Глава 9. Преподавание математики, ориентированное на мышление роста

Цель этой книги состояла в том, чтобы рассказать учителям, руководителям школ и родителям о таком подходе к преподаванию математики, благодаря которому ученики смогли бы увидеть ее как открытый, ориентированный на рост, познавательный предмет, а себя — как активных участников процесса обучения. Сейчас, работая над последней главой, я понимаю, что мы прошли большой путь, начиная с того, как мы представляем себе потенциал детей, и заканчивая формами оценки, которые помогают воспитать ответственных детей, регулирующих процесс обучения. В этой главе я в сжатом виде сформулирую ряд идей в отношении преподавания, которые помогут вам разработать и проводить уроки математики, ориентированные на мышление роста.

Поощряйте всех учеников

Установите правила работы на уроке

Ученики приходят на урок, не зная, чего ожидают от них учителя. Первые дни занятий и даже первые часы первого дня — самое подходящее время для установления правил поведения. Я часто в начале урока говорю ученикам, что для меня важно, а что нет.

• Я верю в каждого из них; не существует математического мозга или математического гена, и я ожидаю успеха от всех.

• Я люблю ошибки. Каждый раз, когда они делают ошибку, их мозг растет.

• Неудачи и трудности не означают, что они не могут заниматься математикой. Это самые важные элементы математики и обучения.

• Для меня не важна скорость работы; важно, чтобы все трудились тщательно, создавая интересные пути и формы представления.

• Мне нравятся вопросы учеников, и я вывешиваю плакаты с ними на стенах, чтобы над ними размышлял весь класс.

Но все это только слова — безусловно, важные. Но они ничего не стоят, если ученики не видят, как учителя подкрепляют их действиями.

Мы разместили на сайте YouCubed список семи самых важных правил, которые следует применять в первые дни занятий и на протяжении всего года; в этой книге представлен обзор способов установления этих правил. Некоторые учителя считают полезным размещать на стенах классных комнат плакат YouCubed в самом начале занятий (пример 9.1).

ПРИМЕР 9.1. ПРАВИЛА, КОТОРЫЕ СЛЕДУЕТ ПООЩРЯТЬ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

• Каждый может изучать математику на самом высоком уровне. Побуждайте учеников верить в себя. Не бывает людей, не созданных для математики. Благодаря упорному труду каждый может добиться самых высоких результатов.

• Ошибки очень ценны. Они обеспечивают рост вашего мозга! Преодолевать трудности и делать ошибки — это хорошо.

• Вопросы очень важны. Всегда задавайте вопросы, всегда отвечайте на них. Спросите себя: почему это имеет смысл?

• В математике главное — творческий подход и осмысление. Математика — очень творческая дисциплина, суть ее сводится к визуализации закономерностей и созданию таких путей решения задач, которые могут видеть, обсуждать и критиковать другие ученики.

• Суть математики сводится к связям и коммуникации. Математика — дисциплина, представляющая собой совокупность связей, и одна из форм коммуникации. Представляйте математические концепции разными способами (в виде текста, рисунка, графика, уравнения) и устанавливайте связи между ними. Применяйте цветовое кодирование!

• Глубина гораздо важнее скорости. Лучшие математики, например Лоран Шварц, размышляют медленно и глубоко.

• На уроке математики главное — обучение, а не результат. Математика — дисциплина, ориентированная на рост; чтобы изучить ее, нужны время и большие усилия.

Помимо предоставления информации о правилах и ожиданиях, полезно, чтобы ученики рассказали о своих предпочтениях в части правил совместной работы в группах. До начала занятий я предлагаю ученикам обсудить в небольших группах, что им нравится и не нравится в поведении других (см. главу 7), и сделать плакаты, на которых отражены эти предпочтения. Это весьма эффективно, поскольку позволяет ученикам установить положительные правила, которые, насколько им известно, разделяют одноклассники, а учителя могут ссылаться на такие плакаты позже, когда необходимо восстановить дисциплину в процессе групповой работы.

Учителя школы Рейлсайд, о которой шла речь в главе 7, придерживаются тщательного подхода к стимулированию эффективной групповой работы, объясняя ученикам, как правильно работать в группе: слушать друг друга, уважать друг друга и опираться на идеи друг друга. Они решили, что на протяжении первых десяти недель старшей школы будут сосредоточиваться не на математике, которую изучают подростки, а на правилах групповой работы и способах взаимодействия. Все это время ученики осваивали математику, но учителей интересовал не охват материала, а формирование уважительного поведения в процессе групповой работы. Такой подход к обучению нашел свое отражение в поразительных достижениях учеников за четыре года учебы в старших классах (Boaler & Staples, 2005).

Тест на оценку участия в работе группы

Моя любимая стратегия стимулирования групповой работы (которую можно применять рано и часто) такова: предложить ученикам пройти тест на оценку участия в работе группы. Авторы, выдвинувшие концепцию комплексного обучения (Cohen & Lotan, 2014), рекомендуют выставлять оценки за такой тест не отдельным ученикам (что подает негативный сигнал с установкой на данность), а скорее поведению группы. Но такой тест не должен заканчиваться выставлением оценок; необходимо, чтобы он подавал ученикам сильный сигнал о том, что способ их взаимодействия важен и что вы всё видите. Мне действительно нравится эта стратегия организации групповой работы; я обучала ей учителей, и позже они мне рассказывали, что это сразу же изменило методы работы учеников в группах.

Чтобы провести тест на оценку участия в работе группы, выберите задачу, над которой ученики должны работать группами, и покажите им, какие методы вы считаете важными.

Например, приведенные в примерах 9.2 и 9.3 слайды предоставлены очень успешными учителями школы Рейлсайд. На первом показаны методы работы, которым учителя придают особое значение. Для детей младшего возраста можно использовать более короткий список. Второй слайд отражает методы взаимодействия, обеспечивающие эффективную групповую работу.

ПРИМЕР 9.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ ОЦЕНКИ УЧАСТИЯ В РАБОТЕ ГРУППЫ

Ваша группа добьется успеха сегодня, если вы будете:

• понимать и описывать закономерности;

• обосновывать свой ход мыслей и применять разные способы представления;

• устанавливать связи между разными подходами и представлениями;

• использовать слова, стрелки, числа и цветовое кодирование для разъяснения идей;

• ставить вопросы, чтобы понять ход мыслей других членов команды;

• ставить вопросы, чтобы подтолкнуть группу к более глубокому анализу;

• готовить презентацию, чтобы ученики, не входящие в состав вашей группы, могли понять ход ее мыслей.

Никто не может успешно применять все эти методы, но каждый может овладеть некоторыми из них. Необходимо, чтобы все члены вашей группы справились с сегодняшним заданием.

Источник: материал предоставил Карлос Кабана.

ПРИМЕР 9.3. ГРУППОВЫЕ ЦЕЛИ ОЦЕНКИ УЧАСТИЯ В РАБОТЕ ГРУППЫ

Во время теста на оценку участия в работе группы я буду наблюдать, как вы:

• склоняетесь над столом и работаете;

• поровну делите время для высказываний;

• поддерживаете друг друга;

• слушаете друг друга;

• задаете друг другу много вопросов;

• отрабатываете свои роли в группе.

Источник: материал предоставил Карлос Кабана.

Можно представить эти списки и на плакатах. После того как ученики ознакомятся с методами работы и взаимодействия, предложите им приступить к заданиям. Пока дети работают в группах, ходите по классу и наблюдайте за их поведением, записывая свои комментарии. Для этого вам понадобится лист бумаги или место на доске, разделенное на сегменты: по одному на каждую группу.

Например, когда 32 ученика работают в 8 группах по 4 человека, разделение на сегменты должно быть таким:

Когда вы будете ходить по классу и делать заметки, фиксируйте высказывания учеников, заслуживающие внимания. Некоторые учителя делают это открыто, записывая комментарии на доске на передней стене класса. Другие используют для этого листики, закрепленные на доске. В конце урока у вас должна быть заполнена вся таблица и вы должны быть готовы поставить группам учеников оценки или предоставить обратную связь об их групповой работе, не выставляя оценок.

Ниже представлен пример выставления оценок за участие в групповой работе.

Такие заметки не должны быть подробными, но они помогут ученикам понять, что вы считаете важным, и стать гораздо более внимательными к способам взаимодействия с другими. Мои студенты из Стэнфорда и многие учителя, которых я обучала этому методу, получают удовольствие от тестов на оценку участия в работе группы, комично склоняясь и задавая глубокие вопросы, когда я задерживаюсь у их столов со своим блокнотом! Студенты веселятся, гораздо отчетливее при этом понимая, что они должны делать, чтобы эффективно работать в группе.

Я искренне верю в эффективность оценки участия в работе группы. Учителя, которые использовали этот метод в классах, где раньше имелись проблемы с эффективной групповой работой, были поражены положительными переменами в учениках. Те почти сразу начали задавать друг другу хорошие вопросы и думать о равном участии разных членов группы. Такие уроки полезны и для учеников, и для учителей.

Верьте во всех своих учеников

Я всегда понимала, как важно ученикам знать, что учителя в них верят. Я знала это как учитель, а в последние годы четко осознала это и как мать. Когда моей дочери было пять лет, она поняла, что учительница ее класса в Англии дает другим детям более трудные задачи по математике. Она пришла домой и спросила меня, в чем дело. Когда дочь осознала, что, по мнению учительницы, у нее нет способностей (к сожалению, учительница действительно пришла к такому выводу), это подорвало ее уверенность в себе, и у нее сформировалось фиксированное мышление, которое еще долго негативно сказывалось на ее учебе и уверенности в своих силах. Теперь, несколько лет спустя, благодаря большим усилиям родителей и учителей моя дочь полностью изменилась: у нее сформировалось мышление роста, и она любит математику. Хотя учительница никогда не убеждала мою дочь не верить в себя, ей удалось четко и ясно донести этот сигнал, и моя дочь восприняла его уже в пять лет.

