Глава 8 Геометрия В XXI веке

Глава 8

Геометрия В XXI веке

Открытие неевклидовых пространств совершенно изменило роль геометрии. Древняя наука об «измерении форм» проникла во все области человеческого знания. Геометрия превратилась из математического ручейка в полноводное море, она перестала быть ограничена узкими рамками евклидова мира и теперь сама открывает безграничный простор воображению. Из наблюдения за объектами и явлениями возникли различные другие виды геометрии. Именно геометрия повышает сложность науки.

В этой главе мы подробнее — хотя, конечно, не во всей полноте — рассмотрим возрастающую важность геометрии в наше время.

Интегральная геометрия

В конце XX века появился раздел геометрии, который включил в себя статистику и теорию вероятностей. Эта современная геометрия, совершенно не похожая на евклидову, называется интегральной геометрией. Одним из ее основоположников был Луи Сантало (1911–2001), выдающийся испанский математик и педагог. Как это часто бывает, новая дисциплина возникла при попытке решить классическую задачу. Результаты многолетних исследований Сантало опубликовал в своей книге «Интегральная геометрия и геометрические вероятности».

Задача, известная как «игла Бюффона», с которой началась интегральная геометрия, была сформулирована Жоржем Луи Леклерком, графом де Бюффоном (1707–1788). В 1777 г. граф опубликовал четвертый том своей важнейшей работы «Дополнение к естественной истории». Он включил в него статью со странным названием Essai dArithmetique Moral («Опыт моральной арифметики»). В этой статье граф попытался применить математику к изучению условий жизни человека. Именно там приведена задача об игле Бюффона:

«На листе бумаги имеются горизонтальные прямые линии, расположенные на расстоянии d друг от друга. Мы бросаем иглу длиной l, где l < d. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из линий?»

Эксперимент состоит в том, что на лист бумаги, расчерченный параллельными линиями на расстоянии d друг от друга, бросается игла длиной l. Игла может пересечь одну из параллельных линий, а может и не пересечь. Самым удивительным является то, что этот эксперимент позволяет получить число ? с хорошим приближением. Эксперимент связывает элементы классической геометрии, такие как области и расстояния, с теорией вероятностей.

* * *

БЮФФОН И МОРАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА

Граф де Бюффон был французским интеллектуалом в эпоху Просвещения. Его настоящее имя Жорж-Луи Лекперк, титул графа был пожалован ему Людовиком XV. Граф де Бюффон был выдающимся естествоиспытателем, его главная работа, «Естественная история», содержит 36 томов. Его геологические исследования и попытка определить возраст Земли привели к серьезным проблемам с католической церковью.

Несмотря на то, что он сильно ошибся, его цифра значительно превышала библейские 6000 лет. Его судили, и ему пришлось отречься от своей теории, но втайне он продолжал уточнять свои расчеты. Бюффон был избран членом Парижской Академии наук в 1734 г.

В своей работе «Опыт моральной арифметики» граф попытался измерить эмоции, надежды и страхи человечества. Для этого ему нужно было найти количественные единицы для своих измерений. За основу он выбрал страх смерти, который мог иметь положительное или отрицательное значение (надежда или страх) при перемене знака.

Граф де Бюффон считал азартные игры самой вредной человеческой страстью, и это привело его к изучению сущности вероятности. Будучи знакомым с теорией вероятностей, основы которой заложил Якоб Бернулли в 1713 г., Бюффон связал вероятность с числами, а затем попытался количественно описать влияние вероятности на поведение людей. Эти результаты легли в основу «моральной арифметики».

Граф де Бюффон предположил, что геометрия может быть эффективным инструментом для вычисления вероятностей. Он писал: «Анализ — единственное средство, которым до сего дня пользовались в науке о вероятностях, а геометрия представлялась малопригодной в столь тонком деле. Тем не менее, если обдумать это как следует, нетрудно распознать, что это преимущество анализа перед геометрией чисто случайно и что шанс находится равным образом в ведении и геометрии, и анализа».

Портрет графа де Бюффона, интеллектуала эпохи Просвещения, написанный Друз в 1753 г.

