Приложение

Вопросы для размышлений: домашнее задание по математике

Задача с фигурами

Задача с палочками Кюизенера

Треугольник Паскаля

Задача на отрицательное пространство

Найдите четырехугольники!

Четыре четверки

Информационный бюллетень

Прыжки в длину

Параллельные прямые и секущая

Лестница

Складывание бумаги

Конус и цилиндр

Моя домашняя работа, мои размышления

Сортировка чисел

Растущие прямоугольники

Задача на линейную функцию

Задача на математическую функцию

Шнурки

Распределение ролей в группе — США

Распределение ролей в группе — Великобритания

Самооценка: многоугольники

Алгебра 1. Самооценка

Две звезды и пожелание

Размышления

Мозаичная задача А по алгебре

Мозаичная задача Б по алгебре

Мозаичная задача В по алгебре

Мозаичная задача Г по алгебре

Билет на выход

Самооценка «Покажите, что вы можете сделать»

Математические цели оценки участия в работе группы

Групповые цели оценки участия в работе группы

Собачьи галеты

Акцент на математических связях

Цветовое кодирование шоколадного пирога

Раскрашенный куб

Привязанный козлик

Моделирование распределения мирового богатства

Футбольный вратарь

Мы хотели бы знать

Часть 1: вопросы, требующие письменного ответа

* Ответ на вопрос(ы) должен быть очень подробным! Пожалуйста, используйте полные предложения и будьте готовы сформулировать свой ответ на уроке на следующий день.

1. Какие основные математические концепции или идеи вы изучили сегодня или что вы обсуждали на уроке сегодня? _____

2. Какие вопросы у вас остались по поводу _____? Если у вас нет вопросов, запишите аналогичную задачу и решите ее.

3. Опишите ошибку или заблуждение, которые возникли у вас или у кого-то из одноклассников сегодня на уроке. Что вы узнали благодаря этому?

__________

4. Какой подход вы или ваша группа использовали для решения задачи или нескольких задач? Был ли ваш подход эффективным? Какой урок вы извлекли из этого подхода?

5. Подробно опишите алгоритм решения этой задачи, который использовал на уроке кто-то другой. Чем он был похож на ваш и чем отличался от него?

__________

6. Какие новые слова или термины были представлены сегодня? Что, по вашему мнению, означает каждое новое слово? Приведите пример каждого слова (или нарисуйте то, что оно означает). _____

7. Вокруг чего развернулась самая серьезная математическая дискуссия на уроке сегодня? Что вы узнали из нее? _____

8. В чем сходство или различие между _____ и _____?

9. Что произошло бы, если бы вы изменили _____?

10. В чем были ваши сильные и слабые места в работе над этой темой? Как вы планируете исправить слабые места? _____

Материал предоставлен Екатериной Мильвидской и Тианой Тебельман на условиях лицензии Creative Commons Attribution 3.0.

Как вы представляете себе рост фигур?

Источник: предоставлено Рут Паркер; задача используется в рамках курсов MEC (Mathematics Education Collaborative).

Определите, сколько разных последовательностей можно составить для палочек любой длины. Например, для светло-зеленой палочки можно составить 4 последовательности:

Источник: предоставлено Рут Паркер; задача используется в рамках курсов MEC (Mathematics Education Collaborative).

1. Как выглядел бы рисунок 100?

2. Представьте себе, что вы могли бы продолжить построение этой модели в обратном направлении. Сколько ячеек было бы на рисунке –1? (Да, рисунок –1, что бы это ни значило!)

3. Как выглядел бы рисунок –1?

Источник: на основе материалов, предоставленных Карлосом Кабана.

Можете ли вы найти все числа от 1 до 20, используя только числа 4 и любые математические операции?

Дополнительные вопросы

Можете ли вы найти несколько способов составления каждого числа из четырех четверок?

Можете ли вы составить таким образом число больше 20?

Можете ли вы найти отрицательные целые числа с помощью четырех четверок?

Вы пишете информационный бюллетень, чтобы рассказать, что вы узнали об этой математической теме, членам семьи и друзьям. Вы можете показать свое понимание соответствующих идей и написать, почему математические концепции, которые вы изучили, так важны. Опишите также пару видов деятельности, которыми занимались и которые показались вам интересными.

