Глава 9 Неевклидова геометрия. Иллюстрации

Глава 9

Неевклидова геометрия. Иллюстрации

Сейчас мы чуть-чуть заглянем в некий музей «курьезов». Курьезов лишь потому, что наша интуиция, воспитанная на евклидовой геометрии, все время противится восприятию геометрии Лобачевского.

Для того чтобы наши чувства высказались за полное теоретическое равноправие обеих геометрий, необходимо очень основательно и долго изучать геометрию Лобачевского.

И тогда то, что на первый поверхностный взгляд представлялось нелепым и парадоксальным, начинает светиться спокойной, холодной красотой логики и истины.

Между прочим, коль скоро все время говорится о красоте, можно заметить, что полностью аналогичные вещи часто бывают и в искусстве.

Те самые картины импрессионистов, которые сейчас, видимо, восхищают подавляющее большинство зрителей, у посетителей художественных салонов конца прошлого столетия вызывали насмешливый хохот. Реакция той же природы, что отношение современников к работам Лобачевского. Вообще надо заметить, что, к великому сожалению, не слишком сложная мысль «прежде чем судить, постарайся понять» — еще до сих пор откровение для многих.

Клочки искаженной, исковерканной информации, случайно залетевшие в сознание, слишком часто принимаются за достаточное основание для авторитетных суждений. Неважно — благожелательных или уничтожающих. Кстати, геометрии Лобачевского в этом смысле забавным образом не повезло еще один раз.

Еще много лет назад в статьях некоего весьма уважаемого писателя мне встретилась фраза: «Лобачевский доказал, что линии, параллельные у Евклида, пересекаются в бесконечности». Затем в связи с этим шли какие-то вполне умные, широкие и обобщающие рассуждения. Не помню уже о чем. Чуть ли не о том же, о чем пишу сейчас я.

По только что отмеченной склонности к поверхностным суждениям я решил, что этот автор вообще ничего не слышал о геометрии Лобачевского. Но эта же самая фраза столь настойчиво повторялась в статьях и книгах других литераторов, что в один прекрасный день меня озарило. Речь идет о параллельных в смысле Лобачевского… «А то, что эти линии совсем не «евклидовы параллельные», мы увидим полстраницей позже. Между ними такое же примерно соотношение, как между пилотом в средневековье (штурман корабля) и пилотом в современном понимании. Единый термин, используемый для обозначения разных понятий, породил эту чехарду в представлениях далеких от математики людей. Быть может, очень строгого суда они и не заслуживают, но уж и поощрения, бесспорно, тоже.

Чтобы закончить притчу, я могу сообщить, что потом отыскался и видимый первоисточник «литературного варианта геометрии Лобачевского».

Оказывается, грешен сам Федор Михайлович Достоевский. А писал он вещи весьма примечательные. В «Братьях Карамазовых» Иван Федорович, объясняя Алеше свое морально-философское кредо, в частности, говорит:

«Но вот что, однако, надо отметить: если бог действительно есть и если он действительно создал землю, то, как нам совершенно известно, создал он ее по евклидовой геометрии, а ум человеческий с понятием лишь о трех измерениях пространства. Между тем находились и находятся даже и теперь геометры и философы, и даже из замечательнейших, которые сомневаются, чтобы вся вселенная или, еще обширнее — все бытие было создано лишь по евклидовой геометрии, осмеливаются даже мечтать, что две параллельные линии, которые по Евклиду ни за что не могут сойтись на земле, может быть, и сошлись бы где-нибудь в бесконечности. Я, голубчик, решил так, что если я даже этого не могу понять, то где же про бога понять. Я смиренно сознаюсь, что у меня нет никаких способностей разрешать подобные вопросы, у меня ум евклидовский, земной, а потому где нам решать, что не от мира сего».

Я не думаю отождествлять здесь самого Достоевского и Ивана Карамазова, и сейчас можно вообще отбросить обсуждение проблемы бытия божия. Но о геометрии-то пишет сам Достоевский. Это его представления. И то, что написано великолепно, показывает, как неглубокая, поверхностная интуиция поверхностного дилетанта невольно возводится в абсолют. Во всей фразе, если разбирать строго, нет буквально ни одной верной мысли. Это тем интереснее, что великолепный, чисто аналитический ум автора тоже чувствуется в каждом слове.

Далее Иван Федорович доводит свое интеллектуальное чудачество по поводу геометрии до логического предела, распространяя его даже на физику:

«Пусть даже параллельные линии сойдутся, и я сам это увижу; увижу и скажу, что сошлись, а все-таки не приму».