В школе, которую посещала моя дочь в Англии, учеников второго класса разделяли на группы по способностям. Но эта практика была прекращена, после того как там изучили отчеты о результатах исследований и узнали о стратегиях преподавания в смешанных группах. После всех этих перемен директор школы написал мне письмо, сообщив, что это полностью изменило уроки математики и повысило уровень успеваемости во всей школе. Когда учеников делят на группы по способностям, даже давая группам безобидные названия (например, «красные» и «синие»), ученики все равно знают об этом, а их мышление становится более ориентированным на данность. Когда в школе моей дочери учеников распределили по группам в зависимости от способностей, дети из групп низшего уровня приходили домой со словами: «Все умные перешли в другую группу». Сигнал, который получали при этом ученики по поводу своих возможностей в целом (а не только в изучении математики), оказывал на них разрушительное воздействие. Один из первых шагов, которые нам необходимо предпринять, — отказаться от устаревших методов разбиения на группы, ориентированного на фиксированное мышление, и донести до всех учеников мысль о том, что они могут добиться успеха.

Важность осведомленности учеников о том, что учитель верит в них, подтвердило проведенное недавно исследование, в ходе которого был получен весьма значимый результат (Cohen & Garcia, 2014). Все ученики, принимавшие участие в нем, написали сочинения и получили обратную связь от учителей, а половина из них получила одно дополнительное предложение в конце комментариев. Год спустя ученики, в работах которых было это предложение, добились гораздо более высоких результатов, хотя учителя не знали, кому именно оно «досталось», и между группами учеников больше не было никаких различий. Кажется невероятным, что одно предложение кардинально изменило путь учеников, благодаря чему год спустя они смогли существенно повысить успеваемость при отсутствии других изменений. Но вот это предложение: «Я говорю тебе это, потому что верю в тебя».

Ученики, получившие это предложение, добились более высоких результатов. Эффект был особенно сильным в случае цветных учеников, многие из которых чувствуют, что учителя меньше их ценят (Cohen & Garcia, 2014). Я часто рассказываю учителям об этом результате, и они всегда осознают его значимость. Но я говорю об этом не в надежде на то, что учителя будут добавлять это предложение ко всем работам. Иначе ученики заподозрят учителей в неискренности, и предложение будет иметь обратный эффект. Я хочу подчеркнуть силу слов учителей и их убеждений в отношении учеников, а также призвать учителей постоянно подавать детям позитивные сигналы о том, что в них верят.

Учителя могут донести позитивные ожидания до учеников с помощью ободряющих слов. Это легко сделать с мотивированными учениками, которым легко учиться и которые умеют быстро работать. Но еще важнее донести такие позитивные убеждения и ожидания до немотивированных учеников, которые работают медленно и которым все дается с трудом. Важно также осознавать, что скорость, с которой ученики улавливают суть концепций, не указывает на наличие математических способностей (Schwartz, 2001). Как бы трудно это ни было, важно не придерживаться предвзятого мнения по поводу того, кто будет работать хорошо над задачей, еще до ее постановки. Мы всегда должны быть готовы к тому, что любой ученик будет работать хорошо. Некоторые ребята ведут себя так, будто математика для них — постоянная борьба; они могут задавать много вопросов или все время говорить, что не могут двигаться дальше, но они просто скрывают свой математический потенциал и, вероятно, обладают фиксированным мышлением. Некоторые ученики, возможно, в раннем возрасте получили негативные сигналы и опыт взаимодействия с математикой, или у них не было таких условий для роста мозга и обучения, как у других, поэтому их уровень ниже уровня ровесников. Но это не значит, что они не смогут повысить свой уровень при правильном подходе к преподаванию математики, позитивных сигналах и, главное, высоких ожиданиях со стороны учителя. Вы можете стать человеком, который полностью изменит жизнь этих детей и откроет им путь к обучению. Как правило, для этого нужен всего один человек — и его ученики никогда не забудут.

Цените трудности и неудачи

Учителя заботятся об учениках, хотят, чтобы они добились успеха, и знают, что тем важно испытывать положительные эмоции к математике. Возможно, именно это привело к тому, что большинство уроков математики в США проводятся так, чтобы ученики выполняли большую часть заданий правильно. Но новые данные о головном мозге показывают, что детям необходимо иное. Самые эффективные уроки математики — те, во время которых ученики работают над сложными задачами, когда их побуждают рисковать и они напряженно трудятся и терпят неудачи, но при этом получают удовольствие. Это значит, что математика должна быть трудной для учеников, чтобы создать условия для роста их мозга и установления связей. Но недостаточно просто повысить уровень сложности задач: это вызвало бы у учеников чувство безысходности. Это означает скорее необходимость изменения характера задач на уроках математики и постановки задач из категории «низкий пол, высокий потолок». Как было сказано в главе 5, «низкий пол» — доступность изучаемых концепций, а «высокий потолок» — способность учеников осмыслить их на высоком уровне.

Кроме того, учителя должны доносить до учеников мысль о том, что трудности и неудачи полезны. Многие студенты, которых я обучаю в Стэнфорде, всю жизнь добивались больших успехов и получали губительную обратную связь с установкой на данность, когда им говорили, что они умные. Сталкиваясь в Стэнфорде с более трудной работой и не получая оценки A за все, некоторые из них расстраиваются, ощущая опустошенность и ставя под сомнение свои способности. Когда они занимаются математикой, которая заставляет их прилагать усилия (это самый подходящий момент для обучения), они быстро теряют уверенность в себе и начинают сомневаться, достаточно ли они умны, чтобы учиться в Стэнфорде. Эти студенты воспитывались в культуре достижений, где трудности и неудачи никогда не ценились. Мои первокурсники говорят мне, насколько важны были для них идеи, которые мы изучаем, и как осознание того, что трудности полезны, помогло им продолжать изучение курса математики и инженерного дела и помешало бросить заниматься дисциплинами STEM.

Мы должны всячески стремиться развеять миф об успехе без усилий, подчеркивая, что успешные люди много работают и часто терпят неудачи — даже те, кого считают гениями. Мы должны воздерживаться от высокой оценки успеха без усилий и похвал в адрес учеников, которые быстро решают математические задачи. Нам следует высоко ценить настойчивость и глубокие размышления. Когда ученики терпят неудачу и сталкиваются с трудностями, это ничего не говорит об их математическом потенциале; это свидетельствует о том, что их мозг растет, активизируются синапсы и формируются новые пути, которые сделают их сильнее в будущем.

Хвалите учеников и помогайте им, способствуя их развитию

Работая с детьми дошкольного возраста, Кэрол Дуэк обнаружила, что некоторые из них проявляют настойчивость и стремятся продолжать, когда терпят неудачу, а другие сразу бросают работу и просят снова дать им легкие задачи. Такая настойчивость и ее отсутствие были присущи мышлению детей, которым исполнилось всего три-четыре года.

Когда исследователи организовали с этими детьми ролевые игры и предложили им притвориться взрослыми, оценивающими их работу, настойчивые дети изображали взрослых, которые сосредоточены на стратегиях и говорят, что детям удастся добиться успеха, если они уделят работе больше времени или используют другой подход. Дети, которым не была свойственна настойчивость, изображали взрослых, утверждающих, что ребенок не может закончить работу и должен сидеть у себя в комнате. Создавалось впечатление, что ненастойчивые дети получили обратную связь о том, что у них есть личностные ограничения, а неудача — это плохо (Gunderson et al., 2013). Результаты этого исследования и многих других по теме мышления (Dweck, 2006a, 2006b; Good, Rattan, & Dweck, 2012) свидетельствуют, что формы обратной связи и похвалы очень важны. Когда ученики слышат, что они умные, поначалу это доставляет им удовольствие. Однако, сталкиваясь с неизбежными трудностями и неудачами, они начинают сомневаться в своих умственных способностях. Такие дети постоянно оценивают себя в соответствии с неизменной шкалой «умности», что вредит им, даже если они получают много положительной обратной связи по поводу своих способностей, что иллюстрирует пример со студентами Стэнфорда.

Вместо того чтобы говорить ученикам, что они умные или способные, учителя и родители должны сосредоточиться на конкретных стратегиях, которые использовали дети. Вместо слов «Какой ты умный» лучше сказать что-то вроде: «Замечательно, что ты до этого додумался» или «Мне нравятся твои рассуждения». Исключить слово «умный» из лексикона трудно, но мои студенты хорошо поработали над этим и теперь хвалят людей за интересные идеи, достижения, знания, трудолюбие и настойчивость.

Когда ученики неправильно выполняют работу, вместо того чтобы говорить «Это неправильно», попытайтесь понять ход их мыслей и поработайте с ними. Например, если, сложив ¹/₃ и ¹/₄, ученики решили, что ответ ²/₇, вы могли бы сказать: «Понимаю, что ты делаешь; ты используешь то, что мы знаем о сложении целых чисел, чтобы сложить числитель и знаменатель. Но это дроби, а при сложении дробей мы должны думать о всей дроби, а не об отдельных числах, из которых она состоит». В рассуждениях учеников всегда есть какая-то логика, которую полезно найти — не для того, чтобы предотвратить мысли о неудаче, а для того, чтобы отдать должное размышлениям учеников. Даже если дети неправильно выполнили задание, постарайтесь не дать им понять, что задача слишком сложна для них: они могут решить, что у них ограниченные способности. Вместо того чтобы фокусироваться на стратегиях, скажите что-нибудь вроде: «Ты еще не знаешь стратегий, необходимых для этого, но скоро изучишь их».

Важно не предлагать ученикам слишком много помощи и не снижать когнитивную сложность задач. Французский исследователь Ги Бруссо обнаружил «дидактический контракт», существование которого признали с тех пор учителя и исследователи во всем мире (Brousseau, 1984; Brousseau, 1997). Бруссо описывает типичную для уроков математики ситуацию, когда ученики просят учителей о помощи. Они рассчитывают на помощь, а учителя знают, что их задача — помогать детям; в итоге учителя разбивают задачу на составляющие и упрощают ее, снижая ее когнитивную сложность. Бруссо обращает внимание на то, что это совместное действие учителей и учеников, поскольку обе стороны играют отведенную им роль, выполняя действующий на уроках «дидактический контракт», из-за которого ученики упускают возможность чему-то научиться. Согласно такому контракту, ученики ожидают, что им не будут создавать трудностей, и рассчитывают на помощь, а учителя знают, что их задача — помогать ученикам, поэтому немедленно вмешиваются, часто невольно лишая детей возможности учиться. Авторы учебников поступают так же, разбивая задачи на небольшие фрагменты, над которыми должны работать ученики. Когда мои ученики просят о помощи, я стараюсь не выполнять за них математические размышления. Я часто предлагаю им представить задачу в графическом виде, что всегда помогает открыть новые идеи.

