; молодые люди, в основном парни, в футболках и джинсах, погрузились в компьютеры или сидят, обсуждая различные идеи. В офисе не было никаких перегородок, только кабинки и много света. Я прошла мимо кабинок в конференц-зал, расположенный в задней части офиса за стеклянной стеной. Около 15 человек втиснулись в небольшое помещение и сидели на стульях и на полу. Себастьян вышел вперед, пожал мне руку, представил меня присутствующим и пригласил сесть. Затем он начал забрасывать меня вопросами: «Каким должен быть хороший курс математики? Как ее преподавать? Почему ученики не справляются с математикой?» Себастьян сказал, что, по мнению его друга Билла Гейтса, алгебра стала причиной многочисленных неудач с изучением математики в США. Я дерзко ответила: «О, так вам сказал об этом преподаватель Билл Гейтс?» Присутствующие улыбнулись, а Себастьян пораженно застыл. Затем он спросил: «Ладно, а что вы думаете?» Я сказала, что ученики не справляются с алгеброй не потому, что это трудный предмет, а потому, что у них нет чувства числа, которое является основой этой дисциплины. Крис, один из разработчиков курсов, в прошлом учитель математики, кивнул в знак согласия.
Себастьян продолжил забрасывать меня вопросами. Когда он спросил, каким должно быть хорошее задание по математике, я прервала беседу и спросила присутствующих, могу ли я задать им один математический вопрос. Они охотно согласились, и я разыграла мини-версию разговора о числах. Я попросила присутствующих подумать, как можно найти произведение 18 ? 5, и показать мне, что ответ готов, молча подняв палец вверх. Вскоре у всех членов команды были ответы. В тот день для решения примера было использовано шесть разных методов, и я нарисовала их на столе, вокруг которого мы сидели (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Визуальные решения примера 18 ? 5
Затем мы обсудили сходство и различия между этими методами. Когда я изображала их с помощью рисунков, глаза присутствующих становились всё шире. Некоторые начали взволнованно вскакивать с мест. Кто-то сказал, что даже не представлял себе, как много способов анализа абстрактной числовой задачи существует. Другие были поражены тем, что существует визуальное представление такой задачи и оно так наглядно иллюстрирует математику.
Когда несколько дней спустя я приехала в Лондон, мне пришло электронное письмо от Энди, молодого разработчика курсов из Udacity. Он составил онлайновый мини-курс по примеру 18 ? 5, в процессе работы над которым прохожих на улице спрашивали, как они решили бы этот пример, чтобы собрать разные методы. Члены команды были настолько воодушевлены этими идеями, что захотели сразу же выложить их в открытый доступ; в команде говорили даже о том, чтобы изготовить для всех сотрудников Udacity футболки с надписью «18 ? 5».
Через несколько месяцев после встречи в Udacity я познакомилась с Люком Бартеле, который был тогда директором Wolfram Alpha — одной из самых важных математических компаний в мире. Люк прочитал о разных методах решения примера 18 ? 5, которые я описала в своей книге (Boaler, 2015), и это так заинтересовало его, что он начал спрашивать всех, с кем встречался, как бы они решили этот пример. Я считаю важным рассказать об этой реакции, моментах глубокого воодушевления по поводу абстрактной математической задачи. Почему всем этим пользователям высшей математики, как и маленьким детям, так интересно представлять себе и анализировать разные методы решения на первый взгляд неинтересной задачи, такой как 18 ? 5? Возможно, вовлеченность обусловлена тем, что люди отмечают в математике элемент творчества, и тем, что они по-разному видят математические идеи. Это интересно само по себе, но верно и то, что большинство моих знакомых, даже математики высокого уровня, никогда не осознавали, что числа могут быть настолько открытыми, а для решения задач с ними можно использовать так много разных способов. Вовлеченность еще больше усиливается, когда это осознание приходит вместе с глубоким визуальным пониманием математических методов работы.
Я использовала аналогичные задачи в работе с учениками средней школы, студентами Стэнфорда и генеральными директорами компаний. Все они демонстрировали одинаковую вовлеченность. Благодаря этому я поняла, что людей восхищают присущие математике гибкость и открытость. Это наука, которая требует точного мышления, но, когда оно сопровождается изобретательностью, гибкостью и многообразием идей, люди начинают воспринимать ее как живую науку. Учителя могут создавать такое воодушевление на уроках при работе над любыми задачами, предлагая ученикам описать разные способы представления и решения задач и поощряя обсуждение разных способов визуального представления. Они должны уделять внимание выполнению правил работы на уроке и объяснять ученикам, что те должны слушать и уважать мнение друг друга. В главе 7 представлено описание стратегии, которая позволяет добиться этого. Если ученики уважают друг друга и внимательны к одноклассникам, очень интересно наблюдать, с какой вовлеченностью они рассказывают о разных способах решения задачи.
2. Растущие фигуры: сила визуализации
Следующий пример взят из совсем другой среды — занятий летней школы в районе Сан-Франциско, куда отправили учеников с низкой успеваемостью за прошедший учебный год. Вместе со своими студентами из Стэнфорда я преподавала математику в одном из четырех математических классов. Мы решили сосредоточиться на алгебре, но алгебра как таковая, бездумный поиск значения х, не была нашей конечной целью. Мы преподавали ее как инструмент, который можно использовать для решения содержательных, увлекательных задач. Наши ученики только что кончили шестой и седьмой классы, и большинство из них ненавидели математику. Примерно половина получила низшие оценки за прошедший учебный год (подробнее см.: Boaler, 2015; Boaler & Sengupta Irving, 2015).
Разрабатывая учебную программу для летней школы, мы использовали ряд ресурсов, в том числе книги Марка Дрисколла, математические задачи Рут Паркер, а также два учебных плана из Англии — SMILE (Secondary mathematics individualized learning experience — «Опыт индивидуального изучения математики в средней школе») и Points of Departure («Отправные пункты»). Задачу, которая вызвала воодушевление в данном случае, составила Рут Паркер. В ее рамках ученики должны были продолжить показанную в примере 5.1 растущую закономерность, представленную в виде кубиков, и определить, сколько кубиков будет на шаге 100. (Полные рабочие листы со всеми заданиями можно найти в приложении к этой книге.)
ПРИМЕР 5.1. ЗАДАЧА С ФИГУРАМИ
Как вы представляете себе рост фигур?
Материал предоставлен Рут Паркер; задача используется на курсах MEC (Mathematics Education Collaborative).
Ученики могли использовать кубики. Мы попросили детей работать группами, обсуждая разные идеи. Иногда группы формировали мы сами, а порой их создавали сами ученики. В день, о котором идет речь, я обратила внимание на интересную группу из троих мальчиков — самых непослушных в классе! До начала учебы в летней школе они не были знакомы друг с другом, но на протяжении большей части первой недели либо сами уклонялись от выполнения заданий, либо делали всё, чтобы отвлечь других от работы. Эти мальчишки постоянно что-то выкрикивали, когда другие писали на доске; в первые дни учебы их больше интересовало общение, чем обсуждение математических задач. На последнем занятии по математике Хорхе получил неудовлетворительную оценку, Карлос — удовлетворительную, а Люк — отличную. Но в день, когда мы дали ученикам это задание, что-то изменилось. Три мальчика трудились 70 минут, не останавливаясь, не отвлекаясь и не пытаясь уклониться от работы. В какой-то момент к ним подошли девочки и начали тыкать в них карандашами. Мальчики взяли свою работу и перешли к другому столу — настолько они были увлечены поиском решения.