Надеюсь, понятно, что по этому отрывку я не собираюсь делать какие-либо малейшие выводы о творчестве Достоевского вообще. И надо иметь в виду, что геометрия Ивана Карамазова совсем не интересует. Для него это лишь случайный пример — иллюстрация его идей.

Но для нас это иллюстрация и искаженного представления о науке, и легкомысленных рассуждений о непонятных вещах, и довольно-таки явного обскурантизма Ивана Карамазова.

Впрочем, можно оправдать самого Достоевского по крайней мере в том смысле, что фактической ошибки он-то, быть может, и не допускал.

Имена геометров не названы, и потому можно надеяться, что Иван пересказывал представления римановой либо проективной геометрии.

Но поскольку, с одной стороны, слова «неевклидова геометрия» ассоциируются с именем Лобачевского, а с другой — все культурные литераторы, безусловно, внимательно читали Достоевского, то слова Ивана в дальнейшем неизменно экстраполировались к Лобачевскому.

Все эти литературно-психологические изыскания, помимо общих идей дидактически-назидательного характера, возможно, полезны тем, что на таких примерах становится понятней интеллектуальная смелость Бояи и Лобачевского.

А теперь, успокоив душу, вернемся в наш музей.

Естественно, мы ограничимся лишь несколькими теоремами и совсем не будем говорить о стереометрии. Поэтому дальше нигде не будем оговариваться, что все это происходит в одной плоскости.

Сначала, конечно, постулат Бояи — Лобачевского — антагонист «евклидова пятого».

«Через данную точку к данной прямой, кроме «евклидовой параллельной», можно провести по крайней мере еще одну прямую, не встречающую данную».

Отсюда немедленно следует, что можно провести и бесконечное число таких прямых.

Посмотрим на чертеж. Из точки А опущен перпендикуляр на прямую I. Евклидова параллельная — прямая ЕП — естественно, перпендикулярна этому перпендикуляру.

Пунктиром обозначена непересекающаяся с I прямая Лобачевского (ПЛ).

Из соображений симметрии (перегнуть чертеж вдоль перпендикуляра AB!) ясно, что будет существовать другая, точно такая же прямая. Она также обозначена пунктиром. Далее ясно, что любая из бесконечного числа прямых, проведенных через точку А внутри угла между прямыми ЕП и ПЛ, тоже не пересекает прямую I. Итак: «Через данную точку можно провести бесконечное число прямых, не встречающих данную».

Но, естественно, можно провести и бесконечное число прямых, встречающих данную. Их можно провести в любую сколь угодно удаленную от основания точку прямой. Действительно, возьмем любую точку В? и соединим ее с A прямой. Это всегда можно сделать благодаря известной аксиоме.

Вот и получена прямая, проходящая через А и В?.

Но ввиду непрерывности пучка прямых должна быть граничная прямая, разделяющая оба класса.

Это либо последняя прямая («пересекающая») «встречающая» прямую BB?, либо первая «невстречающая». Легко видеть, что последней «пересекающей» быть не может. Действительно, предположим, что она существует. Пусть, например, это прямая AB? на нашем чертеже. Но тогда, взяв точку В? за точкой В? и соединив ее с точкой А, получим новую прямую, лежащую за В? и встречающую (пересекающую) прямую I.

Следовательно, граничная прямая — первая не встречающая прямую I.

Естественно, таких прямых две — для каждого направления своя. Внутри угла, образованного этими прямыми, можно провести бесчисленное множество прямых, не встречающих прямую I, в том числе среди них будет и параллель Евклида.

Вот эти крайние невстречающие прямые Лобачевский назвал параллельными.

Как видите, они не имеют никакого отношения к параллельной в смысле Евклида.

И о них с некоторой натяжкой можно сказать, что они как бы пересекают данную прямую BB? в бесконечно удаленных точках.

Правда, в этой фразе совершенно неясно, что такое «бесконечно удаленная точка», так что лучше ее вообще не произносить.

В терминах Лобачевского все прямые внутри угла «расходятся» с прямой I.

Итак, по отношению к данной прямой есть три типа прямых, которые можно провести через любую точку.

1. Сходящиеся (пересекающие); число их бесконечно.

2. Параллельные. Их две. Про каждую еще говорят: параллельная II параллельна прямой I в сторону BB?; параллельная III параллельна I в сторону B?B. Смысл этих слов понятен из чертежа.

3. Расходящиеся прямые. Это все бесконечное скопище линий внутри пучка. В частности, и «евклидова параллель».

Пока были термины.

Посмотрим теперь теоремы.