Недавно я прочла об учительнице второго класса Наде Бориа, которая предлагает такой ответ на просьбы учеников о помощи: «Минутку. Вы хотите, чтобы вырос мой мозг, или хотите увеличить свой?» (Frazier, 2015).

Замечательный ответ. Учителя должны оценивать каждое взаимодействие с учениками, руководствуясь своими профессиональными знаниями и интуицией, чтобы понять, когда те способны преодолеть больше трудностей, не испытывая разочарования. Но важно помнить, что отсутствие помощи — зачастую лучшая помощь.

Правила, которые мы устанавливаем для учеников на уроках, способы, которыми мы помогаем им и поощряем их, и сигналы, которые мы им подаем, крайне важны. Но мне хотелось бы обратить особое внимание на то, что подача ученикам сигналов в отношении мышления роста не поможет им, если при этом мы не покажем, что математика — развивающая дисциплина. Далее мы сфокусируемся на стратегиях и методах, которые учителя могут использовать, чтобы преподавать ученикам открытую, развивающую, творческую математику.

Сделайте математику открытой

Преподавайте математику как открытую, развивающую, обучающую дисциплину

Большинство задач по математике, которые используются на уроках и дома, — узкие процедурные вопросы, требующие от учеников выполнения вычислений. Когда ученики большую часть времени занимаются этим, им трудно поверить в то, что математика — развивающая дисциплина. Ведь закрытые вопросы заставляют их думать, что она носит фиксированный характер и ее суть сводится к правильным и неправильным ответам. Некоторые вопросы действительно требуют одного правильного ответа, но они не нужны ученикам для полноценного понимания математики. Если они все же используются, они должны составлять только малую долю всех вопросов. Задачи по математике должны обеспечивать ученикам достаточно пространства для обучения. Вместо того чтобы требовать ответов на вопросы, задачи должны предоставлять им возможность исследовать, творить и развиваться.

Любую математическую задачу можно сделать открытой, и тогда гораздо больше учеников проявят к ней интерес и смогут узнать что-то новое. Ниже описаны четыре полезных приема.

1. Вместо того чтобы предлагать ученикам найти ответ на вопрос, чему равно ¹/₂ разделить на ¹/₄, предложите им предположить, сколько будет ¹/₂ разделить на ¹/₄, и придать ответу смысл, в том числе с помощью визуального представления решения. Как было сказано в главе 5, когда Кэти Хамфриз предложила ученикам решить задачу «1 разделить на ²/₃», она начала с таких слов: «Вероятно, вы знаете правило, с помощью которого можно решить эту задачу, но сегодня оно не имеет значения. Я хочу, чтобы вы объяснили, почему ваше решение имеет смысл».

2. Вместо того чтобы предлагать ученикам упростить выражение ¹/₃(2x + 15) + 8 (типичная задача, которую ставят на уроках алгебры), предложите им найти все эквивалентные способы представления этого выражения. На рисунке 9.2 приведены примеры ответов.

3. Вместо того чтобы спрашивать учеников, сколько квадратов будет на шаге 100, спросите их, как они представляют себе рост закономерности, и предложите им использовать это понимание для обобщения закономерности до шага 100 (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Примеры алгебраических выражений

Рис. 9.2. Ступеньки

Любую математическую задачу можно открыть так, чтобы она обеспечивала ученикам больше пространства для обучения (подробнее см. главу 5). Например, вы можете предложить ученикам обсудить:

• способы восприятия математики;

• способы представления идей;

• различные пути решения задач и реализации стратегий;

• выбранные методы: «Почему вы использовали эти методы? Как они работают?»

Когда ученики работают над открытыми задачами, они не только воспринимают математику как развивающую дисциплину, но и становятся исследователями. Они больше не ищут ответ; они анализируют идеи, устанавливают связи, развиваются и учатся. В процессе исследований они изучают формальную математику — методы и формулы, знания которых требует стандартная учебная программа. Разница в том, что они изучают стандартные методы, когда в них возникает необходимость, что пробуждает мотивацию и заинтересованность в изучении этих методов (Schwartz & Bransford, 1998). Как я уже подчеркивала, лучшие открытые задачи по математике — те, которые относятся к категории «низкий пол, высокий потолок» (см. сборник задач на сайте YouCubed — http://www.youcubed.org/tasks). На мой взгляд, чтобы понять, является ли задача открытой, нужно задать важный вопрос: обеспечивает ли она пространство для обучения?

Призывайте учеников быть математиками

Математики считают свою дисциплину творческой, красивой и эстетичной. Все дети могут работать так же, как математики, поэтому стимулирование их к тому, чтобы стать мини-математиками, может придать им уверенность в себе. Важно, чтобы ученики активно предлагали идеи — выдвигали математические гипотезы. Дебора Болл, которая сейчас занимает должность декана педагогического факультета Мичиганского университета, — одна из самых удивительных учительниц, с которыми я когда-либо встречалась. Дебора учила своих третьеклассников быть математиками: становиться исследователями и выдвигать гипотезы. Выработав единое мнение по поводу той или иной математической концепции, ученики ее класса говорили, что у них есть «рабочее определение», а затем уточняли его в рамках дальнейших исследований. Во время одного урока мальчик Шон выдвинул предложение по поводу числа 6, заявив, что оно может быть и четным, и нечетным (видео можно посмотреть здесь: Mathematics Teaching and Learning to Teach, 2010; http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/65013).

Основанием для этой гипотезы послужило то, что число 6 состоит из нечетного количества чисел 2, а другие четные числа, например 4 и 8, имеют в своем составе четное количество чисел 2. Многие ученики вступили в спор с Шоном, вернувшись к рабочему определению четного числа, которое было выработано классом. Большинство учителей сказали бы Шону, что он неправ, и пошли дальше, но Дебору заинтересовал ход его мыслей. Среди учеников началась оживленная дискуссия, которая захватила зрителей с разным образованием и убеждениями, в том числе учителей и математиков. Во время урока дети начали глубоко анализировать гипотезу Шона и ни разу не попросили учительницу сказать им, прав Шон или нет, что сразу же положило бы конец обсуждению. Третьеклассники попросили Шона доказать свою гипотезу и предложили контраргументы, воспользовавшись разными определениями четного числа, чтобы показать Шону, что 6 — только четное число, которое не может быть нечетным. В какой-то момент Дебора поняла, что Шон обратил внимание на такое свойство числа 6 и других чисел (таких, как 10), состоящих из нечетного количества двоек, у которого нет названия в математике. В итоге класс решил назвать такие числа «числами Шона». Шон сделал наблюдение, которое не было неправильным; он обратил внимание на то, что у некоторых чисел есть особые свойства. Во время дальнейших дискуссий в течение года ученики этого класса продолжали исследовать числа и ссылались на «числа Шона», когда встречали их. В отличие от многих третьеклассников, которых отталкивает процедурное представление математики, этим детям нравилась возможность делиться своими идеями, а также выдвигать гипотезы, при этом изучая формальную математику. Эти ученики с воодушевлением работали с гипотезами, рассуждениями и доказательствами и напоминали стороннему наблюдателю юных ученых (Ball, 1993).

Некоторых людей шокирует мысль о том, чтобы называть детей математиками, хотя они спокойно называют их юными художниками и учеными. А дело в том, что математика поставлена на своего рода пьедестал, о чем я говорила в главе 6. Нам необходимо бороться с представлением о том, что только люди, много лет изучавшие математику в высших учебных заведениях, должны выступать в качестве математиков. Мы должны прекратить оставлять опыт взаимодействия с истинной математикой на самый последний период обучения, магистратуру. Ведь к этому моменту многие теряют интерес к математике. Не существует более эффективного способа донести до всех мысль о том, что математика — широкая, исследовательская дисциплина, которой могут заниматься все без исключения, чем предложить детям стать математиками.

Преподавайте математику как науку о закономерностях и связях

Суть математики сводится к изучению закономерностей. Многие понимают, что имеют дело с закономерностями, работая над такими задачами, как на рис. 9.3, в которых им предлагают продолжить закономерность.

Рис. 9.3. Полоса закономерности

Но даже в процессе изучения арифметики или более абстрактных областей математики работа любого ученика сводится к поиску закономерностей. Я пыталась стимулировать своих детей к тому, чтобы они воспринимали себя как искателей закономерностей, и недавно увидела результат, когда моя восьмилетняя дочь осваивала азы деления. Она только что изучила «традиционный алгоритм», но потом ей задали такие примеры:

Она пришла к выводу, что алгоритм применим только в некоторых случаях. Поработав над заданиями, моя дочь сказала: «Вижу закономерность; метод цикла деления [под которым она подразумевала традиционный алгоритм] помогает только тогда, когда делимое больше делителя». Я не сторонник обучения делению с помощью традиционного алгоритма: часто он не позволяет ученикам увидеть ситуацию в целом и препятствует пониманию значения разряда. Но меня порадовало то, что ориентация на поиск закономерностей помогла моей дочери размышлять о закономерностях, а не слепо придерживаться метода. Я не утверждаю, что традиционный алгоритм бесполезен. Но он может принести пользу после того, как ученики поймут, что есть много стратегий деления. Изучая деление, ученики должны использовать методы, стимулирующие осмысление чисел, участвующих в операции, и самой концепции деления.