Все наши уроки записывались на видео. Просматривая запись того, как эти мальчики работали в тот день, мы увидели, что они активно обсуждают числовые закономерности, визуальный рост и алгебраическое обобщение. Такая глубокая вовлеченность отчасти объяснялась тем, что мы использовали адаптированный вариант задачи. Адаптацию можно выполнять применительно к любым математическим заданиям. На уроках, когда ученикам дают задачи с функциями, обычно требуется определить значение на шаге 100 и в общем виде на шаге n. Мы начали не с этого, а с того, что попросили учеников самостоятельно поразмышлять о том, как они представляют себе рост фигуры, прежде чем переходить к групповой работе. Мы предложили им поразмышлять над этим на визуальном уровне, а не с помощью чисел, и нарисовать в своих тетрадях, где они представляют себе дополнительные кубики на каждом шаге. Мальчики по-разному увидели картину происходящего. Люк и Хорхе представили себе рост фигуры в виде прибавления кубиков к нижней части. Позже этот вариант получил в классе название «метод боулинга»: кубики расставляются, как кегли на дорожке. Карлос представил себе рост фигуры в виде кубиков, которые устанавливаются на верхушки столбцов. Этот подход стал известен как «метод дождевых капель» — кубики падают на столбцы сверху, как капли дождя с неба (рис. 5.2).
Рис. 5.2. Работа учеников
Источник: Selling, 2015.
Поработав над задачей о росте функции индивидуально, ученики обсудили, кто как представляет себе дополнительные кубики на каждом шаге. Поразительно, что они связали свои визуальные методы с количеством кубиков в каждой фигуре; и не только работали со своими методами, но и находили время объяснить их друг другу и применить методы друг друга. Рост функции заинтриговал этих троих мальчиков, и они настойчиво пытались определить значение на шаге 100, вооружившись своими знаниями о визуальном росте фигуры. Мальчики предлагали друг другу идеи, наклонившись над столом и показывая свои рисунки в тетрадях. Как часто бывает в процессе решения математических задач, они перемещались зигзагами, то приближаясь к нужному решению, то отдаляясь от него, а затем снова возвращаясь к нему (Лакатос, 2010). Разные подходы позволяли им тщательно исследовать математический ландшафт.
Я показывала видеозапись работы этих мальчиков на многих конференциях для учителей. На всех произвели впечатление их мотивация, настойчивость и высокий уровень дискуссии. Учителя знают, что настойчивость, которую продемонстрировали эти мальчики, а также уважительность, с которой они обсуждали идеи друг друга, особенно в летней школе, — явление весьма необычное, и им интересно, как мы этого добились. Им знакома ситуация, когда ученики (особенно отстающие) прекращают попытки, если задача трудная и им не удается получить ответ сразу. Но в нашем случае этого не произошло; когда мальчики не смогли двигаться дальше, они вернулись к своим диаграммам и обсудили друг с другом идеи, многие из которых были ошибочными, но в итоге все же смогли найти путь к решению. Показав видеозапись этого случая учителям во время конференции, я спрашиваю их, какие элементы взаимодействия учеников могут помочь нам понять причины высокого уровня их настойчивости и вовлеченности. Ниже представлен ряд важных соображений по поводу благоприятных возможностей для повышения вовлеченности всех учеников.
1. Задача трудная, но доступная. Все три мальчика смогли понять задачу, хотя им было нелегко. Она идеально соответствовала их уровню мышления. Найти задачи, которые идеально подойдут всем ученикам, трудно, но возможно, когда мы расширяем их: приводим к виду, который я называю «низкий пол, высокий потолок». Пол низкий, потому что все могут видеть, как растет фигура, а потолок высокий, поскольку функция, которую изучали мальчики, — квадратичная, с помощью которой шаг n может быть представлен в виде (n + 1)2 блоков. Мы сделали «пол» ниже, предложив ученикам поразмышлять на визуальном уровне, хотя, как я покажу ниже, это не единственная причина для такой важной адаптации.
2. Мальчики восприняли задачу как головоломку, поэтому им было интересно искать решение. Вопрос не касался «реального мира» или жизни мальчиков, но увлек их. В этом и состоит сила абстрактной математики: она подразумевает открытое мышление и установление связей.
3. Рассуждения на визуальном уровне помогли мальчикам понять, как растет закономерность в задаче. Мальчики увидели, что представленная фигура растет как квадрат со стороной (n + 1), рассмотрев рост закономерности визуально. Они искали сложное решение, но были уверены в себе: им помогало визуальное представление происходящего.
4. Мальчиков воодушевило, что каждый из них разработал свой способ визуального представления роста закономерности и все они нашли правильные методы, раскрывающие разные аспекты решения. Мальчики с воодушевлением поделились своими мыслями друг с другом и использовали свои идеи и идеи других при решении задачи.
5. Урок был организован так, чтобы ученики стремились предлагать идеи без страха совершить ошибку. Это позволило мальчикам двигаться дальше, когда они «застревали», предлагая идеи (и правильные, и ошибочные), которые позволят продолжить обсуждение.
6. Мы научили учеников уважать мнение друг друга. Мы призывали отдавать должное широте мышления каждого ученика, а не процедурному мышлению отдельных детей, а также давали высокую оценку разным способам визуального представления задач и установления связей.
7. Ученики использовали свои идеи, а не придерживались метода, взятого из учебника по алгебре. Они предложили разные идеи по поводу визуального представления роста функции, поэтому им было еще интереснее решать задачу.
8. Мальчики работали вместе. На видео заметно, как мальчики поняли друг друга, делясь идеями в процессе обсуждения, и получили еще большее удовольствие от работы.
9. Работа мальчиков носила смешанный характер. Люди, которые смотрят это видео, отмечают, что каждый ученик предлагает что-то особенное и по-своему важное. Сильный постоянно выкрикивает догадки по поводу чисел (эта стратегия могла бы быть полезной для сугубо процедурных вопросов), а слабые подталкивают его к тому, чтобы он размышлял на визуальном и более концептуальном уровне. Именно такое сочетание разных способов мышления помогает мальчикам и приводит их к успеху.
Как правило, в задачах на рост закономерности ученикам задают числовые вопросы вроде «Сколько кубиков на шаге 100?» и «Сколько кубиков на шаге n?» Мы тоже поставили ученикам такие вопросы, но только после того, как они поработали над задачей сами, чтобы они проанализировали рост фигуры на визуальном уровне. Это изменило все.
Как показано на рис. 5.3–5.10, люди представляют себе рост фигуры разными способами. Не предлагая ученикам мыслить визуально, мы упускаем прекрасную возможность помочь им лучше понять происходящее. Ниже показано, как учителя и ученики, с которыми я работала, представляют себе рост фигуры, и приведены названия, которые они использовали для обозначения своих вариантов.