* * *

Пусть Р — вероятность того, что прямая линия будет пересекаться с иглой, тогда мы имеем:

Если l <= d, то мы имеем (v/n) = (2·l/?·d), откуда ? = (2·l·n)/v·d

Бюффон доказал формулу ? = (2·l·n)/v·d прямыми, но очень сложными вычислениями.

Частота, с которой событие происходит, приближается к значению вероятности, то есть значение частоты становится все более и более точным при увеличении количества бросков. Результат Бюффона подвергся серьезной проверке в 1901 г., когда доктор Лазарони бросал иглу 34080 раз и получил значение ? = 3,1415929. В настоящее время этот эксперимент можно быстро выполнить с помощью компьютера.

Кроме того, задача Бюффона дает возможность измерять геометрические объекты (длины, площади и т. д.), то есть позволяет формализировать понятие измерения множества линий, плоскостей и т. д. Интегральная геометрия оперирует этими понятиями с большой точностью. Интегральная геометрия широко применяется в биологии и медицине. Например, она лежит в основе компьютерной томографии. В 1979 г. британец Годфри Хаунсфилд получил Нобелевскую премию по медицине за работы по созданию компьютерной томографии на основе интегральной геометрии. Недавняя научная дисциплина, стереология, тоже возникла из интегральной геометрии.

Стереология представляет собой набор научных методов для изучения трехмерного пространства по двумерным сечениям или проекциям на плоскость. Например, она позволяет определить точную форму маски или точную кривизну поверхности. Она используется во всех областях: от статистики и геометрии до медицины и геологии.

От циркуля к компьютерам

Традиционными инструментами евклидовой геометрии являются линейка и циркуль, незаменимые для построения простых фигур. Однако в настоящее время новые технологии позволяют строить более сложные изображения.

Бурное развитие компьютерных технологий позволило нам с помощью компьютеров изображать сложные геометрические структуры и моделировать новые методики, которые невозможно воспроизвести вручную, тем более за разумное время. Эта область математики называется вычислительной геометрией и объединяет математику с новейшими технологиями. У Евклида, конечно, не было возможности работать в этом направлении.

В первой половине XX века казалось, что классическая геометрия уступает свои позиции другой, более абстрактной геометрии. Однако, как ни парадоксально, новые технологии пришли на помощь классической геометрии, которая стала развиваться дальше, объединившись с информатикой. Сегодня часто используются такие выражения, как 2D-проекция или 3D-изображение. Следует отметить, что эти выражения, которыми мы так легко оперируем, относятся к двум евклидовым понятиям: двумерной плоскости и трехмерному пространству.

Благодаря компьютеризации не только возникли новые дисциплины, такие как вычислительная геометрия, но и получили новую жизнь другие классические предметы, например, дискретная и комбинаторная геометрия. Их развитие взаимосвязано: вычислительная геометрия нуждается в очень сложных инструментах, а дискретной и комбинаторной геометрии требуются различные математические теории, такие как векторный, тензорный и гармонический анализ, матричная алгебра и информационные технологии, в частности, алгоритмика.

Дискретная и комбинаторная геометрия изучает сложные комбинации геометрических объектов. Ее основная задача — определение количества основных операций, необходимых для решения задачи данного размера. Таким образом, поиск эффективного алгоритма, который позволяет решить проблему за определенное количество операций, дает ценную информацию о «комбинаторной» сложности задачи.

Эта геометрия изучает отдельные геометрические объекты, такие как многогранники и сферы, а также их расположение в пространстве. Напомним, что в трехмерном пространстве существует только пять правильных выпуклых многогранников, так называемых «Платоновых тел».

Многие задачи, изучаемые этими новыми теориями, имеют важное значение в таких областях, как теория сигналов, машинное зрение и робототехника. Вычислительная геометрия использует сочетание нескольких математических инструментов для решения задач современной жизни, например, в области медицины, особенно в компьютерной томографии или в магнитно-резонансной томографии (МРТ). Вычислительная геометрия также используется в навигаторах, в картографическом программном обеспечении, о котором говорилось в предыдущей главе, и в компьютерном дизайне. Одним из примеров являются системы автоматизированного проектирования (САПР), позволяющие рассматривать проектируемые объекты под разными углами без использования физических моделей.