Когда учителя объясняют математические методы, на самом деле они показывают закономерности: демонстрируют нечто постоянное, общее. Когда мы умножаем на 10 любое число больше 1, ответ обязательно содержит 0. Когда мы делим длину окружности на ее диаметр, мы всегда получаем число ?. Все это закономерности. Когда ученикам предлагают воспринимать математику как науку о закономерностях, они испытывают воодушевление по отношению к этому предмету. Кроме того, им можно предложить поразмышлять о характере закономерностей: «Можете ли вы обобщить этот случай?» Кит Девлин, ведущий математик и «математический человек» Национального общественного радио, написал ряд замечательных книг для широкого круга читателей. В одной из моих любимых книг «Математика: наука о закономерностях» Девлин показывает, что работа математиков сводится к использованию и изучению закономерностей, проистекающих из того, что он называет окружающим миром или человеческим разумом. Девлин цитирует великого математика Уолтера Сойера: «Математика — это классификация и изучение всех возможных закономерностей», а закономерности включают в себя «любую регулярность, которую может распознать разум». Девлин соглашается с этим, утверждая: «Суть математики — не числа, а жизнь. Это мир, в котором мы живем. Это идеи. Будучи отнюдь не бессодержательной и стерильной, какой ее часто изображают, она наполнена творчеством» (Devlin, 2001).

Откройте ученикам мир закономерностей; дайте им активную роль в отслеживании закономерностей во всех областях и на всех уровнях.

В главе 3 я говорила о Мариам Мирзахани, математике и моей коллеге из Стэнфордского университета. Она попала в сводки новостей во всем мире, когда стала первой женщиной, получившей Филдсовскую премию. Обсуждая огромный вклад Мариам в развитие математики, специалисты говорили о связи ее работы со многими областями этой науки, такими как дифференциальная геометрия, комплексный анализ и динамические системы. Мариам размышляла так: «Мне нравится пересекать воображаемые границы, которые люди устанавливают между разными областями. Это очень воодушевляет… Есть так много инструментов, и ты не знаешь, какой из них сработает. Все дело в том, чтобы быть оптимистом и пытаться находить связи между разными вещами». Мне хотелось бы, чтобы все ученики мыслили так же.

Когда ученики устанавливают и видят связи между разными методами, они начинают понимать истинную математику и получают от нее гораздо большее удовольствие. Это особенно важно для вовлечения большего числа девочек в различные области STEM (подробнее см. главу 6). Стандартная учебная программа часто препятствует установлению связей, поскольку представляет математику как набор разрозненных тем. Но учителя могут и должны восстанавливать связи, постоянно рассказывая о них, подчеркивая их важность и предлагая ученикам поразмышлять о связях и обсудить их. На видео, представленном на сайте YouCubed, показано, как тема пропорционального рассуждения связывает дроби, графики, треугольники, коэффициенты, теорему Пифагора, таблицы, фигуры, угол наклона и умножение (YouCubed at Stanford University, 2015c; http://www.youcubed.org/tour-of-mathematical-connections). Мы сняли это видео, чтобы продемонстрировать связи между разными областями математики (о существовании которых ученики, возможно, даже не подозревали), и помочь им размышлять о таких связях. На основании этого видео учеников необходимо стимулировать к исследованию и поиску математических связей разными способами.

Ниже представлено несколько способов привлечения внимания к связям в математике.

• Поощряйте учеников предлагать разные методы решения задач, а затем найти связи между ними, например обсудив их сходства и различия и почему можно использовать один метод, а не другой. Это можно сделать с методами, которые используются для решения числовых задач (см. рис. 5.1 в главе 5).

• Предложите ученикам находить связи между математическими концепциями в процессе работы над задачами. Например, обратите внимание на две математические задачи, представленные в примере 9.4 и на рис. 9.4.

ПРИМЕР 9.4. СОБАЧЬИ ГАЛЕТЫ

Сколько существует способов разделить 24 собачьи галеты на две группы?

Сколько существует способов разделить 24 собачьи галеты на равные группы?

Представьте полученный результат в графическом виде, отображающем все комбинации.

Рис. 9.4. Решение задачи с собачьими галетами

Учителя могут предложить ученикам представить решение более чем в одной форме и связать числа в своих решениях с диаграммами, что позволит задействовать разные пути в головном мозге. Некоторые ученики могут использовать бумагу в клетку, другие — числовую ось, еще кто-то — воспользоваться кубиками или другими мелкими предметами. Учителя могут предложить ученикам поразмышлять о разных методах, которые можно использовать для деления на равные группы (в частности, сложение и умножение), а также о том, как эти методы связаны друг с другом.

В разных заданиях, представленных в примере 9.5, ученики должны сфокусироваться на разных областях математики и связях между ними. Успешные ученики — не те, которые представляют себе математику как набор разрозненных тем (такой точки зрения придерживается большинство учеников). Успешными можно считать скорее тех, кто воспринимает ее как совокупность взаимосвязанных концепций (Program for International Student Assessment (PISA), 2012). Именно такой подход учителя должны активно поощрять, особенно если учебники создают противоположное впечатление. Математика как совокупность связей вдохновляет и притягивает учеников, и все учителя могут создать условия для того, чтобы дети увидели связный характер математики.

ПРИМЕР 9.5. АКЦЕНТ НА МАТЕМАТИЧЕСКИХ СВЯЗЯХ

Представьте дроби ³/₄, ⁶/₈ и ¹²/₁₆ в виде графиков.

Представьте эти дроби в виде подобных треугольников.

Чем схожи и отличаются эти формы представления дробей — в виде чисел, графика и треугольников? Можете ли вы применить цветовое кодирование к различным свойствам каждой формы представления, чтобы эти свойства были представлены одним цветом в разных представлениях?

Обучайте учеников творческому и визуальному подходу к математике

На своих уроках я стимулирую творческий подход, ставя интересные задачи и придавая большое значение мыслительному процессу. Я говорю, что меня не интересует быстрота выполнения; мне нужно интересное представление идей, творческий метод или решение. Когда я использую такой подход к постановке математических задач, ученики всегда удивляют меня своим творческим мышлением.

Очень важно добиться того, чтобы ученики применяли визуальное мышление в процессе решения задач по математике. Это обеспечивает доступ к пониманию и задействованию разных путей в головном мозге. Аманда Кунлаба — учительница четвертого класса, которая объединяет искусство с основными школьными предметами, в том числе математикой. Она рассказывает, как однажды спросила своих учеников, элементы каких уроков искусства им больше всего понравились в основных школьных предметах. Она вспоминает, как один ученик «спокойно, но с воодушевлением объяснил, что ему нравится изобразительное искусство, поскольку творчество помогает ему “забыть о плохом”, и что ему это необходимо “чаще одного раза в неделю”» (Koonlaba, 2015).

Искусство и визуальное представление играют не только терапевтическую и творческую роль, хотя это очень важно. Они играют также решающую роль в обеспечении доступа к пониманию разных предметов. Когда я предлагаю детям визуализировать идеи и представить их в графическом виде, это всегда приводит к повышению уровня вовлеченности и созданию новых возможностей понимания математических концепций. Некоторым ученикам визуальное представление дается с трудом, но именно им использование этого подхода приносит самую большую пользу.

Кроме того, учителя должны постоянно предлагать ученикам связывать идеи, представленные в визуальной форме, с числовыми или алгебраическими методами и решениями. Как показано в главе 5, цветовое кодирование — хороший способ стимулировать установление таких связей. В следующих двух примерах мы видим, насколько цветовое кодирование может улучшить понимание учениками таких концепций, как геометрические фигуры, дроби и деление. В предыдущих главах приведены примеры применения цветового кодирования для алгебраических выражений и параллельных прямых. Когда ученики осваивают соотношения углов, им можно предложить раскрасить разные углы треугольника, разрезать рисунок и выстроить углы в линию, чтобы увидеть соотношения между ними. Визуальное представление углов поможет запомнить эти соотношения.

Понимание дробей тоже можно улучшить, предложив ученикам представить их с помощью цветового кодирования (см. пример 9.6 и рис. 9.5).

ПРИМЕР 9.6. ЦВЕТОВОЕ КОДИРОВАНИЕ ШОКОЛАДНОГО ПИРОГА

Сэм испек шоколадный пирог, который хочет разрезать на 24 равные части. Он намерен разделить пирог поровну со своими пятью друзьями. Разделите пирог на части и воспользуйтесь методом цветового кодирования, чтобы показать, сколько кусочков пирога получат Сэм и его друзья.

Рис. 9.5. Решение задачи с пирогом Сэма (пример 9.6)

Мне особенно нравится подход к цветовому кодированию деления, который разработали Тина Лаптон, Сара Пратт и Керри Ричардсон. Он состоит в том, чтобы предлагать всем ученикам решать задачи на деление с помощью «лоскутного одеяла», которое действительно помогает представить себе и понять разделение чисел на равные группы и остатки (рис. 9.6). Более подробное описание способов организации этого полезного вида деятельности см.: Lupton, Pratt, & Richardson, 2014.

Рис. 9.6. Лоскутные одеяла деления

Источник: Lupton, Pratt, & Richardson, 2014.

Представление математических концепций разными способами — важная математическая практика, которую применяют специалисты по решению задач высокого уровня. Математики используют разные способы представления концепций — графики, таблицы, текстовое описание, выражения, а также (реже) рисунки и наброски. Мариам Мирзахани так описывает процесс размышлений над сложной математической задачей.

Не нужно записывать все детали… Но процесс рисования как-то помогает представить себе картину происходящего.

Мариам сказала, что ее трехлетняя дочь Анахита часто восклицает: «О, мамочка снова рисует!» — когда видит свою маму-математика за работой. «Может, она думает, что я художник?» (Klarreich, 2014).

Каждый раз, когда мне приходится решать сложную математическую задачу, я рисую ее; это лучший из известных мне способов решить трудную задачу и понять концепции, лежащие в ее основе. Работая с учениками, я предлагаю им представить задачу в графическом виде, когда у них возникают трудности; при этом я задаю им вопрос: «Вы пробовали нарисовать эту задачу?» Ученикам, которые не привыкли рисовать задачи, поначалу трудно, но они могут освоить этот метод, и он будет приносить им пользу. В главе 5 представлено больше идей по поводу способов, позволяющих увлечь учеников представлением математических задач в виде рисунков.

