Глава 2 Все началось в Шумерии

We use cookies. Read the Privacy and Cookie Policy

Глава 2

Все началось в Шумерии

Кто сказал, что история математики не так уж важна? Именно история математики хранит истоки человеческой мысли, рассказывает, как развивались идеи и где найти ключи к пониманию будущего. Это основное средство изучения математики и к тому же еще одна возможность насладиться ее красотой. История загадки Ферма уходит корнями на много тысяч лет назад, в Шумерию и Древнюю Индию. Ее истоки хранит знаменитая теорема Пифагора, которая гласит, что если х и у — катеты прямоугольного треугольника, a z — его гипотенуза, то х2 + у2 = z2.

Пифагор, несомненно, один из самых знаменитых математиков, а теорема Пифагора — одна из известнейших теорем. Тем удивительнее, что за несколько веков до его рождения эта теорема уже была известна. Настало время переименовать ее, но в честь кого ее следует назвать?

История, которую мы расскажем, начинается в 1800 году до н. э. близ Ларсы — крупного города шумеров, расположенного на юге современного Ирака. Тщательно размяв кусок глины, писец раскатывает его, чтобы получилась табличка. Он собирается написать на ней таблицу чисел, которая сохранится на много тысяч лет.

Табличка Плимптон 322

Примерно в 1922 году нью-йоркский издатель Джордж Артур Плимптон приобрел эту табличку у Эдгара Джеймса Бэнкса, торговца археологическими находками. Табличка находилась в неплохом состоянии, но справа посередине виднелась крупная трещина, а символы в верхнем левом углу было нельзя прочитать. И, что было еще интереснее, все указывало на то, что исходная табличка имела больший размер, поскольку левый край был неправильной формы, как будто обломан. Быть может, табличку повредили при раскопках? До нас дошла глиняная табличка размерами 13 x 9 x 2 см. Согласно Бэнксу, табличка была найдена в городе Сенкере (современное название Ларсы). Позднее исследователи сравнили стиль написания символов на этой и других табличках того времени и подтвердили, что Бэнкс не ошибся. Табличка датируется 1822–1784 годами до н. э. Иными словами, она была написана за несколько лет до захвата Ларсы войсками Хаммурапи в 1762 году до н. э. Плимптон умер в 1936 году и завещал эту табличку вместе со всей своей коллекцией Колумбийскому университету, где она хранится и поныне под номером 322. С тех пор эта табличка известна под названием Плимптон 322.

Табличка Плимптон 322.

Вавилонская шестидесятеричная система счисления

В чем же загадка этой таблички? На ней в четыре столбца нанесены числа, записанные в системе счисления, которая отличается от нашей и имеет основание 60. Считается, что эта система, называемая шестидесятеричной, появилась в культуре шумеров в третьем тысячелетии до нашей эры и позднее была заимствована вавилонянами. Мы используем ее и сейчас при измерении времени, углов и географических координат. Десятичная и шестидесятеричная системы уживаются рядом: час делится на 60 минут, минута — на 60 секунд, но секунды делятся на десятые, сотые и тысячные доли уже в десятичной системе счисления. Несмотря на свое удобство, десятичная система не смогла полностью заменить шестидесятеричную, которую придумали наши предки шумеры. Окружность по-прежнему делится на 360 градусов, как и тысячи лет назад. Звездные часы послужили моделью для наручных часов, и даже современные цифровые часы по-прежнему имитируют движение стрелки по окружности, разделенной на 60 частей. Десятичная система используется уже много лет и даже веков, но сутки по-прежнему делятся на 24 часа.

Почему же шумеры использовали шестидесятеричную систему счисления? Число 60 не перестает удивлять нас своими замечательными свойствами. Одно из самых заметных его свойств — это большое количество делителей. Оно без остатка делится на двенадцать чисел: 1, 2, 3, 4, 3, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Ни одно из чисел, меньших 60, не имеет столько делителей. Это свойство особенно удобно при работе с дробями, так как вычисления заметно упрощаются. В то время не существовало вычислительных машин, и все, что могло упростить вычисления, было как нельзя кстати.