Вычислительная геометрия также решает простые геометрические задачи в двумерном пространстве. Чтобы задать программу компьютеру, собирается вся необходимая информация с наибольшей точностью вплоть до мельчайших деталей и связей между элементами. Этот набор процедур и упорядоченных инструкций, являющихся частью алгоритма, используется для разработки программ САПР. Компьютеры могут решать геометрические задачи только с помощью программ САПР. Более общие задачи САПР основаны на анализе многогранников и их свойств.

Вычислительная геометрия позволяет строить изображения внутренних органов человеческого тела, например, томограмму (срез) головы.

* * *

АЛГОРИТМИКА

Целью алгоритмики является нахождение вычислительных решений различных задач, возникающих в процессе разработки программ. Эти решения не зависят от конкретного языка программирования, они используют более высокий уровень абстракции. Алгоритмом называется математическое выражение выполняемой задачи. Алгоритм состоит из данных, условий и действий.

Это список последовательных инструкций, которые необходимо выполнить, своего рода рецепт автоматизированных действий.

Список инструкций переводится на язык программирования, который может быть понят электронным устройством, например, компьютером. Программа контролирует действия машины. Хорошим примером являются роботы, работающие на линии по сборке автомобилей (см. рисунок ниже). Их действия запрограммированы с помощью алгоритмов. Инструкции алгоритма не обязательно соответствуют физическим движениям. Они также могут определять, как следует делать очень сложные расчеты.

* * *

Искусственные глаза для роботов

Искусственный интеллект является разделом информатики и занимается разработкой неживых мыслящих приборов. В принципе, таким прибором является любой предмет или вещь, которая способна воспринимать свое окружение, то есть получать информацию, обрабатывать ее и затем выполнять заданные действия. Задача искусственного интеллекта вовсе не тривиальна: она заключается в разработке процессов, при выполнении которых производительность машины будет максимальной для определенного набора данных и имеющейся информации. Другими словами, цель заключается в том, чтобы машина сама решала, какие действия лучше выполнять, а также училась на собственном опыте.

* * *

ПРЕДЕЛЫ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА

Проблемы искусственного интеллекта занимают умы ученых, философов и художников. Современные исследования вызывают огромный интерес средств массовой информации, а научная фантастика будоражит воображение людей картинами будущего, в котором машины настолько умны, что различия между людьми и роботами начинают стираться. Хотя работа над искусственным интеллектом является передним краем технологических исследований, огромный разрыв между вычислительной мощностью человеческого мозга и самых быстрых компьютеров настолько велик, что даже самые умные программы сегодня не могут сравниться с биологическим разумом. Возможные применения искусственного интеллекта ограничены лишь воображением программистов — людей — и нашей способностью понять, как именно наш мозг делает нас такими умными.

* * *

Существуют различные типы данных и способы представления знаний, а также наборы процессов для получения оптимальных результатов. Основные процессы искусственного интеллекта включают контроль систем, автоматическое планирование, способность реагировать на тесты и запросы пользователей, распознавание речи, почерка и образов. Все это достигается с помощью различных математических инструментов: моделирования, интерпретации образов, статистики, геометрии, обработки изображений, графики и так далее.

Пионером новой науки стал британский ученый-информатик Алан Тьюринг (1912–1954), который в 1930 г. писал:

«Искусственный интеллект будет достигнут тогда, когда мы не сможем провести различие между человеком и компьютерной программой, ведя с ними разговор с завязанными глазами».

Тьюринг был математиком, программистом, криптографом и философом. Он считается отцом современной кибернетики и известен тем, что работал во время германских бомбежек Великобритании. Во время Второй мировой войны он был директором отдела расшифровки в Блетчли-парке, который занимался исследованием и расшифровкой сообщений противника, закодированных немецкой шифровальной машиной «Энигма».

Его теоретические работы заключались в формализации понятия алгоритма и вычислений, что теперь называется «машиной Тьюринга». Однако он также работал в практической области, помогая в разработке одной из первых программируемых электронно-вычислительных машин. Результаты его работы стали важным аргументом в дискуссии о том, может ли машина — или сможет ли когда-либо — думать.

Вычислительная геометрия играет важную роль в таком разделе теории искусственного интеллекта, как искусственное зрение, компьютерное зрение и техническое зрение. Искусственное зрение означает возможность запрограммировать компьютер так, чтобы он мог визуально распознавать различные элементы изображения.