Составляя информационный бюллетень, вы можете воспользоваться следующими ресурсами.

• Фотографии выполнения различных заданий.

• Рисунки.

• Анимация.

• Интервью или опросы.

Представленное ниже описание некоторых видов деятельности поможет вам вспомнить, как вы работали над данной задачей.

Пожалуйста, подготовьте четыре следующих раздела. Вы можете изменить названия разделов так, чтобы они соответствовали вашей работе.

Вы хотите пройти отбор в команду по прыжкам в длину; для этого ваш средний результат должен составлять 5,2 м. Тренер говорит вам, что будет засчитывать лучший прыжок, который вы сделаете в каждый день недели, а затем вычислит среднее значение. Вот ваши пять прыжков.

К сожалению, в пятницу был низкий показатель, потому что вы не очень хорошо себя чувствовали.

Как вычислить среднее значение, которое справедливо отобразит ваши результаты? Вычислите несколько средних значений разными способами и определите, какое из них, на ваш взгляд, самое справедливое. Объясните свой метод и попытайтесь убедить кого-нибудь в том, что он лучший.

1. Выделите конгруэнтные углы с помощью цветового кодирования.

2. Определите вертикальные и смежные углы.

3. Опишите соотношения, которые вы видите. В своих записях используйте те же цвета, что и на рисунке.

Вертикальные углы: _____

Смежные углы: _____

Соотношения: _____

Как вы представляете себе рост закономерности?

Сколько ячеек было бы на шаге 100?

Сколько ячеек было бы на шаге n?

Работайте с партнером. По очереди берите на себя роли скептика и убеждающего. Когда вы убеждающий, ваша задача — убеждать! Приводите аргументы в пользу всех своих утверждений. Скептики должны относиться ко всему скептически! Не давайте легко убедить себя. Требуйте аргументов и обоснований, имеющих для вас смысл.

В каждом из представленных ниже заданий один человек должен сделать фигуру, а затем убедить другого в том, что он правильно выполнил задание. Ваш партнер играет роль скептика. Когда вы перейдете к следующему заданию, поменяйтесь ролями.

Начните с квадратного листа бумаги и сделайте на нем сгибы так, чтобы построить новую фигуру. Затем объясните, почему вы считаете, что созданная вами фигура имеет указанную площадь.

1. Постройте квадрат, площадь которого равна ¹/₄ площади исходного. Убедите партнера в том, что это квадрат и что его площадь составляет ¹/₄ исходной.

2. Постройте треугольник, площадь которого равна ¹/₄ площади исходного квадрата. Убедите партнера в том, что площадь этого треугольника составляет ¹/₄ исходной.

3. Постройте еще один треугольник, площадь которого также равна ¹/₄ площади исходного квадрата и который не конгруэнтен треугольнику, построенному в предыдущей задаче. Убедите партнера в том, что площадь этого треугольника составляет ¹/₄ исходной.

4. Постройте квадрат, площадь которого равна ¹/₂ площади исходного. Убедите партнера в том, что это квадрат и что его площадь составляет ¹/₂ исходной.

5. Постройте еще один квадрат, площадь которого также равна ¹/₂ площади исходного, но который ориентирован иначе, чем квадрат, построенный в задаче 4. Убедите партнера в том, что площадь этого квадрата составляет ¹/₂ исходной.

Источник: Driscoll, 2007, p. 90, http://heinemann.com/products/E01148.aspx.

Конус и цилиндр имеют одинаковые высоту и радиус. Чему равно соотношение объемов конуса и цилиндра? Сделайте предположение и попытайтесь убедить других учеников в его истинности. Чтобы быть убедительными, используйте рисунки, модели и цветовое кодирование.

Какую основную идею вы узнали сегодня?

__________

С чем у вас возникли трудности или по поводу чего у вас есть вопросы?

__________

Как идеи, которые вы узнали на уроке сегодня, можно применить в жизни?

__________

Как насчет того, чтобы решить простую головоломку?

Эта задача предназначена для работы в группах из 4 человек. (Примечания учителей и их идеи по поводу расширения задачи можно найти здесь: http://nrich.maths.org/6947&part=note.)

