Глава 6 Эллиптическая геометрия

Глава 6

Эллиптическая геометрия

Имя немецкого математика Бернхарда Римана вписано большими буквами в историю математики. Эллиптическая геометрия — это удивительное детище его математического гения. Именно он представил прямые линии на таких поверхностях, как шар или мяч для регби, в виде окружностей.

Третья геометрия

Поверхность эллипсоида наиболее часто используется для визуализации и интерпретации эллиптической геометрии, отсюда и термин «эллиптическая геометрия».

Чтобы наиболее ясно продемонстрировать свойства этой геометрии, мы рассмотрим поверхность сферы, которая представляет собой самый простой, частный случай эллипсоида.

С помощью эллипсоида можно представить эту геометрию в очень интересной форме. Рассмотрим сначала более подробно поверхность эллипсоида.

* * *

ЭЛЛИПС

Эллипсом называется такая кривая, сумма расстояний от любой точки которой до двух фиксированных точек (так называемых фокусов) является постоянной

Круг является частным случаем эллипса, когда оба фокуса находятся в одной точке.

* * *

Эллипсоид получается путем вращения эллипса вокруг одной из его осей симметрии. Эллипсоид напоминает апельсин или лимон, а также планету Земля. Земля на самом деле является не сферой, а эллипсоидом, так как она приплюснута на полюсах. Однако для простоты мы будем считать земной шар идеальной сферой.

Для того чтобы понять следующий пример, нам придется включить воображение и вспомнить про Гулливера, путешествующего по стране лилипутов. Представим себе, что эти существа живут на поверхности эллипсоида, и им нужно сделать несколько измерений с помощью транспортира.

На поверхности эллипсоида нарисован треугольник, вершинами которого являются точки А, В и С. Представьте себе, что два внутренних угла при основании треугольника равны 90° каждый, их измерили живущие на поверхности лилипуты с помощью гигантского транспортира. Верхний угол треугольника будет очень мал, но нам не нужно знать его величину в градусах, так как мы уже видим, что сумма внутренних углов треугольника, нарисованного на поверхности эллипсоида, больше 180°. Это противоречит одной из основных теорем геометрии Евклида: сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°. В эллиптической геометрии все совсем иначе: сумма внутренних углов треугольника, нарисованного на поверхности эллипсоида, всегда будет больше 180°.

В эллиптической геометрии невозможно провести прямую, параллельную данной прямой. Поэтому мы можем сказать, что эллиптическая геометрия отказывается от пятого постулата Евклида, заменяя его другим:

«Через точку вне данной прямой не проходит ни одной прямой, параллельной данной».

Сферическая геометрия является частным случаем геометрии на поверхности эллипсоида. Она очень проста и интуитивно понятна и позволяет довольно легко визуализировать результаты Римана. Поэтому ее стоит рассмотреть в качестве модели эллиптической геометрии.

Терминология сферической геометрии

Сфера — это поверхность, полученная путем вращения окружности вокруг ее диаметра. Плоскость, которая не пересекает сферу, называется внешней по отношению к ней. Если плоскость пересекает сферу только в одной точке, она называется касательной к сфере; в противном случае она будет пересекать сферу по окружности и будет называться секущей плоскостью. Если секущая плоскость проходит через центр сферы, полученное сечение называется большой окружностью.

Рассмотрим две точки А и В, такие, что отрезок соединяющий их, проходит через центр сферы О. Эти две точки называются диаметрально противоположными.

В этом случае большие круги, проходящие через диаметр АОВ, называются меридианами, а точки А и В называются полюсами. Для каждой пары таких точек А и В существует один большой круг, перпендикулярный диаметру АОВ, который называется экватором.

Перпендикуляры к экватору — меридианы — можно наглядно представить. Достаточно рассмотреть очищенный мандарин. Линии, разделяющие дольки, будут пересекаться на полюсах.

Обратите внимание, что два больших круга делят поверхность шара на четыре части.

Три больших круга, которые не пересекаются в одной точке, делят поверхность сферы на восемь областей, называемых сферическими треугольниками.

Сферический треугольник также может быть определен как часть поверхности сферы, получаемая в результате пересечения трехгранника и сферы. Дуги на сфере между вершинами А, В и С называются сторонами треугольника.