В промышленных процессах, когда продукция многократно производится из одинаковых компонентов, искусственное зрение означает, что тысячи производимых деталей могут быть проверены за одну секунду с высокой эффективностью обнаружения дефектов. Надо сказать, что такие системы не могут функционировать без человека, они являются лишь дополнением к нашим органам чувств.

* * *

РОБОТ-ХУДОЖНИК

В 2007 г. швейцарский исследователь-робототехник Сильвен Калинон из лаборатории изучения систем и алгоритмов (Learning Algorithms and Systems Laboratory — LASA) построил робота, способного нарисовать портрет сидящего перед ним человека, используя механическую руку и гусиное перо, периодически опускаемое в чернила. Целью проекта была разработка приложений, таких как автоматизированное создание фотороботов подозреваемых в совершении преступлений и распознавание форм и фигур в трехмерном пространстве.

Этот проект не так уж сложен, как может показаться. Робот фиксирует изображение человека и отделяет его от окружающего фона. Для этого робот использует алгоритмы распознавания образов и различия в освещении и позе модели. Затем блок управления робота преобразует фотографию в векторный рисунок, как и любая другая программа по обработке изображений. Получив четкое изображение модели, робот приступает к рисованию, но вместо принтера у него имеется «рука» с четырьмя степенями свободы, которая позволяет держать перо и рисовать на бумаге наподобие картографа.

* * *

Магнитный резонанс

Хотя, казалось бы, вычислительная геометрия существует в абстрактном мире, она помогает нам самым реальным способом: в диагностике заболеваний. Она лежит в основе устройств, которые используют так называемый магнитный резонанс. Он применяется для очень точного определения расположения атомов в человеческом теле. Оборудование для обработки изображений, используемое в такой диагностической работе, очень сложное не только потому, что является высокочувствительным, но и потому, что оно ни в коем случае не должно наносить вред пациенту.

* * *

МАТЕМАТИКА ДЕЛАЕТ МИР ЛУЧШЕ

Швейцарский физик Феликс Блох и американский физик Эдвард Пёрселл открыли магнитный резонанс в 1946 г. В 1952 г. они оба получили Нобелевскую премию по физике за развитие новых способов точного измерения ядерных магнитных эффектов. На следующем рисунке показано, как просто и компактно выглядит магнитно-резонансный томограф. В основе его работы лежит сложная высшая математика, но томографы быстро стали привычным медицинским диагностическим оборудованием. Процесс, при котором математические теории получают техническое применение в нашей повседневной жизни, все более ускоряется.

* * *

Основным компонентом устройства является магнит, который генерирует сильное магнитное поле. Его силовые линии ориентируют атомные ядра в двух направлениях: параллельно вектору силового поля и антипараллельно, в противоположном направлении. Интенсивность магнитного поля определяет частоту, с которой резонирует каждый атом. Электромагнитное излучение определенной частоты, обычно радиоволны, пропускается через человека. Тогда излучение, которое высвобождается в результате переориентации атомов, фиксируется сканером томографа.

Поскольку магнит создает постоянное поле, все ядра одного и того же вещества резонируют с одной и той же частотой, поэтому зоны, содержащие различные вещества, будут излучать или больше, или меньше электромагнитных отголосков. Вся эта информация, которую несут электромагнитные сигналы, поступающие от пациента, обрабатывается количественно с помощью математического аппарата, называемого преобразованием Фурье.

Магнитный резонанс сначала применялся для томографии, другими словами, чтобы получать изображения срезов человеческого тела. Каждый срез имеет определенную толщину и состоит из элементов объемного изображения, называемых вокселями. Это слово образовано из слов «объемный» (англ, volumetric) и «пиксель» (англ, pixel). Воксель является элементом трехмерного изображения. Его более известный аналог — пиксель — является элементом двумерного изображения.

Для создания трехмерного изображения необходимо изменить непрозрачность вокселей. Каждый воксель получает различные значения непрозрачности в зависимости от того, сколько в данной области срезонировало элементов, что определяется количественно. Именно благодаря этому эффекту врачи могут наблюдать внутренние органы человека, которые иначе были бы невидимы за более непрозрачными внешними слоями. Объем вокселя составляет около трех кубических миллиметров. Каждый срез состоит из большого количества вокселей.