Для «параллельных» Лобачевский доказал, что они неограниченно приближаются к данной прямой (никогда не пересекая ее) и неограниченно удаляются в другую сторону.

Этот результат еще не столь странен.

Но вот следующий уже поражает.

Две расходящиеся прямые всегда имеют общий перпендикуляр, который и есть кратчайшее расстояние между ними. По обе стороны от перпендикуляра они неограниченно удаляются. Естественно, это справедливо и для частного случая «евклидовых параллелей».

Таким образом, перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой II к прямой I, во-первых, больше взаимного перпендикуляра AB, а во-вторых, с прямой II не составляет уже прямой угол.

Это действительно странно. Но доказывается безукоризненно.

Соответственно геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, оказывается кривой линией.

Все это самые первые шаги.

Далее Лобачевский вводит новое и очень важное понятие угла параллельности.

Это острый угол между прямой, параллельной I и проведенной через точку A, и перпендикуляром AB, опущенным из этой точки на прямую I. То есть угол параллельности — CAB. По Евклиду, он, естественно, всегда равен ^?/₂.

Сразу можно увидеть, что этот угол зависит от расстояния от точки A до прямой I, причем уменьшается с ростом расстояния.

Действительно, возьмем на продолжении перпендикуляра AB точку A? и проведем из этой точки «евклидову параллель» к прямой AC. Она пересечет перпендикуляр AB под тем же углом, что и прямая AC.

<DA?B = <CAB.

Но мы знаем, что из точки A? можно еще провести прямую A?C?, параллельную AC в смысле Лобачевского.

И угол C?A?B, очевидно, меньше, чем угол DA?B.

Очевидно, что если прямая A?C? не пересекает AC, то тем более она не пересечет прямую I. Она либо расходится с ней, либо параллельна. (Начиная с этого момента, я перестаю оговаривать: «в смысле определения Лобачевского». Всюду дальше в этой главе мы будем придерживаться его геометрии и его определений.)

На самом деле Лобачевский доказал теорему:

«Если две прямые параллельны третьей в одну сторону, то они параллельны между собой в ту же сторону». Так что угол CA?B есть угол параллельности к прямой I в точке A?.

Угол параллельности есть функция расстояния до прямой. Лобачевский обозначил эту функцию ?(x); x — здесь расстояние — то есть отрезок AB.

Мы убедились уже, что эта функция убывает с ростом x. Лобачевский исследовал, как она ведет себя с уменьшением расстояния x, и показал, что угол параллельности ?(x) неограниченно стремится при этом к прямому углу. Учено это выглядит так: 

Это-то ясно. Неясно покуда, что означают слова «малые расстояния».

Слова «малый» или «большой» приобретают смысл, только если указано по сравнению с чем. Без этого они лишены всякого содержания. Очевидно, должна существовать какая-то длина — некий эталон, с которым можно сравнивать все остальное.

Каким же образом этот эталон появляется? И здесь снова уместно вспомнить Лежандра. В своих исследованиях он также обнаружил, что угол параллельности зависит от расстояния. Собственно, для этого достаточно (как мы уже упоминали) чуть-чуть проанализировать его доказательство относительно суммы углов треугольника. И то, что появляется такая зависимость, казалось Лежандру столь нелепым, что одно время он и объявлял это желанным абсурдом, доказывающим пятый постулат. Рассуждал Лежандр очень остроумно, скорее как физик, чем как математик.

По сути, он использовал очень сильный метод качественного анализа физических задач — метод размеренности. Чуть модернизованно схема его рассуждений выглядит так.

Мы видим, что угол параллельности есть функция единственного отрезка — расстояния до прямой. Никакие другие линейные размеры в задачу не входят. Запишем: ? = ?(x).

А теперь посмотрим, что мы написали. Любой угол ? — величина безразмерная. (В радианной мере угол — это отношение дуги единичной окружности к радиусу.)

Слева у нас безразмерная величина. Какой бы масштаб измерения ни был выбран — сантиметры, метры, дюймы, она останется неизменной.

Справа же функция от размерного аргумента. Неважно, какой она имеет вид. Важно, что какой бы ни была, ее численные значения будут изменяться при изменении масштаба. Если, скажем ?(x) = 1/x², то при x = 1 м, ?(x) = 1 м^–2.

Но при выборе за единицу масштаба 1 см

?(x) = 1/100² см² = 10^–4 см^–2.

Очевидно, мы пришли к нелепости. Зависимость, предложенная нами, невозможна. Следовательно, пятый постулат доказан.