Рис. 5.3. Метод дождевых капель — кубики падают на столбцы с неба, как капли дождя
Рис. 5.4. Метод боулинга — кубики расставляются, как кегли на дорожке для боулинга
Рис. 5.5. Метод вулкана — средний столбец растет в высоту, а остальные растекаются, как лава из вулкана
Рис. 5.6. Метод расхождения вод Красного моря — два столбца расходятся, и между ними появляется еще один
Рис. 5.7. Метод подобных треугольников — уровни можно рассматривать в виде треугольников
Рис. 5.8. Метод сечения — уровни можно рассматривать по диагонали
Рис. 5.9. «Лестница в небеса: в доступе отказано» — из фильма «Мир Уэйна»
Рис. 5.10. Метод квадратов — любую фигуру можно перегруппировать, сделав из нее квадрат
Недавно я дала эту задачу на рост закономерности группе учителей старших классов, которые не стали тратить время на визуальное представление роста фигуры, составив вместо этого таблицу значений.
Когда я попросила учителей объяснить, почему эта функция возрастает по квадратичному закону, они не смогли ответить. Но мы видим здесь квадратичную функцию вот почему: фигура растет как квадрат со стороной (n + 1), где n — номер шага (рис. 5.11).
Рис. 5.11. Метод квадратов 2
Если мы не предлагаем ученикам проанализировать рост фигуры визуально, они не могут понять важные аспекты роста функции. Часто они не способны сказать, что означает n, и алгебра остается для них тайной: набором абстрактных символов, которые они переставляют на странице с места на место. Наши ученики летней школы знали, что представляет собой n, поскольку сами его нарисовали. Они знали, почему функция растет по квадратичному закону и почему n-й шаг представлен в виде (n + 1)2. Алгебраическое выражение, которое ученики в итоге составили, имело для них смысл. Кроме того, они не считали, что ищут стандартный ответ; они полагали, что исследуют разные методы и используют свои идеи, в том числе способы визуального представления математического роста. Ниже пойдет речь о том, как свойства данной задачи можно использовать в других задачах, чтобы повысить вовлеченность и понимание учеников.
3. Пора рассказать?
Когда я рассказываю учителям об открытых, исследовательских задачах по математике, например задаче о росте фигур или «дождевых каплях», о которых шла речь выше, они часто спрашивают: «Я понимаю, что эти задачи увлекательны и рождают интересные математические дискуссии, но как ученикам осваивать новые концепции, например тригонометрические функции? Или как разлагать числа на множители? Они не могут открыть это для себя самостоятельно». Это обоснованный вопрос, и поиску ответа на него посвящен ряд важных исследований. Идеальные математические дискуссии — те, в ходе которых ученики используют математические методы и концепции для решения задач. Но иногда учителям нужно познакомить учеников с новыми методами. На большинстве уроков математики применяется стандартный подход: учителя объясняют методы, а ученики отрабатывают их, решая задачи из учебника. На уроках математики более высокого уровня ученики выходят за рамки отработки конкретных приемов и используют их для решения прикладных задач, но порядок сохраняется: учителя объясняют методы, а ученики применяют их.
В ходе одного важного исследования были сопоставлены три подхода к преподаванию математики (Schwartz & Bransford, 1998). Первый распространен в США: учитель объяснял методы, а ученики с их помощью решали задачи. При втором подходе ученики имели возможность открыть эти методы для себя в рамках исследований. Третий представлял собой обратный вариант типичной последовательности: ученикам сначала ставили прикладные задачи, над которыми они должны были работать, не зная, как их решить, а затем объясняли необходимые для этого методы. Именно третья группа учеников показала гораздо более высокие результаты. Исследователи обнаружили: когда ученикам предлагали решить задачи и они не знали методов, но им давалась возможность провести исследования, у них возникало любопытство и их мозг был настроен на изучение нового. И когда учителя объясняли эти методы, ученики уделяли им больше внимания и были более заинтересованы. Результаты исследования были опубликованы в статье под названием «Пора рассказать». По мнению исследователей, вопрос не в том, должны ли мы рассказывать о методах или объяснять их, а в том, когда это лучше делать. Результаты исследования однозначно указывают: самый подходящий момент наступает после того, как ученики исследуют задачу.
Как это происходит на уроке? Как учителям удается ставить ученикам задачи, которые они не могут решить, так чтобы те не испытывали разочарования? Чтобы объяснить, как это работает, приведу два разных примера такого подхода к преподаванию.
Первый взят из научного исследования, которое я проводила в Англии. Оно показало, что ученики, изучавшие математику на основе проектно-ориентированного подхода, добились гораздо более высоких результатов как при сдаче стандартных тестов (Boaler, 1998), так и позже (Boaler, 2005), по сравнению с теми, кто применял традиционный подход. В рамках одной из задач, о которой я узнала в школе, работающей на основе проектно-ориентированного подхода, группе тринадцатилетних учеников сказали, что фермеру нужно оградить забором как можно большую площадь 36 планками длиной 1 м. Ученики начали исследовать способы определения максимальной площади. Они пробовали квадраты, прямоугольники и треугольники, пытаясь найти фигуру с максимально возможной площадью. Два ученика поняли, что самую большую площадь имеет фигура, состоящая из 36 сторон, и приступили к определению ее точной площади (рис. 5.12).
Рис. 5.12. Максимальную площадь ограждает забор в виде правильного многоугольника с 36 сторонами
Ученики разделили свою фигуру на 36 треугольников; им было известно, что длина основания треугольника составляет 1 м, а угол при вершине — 10° (рис. 5.13).
Рис. 5.13. Треугольник, образованный секцией забора длиной 1 м
Но этого было недостаточно, чтобы найти площадь треугольника. И тут учитель объяснил детям суть тригонометрии и способы использования функции тангенса для определения высоты треугольника. Ученики были в восторге: так кстати пришелся новый метод. Я видела, как один мальчик взахлеб объяснял членам своей группы функцию тангенса, оценивая новое знание как «действительно крутое». В этот момент я вспомнила об уроке совсем иного рода, за которым я наблюдала в обычной школе неделей ранее. Учитель объяснил ученикам тригонометрические функции и дал им целые страницы с упражнениями.
Ученики считали, что тригонометрические функции очень скучны и не имеют отношения к их жизни. В школе, придерживающейся проектно-ориентированного подхода, ученики с воодушевлением исследовали тригонометрию и считали эти методы интересными и полезными. В результате они глубже освоили методы. И именно поэтому ученики школы с таким подходом к преподаванию математики более успешны на экзаменах и в жизни.
Второй пример того, как ученики изучали методы после постановки задач, взят из исследования, которое я проводила в США. Оно также показало, что ученики добились гораздо лучших результатов, когда им преподавали математику на основе концептуального подхода, сфокусированного на связях и коммуникации (Boaler & Staples, 2005). Более подробная информация об обоих подходах к преподаванию представлена в моей книге «При чем тут математика?» (Boaler, 2015). Однажды я присутствовала на уроке по началам анализа в успешной школе, которую я назвала Рейлсайд. Урок был посвящен определению объема сложной фигуры. Лора Эванс готовила учеников к изучению анализа и поиску площади под кривой с помощью интегралов, но не стала с самого начала объяснять формальный метод, как обычно бывает. Она поставила задачу, для которой были нужны эти знания, и предложила детям подумать, как ее решить. Задача состояла в том, чтобы найти способ определения объема лимона. Чтобы ученики могли поразмышлять над этим, учительница дала каждой группе лимон и большой нож и предложила исследовать возможные решения (рис. 5.14).