Многие математики считают, что удивительных свойств числа 60 достаточно, чтобы понять, почему же древние шумеры использовали шести десятеричную систему счисления.

Число 60 также тесно связано с простыми числами. Начнем с того, что оно находится между двумя простыми числами-близнецами (59 и 61) и является суммой двух простых чисел-близнецов (29 + 31). Его также можно представить в виде суммы четырех последовательных простых чисел (11 + 13 + 17 + 19).

Возможно, удивительнее всего то, что 60 — наименьшее число, которое можно получить в виде суммы двух простых чисел шестью разными способами. Это показано в таблице ниже.

Уже в IV веке Теон Александрийский предположил, что число 60 было выбрано как основание системы счисления потому, что это наименьшее число, которое делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Развивая эту мысль, математик Дж. Г. ван дер Галиен показал, что если n — целое положительное число, делители которого, меньшие ?n, являются последовательными числами, то n либо простое, либо удвоенное простое число, либо одно из чисел 1, 8, 12, 24, 60. Значит, 60 — наибольшее составное число, первые делители которого, не превышающие ?n, являются последовательными.

* * *

СВЕРХСОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

Натуральные числа, имеющие больше делителей, чем любое предшествующее им натуральное число, называются сверхсоставными. Найти первые сверхсоставные числа очень просто, что показано в таблице. Однако до сих пор не найдена формула, позволяющая найти все подобные числа.

* * *

От десятичной системы мер к шестидесятеричной системе счисления

Однако этот и другие ответы не удовлетворяют некоторых исследователей. Существуют археологические находки, подтверждающие, что около 3500 года до н. э. шумеры использовали десятичную систему мер, и точно неизвестно, как и почему они перешли к шестидесятеричной системе счисления. В связи с этим важно отметить различие между системой счисления и системой мер. Система счисления используется для подсчета, сложения, вычитания и других арифметических действий. Система мер используется для измерения длин, площадей, объемов, углов, весов и даже времени. Хотя обе системы, как правило, совпадают, это не обязательно должно быть именно так. Мы сами используем десятичную систему счисления, которая сосуществует с шестидесятеричной системой измерения времени.

Австрийский исследователь Отто Нойгебауэр в начале XX века предположил, что в культуре шумеров после десятичной системы мер использовалась шестидесятеричная, свидетельств чему не сохранилось. Возможно также, что обе системы использовались одновременно. Нойгебауэр выдвинул версию, что исходная десятичная система мер была заменена системой с основанием 60, чтобы делить меры и веса на три части. Нам достоверно известно, что в системе мер и весов, которую использовали шумеры, в качестве основных дробей использовались 1/3 и 2/3. Однако это не объясняет, почему шестидесятеричная система не использовалась с самого начала.

Объединение народов, смешение систем

Другие исследователи, в частности, Г. Кевич, предполагают, что шумерская цивилизация могла возникнуть после объединения двух народов, один из которых использовал систему счисления по основанию 12, другой — систему по основанию 5. Хотя система счисления по основанию 5 была распространена не так широко, как десятичная, они могут иметь одинаковое происхождение, связанное с подсчетом на пальцах: в пятеричной системе использовались пальцы одной руки, в десятичной — пальцы обеих рук. Следуя этой теории, при слиянии народов система по основанию 60 возникла естественным образом, в ходе торговли.

Однако у этой теории есть два важных недостатка. Несмотря на то что имеются доказательства использования десятичной системы на этой территории, нет никаких археологических находок, которые подтверждали бы использование системы по основанию 5. Чтобы устранить этот недостаток, можно предложить альтернативную теорию. Допустим, что незадолго до 3500 года до н. э. одна народность использовала двенадцатеричную систему мер и объединилась с другой шумерской народностью, которая в то время применяла десятичную систему. Логично предположить, что постепенно была установлена общая система, чтобы упростить расчеты. Идеальной системой была бы та, основание которой было бы наименьшим общим кратным 10 и 12, чтобы можно было легко пересчитывать числа из одной системы в другую. Таким числом является 60.