Поощряйте интуицию и свободу мысли

В главе 5 идет речь о том, как пользователи математики высокого уровня (такие, как Себастьян Трун, создающий роботы для Смитсоновского института) применяют интуицию для развития математических идей. Леоне Бертон провела интервью с 70 математиками-исследователями, чтобы определить характер их работы; 58 из них говорили о важной роли интуиции в этой работе. В книге «Что же такое математика?» Рубен Херш говорит о том, что «интуиция в математике повсюду» (Hersh, 1999).

Но что такое интуиция? И почему математики полагаются на нее, а ученики почти никогда не делают этого на уроках? Учителя могут стимулировать учеников к применению интуиции при решении любой математической задачи, предложив им подумать, как можно найти ответ, прежде чем объяснять им соответствующий метод. Возможности для интуитивного мышления можно использовать на всех уровнях изучения математики. Учителя начальной школы могут еще до объяснения материала предложить ученикам найти свой метод решения задачи. Например, спросить, как найти площадь коврика, до того как давать формулу площади. В средних или старших классах можно спросить учеников, как вычислить высоту объектов, которые слишком высоки, чтобы просто измерить их, прежде чем объяснять возможные методы решения этой задачи (Boaler, Meyer, Selling, & Sun, б/д). В главе 1 шла речь об уроке по началам анализа, на котором ученикам еще до объяснения теории предложили выдвинуть предположение и интуитивно поразмышлять над поиском объема лимона. И чтобы применить этот прием, не нужно почти ничего менять в методе преподавания.

Предлагая ученикам воспользоваться интуицией в процессе размышлений над математической концепцией, им предоставляют возможность мыслить открыто и свободно. Когда я спросила группу третьеклассников, которые изучали материал по математике в рамках разговоров о числах, что они думают об этом методе, мальчик Дилан сказал мне: «Ты свободен, ты можешь делать все, что захочешь. Ты можешь взять числа и разделить их на группы». Делия, одна из учениц, снимавшихся в фильме «Сверх меры» (втором документальном фильме режиссера фильма «Гонка в никуда»), аналогичным образом описывала свой опыт после того, как она начала заниматься математикой, основанной на исследованиях: «У меня есть связь с математикой, я открыта, я чувствую себя живой, у меня больше энергии». В том же фильме Нико сравнивает свой предыдущий опыт изучения математики, которое сводилось к решению целых страниц примеров, с коллективным, исследовательским подходом: «В прошлом году на уроках математики ты был один, каждый сам по себе, но в этом году уроки стали открытыми. Это как город, все мы вместе создаем прекрасный новый мир».

Меня неизменно поражают и вдохновляют слова, которые дети используют для описания математики, когда она становится открытой дисциплиной, когда им предлагают применить свои идеи и испытать опыт взаимодействия с творческой, красивой наукой. Они говорят: «Мы свободны», «Я открыта, я чувствую себя живой» и «Мы вместе создаем прекрасный новый мир», — и это свидетельствует о трансформирующем влиянии, которое может оказывать математика, основанная на исследованиях. Ученики говорят так, потому что им предоставлена интеллектуальная свобода, а это очень сильный и волнующий опыт. Когда мы предлагаем ученикам воспользоваться интуицией и мыслить свободно, у них формируется не только новое представление о математике, себе и мире, но и интеллектуальная свобода, которая кардинально меняет их отношение к учебе.

Дебора Болл написала увлекательную и провокационную статью, в которой цитирует легендарного психолога Джерома Брунера.

Мы начнем с гипотезы, согласно которой любой предмет можно преподать эффективно и в достаточно адекватной форме любому ребенку на любой стадии развития. Это достаточно смелая гипотеза; если ее принять, она может определить и исходные позиции разработки программы обучения. Доказательств противного нет; и многое свидетельствует в ее пользу (Bruner, 1960; цит. по: Ball, 1993).

Многие могут усомниться в этом; мои студенты из Стэнфорда пришли в смятение, когда я впервые познакомила их с этой идеей. Но они охотно размышляли над способами обсуждения концепций анализа с детьми младшего возраста. Дебора Болл твердо убеждена в целесообразности такого подхода; она говорит, что «дети проявляют интерес, размышляют и изобретают глубокие и сложные вещи» (Ball, 1993, p. 374). Если мы освободим учителей и учеников от иерархии преподавания математики, которую предписывают нормативные требования к содержанию учебной программы, и позволим им исследовать концепции более высокого уровня, которые могут быть весьма увлекательными (четвертое измерение, отрицательное пространство, исчисление или фракталы), у нас появится возможность приобщить их к истинному математическому воодушевлению и открыть им путь к исследованию интересных концепций в любом возрасте. Я не утверждаю, что нам следует преподавать формальную математику высокого уровня детям младшего возраста, но мне нравится возможность, о которой говорят Брунер и Болл: что любую область математики можно преподавать в достаточно адекватной форме в любом возрасте. Это захватывающая и важная идея.

Цените глубину больше, чем скорость

Вот что в первую очередь стоит изменить на уроках математики во всем мире: мысль о том, что здесь скорость важнее глубины. Математика страдает от этой идеи в большей степени, чем любой другой предмет, а из-за этого страдают и дети, изучающие ее. Но ведущие математики мира (Мариам Мирзахани, Стивен Строгац, Кит Девлин и Лоран Шварц, которые получили высшие награды за свою работу) говорят о том, что работают медленно и глубоко, без спешки. В главе 4 я привела цитату Лорана Шварца, в которой есть и такие слова: «Важно глубоко понимать суть вещей и их взаимосвязь друг с другом». Шварц говорит о том, что ощущал себя «тупым» в школе, потому что размышлял медленно, и призывает читателей понять, что суть математики — глубина и связи, а не поверхностное знание фактов и быстрая работа.

Математика — дисциплина, которая должна всегда придавать особое значение глубине мышления и связям. Во время недавнего визита в Китай у меня была возможность побывать на нескольких уроках математики в средних и старших классах разных школ. Китай со значительным отрывом превосходит все остальные страны по результатам тестов PISA и других тестов (PISA, 2012). Поэтому многие считают, что уроки математики в Китае сфокусированы на скорости и зубрежке. Но мои наблюдения показали нечто совершенно иное. На каждом уроке, за которым я наблюдала, учителя и ученики прорабатывали не более трех вопросов за один урок продолжительностью один час. Учителя объясняли ученикам разные концепции (даже те, которые носят более определительный и шаблонный характер, чем другие концепции в математике, такие как концепция дополнительных и смежных углов) с установкой на исследования. Во время одного урока учительница вместе с учениками исследовала значение дополнительных и смежных углов, приводя примеры и предлагая «тщательно проанализировать вопрос», а затем обсудила с ними возникшие вопросы и идеи (видео можно посмотреть здесь: YouCubed at Stanford University, 2015d; www.youcubed.org/high-quality-teaching-examples/). Последовавшее за этим обсуждение проходило на таком уровне глубины, которого я не видела за весь свой опыт наблюдения за уроками математики по этой теме. Учительница брала идеи учеников и формулировала неправильные утверждения, чтобы ученики раскритиковали ее и класс проанализировал все возможные соотношения между углами, соответствующие определениям.

Ниже приведен фрагмент расшифровки типичного урока математики в США по теме дополнительных и смежных углов, который взят из видео, снятого в процессе изучения преподавания в разных странах в рамках исследования TIMSS[19] (Stigler & Hiebert, 1999).

Учитель: Здесь мы имеем вертикальные и смежные углы. Какой угол является вертикальным по отношению к углу А?

Ученики (хором): 70 градусов.

Учитель: А значит, угол А должен составлять?..

Ученики (хором): 70 градусов.

Учитель: Теперь у вас есть смежные углы. Какой угол является смежным по отношению к А?

Ученики (хором): Угол Б.

Учитель: Угол Б, а также…

Ученики: Угол В.

Учитель: Чему равна сумма смежных углов?

Ученики: 180°.

В приведенном выше фрагменте мы видим вопросы с одним ответом, к которому учитель подводит учеников. Сравните это с уроком, который мы наблюдали в Китае и во время которого учительница не задавала таких вопросов, как «Чему равна сумма смежных углов?» Она задавала вопросы такого типа: «Могут ли два острых угла быть смежными? Могут ли два смежных угла быть острыми?» Такие вопросы требуют от учеников более глубоких размышлений об определениях и соотношениях. Ниже представлен фрагмент урока в Китае, на котором я присутствовала и который очень отличается от урока в США.

Ученик: Как он только что сказал, если есть два равных угла, сумма величин которых равна 180°, это должны быть два прямых угла. Поскольку величины острых углов всегда меньше 90°, сумма величин двух острых углов не будет больше 180°.

Учитель: Следовательно, если два угла смежные, они должны быть тупыми?

Ученик: Нет.

Учитель: Нет? Почему? Думаю, если два угла являются смежными, они должны быть тупыми.

Ученик: Я считаю, что это может быть один острый и один тупой угол.

Учитель: Он говорит, что, хотя два смежных угла не могут быть острыми, это могут быть один острый и один тупой угол.

Ученик: Например, как угол 1 и угол 5 в том вопросе. Один острый, другой тупой.

Учитель: Хорошо. Если есть два смежных угла, хотя бы один из них острый.

Другие ученики: Нет, хотя бы один угол должен быть больше 90°.

Ученик: Есть исключение: когда оба угла прямые.

Уроки в США и Китае кардинально отличаются друг от друга. В США учитель ставит ученикам процедурные вопросы, а те дают единственный возможный ответ. Вопросы учителя, будто взятые из учебника, касались простого примера с углами, а ученики давали определения, которые они изучили. На уроке в Китае учительница не ставила вопросы в духе «закончите это предложение»; она выслушивала идеи учеников и формулировала провокационные утверждения, которые помогали ученикам глубже понять суть изучаемого материала. Утверждения учительницы побуждали учеников выдвигать в ответ гипотезы и аргументы, размышляя о соотношениях между разными углами.