* * *

ТРЕУГОЛЬНИКИ И ТРЕХГРАННИКИ

Сферический треугольник определяется как часть поверхности сферы, ограниченная тремя большими кругами. Если вершинами такого треугольника являются точки А, В и С, то фигура, определенная точками А, В, С и центром сферы 0, называется трехгранником.

* * *

Внешняя поверхность долек мандарина образована двумя меридианами.

Таким образом, на следующем рисунке мы можем ввести такие обозначения: сторону ВС назовем буквой а, сторону АС — Ь, а сторону АВ — с. Буквы А, В и С также часто используются для обозначения внутренних углов сферического треугольника.

Выполним некоторые вычисления, используя нашу Землю в качестве модели. Для сферы существует несколько полезных формул. Пусть R обозначает радиус Земли, тогда объем (V) и площадь (S) Земли вычисляются следующим образом:

Если радиус Земли взять равным примерно 6350 км, тогда общая площадь Земли составит:

* * *

ГРАДУСЫ И РАДИАНЫ

Радиан определяется как величина центрального угла окружности, длина дуги которого равна радиусу окружности. Эта величина составляет примерно 55 градусов 17 минут и 44 секунды. Радиан (часто обозначаемый как рад, rad) используется в качестве единицы измерения так называемой «круговой меры угла». Если круговая мера угла в радианах равна а, то угол будет равен 180°·а/? градусов, и наоборот если угол равен G°, то круговая мера угла составит ?·G/180 радиан.

То есть угол в 360° полной окружности составит 2·? радиан. В общем случае эти вычисления осуществляются следующим образом.

Если ? радиан соответствует 180°, то R радиан соответствует G°, что дает нам следующую пропорцию: ?/180 = R/G. Например, сколько радиан имеет угол в 30°? Подставляя в формулу, получим ?/180 = R/30, откуда находим R:

R = (30·?/180) = ?/6 рад.

Мы также можем решить обратную задачу. Сколько градусов имеет угол в ?/4 радиан? Подставляя в формулу, получим

?/180 = (?/4)/G, откуда находим G:

G = ((?/4)·180)/? = 45°

* * *

Применим теперь формулу для объема и получим:

V = (4·?·6350³)/3 = 1,072499199·10¹²·км³

С этими результатами мы можем вычислить площадь октанта, одной восьмой части земной поверхности. Просто разделим значение площади Земли на 8. Это дает нам 63336566,88 км².

Как мы видим, каждый октант очерчивает сферический треугольник с углами 90° = ?/2 радиан. Обратите внимание, что общая сумма составляет 270° = З?/2 радиан (то есть более чем 180° = ? радиан). Тогда чему будет равна каждая из сторон?

Каждая из сторон представляет собой дугу большого круга. Используя формулу для длины дуги, получим:

(?·R) = (?/2)·6350 = 9 974,2625 км

Этот же результат можно получить и другим способом: разделить длину большого круга на четыре (напомним, что длина окружности составляет 2?R):

(2?·6350)/4 = 9974,2625 км.

Ясно, что ту же процедуру можно повторить для Луны, радиус которой равен 1736 км.

* * *

ДЛИНА ДУГИ КРУГОВОГО СЕКТОРА

Для части окружности с центром O и радиусом r, изображенной на рисунке, обозначим ? угол, измеряемый, как правило, в радианах, а с — дугу между точками А и B. Тогда длина дуги выражается следующим образом: с = ?·r.

Имея дело с длиной стороны сферического треугольника, мы обычно используем круговую меру угла, которую фактически нужно лишь умножить на радиус.

* * *

Вернемся к нашему общему вопросу. Геодезической линией называется кратчайшая линия, соединяющая две точки на поверхности и сама принадлежащая этой поверхности. На совершенно плоской, то есть евклидовой поверхности, геодезической линией является отрезок. Между двумя точками А и В на сферической поверхности из всех окружностей, проходящих через эти точки и расположенных на этой сфере, геодезической линией является большой круг. Другими словами, геодезическая линия получается путем пересечения сферы плоскостью АОВ. Таким образом, геодезическим отрезком между точками А и В является меньшая из дуг большого круга, проходящего через А и В. Обратите внимание, что случай с этим кругом — единственный, когда А и В не являются диаметрально противоположными точками.

В геометрии на сфере прямыми линиями являются дуги больших кругов. Таким образом, параллельные линии не существуют, так как большие круги всегда пересекаются в диаметрально противоположных точках. Для наглядности достаточно взглянуть на дольки очищенного апельсина.