Рис. 5.14. Чему равен объем лимона?
Источник: Shutterstock (ampFotoStudio).
После того как ученики обсудили эту задачу в группах, некоторые из них подошли к доске и с воодушевлением поделились своими идеями. Одна группа решила погрузить лимон в миску с водой, чтобы вычислить объем вытесненной жидкости. Вторая — тщательно измерить размер лимона. Третья — разрезать лимон на тонкие дольки и представить их себе в виде двумерных сечений, которые они затем разрезали на полоски, приблизившись к формальному методу определения площади под кривой, которому обучают в рамках курса математического анализа (рис. 5.15).
Рис. 5.15. Вычисление объема лимона по сечениям
Когда учительница объяснила детям метод интегралов, те с воодушевлением приняли его как эффективный инструмент.
В обоих случаях применялся обратный порядок обучения. Ученики узнали о тригонометрических методах и пределах после того, как исследовали задачу и столкнулись с необходимостью в конкретных приемах. Учителя объяснили эти методы в тот момент, когда в них возникла необходимость, вместо того чтобы сначала дать формальную информацию, а потом предложить отработать метод. Это пробудило у учеников огромный интерес к изучаемым методам и помогло понять их.
Как я упоминала в главе 4, Себастьян Трун поведал мне, насколько важную роль сыграла интуиция в его работе. Он сказал, что ему не удавалось продвинуться в решении задачи, если у него не было интуитивного ощущения, что он на верном пути. Математики также подчеркивают роль интуиции в их работе. Леоне Бертон провела опрос среди 70 математиков, занимающихся научными исследованиями, и 58 из них отметили этот факт (Burton, 1999). Рубен Херш пришел к тому же выводу: «Интуиция в математике повсюду» (Hersh, 1999). Так почему же ее не применяют на большинстве уроков математики? Многие дети даже не представляют себе, что интуиция нужна при решении задач. Когда ученикам предложили поразмышлять над определением объема лимона, их попросили прибегнуть к интуиции. С ее помощью можно решать многие математические задачи. Детям помладше стоит дать разные треугольники и прямоугольники и предложить подумать, как найти площадь треугольника, до того как объяснить им формулу площади. Ученики могут анализировать различия между наборами данных до того, как им объяснят такие понятия, как среднее арифметическое, мода и амплитуда. Они могут исследовать соотношения в окружностях, прежде чем узнают значение ?. И когда эти ученики начнут изучать формальные методы, этот процесс будет более глубоким и содержательным. Мыслить интуитивно — очень полезное занятие. Во-первых, дети перестают пользоваться конкретными методами и анализируют задачи в более широком контексте. Во-вторых, они осознают, что должны использовать разум: мышление, осмысление и умозаключения. Они уже не думают, что их задача — простое воспроизведение методов, и понимают, что им нужно анализировать целесообразность применения разных подходов. В-третьих, как показали исследования Шварца и Брэнсфорда, мозг учеников настраивается на изучение новых методов (Schwartz & Bransford, 1998).
4. Первое знакомство с математическими связями (треугольник Паскаля)
Следующий пример взят из семинара по профессиональному развитию, за которым я наблюдала. Мероприятие вела Рут Паркер — удивительный педагог, которая организует для учителей семинары, помогающие им понять математику на совершенно новом уровне. Я выбрала именно этот пример, поскольку в тот день увидела то, с чем сталкивалась впоследствии неоднократно: задачу, которая позволила учительнице по имени Элизабет увидеть настолько сильную математическую связь, что она расплакалась. Элизабет — учительница начальной школы, которая, как и многие другие, преподавала математику как набор процедур. Она не знала, что это наука, в которой есть много глубоких связей. Люди, которые всегда считали математику бессвязным набором процедур, нередко волнуются, когда видят глубокие связи в математике.
Семинар Рут, как и обучение в нашей летней школе, был сосредоточен на алгебраическом мышлении. Ведущая давала учителям много задач на определение функциональных закономерностей. В тот день Рут выбрала интересную задачу из категории «низкий пол, высокий потолок»: с виду простую, но на деле сложную и глубокую. Учителя, которые принимали участие в семинаре, после этого начали изучать экспоненциальный рост и отрицательные показатели степени.
Элизабет и другие учителя приступили к работе, раскладывая и упорядочивая цветные счетные палочки Кюизенера, чтобы найти все способы формирования последовательностей, соответствующих длине трех выбранных ими палочек. Некоторые решили начать с палочки длиной 10 — и задача заметно усложнилась, поскольку существует 1024 способа образовать последовательности такой же длины, что и палочка длиной 10! Рут знала, что ее задача не в том, чтобы избавлять учителей от проблем, а в том, чтобы дать им возможность погрузиться в математические детали задачи. Поднапрягшись, некоторые из этих учителей вспомнили то, что узнали на семинаре немного раньше: важный математический навык, которым ученики могут так и не овладеть за одиннадцать лет, — начинать с меньшего. Учителя поработали со счетными палочками разной длины и увидели, как формируется закономерность и на визуальном, и на числовом уровне (пример 5.2).
ПРИМЕР 5.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПАЛОЧЕК КЮИЗЕНЕРА
Определите, сколько разных последовательностей можно составить для палочек любой длины. Например, для светло-зеленой палочки можно составить четыре последовательности.
Материал предоставлен Рут Паркер; задача используется на курсах MEC (Mathematics Education Collaborative).
И тут Рут показала учителям треугольник Паскаля и предложила им исследовать его связь с задачей с палочками Кюизенера и знаменитым треугольником (см. пример 5.3).
ПРИМЕР 5.3. ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ
Потратив много сил на выполнение этого задания, учителя с удивлением обнаружили, что все их варианты находятся в треугольнике Паскаля. Именно этот момент растрогал Элизабет до слез, и я ее понимаю. Для любого человека, который воспринимал математику как совокупность несвязных процедур, а затем получил возможность исследовать визуальные и числовые закономерности, научившись видеть и понимать связи, это сильнейший опыт. Тогда Элизабет и обрела уверенность в своих интеллектуальных возможностях и способности самостоятельно обнаруживать математические идеи и связи.
С этого момента отношения Элизабет с математикой изменились, и она уже никогда не возвращалась к прошлому. Я встретилась с ней год спустя, когда она снова проходила курс Рут Паркер, чтобы освоить еще более эффективный подход к изучению математики. Элизабет рассказала мне обо всех замечательных изменениях, которые она внесла в свои методы преподавания, и о трепетном отношении ее подопечных к математике.
Опыт нового видения математики, который получила Элизабет, когда впервые узнала о математических связях, я постоянно использую в работе с разными детьми и взрослыми. И эмоции, которые они испытывают, прямо связаны с опытом обнаружения, изучения и осмысления математических связей.
5. Чудеса отрицательных координат
Этот пример связан с задачей, которую я использовала в работе со своей группой по подготовке учителей в Стэнфорде и с другими группами учителей. Она вызывает такое сильное воодушевление, что не рассказать о ней нельзя. Это одна из задач на рост закономерности, но с одним дополнением, которому я и хочу уделить особое внимание. Задачу придумал Карлос Кабана — замечательный учитель, с которым я работаю. В примере 5.4 показана задача, которую он обычно ставит ученикам.