1. Есть два пазла, которые учитель может распечатать для вас (см. ниже). Сложите каждый пазл, а затем выложите все фрагменты на расчерченные квадраты, которые также можно распечатать.

2. Положите меньший квадрат на больший любым удобным для вас способом, чтобы ячейки совпали. (Возможно, вам будет легче сделать это, если вы скопируете числа, расположенные на меньшем квадрате, на кальку.)

3. Проанализируйте, что произойдет, когда вы сложите числа, расположенные друг над другом.

4. В своей группе проанализируйте все идеи, которые у вас появятся.

Когда вы рассмотрите все 36 комбинаций, вам, вероятно, нужно будет задать вопрос: «Интересно, что произойдет, если мы…» Внесите одно небольшое изменение, проанализируйте этот вариант, а затем сравните два набора результатов.

Возможно, вы захотите задать вопрос: «Почему…»

Источник: NRICH (http://nrich.maths.org/6947).

Представьте себе прямоугольник площадью 20 см².

Какой может быть длина и ширина этого прямоугольника? Перечислите минимум пять разных комбинаций.

Представьте себе, что вы увеличили прямоугольник вдвое.

Назовите размеры увеличенного прямоугольника и найдите его площадь. На что вы обратили внимание?

Попробуйте начать с прямоугольника с другой площадью и увеличить его вдвое. На что вы обратили внимание теперь?

Можете ли вы объяснить, что происходит?

Что произойдет с площадью прямоугольника, если вы увеличите его в 3, 4 или 5 раз? Что произойдет с площадью прямоугольника, если вы увеличите его в дробное количество раз?

Что произойдет с площадью прямоугольника, если вы увеличите его в k раз?

Объясните и обоснуйте выводы, к которым вы пришли.

Применимы ли эти выводы к другим двумерным фигурам?

Теперь проанализируйте, что произойдет с площадью поверхности и объемом различных прямоугольных параллелепипедов, если увеличить их в разное количество раз.

Объясните и обоснуйте выводы, к которым вы пришли.

Применимы ли эти выводы к другим объемным фигурам, кроме прямоугольного параллелепипеда?

Источник: NRICH (http://nrich.maths.org/6923).

Как растут эти фигуры?

Можете ли вы определить, какой будет фигура на шаге 100?

Какой будет фигура на шаге n?

Шнурки какой длины нужны для ботинок разных размеров?

Проанализируйте соотношение между длиной шнурков и размером ботинок.

Составьте уравнение вида y = mx + b. Оно поможет башмачнику определить длину шнурков, которые ему необходимо купить для ботинок разных размеров.

Фасилитатор

• Позаботьтесь о том, чтобы ваша группа прочла эту карточку, прежде чем приступать к заданию. «Кто хочет прочесть? Все поняли, что нужно делать?»

• Обеспечивайте сплоченность группы. Позаботьтесь о том, чтобы были услышаны идеи каждого. «Кто-то понял это иначе? Мы готовы двигаться дальше?» Убедитесь, что каждый член группы может объяснить свои идеи.

Секретарь (составитель отчета)

• Ваша группа должна структурировать полученные результаты. Необходимо, чтобы они отражали идеи всех членов группы и были упорядоченными, использовались разные цвета, стрелки и другие математические инструменты, передающие суть математических концепций, аргументов и связей. «Как нам проиллюстрировать эту идею?» Будьте готовы принять участие в совещании с учителем.

Ответственный за ресурсы

• Получите материалы, необходимые вашей команде.

• Убедитесь, что все вопросы требуют командной работы.

• Когда ваша команда закончит работу, позовите учителя, чтобы проанализировать вместе с ним результаты выполнения задания.

Капитан команды

• Напоминайте своей команде о необходимости обосновывать каждое математическое утверждение и искать связи между разными утверждениями. «Почему вы в этом так уверены? Как это связано с?..»

• Не допускайте разговоров вне группы!

Организатор

• Обеспечивайте сплоченность группы и сфокусированность на решении задачи; позаботьтесь о том, чтобы никто не разговаривал с участниками других групп.

Снабженец

• Вы единственный человек, который может покинуть свое место, чтобы найти для группы линейки, калькуляторы, карандаши и другие инструменты.

