7 Ничего и даже меньше

На высоте 6714 метров над уровнем моря в Тибете возвышается гора Кайлаш, входящая в число вершин, на которые никогда не ступала нога человека. Ее округлый силуэт с прожилками из снега на сером граните выделяется на фоне западных Гималаев. Для местных жителей, будь то индуист или буддист, гора священна. О ней рассказывают и удивительные истории. Согласно местной мифологии, гора Меру является центром Вселенной.

Здесь берет свои истоки одна из семи священных рек региона: Инд. Со склонов горы Кайлаш Инд течет на восток, затем петляет через гору Кашмир, а после меняет направление на юг. Священная река пересекает равнины Пенджаба и Синда в современных границах Пакистана с тем, чтобы впасть в дельту Аравийского моря. Долина Инда особенно плодородна. В эпоху Античности эта территория была покрыта густыми лесами.

Слоны, носороги, бенгальские тигры, обезьяны в большом количестве населяют эти земли. Здесь также много змей, которых очаровывают своими флейтами заклинатели. Кажется, что в этих местах можно встретить Маугли, маленького мальчика из «Книги джунглей», чьи приключения так хорошо вписываются в эту местность. И здесь зародилась одна из самых самобытных и закрытых цивилизаций, в которой математика будет играть ключевую роль в эпоху раннего Средневековья.

Начиная с третьего тысячелетия до н. э., вокруг реки появляются такие города, как Мохенджо-Даро и Хараппа. До сих пор они, построенные из глиняных кирпичей, выглядят так же, как в Месопотамии. Во втором тысячелетии начинается ведический период. Территория на восток от берегов Ганга раздроблена на множество мелких царств. В это же время появляется и быстро распространяется индуизм, написаны первые основные тексты на санскрите. В IV в. до н. э., Александр Великий достиг берега Инда и основал два города, которые назвал в свою честь: Александрия; они не имеют ничего общего с одноименным городом в Древнем Египте. Часть древнегреческой культуры переняли местные жители. Затем наступает время великих империй. Влияние империи Маурьев распространялось практически на территории всего полуострова Индостан чуть более века. После них череда династий будет сосуществовать более или менее мирно вплоть до исламского завоевания в VIII в. н. э.

На протяжении многих веков индийцы изучали математику, но от этих исследований, к сожалению, практически ничего не осталось. Причина в том, что индийские ученые разработали в начале ведического периода каноны устной передачи знаний, запрещающие в принципе записывать их. Знания должны были передаваться из поколения в поколение, от мастера к ученику. Тексты запоминались в виде стихов или с применением мнемонических техник, а затем произносились и повторялись столько раз, сколько было необходимо, чтобы выучить их наизусть. В нарушение этого правила, отдельные фрагменты все-таки были записаны, но таких записей сохранилось очень мало.

Тем не менее индийцы занимались математикой! Как иначе объяснить многочисленные понятия, которые сохранились до V в., когда знания, накопленные на протяжении веков, наконец начали записывать? С этого момента в Индии начался золотой век науки, которая вскоре распространилась по всему миру.

Индийские ученые начали писать длинные трактаты, содержащие как ранее полученные знания, так и их собственные открытия. Так, наиболее известными среди математиков того времени были: Ариабхата, занимавшийся астрономией, а также расчетом числа ?, в чем он преуспел; Варахамихира, добившийся больших успехов в области тригонометрии; Бхаскара, первым изобразивший ноль в виде круга и начавший использовать десятичную систему в том виде, в котором мы знаем ее по сей день. Современные десять цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 называются арабскими, но на самом деле их придумали в Индии.

Тем не менее самым известным из индийских ученых того времени в истории остался Брахмагупта. Он жил в VII в. и был директором обсерватории в городе Удджайне. В то время он, расположенный на правом берегу реки Шипра в центре современной территории Индии, являлся одним из крупнейших научных центров.

Расположенная в городе астрономическая обсерватория создала Удджайну репутацию: город был известен со времен Клавдия Птолемея вплоть до расцвета Александрии. В 628 г. Брахмагупта опубликовал свою главную работу: «Брахма-спхута-сиддханта». В этом тексте содержится первое полное описание нулевых и отрицательных чисел, а также их арифметические свойства.