Во второй части урока основное внимание уделялось диаграммам, которые могли нарисовать ученики, чтобы проиллюстрировать изученные соотношения между углами. Дети составляли разные диаграммы, меняя направление и двигая по кругу лучи и стороны треугольников. Они обсуждали идеи друг с другом и с учительницей, задавая вопросы по поводу этих идей и развивая их до такой глубины, какой я не могла себе даже представить, пока не побывала на том уроке. Когда ученики обсуждали диаграммы соотношений между углами, один из них сказал: «Это просто захватывающе». Вряд ли найдется много учеников, которые пришли бы к такому выводу на уроке в США.

В ходе видеоисследования TIMSS был проведен сравнительный анализ подхода к преподаванию в США и других странах. По результатам был сделан вывод о том, что в США уроки «в милю шириной и дюйм глубиной» (Schmidt et al., 2002), а в других странах, особенно в Японии, они носят более концептуальный и глубокий характер, подразумевают более активное обсуждение изучаемого материала учениками. Этот анализ позволил установить связь между глубиной обсуждения и работы в Японии (в отличие от США) и более высоким уровнем успеваемости в стране (Schmidt et al., 2002; Schmidt, McKnight, & Raizen, 1997).

Многие родители не понимают важность математической глубины; они ошибочно полагают, что их детям пойдет на пользу ускоренное изучение материала. Такие родители делают все возможное, чтобы их дети досрочно переходили в следующие классы и им как можно раньше преподавали математику на углубленном уровне. Но изучение математики — не гонка, а математическая глубина вдохновляет учеников и обеспечивает их вовлеченность и эффективную работу, готовя их к углубленному изучению математики в будущем. Именно ученики, которых вынуждают быстрее проходить материал, чаще всего при первой же возможности бросают математику (Jacob, 2015; also Boaler, 2015b). Необходимо, чтобы все ученики занимались математикой с полной отдачей; ни для кого она не должна быть слишком легкой и никого нельзя заставлять повторно отрабатывать те или иные концепции, если он уже усвоил их. Один из лучших и самых важных способов стимулирования сильных учеников состоит в том, чтобы дать им возможность глубже изучать концепции. Причем они могут делать это вместе с другими учениками, которые способны глубже проанализировать эти концепции в другие дни. В работе со своими студентами из Стэнфорда я использую такой метод: предложить тем, кто закончил задание, расширить его, двигаясь в новом направлении.

Недавно я поставила своим студентам из Стэнфорда задачу под названием «Раскрашенный куб» и раздала им коробки с кубиками сахара, чтобы они могли смоделировать ее (пример 9.7 и рис. 9.7).

ПРИМЕР 9.7. РАСКРАШЕННЫЙ КУБ

Представьте себе куб 5 ? 5 ? 5, внешние грани которого раскрашены в один цвет, причем этот куб состоит из меньших кубиков размером 1 ? 1 ? 1.

Ответьте на следующие вопросы.

У скольких маленьких кубиков будет 3 раскрашенные грани?

У скольких маленьких кубиков будет 2 раскрашенные грани?

У скольких маленьких кубиков будет 1 раскрашенная грань?

У скольких маленьких кубиков не будет раскрашенных граней?

Рис. 9.7. Раскрашенный куб 3 ? 3 ? 3

Некоторые студенты выполнили задачу, построив куб меньшей размерности (например, 3 ? 3 ? 3) из кубиков сахара, и разрисовали внешние грани, чтобы проанализировать распределение кубиков с разным количеством раскрашенных граней. Я сказала им, что после решения задачи для куба размерами 5 ? 5 ? 5 они могут расширить задачу каким угодно способом. Это была лучшая часть урока: у студентов появлялось гораздо больше возможностей для обучения, поскольку разные группы анализировали, например, как найти решение задачи с пирамидой вместо куба (рис. 9.8); одна группа анализировала соотношения в пирамиде, составленной из пирамид меньшего размера, а еще одна работала над соотношениями в случае перемещения куба в четвертое измерение, а затем и в n-е.

Рис. 9.8. Расширенная задача с кубом

Если дать ученикам возможность расширять задачи, они почти всегда находят творческие и увлекательные возможности для углубленного анализа математических концепций, что для них очень ценно.

Свяжите математику с реальным миром с помощью моделирования

Школьники объясняют свою неприязнь к математике в первую очередь ее абстрактным характером и якобы несоответствием реальному миру. Как ни печально, это отражает преподавание математики в школе: ведь на самом деле она повсюду. Она настолько важна для успешной жизни, что ее назвали новым «гражданским правом» — важным элементом эффективного функционирования в обществе (Moses & Cobb, 2001). Когда я проводила интервью с группой молодых людей в возрасте 24 лет, которые только что получили традиционное математическое образование, и спросила их о роли математики в их жизни и работе, они выразили разочарование в связи с полученным образованием. Эти молодые люди сказали, что видят математику повсюду в окружающем мире и каждый день используют ее в своей работе, но опыт ее изучения в учебных заведениях не дал им ощущения реальной природы математики и ее важности для их будущего. По их словам, если бы они знали, что математика — не мертвая дисциплина, не имеющая отношения к реальности, и что она может сыграть важную роль в их взрослой жизни, это полностью изменило бы их мотивацию на уроках в школе.

Необходимость сделать математику интересной и связанной с реальным миром часто приводит к тому, что ее ставят в ситуацию, которую я называю «псевдоконтекстом» (Boaler, 2015a), призванным отражать реальность. Ученики работают над придуманными задачами из реального мира, которые далеки от реальности, как в случае поездов, которые мчатся навстречу друг другу по одному пути. Такой контекст не помогает ученикам узнать, что математика — полезная дисциплина. Он создает противоположное впечатление: будто математика — нечто чуждое и нереальное. Чтобы ученики могли успешно решать искусственные задачи из реального мира, им предлагают представить себе, что ситуация реальна, игнорируя при этом все, что они знают о жизни. Возьмем в качестве примера такие типичные задачки.

• Джо может выполнить работу за 6 часов, а Чарли — за 5 часов. Какую часть работы они могут выполнить, работая вместе 2 часа?

• Ресторан берет 2,5 доллара за ¹/₈ часть пирога. Сколько стоит весь пирог?

• Пицца разделена на 5 кусочков для 5 друзей на вечеринке. Три друга съедают свои кусочки пиццы, но потом приходит еще 4 друга. На сколько частей следует поделить два оставшихся кусочка пиццы? (Boaler, 2015a)

Все эти вопросы взяты из опубликованных учебников, подобные задачи дети решают на уроках математики. Однако они лишены смысла. Всем известно, что люди работают вместе не с той же скоростью, что и по отдельности; рестораны назначают другую цену на большие порции, а если на вечеринку приходит больше друзей, заказывают еще одну пиццу — никто не режет оставшиеся кусочки. В итоге дети приходят к выводу, будто математика не имеет отношения к реальной жизни. На самом деле многие считают, что, приходя на урок математики, они попадают в Страну математики — причудливое и загадочное место, которое требует, чтобы они оставили свой здравый смысл за дверью.

Как же помочь ученикам увидеть широкое применение математики и ее практическую ценность, не прибегая к псевдоконтексту? В мире есть множество удивительных ситуаций, которые можно объяснить с помощью математики. Мой онлайн-курс помог слушателям понять это, показав им математику в снежинках, работе пауков, жонглировании и танцах, а также в криках дельфинов. Такая математика охватывает все уровни: от начальной школы до старших классов (Stanford Online Lagunita, 2014). Не все математические задачи могут или должны быть помещены в контекст реального мира: некоторые из самых замечательных задач, с помощью которых школьники осваивают количественное мышление, не имеют контекста. Но важно сделать так, чтобы ученики хотя бы время от времени видели применимость математики и работали с переменными из реального мира.

Конрад Вольфрам призывает тех, кто смотрит его выступление на TED, рассматривать математику как дисциплину, во главе угла которой находится постановка вопросов и формирование математических моделей (Wolfram, 2010). Он подчеркивает, что моделирование занимает центральное место в математике этого мира. В стандартах Common Core также делается акцент на моделировании как стандартной математической практике.

Моделирование с помощью математики

На мой взгляд, один из важнейших аспектов вклада стандартов Common Core состоит в том, что они включают в себя математическую практику: действия, которые важны для математики и которые ученикам необходимо выполнять, осваивая эту науку. «Моделирование с помощью математики» — один из восьми стандартов математической практики (см. врезку).

МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИКИ

Учащиеся, владеющие математикой, могут применять свои знания к решению задач, которые возникают в повседневной жизни, в обществе и на работе. В начальных классах это может быть составление числового выражения со сложением для описания ситуации. В средней школе ученик может применить пропорциональное рассуждение для планирования школьного события или анализа проблемы, возникшей в местном сообществе. В старших классах он может использовать геометрию для решения конструкторской задачи или применить функцию для описания того, как одна искомая величина зависит от другой. Учащиеся, которые владеют математикой и могут применить свои знания на практике, не боятся делать предположения и приближения, чтобы упростить сложную ситуацию, осознавая, что позже их, возможно, придется пересмотреть. Они способны выявить важные величины в практической ситуации и составить схему соотношения между ними с помощью таких инструментов, как диаграммы, таблицы с двумя входами, графики, блок-схемы и формулы. Они могут проанализировать эти соотношения математическими методами, чтобы сделать выводы. Они систематически интерпретируют полученные математические результаты в контексте ситуации и размышляют о том, имеют ли эти результаты смысл, после чего могут усовершенствовать модель, если она не соответствует своему назначению.

Источник: Common Core State Standards Initiative, 2015.

Акт моделирования можно рассматривать как упрощение задачи из реального мира и ее приведение к чистому математическому виду, который помогает решить ее. Моделирование осуществляется во всех областях математики, но ученики, как правило, не знают о том, что занимаются им, или им не предлагали поразмышлять над этим.

Рон Федкив — специалист по прикладной математике Стэнфордского университета, который занимается компьютерными спецэффектами. Его математические модели легли в основу спецэффектов в таких признанных фильмах, как «Пираты Карибского моря: сундук мертвеца» и «Звездные войны. Эпизод III. Месть ситхов». Федкив занимался чистой математикой до 23 лет, после чего перешел в область прикладной математики. На работе он создает новые алгоритмы, позволяющие вращать объекты, имитировать столкновения и «математически соединять слои падающей капли воды».

