Глава 6 π

Что такое ??

Число ? завораживает человечество на протяжении многих поколений. Оно проникло в массовую культуру (например, стало названием фильма[62] и маркой одеколона[63]). Школьники отмечают День ? и соревнуются, кто запомнит больше знаков числа ? после запятой[64].

Пи – шестнадцатая буква греческого алфавита. В математике ею обозначают отношение длины окружности к ее диаметру. Длина окружности в ? раз длиннее диаметра, или C = ?d. Можно записать иначе: C = 2?r, где r – радиус окружности.

Площадь окружности можно вычислить по формуле S = ?r?.

С помощью числа ? можно определить и площадь сферы – 4?r?, а также объем шара –

Эти геометрические формулы не сообщают нам величину числа ?. Начнем с того, что ? больше 3. Нарисуем круг с радиусом 1, впишем в него равносторонний шестиугольник, а затем поделим его на равносторонние треугольники.

Очевидно, что стороны всех треугольников равны 1. Периметр шестиугольника равен 6. Длина окружности несколько больше, чем периметр шестиугольника. Таким образом, 2? > 6, следовательно, ? > 3. На рисунке мы видим, что разница между периметрами двух фигур невелика. Значит, ? немногим больше 3.

Дальше мы можем поступить наоборот – описать правильный шестиугольник вокруг окружности радиусом 1. Вновь поделим шестиугольник на шесть равных треугольников. Длина любой стороны каждого треугольника будет равна (вы с легкостью поймете, почему это так, применив теорему Пифагора, о которой идет речь в главе 14; объяснение вы найдете в конце главы).

Таким образом, периметр большого шестиугольника равен Периметр окружности немного меньше. Следовательно,

Дальше мы можем снова и снова вписывать в окружность и описывать вокруг нее правильные многоугольники со все бо?льшим количеством сторон. Когда мы дойдем до правильного 100-угольника, точность наших вычислений значительно повысится:

3,1410759… < ? < 3,1426266…

В пределе, увеличивая число сторон вписанных и описанных правильных многоугольников до бесконечности, мы будем получать все более точное значение интересующего нас числа:

? = 3,141592653589793238462643383279502884…

Так чему же в точности равно число ?? В главе 4 мы уже выяснили, что число иррационально, то есть не может быть выражено через отношение двух целых чисел. Так же обстоит дело и с числом ?. Школьников часто просят запомнить, что но это лишь приблизительное значение[65].

Число ? не так-то просто представить в виде ряда, но вот пара попыток:

В обоих случаях необходимо вести счет до бесконечности, но это не в наших силах. Мы можем остановиться после некоторого количества шагов и найти приблизительное значение интересующего нас числа.

Ни та ни другая формула на практике не используются. Когда мы доведем расчеты по формуле (A) до получится, что ? ? 3,134. Когда мы доведем расчеты по формуле (B) до получится, что ? ? 3,13159.

Число ? можно вычислить быстрее и точнее с помощью гораздо более изощренных алгоритмов. Для науки и инженерного дела достаточно знать где-то 30 знаков после запятой. Исключительно ради забавы и спортивного интереса математики и программисты вычислили число ? с точностью больше триллиона знаков после запятой.

Трансцендентность

Числа ? и  – иррациональные, но мы можем сделать более сильное утверждение: число ? – трансцендентно.

Рациональные числа выражаются через соотношение целых чисел; скажем, 5/2, – 2/3, 7/1. Иными словами, это решения уравнений вида ax + b = 0, где a и b – целые числа. Например, 5/2 – это решение уравнения 2x – 5 = 0.

Число не входит во множество рациональных чисел (см. главу 4) и не является решением линейного уравнения вида ax + b = 0, где a и b – целые числа. Зато оно является решением квадратного уравнения x? – 2 = 0.

А что насчет ?? Оно иррационально и, конечно, тоже не является решением линейного уравнения с коэффициентами среди целых чисел. Может быть, оно является решением какого-нибудь квадратного уравнения с коэффициентами среди целых чисел: ax? + bx + c = 0? Придется вас разочаровать, это не так. А может, стоит повысить степень? Кубическое уравнение ax? + bx? + cx + d = 0? Снова нет. Биквадратное? Уравнение пятой степени? Сотой? Миллионной?..

На самом деле число ? не является решением полиномиального уравнения любой степени с целочисленными коэффициентами. Другими словами, нет такого уравнения

a_nx? + a_n–1x?^–1 + … + a₂x? + a₁x + a₀ = 0

(где любое a_k представляло бы собой целое число), куда можно было бы подставить ? вместо x, чтобы все сошлось. Это и означает, что число ? трансцендентное.

Взаимно простые числа

Странным образом число ? встречается в областях математики, не имеющих ничего общего ни с кругами в частности, ни с геометрией в целом. Например, число ? мистически входит в формулу Стирлинга для вычисления приблизительного значения факториалов (см. главу 10). А сейчас мы узнаем, как наше заветное число связано с важным свойством очередного вида целых чисел – взаимно простых.

Два положительных целых числа называют взаимно простыми, если их единственный общий делитель равен 1 (при этом по отдельности они могут быть и составными).

Например, присмотримся к числам 15 и 28. У них следующие делители:

Таким образом, 15 и 28 взаимно простые.

С другой стороны, числа 21 и 35 не взаимно простые, потому что оба делятся на 7.

Сыграем в кости? Какова вероятность того, что очки, выпавшие на обоих кубиках, будут взаимно простыми?

С равной вероятностью любой из них может выпасть гранью с цифрой 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Каким бы ни был результат на первому кубике, второй выпадет по-своему независимо от него. Там тоже 6 вариантов. Всего это дает 36 комбинаций:

Все эти варианты равновероятны. С помощью таблицы мы можем вычислить, скажем, вероятность того, что сумма чисел на гранях двух кубиков будет равна 7. Это произойдет в шести случаях: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) и (6, 1). Таким образом, вероятность такого события равна

Вернемся к нашему вопросу: какова вероятность того, что два числа, выпавшие на разных кубиках, – взаимно простые? Давайте нарисуем новую таблицу и поставим звездочку везде, где пары чисел взаимно простые, например 5 и 2 или 2 и 5, но не 4 и 6.

Мы видим, что нам подходит 23 варианта. Таким образом, вероятность равна

Теперь поиграем в двадцатигранные кости[66]! Какова вероятность того, что они выпадут гранями со взаимно простыми числами? Нам придется построить таблицу побольше! В ней будет 20 строк, 20 столбцов и 400 клеток.

Если мы педантично пересчитаем все звездочки, то придем к выводу, что вероятность составляет

Поговорим про общий случай. Какова вероятность того, что два произвольных числа от 1 до N – взаимно простые? Здесь нам уже понадобится компьютер. Рассмотрим все комбинации – (1, 1), (1, 2), (1, 3) и т. д. до (N, N) – и посчитаем, как много пар взаимно простых чисел нам повстречается. Всего придется перебрать N? вариантов[67]. У нас получатся такие результаты:

Чем дальше мы уходим в бесконечность, тем ближе вероятность к 0,6079. И откуда же взялось это число? Чудесным образом предел нашего ряда оказался равен:

Число ? встречается не только в геометрии, оно вращается в разнообразных кругах!