Сегодня ноль и отрицательные числа настолько широко распространены в нашей повседневной жизни – для измерения температуры, высоты над уровнем моря или баланса банковского счета, – что мы иногда забываем, насколько великая идея лежит в основе этого! Появление ноля и отрицательных чисел стало результатом неординарного мышления, и именно индийские ученые были первооткрывателями. Понимание процесса во всех его тонкостях требует некоторого времени, поэтому сделаем небольшую остановку, для того чтобы лучше представить себе все особенности явлений, которые будут волновать умы математиков в последующие века.

Очень часто во время моих выступлений я слышу вопрос, почему мне так нравится математика. «Как вы пришли к этому странному увлечению? – часто спрашивают меня. – Вам привил любовь к этому предмету какой-то конкретный учитель? Вы заинтересовались математикой уже тогда, когда были ребенком?» Любовь к этому предмету не перестает удивлять людей, которые раньше математикой не интересовались.

Признаться, я даже не знаю, что же это было конкретно. Насколько помню, я всегда любил математику, и я не могу назвать конкретное событие в моей жизни, которое привело меня к этому. Тем не менее, если задуматься, начинаю припоминать свое восторженное состояние, когда узнавал о чем-то новом. Так, например, было, когда я столкнулся с умножением.

Мне исполнилось 9 или 10 лет, когда, держа в руках свой калькулятор, я нажал на несколько клавиш и получил следующий результат: 10 ? 0,5 = 5. Умножив число 10 на 0,5, я получил 5 – такой результат предоставил мне мой калькулятор, которому я полностью доверял и считал, что сомневаться в его результатах неразумно. Как путем умножения числа может получиться меньшее число? Разве умножение не предполагает увеличение? Не противоречит ли это самому значению слова «умножить»? Мой дорогой калькулятор, не лучше ли тебе будет пересчитать результат и предоставить число, большее, чем 10?

Мне потребовалось несколько недель, чтобы все переосмыслить и прояснить, почему получается именно такой результат. В конечном счете я рассмотрел данный вопрос с геометрической точки зрения, подобно тому, как это делали древние мыслители. Возьмем прямоугольник, длина которого составляет 10 единиц, а ширина 0,5. Его площадь соответствует площади пяти небольших квадратов со стороной 1.

Другими словами, умножение на 0,5 есть не что иное, как деление на 2. Аналогичное действие можно применить и к другим числам: умножить на 0,25 значит разделить на 4, умножить на 0,1 – разделить на 10 и так далее.

Объяснение убедительно, однако его вывод обескураживает: слово «умножение» в математике не полностью соответствует своему обычному значению. Кому придет в голову утверждать, что площадь сада умножена после продажи половины? Или кто станет утверждать, что его богатство умножается после потери его 50 %? В таком случае преумножить хлеба чудесным образом сможет каждый: просто съешьте половину, и вуаля.

Обнаружив этот феномен в первый раз и сделав вывод, я был сильно впечатлен. Игра слов рождает особые чувства и эмоции. В любом случае эффект, произведенный на меня в детстве этим открытием, был очень силен. Спустя много лет я читал книгу математика Анри Пуанкаре «Наука и метод», опубликованную в 1908 году, и нашел следующее предложение: «Математика – это искусство давать одно и то же имя разным вещам». Это лучшая характеристика явления, с которым я однажды столкнулся.

Стоит признать, что этот тезис, вероятно, может быть применен к любому языку. Под словом «плод», например, могут пониматься яблоки, вишни или помидоры. Каждый вид плода, в свою очередь, имеет множество различных сортов, которые и дальше могут подразделяться на подвиды в целях анализа их свойств. Однако Пуанкаре справедливо отмечает, что ни один другой язык не зашел так далеко в своих обобщениях, как математика. Для математиков умножение и деление – это, по сути, одна и та же операция. Умножение на число может быть представлено как деление на другое число. Все зависит от того, с какой точки зрения посмотреть на данный вопрос.

Введение понятия «ноль» и отрицательных чисел также не может не волновать ум. Чтобы открыть эти числа, нам было бы необходимо набраться храбрости и пойти против своего собственного языка, перестроиться и осознать, что в языке возможны различные значения. Индийские ученые стали первыми, кто осмелился на такой шаг.