* * *

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Преобразование Фурье изучается в разделе математики, называемом гармоническим анализом. Этот математический оператор используется, чтобы разложить сигнал на составляющие разной частоты. Математически это очень сложно. Этот оператор задается для функций f и g комплексного переменного следующим образом:

* * *

Магнитный резонанс позволяет изображать срезы внутренних органов. Изображение слева — горизонтальный срез головного мозга в месте, указанном стрелкой на фотографии справа.

И наконец, изображение представляется в виде точек, яркость которых пропорциональна силе магнитно-резонансного сигнала в соответствии с содержанием вокселей в изучаемом объекте. Эта информация отображается и распечатывается в виде изображения с числовыми значениями, так что медицинские специалисты могут визуально интерпретировать его и точно диагностировать состояние пациента.

Цифровые изображения

Отправка и получение фотографий по электронной почте, фотографирование цифровой камерой, сканирование изображений — все это теперь часть нашей повседневной жизни. Благодаря многочисленным программам для обработки изображений и плоским экранам во всех языках появились новые регулярно и повсеместно используемые слова. Например, пиксель, уже упомянутый выше, а также растровые и векторные изображения с поразительной легкостью из специализированных терминов стали общеупотребительными словами.

Как и новые термины, приходящие из других языков, понятие «растровое изображение» может принимать различные обличья: битовая матрица, матричное изображение или пиксельное изображение. Это файл, представленный в виде матрицы, таблицы пикселей или цветных точек, называемый растром, который можно просматривать на экране компьютера или в распечатанном виде. Слово растр происходит от латинского rastrum, означающего «грабли», и radere — «скрести».

Векторное изображение представляет собой цифровой рисунок, образованный отдельными геометрическими объектами, то есть линиями, многоугольниками, дугами и т. д. Векторные изображения, в отличие от растровых, могут быть увеличены до бесконечности без потери их очертаний, и поэтому они используются в графическом дизайне или в компьютерных играх для создания виртуальной реальности.

У растровых изображений графический контур не сохраняется по мере увеличения размера.

* * *

ПИКСЕЛЬ

Слово «пиксель» является неологизмом. Оно означает «элемент изображения» и служит минимальной единицей цифрового изображения, которое можно просматривать на различных устройствах, как правило, подключенных к компьютеру, например, на мониторе. Размер пикселя не одинаков, он меняется в зависимости от устройства, используемого для просмотра изображения. Большинство компьютерных мониторов имеют 72 пикселя на дюйм экрана.

Изображение размером 16 на 16 пикселей.

* * *

Следующие фотографии являются увеличением исходного изображения (100 %). Буква А слева — векторное изображение, а буква А справа — растровое изображение.

Многократное увеличение выявляет различие между этими двумя типами. При увеличении векторная буква А (слева) сохраняет качество изображения, в то время как растровая буква А (справа) постепенно превращается в размытую мозаику пикселей. Если мы увеличим изображение достаточно сильно, например, на экране компьютера, мы сможем разглядеть пиксели, из которых оно состоит. Изображение является прямоугольной матрицей пикселей, каждый из которых представляет собой крошечную часть общей картины. Они похожи на маленькие квадраты или прямоугольники и могут быть цветными, черными, белыми или серыми.

Чтобы преобразовать цифровую информацию пикселя в цвет, мы должны знать глубину и яркость цвета, закодированного в пикселе, а также используемую цветовую систему. Например, RGB-система (Red Green Blue — красный, зеленый, синий) позволяет создавать цвета из трех основных цветов: красного, зеленого и синего. Их сочетание определяет, какой цвет мы видим. Большинство компьютерных периферийных устройств — мониторы, сканеры и т. д. — используют систему RGB.

Каждый пиксель кодируется в двоичной системе с помощью строки определенного количества битов. Число различных цветов, которые могут быть представлены пикселями, зависит от количества битов на пиксель (англ, bits per pixel, bpp).

Можно рассчитать количество цветов, которое могут содержать пиксели. Для этого нужно возвести число 2 в степень, равную количеству битов на пиксель.

Ниже приведены наиболее употребительные значения.

1 бит на пиксель: 2¹ = 2 цвета, так называемые монохромные, или «черно-белые», системы.