ПРИМЕР 5.4. ЗАДАЧА НА ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
1. Как выглядел бы рисунок 100?
2. Представьте себе, что вы могли бы продолжить построение этой модели в обратном направлении. Сколько ячеек было бы на рисунке –1? (Да, рисунок минус один, что бы это ни значило!)
3. Как выглядел бы рисунок –1?
На основе материалов Карлоса Кабаны.
Один из вопросов, поставленных в этой задаче, звучит так: сколько ячеек было бы на рисунке –1 (если бы нужно было продолжить закономерность в обратном направлении, сколько ячеек было бы на шаге –1)? Задавая этот вопрос учителям, я обнаружила, что им легко найти ответ. Гораздо более интересным и сложным был вопрос о том, как выглядел бы рисунок на шаге –1. Когда я включила этот вопрос в задачу, произошло кое-что поразительное. Решение (которое я не буду здесь раскрывать) требует напряженных размышлений; учителя шутили, что, когда они пытались найти это решение, у них заболела голова и произошло возбуждение синапсов. Существует ряд способов добраться до шага –1 и правильных вариантов визуального представления. Но и числовое решение не единственное. Задача перемещается в неизведанную и захватывающую область — анализ вопроса о том, что такое отрицательный квадратный корень. Некоторые учителя поняли, что им необходимо поразмышлять об отрицательном пространстве, а также о том, как выглядела бы ячейка, отображенная на себя. Когда я поставила эту задачу свой группе учителей из Стэнфорда, они от волнения перепрыгивали через столы и пытались представить отрицательное пространство, протыкая в бумаге отверстия, чтобы показать, как ячейки переходят туда. Один из учителей понял и рассказал другим о том, что эту функцию можно представить в виде параболы (рис. 5.16). Другой спросил меня, куда уйдет эта парабола — останется ли на положительной части оси ординат или примет отрицательное значение.
Рис. 5.16. Дилемма с параболой
Этот вопрос показался членам группы очень увлекательным, и они активно старались во всем разобраться. В конце занятия будущие учителя пришли к выводу, что испытали истинное воодушевление и знают, какие ощущения хотят вызывать у своих учеников на уроках.
Но что именно вызвало такое воодушевление? Когда недавно я поставила эту задачу ведущим учителям в Канаде, она так увлекла их, что я не могла заставить их остановиться. Кое-кто даже шутил по этому поводу. В Twitter появилось сообщение: «Джо Боулер не может оторвать нас от задачи, которую нам поставила».
Эта задача вызывает такое воодушевление, поскольку требует размышлений об отрицательном пространстве, выходе в другое измерение, что само по себе интересно. Математика позволяет сделать это, потому-то она так увлекательна. Кроме того, слушатели курса считали, что исследуют неизведанную область; они не искали ответ на вопрос, который знали преподаватель и составители учебников, и это усиливало их воодушевление. Когда слушатели курса задавали вопрос о направлении параболы, у них было ощущение, что они могут спросить обо всем, что математика — открытая наука и, обнаружив новую идею (ту же параболу), они могут развить ее с помощью следующего вопроса. Визуальное представление математической закономерности снова сыграло важнейшую роль в усилении вовлеченности.
Прежде чем задуматься, что значат все эти примеры в контексте разработки увлекательных задач, приведу еще один пример. На сей раз события разворачивались на уроке в третьем классе.
6. От фактов к воодушевлению
В главе 4 я говорила, что учителям стоит изменить способы стимулирования учеников к изучению математических фактов, а также о важности перехода от работы, которая часто травмирует учеников (тесты с ограничением времени, изучение конкретных фактов и долгие часы заучивания), к увлекательным занятиям, которые укрепляют важные связи в головном мозге. Чтобы помочь учителям внедрить такие перемены, мы с коллегами из YouCubed написали статью, упомянутую в предыдущей главе. Я разместила ее на нашем сайте в надежде на то, что ее смогут прочесть многие учителя. Но мы не могли предвидеть масштабов влияния этой статьи: ее цитировали крупные газеты США. Один из видов деятельности, о котором мы рассказывали учителям, дал положительный эффект иного рода. Они обменивались информацией о нем друг с другом в соцсетях, публикуя фотографии учеников, которые с удовольствием занимаются математикой и формируют важные связи в головном мозге.
Такую важность и популярность приобрела игра под названием «Насколько близко к 100?» (ее описание см. в предыдущей главе).
В числе прочих мой онлайн-курс прошла и после этого изменила свои методы преподавания математики Роуз Фернандес — учительница третьего класса калифорнийской школы, в которой минимум 40% учеников — из небогатых семей. Роуз повесила на стене плакат с перечнем семи хороших правил изучения математики, разработанных в YouCubed (см. главу 9), чтобы их видели все ученики. Она рассказала мне, с каким воодушевлением ее ученики играют в эту игру и какие важные математические возможности перед ними открылись. Роуз — вдумчивая учительница; она не только организовала игру для учеников, но и предложила им для начала ее обсудить. Кроме того, она подготовила дополнительные задания для тех, кто работает быстрее. Перед началом игры она предложила детям подумать, как использовать игральные кости в качестве математического инструмента. Роуз попросила их подбрасывать две кости и по очереди называть полученные числа и их произведения. Затем она задала важный вопрос: как умножение и площадь связаны друг с другом? Ученики тщательно проанализировали его. Потом Роуз предложила детям поработать в парах и подумать, чему они учатся в этой игре. Кроме того, она поставила задачу выполнить разложение чисел и найти разные способы их записи на обратной стороне своих листов, если они закончат задание раньше. Ученики играли с большим воодушевлением, а когда Роуз попросила их оценить свою удовлетворенность по шкале от одного до пяти, 95% детей поставили самую высокую оценку.
Вот что говорили ученики, размышляя над этой игрой.
«Это заставило меня думать».
«Было весело исследовать математику и изучать ее».
«Это дало мне возможность попрактиковаться в умножении».
«Это был забавный способ изучить математические факты».
«Я узнал, что умножение и площадь взаимосвязаны».
«Теперь я знаю связь между делением, умножением и площадью, потому что я могу себе ее представить!»
Уровень воодушевления учеников во время этой игры был таким же высоким, как и сила математики, которую они изучали. Они говорили не только об удовольствии от игры, но и о математических концепциях, которые они изучали. Дети размышляли об умножении, делении и площади на визуальном уровне, исследуя математические факты с удовольствием и вовлеченностью. Это куда интереснее заучивания таблицы умножения!
Во всех этих примерах в центре оказалась математическая задача, подкрепленная грамотным подходом к преподаванию. Ниже представлен обзор важных элементов постановки этих шести задач, которые можно применить ко всем математическим задачам независимо от этапа обучения. Вдобавок во всех случаях ученики взаимодействовали друг с другом, иногда размышляя самостоятельно, но чаще вместе работая над идеями на уроках и получая позитивные сигналы по поводу мышления роста. Ниже представлено описание способов включения этих важных структурных элементов в любую математическую задачу.