Если я скажу вам, что уже несколько раз был на Марсе или несколько раз встречался с Брахмагуптой лично, поверите ли вы мне? Скорее всего, нет. И вы будете правы, потому что, по правилам нашего языка, эти предложения означают, что я на самом деле уже был на Марсе и встречался с Брахмагуптой. Но если задуматься над этими утверждениями с точки зрения математики, просто скажем, что я был на Марсе и встречался с Брахмагуптой ноль раз – таким образом, я говорил правду. В общении принято использовать различные структуры фразы для утвердительных предложений: «Я был на Марсе» – и отрицательных: «Я не был на Марсе». С точки зрения математики, построение фразы будет однотипным: во фразе: «Я был на Марсе несколько раз» под словом «несколько» может пониматься в том числе ноль.

В то время как несколько веков назад древние греки с большим трудом приняли 1 в качестве числа, представьте себе, какую революцию произвело применение понятия «число» к пустоте. До ученых из Индии некоторые люди уже пытались рассуждать об этом, но никто не смог до конца сформулировать свои рассуждения. В Месопотамии, начиная с III в., встречается упоминание о цифре 0. Ранее в их системе исчисления уже использовалась эта цифра для добавления разрядов, например 25 и 250. Использование в написании чисел цифры 0 добавляло больше неясности. Кроме того, вавилоняне никогда не использовали отдельно написанную цифру 0 для обозначения полного отсутствия чего-либо.

На другом конце света майя также начали использовать ноль. Они даже придумали два их вида! Первый, как и вавилоняне, они использовали для обозначения разрядов в двадцатичной системе исчисления. Второй же использовался не как число, а как название дня в календаре. В каждом месяце в календаре майя было двадцать дней, пронумерованных от 0 до 19. Ноль записывали отдельно от других символов, однако его применение не носило математического характера. Майя никогда не использовали отдельно написанный 0 для выполнения арифметических операций.

Таким образом, Брахмагупта был первым, кто в полной мере описал ноль как самостоятельное число и его свойства: при вычитании из числа равного ему получается ноль; при сложении нуля с числом или вычитании из числа нуля получится это же число. Описанные арифметические свойства кажутся нам очевидными, но тот факт, что они так последовательно описаны в работе Брахмагупты, говорит о том, что ноль становится полноценным числом наряду со всеми остальными. Описание свойств числа 0 способствовало появлению отрицательных чисел. Тем не менее пройдет еще много времени, прежде чем математики начнут использовать их в своих исследованиях.

Китайские ученые были первыми, кто описал величины, которые могут быть соотнесены с отрицательными числами. В своих комментариях к «Математике в девяти книгах» Лю Хуэй рассказывает о системе цветных палочек для представления положительных и отрицательных значений. Красная палочка обозначает положительное число, черная – отрицательное. Лю Хуэй подробно объясняет, как эти два вида чисел взаимодействуют друг с другом, в том числе как они складываются или вычитаются.

Китайский ученый привел весьма подробное их описание, но все равно остается сделать еще один шаг: рассмотреть положительные и отрицательные числа не в виде двух отдельных групп, а как единую последовательность. Конечно, положительные и отрицательные числа не всегда имеют одинаковые свойства, когда необходимо сделать расчеты, но при этом у них есть много сходств. Похожим образом дела обстоят с четными и нечетными числами, которые образуют две отдельные группы чисел с различными арифметическими свойствами, тем не менее составляют единую совокупность чисел.

Как и в случае с цифрой 0, индийские ученые были первыми, кто объединил все числа в последовательность. Это сделал все тот же Брахмагупта, изложивший свое исследование в вышеупомянутой работе «Брахма-спхута-сиддханта». Развивая исследования Лю Хуэя, он разработал правила, с помощью которых можно производить определенные действия с этими числами. Например, он вывел, что сумма двух отрицательных чисел имеет отрицательное значение, например (–3) + (–5) = –8, произведение положительного числа и отрицательного числа будет отрицательным: (–3) ? 8 = –24, а произведение двух отрицательных чисел – положительное: (–3) ? (–8) = 24. Последнее свойство может показаться противоестественным – сложно будет с ним согласиться. Даже сегодня это правило смущает школьников во всем мире.

Почему минус на минус дает плюс?