• Убедитесь, что все готовы к работе, прежде чем звать учителя.

Обеспечивающий понимание

• Позаботьтесь о том, чтобы члены группы поняли все идеи.

• Если вы не понимаете ту или иную идею, спросите того, кто ее предложил, а если понимаете, убедитесь, что остальные тоже всё понимают.

• Позаботьтесь о том, чтобы все важные фрагменты ваших разъяснений были записаны.

Обеспечивающий вовлеченность

• Позаботьтесь о том, чтобы были выслушаны идеи каждого члена группы; предложите другим членам группы внести свои предложения.

Раздел 1 — линейные уравнения и неравенства

• Я могу решить линейное уравнение с одной переменной.

• Я могу решить линейное неравенство с одной переменной.

• Я могу найти формулы для указанной переменной.

• Я могу решить уравнение с модулем с одной переменной.

• Я могу решить составное неравенство с одной переменной и представить решение графически.

• Я могу решить неравенство с модулем с одной переменной.

Раздел 2 — интерпретация взаимосвязей в математических выражениях

• Я могу использовать и интерпретировать те или иные компоненты математических формул.

• Я могу преобразовывать компоненты формул.

• Я могу определить, что собой представляет любая часть математического выражения.

• Я могу составить уравнение или неравенство с одной переменной, которое лучше всего описывает задачу.

• Я могу составить уравнение с двумя переменными, которое лучше всего описывает задачу.

• Я могу найти те значения, которые удовлетворяют уравнению, и обосновать свой выбор.

• Я могу использовать полученное решение в описываемой реальной задаче и обосновать свой выбор.

• Я могу построить график уравнения в системе координат с нужными обозначениями и в нужном масштабе.

• Я могу доказать, что любая точка на графике удовлетворяет уравнению, если в него подставить ее координаты.

• Я могу сравнить свойства двух функций, заданных графически, таблично или аналитически.

Раздел 3 — понимание функций

• Я могу определить, представляет ли функцию график, таблица или набор упорядоченных пар.

• Я могу расшифровать запись функции и объяснить, как аргумент согласуется с ее значением.

• Я могу преобразовать список чисел (последовательность) в функцию, сделав целые числа аргументами, а элементы последовательности — значениями функции.

• Я могу выявить основные свойства графика: отрезки, отсекаемые на координатных осях, возрастание или убывание функции, максимальное и минимальное значения и поведение функции на границах области определения, с помощью графика, таблицы или уравнения.

• Я могу объяснить, как график отображает область значений функции.

Раздел 4 — линейные функции

• Я могу вычислить и интерпретировать среднюю скорость изменения функции.

• Я могу построить график линейной функции и определить отрезки, отсекаемые на координатных осях.

• Я могу построить график линейного уравнения на координатной плоскости.

• Я могу продемонстрировать, что линейная функция имеет постоянную скорость изменения.

• Я могу найти ситуации, которые отображают одинаковую скорость изменения за равные промежутки и могут быть смоделированы с помощью линейных функций.

• Я могу построить линейную функцию на основе арифметической последовательности, графика, таблицы значений или описания соотношения.

• Я могу объяснить (с использованием подходящих единиц) значение таких понятий, как угол наклона прямой, отрезок, отсекаемый на оси y, а также другие точки на прямой, когда она моделирует реальное соотношение.

Раздел 5 — системы линейных уравнений и неравенств

• Я могу решить систему линейных уравнений графически.

• Я могу решить систему линейных уравнений методом подстановки.

• Я могу решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных.

• Я могу решить систему линейных неравенств графически.

• Я могу составить и представить в графическом виде набор ограничений для задачи линейного программирования и найти максимальное и (или) минимальное значение.

Раздел 6 — статистические модели

• Я могу описать центр распределения данных (среднее значение или медиану).

• Я могу описать разброс данных (межквартильный диапазон или среднеквадратичное отклонение).

• Я могу представить данные в виде диаграмм с числовой осью (точечных диаграмм, гистограмм и диаграмм размаха).

• Я могу сравнить распределение двух или более множеств данных, проанализировав их форму, центр и разброс, когда они нанесены на одну и ту же шкалу.