От примеров к разработке задач
Непродуктивный период в сфере образования завершается. С тех пор как правительство Буша приняло закон «Ни одного отстающего ребенка» (No Child Left Behind Act), учителя были вынуждены придерживаться «предписанной» программы и пошаговых инструкций, хотя знали, что вредят ученикам. Многие считали, что это снижает их профессиональный уровень: ведь их лишили возможности принимать важные решения по поводу преподавания. К счастью, приходит новое время: учителям доверяют принимать важные профессиональные решения. Один из аспектов преподавания, ориентированного на развитие математического мышления, который интересует меня больше всего, — перемены, которые мы можем внести в уроки математики, давая ученикам важную информацию и делая математические задачи открытыми. Это обеспечивает пространство для обучения и играет важнейшую роль в формировании математического мышления.
Учителя могут найти немало интересных задач на сайтах, которые перечислены в конце этой главы. Но у многих на это нет времени. К счастью, учителям не нужно искать новые учебные материалы: они могут изменить задачи, которые уже используются, расширив их с целью создания новых, более благоприятных возможностей для учеников. Для этого может понадобиться развить свое мышление и учиться разрабатывать задачи: предлагать новые идеи и создавать новый, улучшенный опыт обучения. Воодушевление, о котором шла речь выше, порой было связано с адаптацией знакомых задач. Например, в задаче с растущими фигурами ситуация полностью изменилась после того, как ученики получили простое указание визуализировать рост фигуры, что позволило им увидеть задачу по-новому. Когда учителя сами создают и адаптируют задачи, они становятся максимально эффективными. Это под силу каждому, здесь не нужна специальная подготовка. Легко знать свойства математических задач и работать с ними, стремясь к их совершенствованию.
В рамках разработки и адаптации задач, ориентированных на успешное изучение математики, существует шесть вопросов, которые повышают эффективность работы, если ставить их и действовать в соответствии с ними. Некоторые задачи лучше подходят для конкретных вопросов; многие задачи и вопросы сочетаются естественным образом. Но я уверенно могу сказать: уделив внимание хотя бы одному из следующих шести вопросов, можно сделать задачу более содержательной.
1. Можете ли вы раскрыть задачу так, чтобы она стимулировала применение разных методов, путей и способов представления?
Учителя способны раскрыть задачи так, чтобы стимулировать учеников к размышлениям над разными методами, путями и способами представления. Раскрывая задачу, мы усиливаем ее учебный потенциал. Это можно сделать разными способами. Включить требование о визуальном представлении (как в задачах с растущими фигурами и с отрицательным пространством) — отличная стратегия. Еще один очень эффективный способ состоит в том, чтобы предложить ученикам придать своим решениям смысл.
Кэти Хамфриз — замечательная учительница. В книге, которую мы с ней написали вместе, представлено описание шести видео с записью того, как Кэти проводит уроки в своем седьмом классе, а также планы этих уроков. На одном из них показано, как Кэти предлагает ученикам решить такую задачу: 1 разделить на 2/3. Это мог бы быть закрытый вопрос, ориентированный на фиксированное мышление, с одним ответом и одним методом. Но Кэти изменила задачу, включив в нее два задания: придать своему решению смысл и представить визуальное доказательство. Кэти начинает урок так: «Вероятно, вы знаете правило, с помощью которого можно решить задачу, но сегодня оно не имеет значения; я хочу, чтобы вы объяснили, почему ваше решение имеет смысл».
На видеозаписи урока видно, что некоторые ученики предложили ответ 6. Ведь множеством цифр (таких, как 1, 2 и 3) можно манипулировать без математического осмысления и получить 6. Однако детям не удалось представить решение в виде рисунка и объяснить его смысл. Другие смогли показать, почему единица содержит полтора числа 2/3, с помощью разных вариантов визуального представления. Требование представить свои размышления в виде рисунка и наполнить ответ смыслом изменило характер задачи. Теперь она ориентирована не на фиксированное мышление, а на мышление роста. И мы провели замечательный урок, на котором царила атмосфера осмысления и понимания.
2. Можете ли вы превратить задачу в исследование?
Когда ученики считают, что во время урока они должны не воспроизводить методы, а выдвигать идеи, это все меняет (Duckworth, 1991). Один и тот же материал можно объяснять, ставя вопросы о процедурах или вопросы, которые побуждают размышлять над идеями и применять процедуры. Например, вместо того чтобы предлагать ученикам вычислить площадь прямоугольника 12 ? 4, спросите их, сколько прямоугольников площадью 24 они могут найти. Это меняет мотивацию и уровень понимания. В варианте, ориентированном на исследования, ученики используют формулу площади прямоугольника, и вдобавок им нужно поразмышлять о размерностях и пространственных отношениях, а также о том, что произойдет при изменении одной размерности (рис. 5.17). Такое изучение математики более комплексно и увлекательно, поскольку ученики используют свои идеи.
Рис. 5.17. Прямоугольники с площадью 24
Вместо того чтобы предлагать ученикам назвать четырехугольники с разными свойствами, попросите их придумать свои четырехугольники, как показано в примере 5.5.
ПРИМЕР 5.5. НАЙДИТЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Четыре четверки — еще одна замечательная задача (пример 5.6). Вы предлагаете ученикам образовать все числа от 1 до 20 из четырех четверок и любой математической операции, например: ?4 + ?4 + 4/4 = 5.
ПРИМЕР 5.6. ЧЕТЫРЕ ЧЕТВЕРКИ
Можете ли вы найти все числа от 1 до 20, используя только числа 4 и любые математические операции?
Дополнительные вопросы.
Можете ли вы найти несколько способов составления каждого числа из четырех четверок?
Можете ли вы составить таким образом число больше 20?
Можете ли вы найти отрицательные целые числа с помощью четырех четверок?
Это превосходное задание на применение математических операций, но оно ничем не напоминает задачу на отработку математических операций, поскольку операции изящно встроены в нее. Когда мы выложили эту задачу на youcubed.org, учителя сказали нам, что она очень увлекательна. Вот комментарии двух наших посетителей.
Задача с четырьмя четверками так вдохновила и увлекла моих учеников, что они решили исследовать три тройки — и их идеям не было конца.
Задача с четырьмя четверками великолепна! Я использовала ее на уроке математики в шестом классе, и ученики составили уравнения, которые повлекли за собой обсуждение таких тем, как свойство дистрибутивности, порядок выполнения операций, переменные… Это было прекрасно!
Полное описание задачи на YouCubed содержит рекомендации по способам постановки задачи и организации работы учеников; см. https://www.youcubed.org/wim-day-1.
Еще один способ превратить задачу в исследование — предложить ученикам написать статью, информационный бюллетень или небольшой рассказ о ней. Такая схема применима к любому материалу. В девятом классе школы Рейлсайд ученикам поручили написать книгу по теме y = mx + b; ученики исписали много страниц объяснениями того, что значит это уравнение, как его представить в графическом виде, когда его можно использовать и каковы их идеи по поводу его значения. Во время учебного модуля по геометрии в средней школе, который я разработала со своими студентами из Стэнфорда (Дэном Мейером, Сарой Селлинг и Кэти Сан), мы предложили ученикам написать информационный бюллетень о подобии, используя фотографии, задачи, анимацию и любые другие средства, которые помогут показать, что они знают об этой теме. В примере 5.7 представлена общая форма задания с информационным бюллетенем, которые мы разработали.