Математическое моделирование используется также в уголовных делах и помогло раскрыть много громких убийств. NUMB3RS («Числа») — успешный телесериал об агенте ФБР, который часто прибегает к помощи своего брата-математика. В первом эпизоде представлена реальная история о жестоком серийном убийце. Агенты ФБР отслеживали места, где побывал маньяк, но не могли увидеть закономерность. Оказавшись в тупике, агент ФБР вспомнил, что его брат-математик всегда называет математику наукой о закономерностях. Он попросил брата о помощи. Математик проанализировал ситуацию с учетом важной информации о серийных убийцах, в частности того факта, что они чаще всего нападают на своих жертв неподалеку от дома, но оставляют буферную зону, в пределах которой не совершают нападений. Он пришел к выводу, что может определить закономерность с помощью упрощенной математической модели. Она позволяла выявить «горячую зону», в которой с большой вероятностью мог жить серийный убийца. Агенты ФБР допросили всех мужчин определенного возраста, которые жили в этой зоне, и дело было раскрыто. Этот эпизод основан на трудах математика Кима Россмо, разработавшего метод определения географического местоположения преступника (Criminal Geographic Targeting, CGT) с использованием математических моделей, который применяют стражи порядка во всем мире.

Предлагая ученикам взять задачу из реального мира, основанную на реальных данных и ограничениях, и решить ее с помощью математики, мы тем самым предлагаем им смоделировать соответствующую ситуацию. По словам Вольфрама, ученики должны столкнуться с задачей реального мира или найти ее, составить модель решения, выполнить вычисления (возможно, с помощью калькулятора или компьютера), а затем выяснить, верен ли полученный ответ или модель необходимо усовершенствовать. Он обращает внимание на то, что сейчас ученики тратят 80% времени на уроках математики на выполнение вычислений, а вместо этого им следует работать над тремя другими аспектами: созданием моделей, их уточнением и использованием для решения реальных задач.

На уроках алгебры ученикам часто предлагают вычислить что-то, а не создать модель с использованием алгебры. Возьмем в качестве примера такую задачу.

Человек, который придерживается диеты, идет в магазин, чтобы купить индюшатины. Ему дают три кусочка, общий вес которых составляет ¹/₃ фунта, но в диете сказано, что он может съесть только ¹/₄ фунта. Какую часть купленного мяса может съесть этот человек, чтобы не нарушить диету?

Для многих это трудная задача. Но проблемы, с которыми сталкивается большинство, связаны не с вычислениями, а с созданием модели решения. Я много где писала об элегантных визуальных решениях, которые нашли дети для этой задачи (Boaler, 2015a). Вот то, которое предложил один ученик четвертого класса.

Если три кусочка весят ¹/₃ фунта, то один фунт можно представить в виде 9 кусочков, как показано на рис. 9.9.

Рис. 9.9. Девять кусочков

Если он может съесть четверть фунта, то это количество, отображенное в одном квадранте на рис. 9.10, что составляет 2¹/₄ кусочка.

Рис. 9.10. Девять кусочков, разделенных на квадранты

Взрослые же изо всех сил старались решить задачу традиционными методами: они либо неправильно умножали, либо пытались применить алгебру, но не помнили, как именно это делать. Чтобы использовать алгебру, им нужно было сказать:

x кусочков = ¹/₄ фунта

…а затем применить метод перекрестного умножения и получить x = 9/4.

У взрослых, которым ставили эту задачу, возникали трудности с созданием модели и составлением выражения. На уроках алгебры дети почти не получают опыта интерпретации ситуаций и создания моделей. Их учат перемещать переменные на странице и решать множество примеров, но они редко занимаются постановкой задач, а это и есть важный аспект того, о чем говорит Вольфрам: создания модели.

Моделированием могут заниматься люди всех возрастов. Например, ученикам подготовительного класса начальной школы можно предложить составить схему размещения детей в классе, чтобы все они могли поместиться на ковре. Ученики могут представить каждого ребенка в виде какой-нибудь фигуры и найти подходящий способ их размещения на ковре. Это пример моделирования ситуации, в данном случае с помощью фигур или предметов, символизирующих более сложные объекты (маленьких детей!): YouCubed at Stanford University, 2015b; www.youcubed.org/task/moving-colors.

Математические модели часто отличаются большей простотой по сравнению с реальными ситуациями. В примере с подготовительным классом фигуры, символизирующие детей, не учитывают их размер или движения. В примере с кусочками индюшки подразумевается, что все они имеют одинаковый размер и вес и между ними нет никаких различий.

Эта задача помещена в нереальный контекст, но он позволяет ученикам проанализировать разные аспекты реальной ситуации и использовать их в своих размышлениях. Вероятно, ученики захотят определить площадь участка, по которому должен ходить козлик. Либо сами ученики, либо учитель может предложить оградить участок забором. Отличное расширение этой задачи состоит в том, чтобы предложить ученикам определить, как они разместят 60 планок шириной 30 см, чтобы максимально увеличить дополнительную площадь. Это замечательная, содержательная задача, о которой шла речь в главе 5. Размышляя о посадке дерева, ученики могут задать себе вопрос: что будет, если козлик съест саженец? Какое дерево лучше всего посадить? Где его лучше посадить, чтобы козлик его не съел, но мог быть в тени?

Хорошая задача на моделирование, над которой могут работать ученики средних и старших классов, — известная задача о привязанном козлике. Ее расширенный вариант, представленный в примере 9.8, составила Кэти Уильямс.

ПРИМЕР 9.8. ПРИВЯЗАННЫЙ КОЗЛИК

Представьте себе козлика, привязанного веревкой в углу затененного участка площадью 1 ? 2 м. Длина веревки равна 2 м.

Что еще нужно знать об этой ситуации?

Представьте эту ситуацию в виде рисунка.

Какие вопросы у вас возникли?

Солнце восходит на востоке затененного участка и садится на западе. Козлик хотел бы оставаться в тени. Где лучше посадить дерево? Какое дерево вы посадили бы?

В этой ситуации есть много возможностей для того, чтобы ученики задавали содержательные вопросы и искали на них ответы. Им понадобилось бы смоделировать эту ситуацию и представить ее в разных формах, то есть применить два важных математических подхода (рис. 9.11).

Рис. 9.11. Модель ситуации с привязанным козликом

Один из замечательных способов использовать реальные данные — предложить ученикам поработать с реальными числами и данными из журналов, газет и интернета. Например, мне очень нравится знакомить детей с вопросами социальной справедливости, предлагая им сформировать в классе группы, соответствующие разным континентам. Затем ученики анализируют, сколько печенья получит их группа, если оно символизирует долю мирового богатства, которая приходится на их континент (пример 9.9). Работая над этой задачей, ученики будут создавать модели, рассуждать и применять знания, а также изучать реальную и важную информацию об этом мире и о способах распределения богатства, что для них особенно актуально в пересчете на печенье, которое они смогут съесть. Поскольку ученики в некоторых частях мира получают совсем мало печенья, лучше сделать запас, чтобы выравнять потребление в будущем!

ПРИМЕР 9.9. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МИРОВОГО БОГАТСТВА

1. Определите процент населения, живущего на каждом континенте, от общей численности населения мира.

2. Вычислите количество учеников нашего класса, соответствующих найденным процентам.

3. Вычислите процент мирового богатства, которое приходится на каждый континент.

4. Вычислите богатство каждого континента в количестве печенья.

Таблица 9.1. Данные о мировом богатстве

Источник: данные о численности населения получены на основании информации Справочной службы по вопросам народонаселения (Population Reference Bureau, prb.org). Данные о мировом богатстве получены на основании информации Международного валютного фонда.

Таблица 9.2. Данные, полученные в классе

Количество учеников в классе _____

Общее количество печенья _____

Источник: предоставлено Шармейн Мэнгем.

Данные об Олимпийских играх и других спортивных соревнованиях открывают множество возможностей для математических изысканий и размышлений. Работая со спортивными данными, важно помнить о гендерном равенстве. В примере 9.10 представлен мой любимый вопрос, который также подразумевает создание математической модели.

ПРИМЕР 9.10. ФУТБОЛЬНЫЙ ВРАТАРЬ

Если вы футбольный вратарь, а нападающий команды противника оторвался от остальных и бежит к вам, какую позицию вам лучше занять? Попытайтесь определить разные позиции в зависимости от местоположения нападающего в момент, когда он сделает удар.

Чтобы привнести элемент реальности в учебные аудитории, я советую использовать подлинные данные и ситуации, давая контекст только тогда, когда он нужен. Убедитесь, что это не заставит учеников отказаться от осмысления происходящего и ухода в Страну математики.

Группа PISA при ОЭСР провела интересный и полезный анализ сильных и слабых сторон, которые продемонстрировали американские ученики в ходе международных тестов PISA по математике. По результатам этого анализа исследователи пришли к выводу, что низкий уровень знаний американских школьников связан с искусственным контекстом, который используется на уроках и не знакомит учеников с принципами применения переменных из реального мира, а учит игнорировать их. Ниже приведены полезные рекомендации PISA в части способов вовлечения учеников и создания условий для успешного изучения математики.

Создается впечатление, что американские школьники особенно сильны в применении математических навыков и способностей, менее требовательных в когнитивном плане, таких как выделение отдельных значений на диаграммах и операции с хорошо структурированными формулами. Но у них слабо развиты когнитивные навыки и способности, необходимые для того, чтобы тщательно анализировать реальные ситуации, переводить их в математические категории и интерпретировать математические аспекты в задачах реального мира. Хорошо известная поверхностная учебная стратегия «Не обращайте внимания на контекст, возьмите из текста числа и выполните очевидные действия» обречена на провал. Она широко применяется во всем мире и часто помогает учащимся справляться с математикой в школе и сдавать экзамены. Но в процессе выполнения типичного задания теста PISA на математическую грамотность учащиеся должны использовать знания, опирающиеся на прочный фундамент. Очевидно, что у американских школьников возникают большие трудности с такими задачами. <…> Что касается последствий, тут есть одна четкая рекомендация: уделять гораздо больше внимания видам деятельности более высокого порядка, таким как математическое моделирование (осмысление ситуаций из реального мира, их перенос на математические модели и интерпретация математических результатов), без ущерба для базовых навыков, необходимых для этих видов деятельности (Organisation for Economic Co-operation and Development [OECD], 2013).