2 бита на пиксель: 2² = 4 цвета, видеокарта CGA (цветной графический адаптер).

4 бита на пиксель: 2⁴ = 16 цветов, видеоадаптер VGA (Video Graphics Array).

8 битов на пиксель: 2⁸ = 256 цветов, видеоадаптер Super VGA.

16 битов на пиксель: 2¹⁶ = 65 536 цветов, система Highcolor.

24 бита на пиксель: 2²⁴ = 16 777 216 цветов, система Truecolor.

48 битов на пиксель: 2⁴⁸ = 281 474 976 710 656 цветов, используются в высококачественной полиграфии.

Матричное изображение, или битовая матрица, используется в фотографии или видео-фильме. Действительно, сканеры и цифровые камеры являются аналого-цифровыми преобразователями. Количество пикселей в изображении называется разрешением. Чтобы не перегружать потребителей техническими деталями, торговые марки выражают количество пикселей в изображении одной цифрой. Например, на цифровой камере может быть написано «5 мегапикселей», что означает, что она имеет пять миллионов пикселей. Это также может быть обозначено двумя числами. Например, разрешение 640 х 480 означает, что матрица пикселей содержит 640 столбцов и 480 строк. Вертикальный формат цифрового телевидения имеет 720 столбцов и 576 строк, телевидение высокой четкости (HDTV) — 1080 строк.

В изображении пиксели расположены в виде матрицы — таблицы, состоящей из строк и столбцов.

* * *

SUPER VGA

Изображение SuperVGA формируется М х N пикселями и представляет собой матрицу размером М х N элементов, имеющих 256 значений от 0 до 255.

* * *

Растровые изображения описываются высотой и шириной (в пикселях) и глубиной цвета (в битах на пиксель), что определяет количество цветов, которые могут храниться в каждом пикселе, другими словами, качество цветопередачи изображения.

Компьютерные изображения развиваются очень быстро, достигая все большего качества.

Но эта гонка ограничивается еще одним условием — размером файла. Изображения высокого качества требуют для хранения много места.

Свойства файла показывают характеристики изображения.

* * *

ВИДЕОКАМЕРЫ

Камеры видеонаблюдения, реагирующие на движение, записывают ряд изображений в виде отдельных снимков. Они могут быстро сравнивать каждый снимок с предыдущим путем вычитания матриц двух изображений. Если в результате получается матрица с нулевыми элементами, это означает, что в данном интервале времени не было никакого движения. Ненулевые показатели означают, что два изображения различны. Если изображение изменилось, значит, произошло некоторое движение.

Когда офис банка закрыт, камеры видеонаблюдения с детектором движения записывают и сравнивают фотографии. Если изменений нет (два последовательных изображения одинаковы, разность матриц равна нулю), устройство стирает предыдущую фотографию, чтобы сэкономить место на диске. Сохраняются только изображения с видимыми изменениями. Математика следит за нами!

* * *

Программы для обработки изображений пытаются решить эту проблему различными методами сжатия данных. На профессиональном уровне результаты впечатляют, но для персональных компьютеров простого решения не существует. Чтобы сэкономить место на диске, при сжатии изображений приходится жертвовать данными и, следовательно, качеством. В информатике такие методы называются необратимым сжатием или сжатием с потерей информации.

Часто решение использовать векторное или растровое изображение зависит от метода сжатия. Растровое изображение не может быть увеличено без существенной потери качества. Векторная графика предоставляет возможность рассматривать изображения на любом экране с максимальным разрешением.

* * *

ТРЕХМЕРНЫЕ МАТРИЦЫ

Понятие пиксельной таблицы или матрицы может быть обобщено для трехмерной компьютерной графики, где аналогичная трехмерная таблица состоит из кубических блоков — вокселей. В этом случае информация о цвете хранится в кубических элементах, расположенных в трехмерной матрице. Хотя воксели являются мощным инструментом для передачи сложных форм, они требуют много памяти. Поэтому трехмерные изображения, как правило, хранятся в виде векторной графики.

* * *

Системы автоматизированного проектирования (САПР)

Архитектурные чертежи и промышленные модели традиционно представлялись двумерными проекциями различных видов, например, виды сверху, спереди и сбоку и перспективный вид. Такие чертежи использовались инженерами для изображения своих идей и, в частности, для показа другим. Компьютеры произвели настоящую революцию в мире дизайна.