Спустя много веков после того как Брахмагупта сделал свое открытие, правила умножения, особенно «минус ? минус = плюс», продолжают вызывать сомнение и непонимание. Эти правила, преподававшиеся в школе, стали интересовать не только математиков, но и представителей других профессий. Так, в XIX в. французский писатель Стендаль сам описывал свое недоумение в автобиографическом романе «Жизнь Анри Брюлара». Автор «Красного и черного» и «Пармской обители» написал следующие строки:

«По своей юношеской простоте, мне казалось, что математика лишена притворства, и я полагал, что это так во всех науках, о которых я слышал. Но каково же было мое разочарование, когда я узнал, что никто не мог объяснить, почему минус на минус дает плюс (– ? – = +)? (Это ведь одна из основ науки под названием алгебра.) Еще печальнее было то, что, не разобравшись в этом правиле (которое, вероятно, имеет свое объяснение, т. к. ведет к истине), его пытаются растолковать совершенно непонятными аргументами […] Сегодня я ограничиваюсь тем, что «минус на минус дает плюс» – верно, потому как очевидно, что применение этого правила приводит к безошибочным результатам».

Правило знаков умножения, которое может показаться странным на первый взгляд, обретает смысл, если продемонстрировать его в действии на системе палочек, разработанной китайскими учеными. Например воспользуемся этой системой для изображения прибыли или убытков. Представим, что черная палочка соответствует €5, а серая – это долг в €5, то есть – €5. Так, если у вас есть 10 черных палочек и 5 серых, ваш баланс равен €25.

Теперь рассмотрим различные ситуации, которые могут возникнуть, когда ваш счет изменяется. Представьте, что вам дали еще 4 черные палочки: ваш баланс увеличивается на €20. Другими словами: 4 ? 5 = 20. Произведение двух положительных чисел положительно, до сих пор все понятно.

Если же теперь вы возьмете 4 серые палочки, то есть четыре долга, ваш баланс уменьшается на €20. Иными словами: 4 ? (–5) = –20. Положительное число, умноженное на отрицательное, дает отрицательный результат. И аналогично, если у вас заберут 4 черные палочки, вы теряете €20. То есть (–4) ? 5 = –20. Эти две последние ситуации показывают, что приобретение долга может быть представлено как перевод денег. Прибавление отрицательной величины соответствует вычитанию положительной.

Мы подошли к самому важному моменту: что станет с вашим балансом, если у вас заберут 4 серые палочки, – другими словами, если у вас заберут долги? Ответ очевиден: ваш баланс увеличится, т. е. вы получите деньги. И теперь можно наглядно подтвердить, что (–4) ? (–5) = 20. Минус на минус дает плюс!

В связи с появлением отрицательных чисел сложение и вычитание перестанут быть такими наглядными. Ситуация очень похожа на умножение на 0,5, что соответствует делению на 2. Так как добавление отрицательного числа соответствует вычитанию положительного, эти две операции утрачивают свое семантическое значение. Прибавление, как правило, ассоциируется с увеличением. Но если прибавить число –3, это означает вычесть 3: например, 20 + (–3) = 17. А вот вычесть (–3) – это значит добавить 3: 20 – (–3) = 23. Еще раз обратим внимание, что одинаковые термины используются для определения различных вещей. С появлением отрицательных чисел сложение и вычитание стали двумя вариантами одной операции.

Эта парадоксальная игра слов, при которой умножение двух меньших чисел дает большее число, препятствовала использованию отрицательных чисел. Долгое время после Брахмагупты многие ученые продолжали быть избирательными в применении этих интересных с практической точки зрения, но сложных для осознания чисел. Некоторые математики называли их «абсурдные числа» и допускали их использование лишь в промежуточных вычислениях, только если в итоге их не будет. В XIX–XX вв. отрицательные числа начали использовать в полной мере. В 711 г. с Востока в долину Инда прибыли две тысячи всадников на конях и верблюдах. Это были войска Мухаммада ибн аль-Касима, молодого арабского командира, которому на тот момент исполнилось всего 20 лет. Обладавшие лучшей подготовкой и оружием, его солдаты победили пятидесятитысячную армию Раджи Даайри и захватили Синд и дельту реки. Для местных жителей это стало трагическим событием, тысячи солдат были обезглавлены, а государство сильно разграблено.

Тем не менее захват Индии молодой арабо-мусульманской империей даст толчок для распространения индийской математики. Арабские ученые дополнили свои исследования индийскими достижениями и распространили их по всему миру. Эхо этих времен отзывается и в математике XXI в.