Команда PISA обнаружила феномен, проистекающий из недостатков заданий, которые дают ученикам в США. Члены команды обратили внимание на то, что склонность учеников игнорировать контекст и просто использовать числа приводит к тому, что они не справляются с заданиями. Это отражает низкое качество заданий с искусственным контекстом, которые используются в учебниках в США. К сожалению, стратегии, которые обычно изучают американские школьники на уроках, не принесут им пользы и после вступления в трудовую жизнь. На уроках математики ученики должны работать над заданиями, которые требуют изучения реальной ситуации, использования переменных из реального мира и анализа подлинных данных. Им необходимо научиться создавать математические модели на основе реальных ситуаций и решать задачи. Это увлекательный процесс, чрезвычайно важный для будущего учеников.

Стимулируйте учеников ставить вопросы, рассуждать, обосновывать свои выводы и быть скептиками

Математик должен сразу поставить интересный вопрос. Этот метод практически не применяется на уроках, хотя и играет важнейшую роль в математической работе. Ник Фут — замечательный учитель третьего класса и друг, который учил обеих моих дочерей, что дало нам возможность часто обсуждать вопросы математики. Иногда на своих уроках он описывает ситуацию и предлагает ученикам поставить математические вопросы. Однажды я присутствовала на уроке Ника, когда он дал ученикам такое задание.

Вы хотите купить браслеты из резинок. Для этого вы отправляетесь в магазин и находите там следующие варианты.

Двухцветные браслеты — 0,5 долл. за один браслет или 3 браслета за 1 долл.

Многоцветные браслеты — 1 долл. за один браслет или 3 браслета за 2,5 долл.

Материалы, необходимые для самостоятельного изготовления браслета

Пакет с 600 резинками — 3 долл. или 4 пакета за 10 долл.

Пакет с 600 резинками, светящимися в темноте, — 5 долл.

Станок Wonder Loom.

Затем Ник предложил группам учеников обсудить эту ситуацию и сформулировать вопросы. В примере 9.11 показан рабочий лист, который он выдает ученикам для выполнения этого задания.

ПРИМЕР 9.11. МЫ ХОТЕЛИ БЫ ЗНАТЬ

Члены группы:

Дата:

Мы хотели бы знать: __________

Используйте рисунки, числа и слова, чтобы показать, как вы ответили на этот вопрос.

Мы хотели бы проанализировать: __________

Используйте рисунки, числа и слова, чтобы показать, как вы ответили на этот вопрос.

Ученики с воодушевлением начали размышлять над такими вопросами: почему готовые браслеты обходятся так дорого? Они смогли найти ответ, выяснив, во сколько обошлось бы самостоятельное изготовление браслетов, а затем проанализировав затраты на продажи через магазин. Ученики задавали реальные вопросы, которые требовали большей вовлеченности и обучения.

После выхода на рынок труда в нашем высокотехнологичном мире от учеников будут ожидать выполнения одной очень важной работы: постановки вопросов в связи с различными ситуациями или большими объемами данных. Компаниям все чаще приходится иметь дело с огромными массивами данных, поэтому сотрудников, которые умеют задавать творческие и интересные вопросы, будут высоко ценить на работе. Когда я предлагала ученикам рассмотреть ту или иную ситуацию и сформулировать свои вопросы, они сразу включались в работу, с воодушевлением опираясь на собственные идеи. Такой метод легко реализовать на уроках математики, и его необходимо время от времени использовать. Люди должны иметь возможность освоить его в школе, чтобы быть готовыми к его применению в дальнейшей жизни.

Рассказывая о своей роли в качестве работодателя, Конрад Вольфрам говорит, что ему не нужны сотрудники, которые умеют быстро считать, поскольку это могут делать компьютеры. Ему нужны сотрудники, способные выдвигать гипотезы и говорить о своих математических методах. Крайне важно, чтобы сотрудники рассказывали о своих математических методах другим членам команды: тогда остальные также смогут воспользоваться этими методами в своей работе и исследованиях и смогут увидеть, есть ли ошибки в соответствующих размышлениях или логике. В этом и состоит суть математической работы, которая называется рассуждением.

Я беседую о стандартах Common Core по математике со многими родителями, и мне часто задают такой вопрос (особенно родители сильных учеников): «Зачем моему ребенку обсуждать свою работу в группе, если он может сам получить все ответы?» Я говорю таким родителям, что объяснение своей работы — практика, которая называется логическим рассуждением и лежит в основе математики. Когда ученики выдвигают доводы в пользу своих идей и обосновывают свой ход мыслей, они занимаются истинной математикой. Ученые предлагают теории и ищут примеры, которые доказывают или опровергают эту теорию. Математики предлагают теории и рассуждают о своих математических методах, обосновывая установленные ими логические связи между этими идеями (Boaler, 2013c).

В главе 5 шла речь об учебной стратегии, в соответствии с которой ученикам предлагают быть скептиками, побуждая друг друга к высокому уровню рассуждений. Это превосходный способ научить учеников рассуждать и брать на себя роль скептиков, что им очень нравится. Как было сказано в главе 5, рассуждение — не только важнейшая математическая практика, но и учебная, которая обеспечивает равенство, предоставляя всем доступ к идеям. Выступая в роли скептиков, ученики получают возможность задавать вопросы другим; при этом им не приходится брать на себя роль того, кто ничего не понимает.

Используйте современные технологии и развивающие материалы

Показывая ученикам мир открытой, визуальной и творческой математики, целесообразно использовать разные элементы современных технологий и развивающие материалы. Счетные палочки Кюизенера, соединяющиеся кубики и занимательная мозаика помогают учащимся на всех уровнях; я использую их даже в работе со студентами Стэнфорда. В главе 4 представлен анализ приложений и игр, которые также развивают концептуальное и визуальное мышление. В главе 4 я сфокусировалась на числах, но есть много хороших приложений, позволяющих ученикам исследовать геометрические идеи в двух или трех измерениях, перемещая углы и прямые, чтобы изучить соотношения. Это важные и эффективные размышления, которые невозможно выполнить с помощью ручки и бумаги. Приложения Geometry Pad для iPad и GeoGebra позволяют учителям и ученикам создавать свои динамичные изображения и исследовать геометрические и алгебраические понятия, такие как y = mb + x, и тригонометрические функции в режиме динамического визуального отображения. Приложение Geometry Pad выпускает компания Bytes Arithmetic; его базовая версия есть в бесплатном доступе.

Другие приложения, например Tap Tap Blocks, помогают ученикам строить объекты в трех измерениях, создавая и решая пространственные и алгебраические закономерности (см. рис. 9.12). Ученики могут размещать и вращать объекты в искусственно созданном трехмерном пространстве. Tap Tap Blocks — бесплатное приложение, работающее на базе iOS, которое разработал Пол Хангас.

Рис. 9.12. Tap Tap Blocks

С помощью приложения можно предложить ученикам выполнить такое задание: создать фигуру, сделать несколько ее скриншотов с разных сторон, а затем предложить одному из друзей составить свою фигуру (см. рис. 9.13).

Рис. 9.13. Вид фигуры, созданной в приложении Tap Tap Blocks, с шести разных сторон

Можешь ли ты построить свою фигуру, в которой 1 оранжевый, 1 желтый, 1 синий, 2 зеленых, 2 голубых, 2 красных и 3 фиолетовых блока? Вот несколько скриншотов этой фигуры с разных сторон.

Все эти программы предлагают эффективный способ вовлечения учеников в процесс концептуального и визуального мышления, но есть и другие приложения, игры и сайты, обеспечивающие такую возможность. Существует множество приложений и игр, которые якобы могут помочь ученикам, но немногие из них опираются на результаты исследований по теме обучения, чтобы представить математику как концептуальную и визуальную дисциплину. Я рекомендую избирательно подходить к выбору технологий для работы с учениками и использовать только то, что стимулирует их размышлять и выдвигать гипотезы, а не развивать скорость выполнения процедур и вычислений.

Математика — широкая, многоплановая дисциплина, и когда учителя будут учитывать ее многоплановость при преподавании и оценке знаний, гораздо больше учеников получат доступ к математике и испытают воодушевление в связи с этим. Открывая математику, мы увеличиваем число и расширяем круг учеников, которые смогут успешно заниматься этой дисциплиной. Это не искусственное расширение или упрощение; это скорее такое расширение, которое приближает школьную математику к истинной и к математике реального мира.

Резюме

У учителей, родителей и руководителей есть возможность направить учеников на математический путь, ориентированный на мышление роста, который приведет их к большим достижениям, счастью и высокой самооценке на протяжении всей жизни. Необходимо избавить молодых людей от деструктивных представлений о том, что неудачи недопустимы, нельзя совершать ошибки, математика доступна только избранным, а успех должен даваться легко. Необходимо приобщить их к творческой, красивой математике, позволяющей ставить вопросы, которых еще никто не ставил, или выдвигать идеи, выходящие за традиционные и мыслимые пределы. Надеюсь, эта книга подарила вам идеи, которые помогут вам начать или возобновить свой путь к творческой, развивающей математике и мышлению роста, по которому вы будете следовать всю жизнь. Создавая условия для открытой математики и подавая сигналы в отношении изучения этой дисциплины, которые ее поддерживают, мы формируем свою интеллектуальную свободу в качестве учителей и родителей, а также пробуждаем такую свободу в других людях.

Благодарю вас, что отправились в это путешествие вместе со мной. Теперь пришло время привлечь других на тот путь, о котором вы здесь узнали, предложив им стать такими, какими они должны быть: свободными от искусственных правил и вдохновленными знанием о том, что у них есть безграничный математический потенциал. Все мы можем открыть математику и дать ученикам шанс ставить вопросы и проявить естественную изобретательность и любознательность при изучении этой дисциплины. Обеспечив детям такой опыт изучения творческой, развивающей математики, мы изменим их и их способы взаимодействия с окружающим миром.

Предоставив ученикам свободу, мы получим красивую математику.