Сегодня системы автоматизированного проектирования являются основным инструментом для рисования проекций. Однако прежде чем сесть за работу над проектом, инженеру необходимо запрограммировать оборудование так, чтобы оно понимало, что от него требуется. Вычислительная геометрия предоставляет математический аппарат, с помощью которого системы автоматизированного проектирования могут создавать чертежи.

Во-первых, программа использует набор геометрических фигур: прямые и ломаные линии, многоугольники, окружности, эллипсы и кривые Безье.

Кривые Безье были разработаны в 1962 г. для изображения кривых в технических чертежах. Пьер Безье (1910–1999), инженер компании «Рено», описал кривые этого вида в математических терминах. Они первоначально использовались для проектирования самолетов и автомобилей, но позже стали одним из элементов систем автоматизированного проектирования. Компьютерный язык PostScript (Постскрипт), используемый высококачественными принтерами, также основан на кривых Безье. Различные графические редакторы используют термин «безье» для названия некоторых из своих функций. Эти программы просты в использовании и уже давно стали стандартом в графическом дизайне. Все они основаны на векторных изображениях.

В мире систем автоматизированного проектирования растровые изображения считаются примитивным форматом, по крайней мере, с концептуальной точки зрения, поскольку они хранят информацию в пикселях и поэтому не столь гибки, как векторные изображения. Программы систем автоматизированного проектирования, которые генерируют векторную графику, позволяющую вращать, перемещать, увеличивать и изменять наклон отдельных деталей изображения, применяют точные преобразования и отдельные основные компоненты, чтобы показать полностью готовое изделие на экране.

* * *

КРИВЫЕ БЕЗЬЕ

Определять формы геометрически не так уж сложно. Точки на плоскости можно задать их координатами. Например, точка А имеет координаты (х₁, у₁), а точка В — (х₂, у₂). Это все, что нам нужно знать, чтобы провести прямую линию между ними. Квадратичные кривые Безье являются кривыми второго порядка и задаются тремя опорными точками. Например, шрифты типа True Туре состоят из кривых на основе квадратичных кривых Безье. Существуют также кубические кривые Безье и другие кривые, более высоких порядков.

* * *

Векторная графика идеальна, если изображение по каким-либо причинам необходимо увеличить. Как мы видели, векторные изображения можно увеличивать без ограничений.

С другой стороны, векторная графика не подходит для кодирования фотографий или видео. Практически все цифровые камеры сохраняют изображения в растровом формате. Почему? Одной из причин является то, что данные, описывающие векторную графику, должны пройти довольно сложную обработку, прежде чем они создадут окончательное изображение. Процессор должен быть достаточно мощным, чтобы выполнить необходимые расчеты и сделать это быстро. Если объем данных велик, вывод даже небольшого изображения на экран камеры может занять довольно много времени. Тем не менее, существует несколько форматов, которые используют комбинации векторных и растровых изображений.

Помимо преимуществ и недостатков различных форматов, все данные, выводимые на экран или распечатываемые на принтере, нужно сначала переводить в пиксели — основные строительные элементы современных изображений.

Дистанционное зондирование: географические информационные системы

Дистанционное зондирование — относительно новое направление, появившееся в середине XX века. В качестве исследовательского инструмента используются спутниковые снимки. Одним из самых известных искусственных спутников на орбите Земли является Meteosat. Это отличный пример того, как спутниковые изображения применяются для практических целей. Этот спутник используется для составления прогнозов погоды в Европе и Северной Африке. Он является одним из пяти метеорологических спутников, находящихся над экватором и передающих примерно каждые полчаса информацию о состоянии атмосферы. Другими спутниками являются два спутника GOES, передающие информацию для Америки, спутник Insat — для Индии и GMS — для Японии. Они передают фотографии атмосферы, которые можно видеть каждый день на экранах телевизоров по всему миру. Но существует много других спутников, наблюдающих за Землей, которые используются не только в метеорологических целях, но и для нужд картографии, и для изучения природных ресурсов.

Спутники — это огромные цифровые фотокамеры, вращающиеся вокруг Земли на постоянной орбите и делающие снимки поверхности, которые затем пересылаются на компьютеры.