Все рассуждение абсолютно верно. Кроме вывода. Вывод же должен быть другим. Из тех же соображений размерности ясно, что в нашей формуле справа в аргументе функции должна стоять безразмерная величина. Уравнение должно быть таким:

? = ?(^x/_k),

где k — какой-то неизвестный нам пока отрезок. Но возникает вопрос: откуда его взять, этот отрезок k? Ведь весь анализ показывает, что угол параллельности ? зависит только от единственного расстояния — расстояния точки до прямой.

Нам остается лишь один выход. Надо допустить, что в новой геометрии существует как бы заранее самой природой заданный постоянный масштаб.

Существует некая постоянная длина, определяющая все остальные длины.

Это странно, но совсем не абсурдно. Например, в двумерной евклидовой геометрии сферы такая выделенная длина есть. Это радиус сферической поверхности.

И, используя для геодезических съемок Марса формулы обычной евклидовой сферической геометрии, мы должны будем помнить, что некоторые «постоянные» в наших земных таблицах существенно изменятся.

Лобачевский не был смущен кажущимся парадоксам и ввел постоянный отрезок k и нашел уравнение для угла параллельности. Оно столь просто, что можно его привести:

ctg¹/₂? = e^x/k;

где e — основание натуральных логарифмов.

Из этого уравнения сразу видно, что когда ^x/_k ? 0, то:

ctg¹/₂? ? e⁰ = 1 или ¹/₂? ? ^?/₄ и ? ? ^?/₂.

Когда ? = 90°, с высокой степенью точности выполняется геометрия Евклида.

Но ^x/_k близко к нулю, когда x <<k.

Теперь наши слова о малых отрезках, сказанные чуть раньше, получили точный смысл.

Если расстояние от точки, через которую мы к данной прямой проводим параллельную, много меньше постоянного отрезка k — приближенно выполняется геометрия Евклида.

В предельном случае, когда k = ?, геометрия Евклида выполняется всегда и совершенно точно.

Естественно, первый вопрос, возникший у Лобачевского, был: как найти отрезок k?

И здесь оказывается, что его геометрия в определенном смысле «лучше» евклидовой.

Никакие теоретические рассуждения не помогут определить k. Он т?, что у физиков называется «константа теории». Найти его можно только опытным путем, только призывая на помощь конкретные физические измерения.

Угол параллельности, конечно, не измерить непосредственно, но можно, например, измерить сумму углов треугольника. «Дефект суммы» у данного треугольника зависит от значения k.

Как помните, и Лобачевский и Гаусс стимулировали подобные измерения, но ничего не выяснили.

Вообще сам Лобачевский никогда не утверждал, что именно его геометрия описывает мир. Напротив, он склонялся к мысли, что в нашем мире осуществляется геометрия Евклида.

Но это не так важно. Замечательно, что с самых первых шагов новая геометрия теснейшим образом связана с физикой, что ее немыслимо оторвать от эксперимента.

Естественно, что это непосредственно наталкивает мышление на важнейший вопрос о связи геометрии вообще с реальным миром. О возможности различных геометрий этого мира.

Вопрос, который, как мы уже говорили, не то что не предлагался, но вообще представлялся пустым и нелепым математикам в течение двух с лишним тысяч лет.

Волей-неволей появление неевклидовой геометрии возрождает проблему эксперимента. Действительно ли нам так совершенно известно, что «господь бог создал землю по законам евклидовой геометрии», как это полагал Иван Карамазов?

Это всегда очень красиво, когда абстрактные формулы вдруг наталкивают на совершенно неожиданные идеи, идеи, о которых и не подозревал автор при выводе этих формул.

Все эти выводы так пленительно изящны, что можно понять Бояи и Лобачевского, поверивших в логическую безупречность своей системы.

Причем сейчас мы обсудили лишь один из выводов самой первой работы Лобачевского — доклада в 1826 году.

Свою схему он сразу развил значительно глубже, а остальные результаты были не менее красивы. Однако в математике вопросы веры не являются решающими.

Гарантии, что где-то в дальнейшем не встретится логическое противоречие, не было.

И все остальные годы Лобачевский настойчиво пытается найти это доказательство.

Он стремится строго показать: его система безупречна. И по пути он разрабатывает самые разные, самые неожиданные следствия своей геометрии, все более и более углубляется в ее дебри.

Здесь он, вне всяких сомнений, выше своих соперников. Ни Бояи, ни Гаусс не прошли того пути, что проделал он.

Доказательства он не нашел. Хотя и был довольно близок к основной идее.

Но с чисто человеческой стороны его настойчивый, неизменный, подчиненный единственной цели труд вызывает чувство восхищения.