ПРИМЕР 5.7. ИНФОРМАЦИОННЫЙ БЮЛЛЕТЕНЬ
Вы пишете информационный бюллетень, чтобы рассказать, что вы узнали об этой математической теме, членам семьи и друзьям. Вы можете показать свое понимание соответствующих идей и объяснить, почему математические концепции, которые вы изучили, так важны.
Опишите также пару видов деятельности, которыми занимались и которые показались вам интересными.
Составляя свой бюллетень, вы можете воспользоваться следующими ресурсами.
• Фотографии выполнения разных заданий.
• Рисунки.
• Анимация.
• Интервью или опросы.
Представленное ниже описание некоторых видов деятельности поможет вам вспомнить, как вы работали над задачей.
Пожалуйста, подготовьте четыре раздела. Вы можете изменить названия так, чтобы они соответствовали вашей работе.
3. Можете ли вы поставить задачу до объяснения метода ее решения?
Когда мы ставим задачи, требующие определенного метода решения, до объяснения самого метода, мы даем им прекрасную возможность для обучения и использования интуиции.
Из предыдущих примеров таковы задача на определение максимальной площади, которую можно обнести забором, а также задача на определение объема лимона. Но этот структурный элемент можно использовать в любой другой области математики — в частности, при объяснении любых стандартных методов или формул (например, площадь фигур и число ?), а также таких статистических концепций, как среднее арифметическое, мода, амплитуда и стандартное отклонение.
Вместо объяснений предложите ученикам поразмышлять над ситуацией, в которой этот метод может пригодиться (пример 5.8).
ПРИМЕР 5.8. ПРЫЖКИ В ДЛИНУ
Вы хотите пройти отбор в команду по прыжкам в длину; для этого ваш средний результат должен составлять 5,2 м. Тренер говорит, что будет засчитывать лучший прыжок, который вы сделаете в каждый день недели, а затем вычислит среднее значение. Вот ваши пять прыжков. К сожалению, в пятницу у вас был низкий показатель, потому что вы не очень хорошо себя чувствовали.
Как вычислить среднее значение, которое справедливо отразит ваши результаты? Вычислите несколько средних значений разными способами и определите, какое из них, на ваш взгляд, самое справедливое. Объясните свой метод и попытайтесь убедить кого-нибудь в том, что он лучший.
После того как ученики попытались найти свои способы определения средней величины и обсудили их в группах и со всем классом, им можно объяснить формальные методы определения среднего арифметического, моды и амплитуды.
4. Можно ли включить в задачу визуальную составляющую?
Визуальное представление очень заметно влияет на учеников, обеспечивая новый уровень понимания, как можно видеть в случае задачи с растущими фигурами. При этом можно использовать не только рисунки, но и физические объекты, такие как кубики или алгебраические карточки. В детстве я часто играла со счетными палочками Кюизенера, упорядочивая их и исследуя математические закономерности. В ходе онлайн-курса, призванного показать слушателям важные математические стратегии, я объясняю, как представить в графическом виде любую математическую задачу или концепцию (см. https://class.stanford.edu/courses/Education/EDUC115-S/Spring2014/about). Графическое представление — мощный инструмент для математиков и людей, которые занимаются решением задач (большинство из них могут нарисовать любую задачу). Когда на уроке математики ученики топчутся на месте, я часто предлагаю им нарисовать задачу.
В школе Рейлсайд (очень успешной школе, работу которой я изучала) ученикам предложили отображать связи с помощью цветового кодирования. Например, на уроках алгебры ученики должны описывать функциональные соотношения разными способами: с помощью выражения или рисунка, в вербальной форме или в виде графика.
Таких форм представления требуют во многих школах. Нестандартный подход Рейлсайд состоял в том, что там предложили ученикам отмечать соотношения цветом — например, показывать ось x в одном и том же цвете в выражении, на графике и в диаграмме. В главе 7, где приведено более подробное описание подхода школы Рейлсайд, представлен пример задач с элементами цветового кодирования. В других областях (например, предлагая ученикам определить конгруэнтные, вертикальные и смежные углы) также можно попросить раскрасить и записать как можно больше соотношений, выделив соотношения цветом (пример 5.9 и рис. 5.18). Другие примеры цветового кодирования приведены в главе 9.
ПРИМЕР 5.9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И СЕКУЩАЯ
1. Выделите конгруэнтные углы с помощью цветового кодирования.
2. Определите вертикальные и смежные углы.
3. Запишите соотношения, которые вы видите. В своих записях используйте те же цвета, что и на рисунке.
Вертикальные углы: __________
Смежные углы: __________
Соотношения: __________
Параллельные прямые и секущая (решение примера 5.9)
1. Выделите конгруэнтные углы с помощью цветового кодирования.
2. Определите вертикальные и смежные углы.
3. Воспользовавшись теми же цветами, что и на рисунке, запишите как можно больше соотношений
Рис. 5.18. Выделение углов методом цветового кодирования
5. Можете ли вы сформулировать задачу так, чтобы она относилась к категории «низкий пол, высокий потолок»?
Все представленные выше задачи относились к категории «низкий пол, высокий потолок». Благодаря высокой степени свободы они доступны для широкого круга учеников, которые могут перейти на более высокий уровень.
Один из способов сделать «пол» ниже сводится к тому, чтобы всегда спрашивать учеников, как они представляют себе задачу. Этот замечательный вопрос заслуживает внимания и по другим причинам.
Превосходная стратегия, позволяющая повысить «потолок» задачи, состоит в том, чтобы предложить ученикам, которые уже нашли ответ на вопрос, написать новый, аналогичный первому, но более сложный. Во время обучения смешанной группы учеников в летней школе мы часто использовали эту стратегию и получали впечатляющие результаты. Например, когда мальчик Алонсо закончил решать задачу с лестницей, в которой ученики должны были поразмышлять над ростом закономерности и шагом n (пример 5.10), он задал более трудный вопрос: как будет расти лестница в четырех направлениях и сколько кубиков будет на n-м шаге? (рис. 5.19.)
ПРИМЕР 5.10. ЛЕСТНИЦА
Как вы представляете себе рост закономерности?
Сколько ячеек было бы на шаге 100?
Сколько ячеек было бы на шаге n?
Когда ученикам предлагают задать вопрос посложнее, они часто загораются этой идеей: их увлекает возможность использовать свое мышление и творческий подход. Учителя могут без труда использовать такое расширение на любом уроке. Попробуйте дать ученикам следующее задание в контексте любой совокупности математических вопросов.
А теперь вы напишете вопрос; постарайтесь, чтобы он был трудным.:)
Рис. 5.19. Расширенная задача Алонсо
Ученики могут задавать вопросы одноклассникам — очень вдохновляющий подход. Эта стратегия особенно уместна для учеников, которые работают быстрее других и жалуются, что для них эта работа слишком легкая: ведь такой подход требует глубоких и напряженных размышлений.
6. Можете ли вы включить в задачу условие о необходимости убеждать и рассуждать?