* * *

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СПУТНИКОВЫХ ФОТОГРАФИЙ

Метеорологические спутники передают три вида изображений: инфракрасные, в видимом свете и изображения паров воды.

Инфракрасные фотографии иногда показывают по телевизору. На них изображены теплые объекты в более темных цветах, а холодные — в более светлых. Таким образом, безоблачные регионы, как правило, темнее, хотя так же могут выглядеть очень низкие облака и туман. Высокие облака очень холодные.

На фотографиях в видимом свете безоблачные океаны и суша выглядят темнее, в то время как облака и снег — светлее. Густые облака в большей степени отражают свет и выглядят ярче, чем тонкие облака. Однако на этих изображениях трудно отличить высокие и низкие облака, поэтому также используются инфракрасные фотографии. А ночью ка¬меры видимого света практически бесполезны, и снова используются инфракрасные фотографии.

Изображения паров воды показывают, сколько водяного пара находится в атмосфере. Они очень полезны для определения области, где может пойти дождь. Темные цвета соответствуют сухому воздуху, в то время как яркие белые области показывают, что воздух там более влажный.

Инфракрасная фотография Западной Европы со спутника Meteosat.

То же изображение с камеры видимого света…

…и с камеры, передающей изображения паров воды в атмосфере.

* * *

Датчики, используемые спутниками, очень похожи на обычные цифровые камеры, хотя, конечно, несравненно более эффективны.

Кроме мощности, есть еще одно важное функциональное различие между датчиками на спутниках и обычными фотокамерами: датчики спутников фотографируют на определенной длине волны света в диапазоне от инфракрасного до ультрафиолетового излучения и сохраняют фотографии в виде цифровых изображений. Существуют также датчики, которые фиксируют только невидимый человеческому глазу инфракрасный свет.

Инфракрасные датчики могут определять попадающие в поле действия излучения вещества, такие как дым. В фильмах этот эффект часто показывается как луч цветного света. Спутники оснащены инфракрасными датчиками, которые работают на определенных частотах, и с их помощью можно увидеть мир таким, как он выглядит в других длинах волн, то есть в других «цветах».

Все объекты на Земле характеризуются светом, который они отражают. Объект воспринимается человеком как красный, если он отражает свет определенной длины волны. Другие визуальные системы могут видеть объекты по-другому. Объекты отражают свет с разной длиной волны: если бы это было не так, мы не смогли бы их различать лишь с помощью зрения. Тот же эффект позволяет датчикам спутниковой камеры отличать лес от полей и воды, которые отражают свет разной длины волны.

Спутники оснащены многими другими видами датчиков, например, для измерения температуры, то есть улавливающими инфракрасные волны. Они позволяют отличить белый снег от белых облаков и определить, является ли данная область горячей или холодной. С помощью специальной обработки изображения можно определить, являются деревья в лесу живыми или мертвыми, сгоревшими.

Несмотря на уровень сложности, изображения, передаваемые спутниками, тоже являются цифровыми, как и фотографии, сделанные нами в отпуске. Разница лишь в разрешении. Как и для обычных камер, размер пикселей в изображениях варьируется в зависимости от производителя, но спутники используют свой собственный параметр, называемый пространственным разрешением. Высокое разрешение обеспечивают более маленькие пиксели. Чем меньше пиксель, тем больше разрешение изображения, тем больше оно содержит информации. Разрешение спутниковых фотографий зависит от второго, более сложного параметра, называемого временным разрешением. Это время, которое требуется спутнику для повторного прохождения над той же точкой поверхности.

Как мы убедились по прочтении этой книги, новые геометрии не только возможны, но они также открывают перед человечеством новые области знаний. Хотя эти области могут показаться сложными, на самом деле они являются практическим применением математики. Они не только помогают нам полнее воспринимать реальность, но и широко используются в нашей повседневной жизни. Это не просто абстрактные идеи в умах гениальных математиков: эти открытия помогают нам диагностировать заболевания и ориентироваться во время путешествия. Можно сказать, что новые геометрии сделали видимым то, что на протяжении веков являлось незримым, и тем самым расширили наши горизонты. Таким образом, никогда еще отрицание какой-либо теории не оказывалось для человечества настолько полезным, как это произошло при отказе от пятого постулата Евклида.