• Я могу интерпретировать особенности формы, центра и разброса множества данных в контексте задачи, а также объяснить влияние экстремумов.

• Я могу прочесть и интерпретировать данные, представленные в двумерной таблице плотности распределения.

• Я могу интерпретировать и объяснить значения относительной частоты событий в контексте задачи.

• Я могу построить диаграмму разброса данных, нарисовать линию наилучшего приближения и составить уравнение этой линии.

• Я могу использовать функцию наилучшего приближения для составления прогнозов.

• Я могу проанализировать график остатков, чтобы определить, обеспечивает ли функция приемлемое приближение.

• Я могу вычислить (с помощью разных методов) и интерпретировать коэффициент корреляции.

• Я могу определить, что корреляция не подразумевает наличия причинно-следственной связи и что причинно-следственная связь не отражена на диаграмме разброса.

Раздел 7 — многочлены и функции

• Я могу складывать и вычитать многочлены.

• Я могу умножать многочлен на многочлен.

• Я могу разложить многочлен на множители.

• Я могу решать квадратные уравнения методом разложения на множители.

• Я могу построить приближенный график с помощью точек пересечения квадратичной функции с осями координат и других легко определяемых точек.

Раздел 8 — квадратичные функции

• Я могу найти координаты экстремума квадратичной функции, дополнив ее выражение до полного квадрата.

• Я могу построить график квадратичной функции, определив основные характеристики: отрезки, отсекаемые на координатных осях, максимальное и (или) минимальное значения, симметрия и поведение графика функции на границах области определения.

• Я могу определить, как влияет на график функции то или иное преобразование ее формулы.

• Я могу построить диаграмму рассеяния, используя метод наименьших квадратов, и применить его для составления прогнозов.

Раздел 9 — квадратные уравнения

• Я могу объяснить, почему суммы и произведения либо рациональные, либо иррациональные.

• Я могу решать квадратные уравнения методом дополнения до полного квадрата.

• Я могу решать квадратные уравнения методом нахождения квадратных корней.

• Я могу решать квадратные уравнения с помощью формулы определения корней квадратного уравнения.

Раздел 10 — нелинейные соотношения

• Я могу применить свойства степенных функций, чтобы упростить алгебраические выражения с рациональными показателями степени.

• Я могу построить график степенной функции с показателем степени ¹/₂ или ¹/₃, определив ее основные характеристики: отрезки, отсекаемые на координатных осях, максимальное и (или) минимальное значения и поведение графика функции на границах области определения.

• Я могу построить график кусочно-ломаной функции, в том числе ступенчатой и функции модуля, определив ее основные характеристики: отрезки, отсекаемые на координатных осях, максимальное и (или) минимальное значения и поведение графика функции на границах области определения.

Раздел 11 — показательные функции и уравнения

• Я могу показать, что показательная функция имеет один и тот же множитель при равных интервалах изменения переменной.

• Я могу указать случаи, когда изменение скорости описывается одним и тем же множителем за равные промежутки времени и которые могут быть описаны с помощью показательных функций.

• Я могу использовать графики или таблицы, чтобы сравнить скорость изменения линейной, квадратичной и показательной функций.

• Я могу преобразовать показательную функцию, используя ее свойства.

• Я могу использовать параметры показательной функции, взятые из реальной жизни.

• Я могу построить график показательной функции, определив ее основные характеристики: отрезки, отсекаемые на координатных осях, максимальное и (или) минимальное значения, асимптоты и поведение функции на границах области ее определения.

• Я могу построить диаграмму рассеяния, используя показательную функцию в методе наилучшего приближения, и применить ее для составления прогнозов.

Источник: предоставлено Лизой Хенри.

Над какой интересной концепцией мы работали сегодня?

Что я узнал сегодня?

Какие хорошие идеи появились у меня сегодня?

В каких ситуациях я мог бы использовать полученные сегодня знания?

Какие вопросы у меня есть по поводу сегодняшней работы?

Какие новые идеи появились у меня под влиянием этого урока?

Билет на выход _____ Имя _____ Дата _____

Талон на выход _____ Имя _____ Дата _____

Источник: предоставлено Эллен Круз.