* * *

ПОВЕРХНОСТЬ ЗЕМЛИ

Является ли единственным кратчайший путь между двумя европейскими столицами, например, между Лондоном и Парижем? Ответ на этот вопрос положителен: существует только одна геодезическая линия, соединяющая эти города. Аналогично, уникален ли маршрут между Северным и Южным полюсами? Здесь ответ отрицательный: существует бесконечное количество геодезических линий, соединяющих эти две точки, так как они диаметрально противоположны.

* * *

Мир сферических треугольников

Мир сферических треугольников иллюстрирует много математических свойств эллиптической геометрии. Поэтому стоит его рассмотреть подробнее. Для начала рассмотрим на сфере радиуса R сферический треугольник с вершинами А, В, С и сторонами а, Ь, с.

Сумма углов и сумма сторон сферического треугольника

Одним из результатов, о котором мы уже говорили, является тот факт, что сумма углов сферического треугольника больше 180°, или ? радиан, и меньше 360° = 2? радиан. То есть

? < A + В + С < 2?.

Таким образом, можно сказать, что сумма сторон сферического треугольника удовлетворяет неравенству:

a + b + c < 2·?·R.

Площадь треугольника

Величина (А + В + С — 180°) называется сферическим избытком, так что площадь сферического треугольника S находится по следующей формуле:

где R — радиус сферы.

Следует отметить, что чем больше площадь треугольника, тем больше сумма его углов. Кроме того, чем больше площадь треугольника, тем больше сферический избыток, и именно поэтому больше значение А + В + С.

Длина окружности

В евклидовой геометрии имеется следующий результат: длина окружности радиуса r равна 2?r. В эллиптической геометрии этот результат выглядит следующим образом: длина окружности радиуса r всегда больше, чем 2?r.

* * *

ПЛОЩАДЬ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ

Давайте решим следующую задачу: какова должна быть площадь сферического треугольника на поверхности Земли, чтобы сумма его углов была больше 180° хотя бы на 1°? По формуле для площади сферического треугольника имеем:

Мы хотим найти значение S, такое что

Отсюда получаем

Выражая S и подставляя 6350 км вместо R, имеем

Следовательно, у любого треугольника на поверхности Земли, площадь которого равна или больше 703739,6319 км², сумма углов будет превышать 180° по крайней мере на 1°.

* * *

Теоремы синусов и косинусов

В сферической геометрии теоремы синусов и косинусов выглядят следующим об разом:

Теорема косинусов также работает после так называемой круговой перестановки (замены а на Ь, b на с и с на а).

Теорема Пифагора

И снова теорема Пифагора из евклидовой геометрии имеет свой аналог в другом геометрическом пространстве. Но в сферической геометрии теорема Пифагора ведет себя несколько иначе. В этой геометрии она формулируется следующим образом: пусть R — радиус сферы, с — гипотенуза, а и b — две другие стороны сферического треугольника, а угол С — прямой угол, тогда:

Для большей ясности это утверждение может быть выражено в словесной форме. И хотя оно совсем не напоминает оригинальную теорему Пифагора, мы сформулируем его в любом случае:

«В любом прямоугольном треугольнике на поверхности сферы радиуса R косинус отношения гипотенузы с к радиусу R равен произведению косинусов отношений других сторон к радиусу».

В следующей таблице сравниваются основные математические характеристики традиционной и сферической геометрий — самой простой версии эллиптической геометрии.

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

• Прямая линия является кратчайшей линией между двумя точками.

• Прямые линии бесконечны. Расстояние между двумя точками не ограничено.

• Существует только одна прямая линия, соединяющая две точки.

• Существуют прямые без общих точек, и они называются параллельными линиями.

• Две перпендикулярные прямые образуют четыре прямых угла.

• Треугольник имеет не более одного прямого угла.

СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

• Геодезическая линия является кратчайшей линией между двумя точками.

• Геодезические линии имеют максимальную конечную длину, равную ?R. Максимальное расстояние между двумя точками равно ?R.

• Геодезическая линия будет единственной тогда и только тогда, когда две точки не являются диаметрально противоположными. В противном случае существует бесконечное число геодезических линий.

• Прямыми линиями являются большие круги, и они всегда пересекаются. Не существует параллельных линий в евклидовом смысле.

• Две перпендикулярные геодезические линии образуют 8 прямых углов.

• У сферического треугольника может быть 0, 1, 2 или даже 3 прямых угла.