Построение логических рассуждений — основа математики. Когда ученики приводят свои аргументы и критикуют рассуждения других, они ведут себя как истинные математики и готовятся к миру высоких технологий, в котором им предстоит работать, а также к сдаче тестов. Кроме того, логические рассуждения дают путь к пониманию материала. В ходе четырехлетнего исследования, охватившего разные школы, мы обнаружили, что логические рассуждения играют особенно важную роль в обеспечении равенства, помогая сократить разрыв между учениками, которые понимают математику, и теми, кому она дается с трудом. Во время каждой дискуссии ученикам предлагали рассуждать логически, объясняя, почему они выбрали те или иные методы и почему их применение имеет смысл. Тем, кто не понял соответствующую тему, это позволяло разобраться в ней и задать вопросы, что еще больше углубляло знания ученика, который объяснил свой выбор метода.
Мне нравится дополнять любимые задачи на стимулирование логических рассуждений педагогической стратегией, у которой есть ряд преимуществ. Я узнала о ней от Кэти Хамфриз, которая предлагает своим ученикам быть скептиками. Она утверждает, что существует три уровня убеждения (Boaler & Humphreys, 2005).
• Убедить себя.
• Убедить друга.
• Убедить скептика.
Убедить себя или друга легко, но, чтобы убедить скептика, понадобятся рассуждения очень высокого уровня. Кэти говорит ученикам, что они должны быть скептиками, побуждая других всегда формулировать исчерпывающие и убедительные аргументы.
Марк Дрисколл разработал идеальную задачу для обучения и стимулирования рассуждений более высокого уровня, в которую можно включить роль скептика. Она называется «Складывание бумаги». Я использовала эту задачу в самых разных группах, и все они работали над ней очень увлеченно. Учителя говорят мне, что им нравится эта задача: часто она дает возможность проявить себя тем, кто раньше не мог этого сделать. Ученики работают парами с квадратным листом бумаги. Им предлагают складывать ее так, чтобы получить новые фигуры. В примере 5.11 показаны пять заданий с растущим уровнем сложности.
ПРИМЕР 5.11. СКЛАДЫВАНИЕ БУМАГИ
Работайте с партнером. По очереди берите на себя роль скептика или убеждающего. Когда вы выступаете в качестве убеждающего, ваша задача — убеждать! Приводите аргументы. Скептики должны относиться ко всему скептически! Не давайте легко убедить себя. Требуйте аргументов и обоснований, имеющих для вас смысл.
В каждом из представленных ниже заданий один участник должен сложить фигуру, а затем убедить другого. Ваш партнер играет роль скептика. Когда вы перейдете к следующему заданию, поменяйтесь ролями.
Начните с квадратного листа и сделайте на нем сгибы так, чтобы построить новую фигуру. Затем объясните, почему вы считаете, что созданная вами фигура имеет искомую площадь.
1. Постройте квадрат, площадь которого равна 1/4 площади исходного. Убедите своего партнера в том, что это квадрат и его площадь составляет 1/4 исходной.
2. Постройте треугольник, площадь которого равна 1/4 площади исходного квадрата. Убедите партнера в том, что площадь этого треугольника составляет 1/4 исходной.
3. Постройте еще один треугольник, площадь которого также равна 1/4 площади исходного квадрата и который не конгруэнтен треугольнику, построенному в предыдущей задаче. Убедите партнера в том, что площадь этого треугольника составляет 1/4 исходной.
4. Постройте квадрат, площадь которого равна 1/2 площади исходного. Убедите партнера в том, что это квадрат и его площадь составляет 1/2 исходной.
5. Постройте еще один квадрат, площадь которого также равна 1/2 площади исходного, но который ориентирован иначе, чем квадрат, построенный в задаче 4. Убедите партнера в том, что площадь этого квадрата составляет 1/2 исходной.
Источник: Driscoll, 2007, p. 90, http://heinemann.com/products/E01148.aspx.
Когда я поставила эту задачу учителям, они долго трудились над заданием 5, причем некоторые из них работали до самого вечера после целого дня занятий по профессиональному развитию, наслаждаясь каждым моментом. Такую вовлеченность усиливает наличие физической фигуры, с которой можно работать и которую можно менять, а также необходимость убеждать партнера. Ставя перед учениками и учителями эту задачу, я предлагаю парам партнеров по очереди брать на себя разные роли: один складывает лист бумаги и убеждает другого, а другой становится скептиком, а в следующем задании они меняются ролями. Предлагая ученикам играть роль скептиков, я объясняю, что они должны требовать от партнеров, чтобы те убедили их в своей правоте. Ученикам нравится требовать друг от друга убедительных аргументов. Это помогает им освоить метод математических рассуждений и доказательств. Возможно, вам как учителю нужно будет продемонстрировать ученикам, что такое убедительный ответ, задавая дополнительные вопросы, если их аргументы недостаточно убедительны.
Еще один пример задачи, требующей убеждения, представлен в примере 5.12. Условие о необходимости рассуждать и убеждать можно включить в любую математическую задачу.
ПРИМЕР 5.12. КОНУС И ЦИЛИНДР
Конус и цилиндр имеют одинаковые высоту и радиус. Чему равно соотношение их объемов? Сделайте предположение и попытайтесь убедить других учеников в его истинности. Чтобы вышло убедительно, используйте рисунки, модели и цветовое кодирование.
Резюме
Когда математические задачи открыты для разных способов восприятия, методов решения и вариантов представления, все меняется.
Математические задачи, ориентированные на закрытое, фиксированное мышление, можно превратить в задачи, которые ориентированы на мышление роста и в которых есть пространство для обучения. Ниже представлены пять рекомендаций, которые помогут открыть математические задачи и расширить их возможности в плане обучения.
1. Расширьте задачу так, чтобы она допускала разные методы решения и способы представления.
2. Включите в задачу возможности для исследований.
3. Ставьте задачу до объяснения метода ее решения.
4. Включите в задачу визуальную составляющую.
5. Расширьте задачу так, чтобы она относилась к категории «низкий пол, высокий потолок».
6. Предложите ученикам рассуждать и убеждать, а также быть скептиками.
Другие примеры задач с такими свойствами представлены в главе 9.
Воспользовавшись этими способами видоизменения задач, вы откроете перед учениками более широкие и глубокие возможности для обучения. При таком подходе и при наличии математического мышления учителя (и родители) могут создавать и изменять математические задачи, обеспечивая всем ученикам благоприятные условия для изучения математики.
На следующих сайтах представлены математические задачи, обладающие одним или несколькими из тех свойств, которым я придаю особое значение.
• YouCubed: www.youcubed.org.
• Национальный совет преподавателей математики (NCTM): www.nctm.org (доступ к некоторым ресурсам могут получить только члены NCTM).
• Разъяснения NCTM: http://illuminations.ntcm.org.
• Сбалансированная оценка: http://balancedassessment.concord.org.
• Математический форум: www.mathforum.org.
• Shell Center: http://map.mathshell.org/materials/index.php.
• Ресурсы Дэна Мейера: http://blog.mrmeyer.com.
• Geogebra: https://www.geogebra.org.
• Проект Video Mosaic: http://videomosaic.org.
• NRich: http://nrich.maths.org.
• Оценка 180 градусов: http://www.estimation180.com.
• Визуальные закономерности; классы 1–12: http://www.visualpatterns.org.
• Числовые строки: http://numberstrings.com.
• Mathalicious, классы 6–12; уроки для средних и старших классов: http://www.mathalicious.com.