Ваша группа добьется успеха сегодня, если вы будете:

• понимать и описывать закономерности;

• обосновывать ход своих мыслей и применять разные способы представления;

• устанавливать связи между разными подходами и представлениями;

• использовать слова, стрелки, числа и цветовое кодирование для четкого разъяснения идей;

• ставить вопросы, чтобы понять ход мыслей других членов команды;

• ставить вопросы, чтобы подтолкнуть группу к более глубокому анализу;

• готовить презентацию, чтобы ученики, не входящие в состав вашей группы, могли понять ход ее мыслей.

Никто не может успешно применять все эти методы работы, но каждый способен овладеть некоторыми из них. Необходимо, чтобы все члены вашей группы справились с сегодняшним заданием.

Источник: материал предоставил Карлос Кабана.

Во время теста на оценку участия в работе группы я буду наблюдать, как вы:

• склоняетесь над столом и работаете;

• поровну делите время для высказываний;

• поддерживаете друг друга;

• слушаете друг друга;

• задаете друг другу много вопросов;

• отрабатываете свои роли в группе.

Источник: материал предоставил Карлос Кабана.

Сколько существует способов разделить 24 собачьи галеты на две группы?

Сколько существует способов разделить 24 собачьи галеты на равные группы?

Представьте полученный результат в графическом виде, отобразив все комбинации.

Изобразите дроби ³/₄, ⁶/₈ и ¹²/₁₆ графически.

Представьте эти дроби в виде подобных треугольников.

Чем схожи и чем отличаются эти формы представления дробей — графическая; в виде чисел; в виде треугольников? Можете ли вы применить цветовое кодирование к различным свойствам каждой формы представления, чтобы эти свойства были показаны одним цветом в разных представлениях?

Сэм испек шоколадный пирог, который собирается разрезать на 24 равные части. Он хочет разделить его поровну с 5 своими друзьями. Разделите пирог на части и воспользуйтесь методом цветового кодирования, чтобы показать, сколько кусочков пирога получат Сэм и его друзья.

Представьте себе куб 5 ? 5 ? 5, внешние грани которого раскрашены в один цвет, причем этот куб состоит из меньших кубиков размером 1 ? 1 ? 1.

Дайте ответы на следующие вопросы.

У скольких маленьких кубиков будет 3 раскрашенные грани?

У скольких маленьких кубиков будет 2 раскрашенные грани?

У скольких маленьких кубиков будет 1 раскрашенная грань?

У скольких маленьких кубиков не будет раскрашенных граней?

Представьте себе козлика, привязанного веревкой в углу затененного участка площадью 1 ? 2 м. Длина веревки равна 2 м.

Что вы хотите знать об этой ситуации?

Представьте эту ситуацию в виде рисунка.

Какие вопросы у вас возникли?

Солнце восходит на востоке затененного участка и садится на западе. Козлик хотел бы оставаться в тени. Где вам следует посадить дерево? Какое дерево вы посадили бы?

1. Определите долю населения, живущего на каждом континенте, в общей численности населения мира.

2. Вычислите количество учеников вашего класса, соответствующих найденным процентам.

3. Вычислите процент мирового богатства, который приходится на каждый континент.

4. Рассчитайте богатство каждого континента как количество печенья.

Таблица 1. Данные о мировом богатстве

Источник: данные о численности населения получены на основании информации Справочной службы по вопросам народонаселения (Population Reference Bureau, prb.org). Данные о мировом богатстве получены на основании информации Международного валютного фонда.

Таблица 2. Данные, полученные в классе

Количество учеников в классе _____

Общее количество печенья _____

Источник: предоставлено Шармейн Мэнгем.

Если вы футбольный вратарь, а нападающий команды противника оторвался от остальных и бежит к вам, какую позицию вам лучше занять? Попытайтесь определить разные позиции в зависимости от местоположения нападающего в момент, когда он сделает удар.

Члены группы:

Дата:

Мы хотели бы знать:

__________

Используйте рисунки, числа и слова, чтобы показать, как вы ответили на этот вопрос.

Мы хотели бы проанализировать:

__________

Используйте рисунки, числа и слова, чтобы показать, как вы ответили на этот вопрос.

Источник: материал предоставил Ник Фут.