Однако здесь становится очевиден второй недостаток нашей теории, так как не существует доказательств, что какая-либо народность использовала систему счисления по основанию 12. Дав волю воображению, мы можем предположить, что 12 — число полнолуний в солнечном году, и до сегодняшнего дня многие единицы измерения связаны с числом 12: например, в британской системе мер фут состоял из 12 дюймов, шиллинг был равен 12 пенсам, а 1 фунт — 12 унциям. Более того, в Европе до сих пор продают яйца дюжинами! Двенадцать дюжин составляют так называемый гросс (эта мера счета применялась при счете мелких галантерейных предметов), и это доказывает, что здесь используется система счисления по основанию 12. Кроме того, 12 является сверхсоставным числом. Но для подтверждения наших теорий нужны археологические находки, которые до сих пор не обнаружены.

Астрономические теории и градусы

Год приблизительно равен 360 дням, окружность делится на 360 градусов. Совпадение? Шумеры тщательно наблюдали за небосводом. Каждую ночь они следили за движением звезд на небе и знали, что в году примерно 365 дней. Следовательно, описывая круг вокруг Солнца, за день Земля проходила одну триста шестьдесят пятую часть окружности. Возможно, для упрощения вычислений было решено поделить окружность на 360 градусов. С точки зрения арифметики преимущества были очевидны, но также имелись и очень интересные геометрические свойства. Если вписать окружность в шестиугольник, его сторона будет равна радиусу окружности. Благодаря этому соотношению можно легко нарисовать шестиугольник или разделить окружность на шесть равных частей с помощью циркуля. А 60 равно одной шестой части от 360. Благодаря всем этим совпадениям, безусловно, было легче изображать небесный свод и движение небесных тел, а также описывать их в численном виде. Шумеры, несомненно, были знатоками астрономии.

Другое любопытное совпадение заключается в том, что Солнце проходит за день расстояние, приблизительно равно 720 его диаметрам (видимый диаметр Солнца равен 2 минутам дуги). Так как день у шумеров состоял из 12 часов, то мы опять с легкостью получим 60. Это означает, что шумеры знали способ измерения видимого диаметра Солнца, но опять-таки не обнаружено никаких археологических находок, которые бы это подтверждали. Также существует гипотеза, что каждые 60 лет совмещаются сферы Юпитера и Сатурна. Вне всяких сомнений, у множества астрономических явлений периодичность выражается числом 60, его делителями или кратными ему числами. И это неспроста!

* * *

БАКИБОЛЫ

В геометрии число 60 занимает особое место. В 1985 году Роберт Кёрл-младший, Гарольд Крото и Ричард Смолли открыли бакминстерфуллерены (также известные как бакиболы) диаметром около нанометра. Это открытие было удостоено Нобелевской премии по химии 1996 года. Эти молекулы состоят из 60 атомов углерода (С^ в химической нотации), которые расположены симметрично и образуют пяти- и шестиугольники. У бакминстерфуллеренов есть замечательные свойства, в частности, сверхпроводимость. Бакиболы обладают сверхпроводимостью при наивысшей температуре среди всех органических соединений и применяются в нанотрубках. Они получили свое имя за схожесть с сооружениями американского архитектора Ричарда Бакминстера Фуллера. Открытие этого соединения взволновало научное сообщество, так как вместе с графитом и алмазом это третья известная форма чистого углерода.

* * *

Способы счета

Исследователи Джон О’Коннор и Эдмунд Фредерик Робертсон считали, что происхождение шестидесятеричной системы должно быть связано со способом счета, который применяли шумеры. Они предположили, что, подобно тому как пальцы рук могут использоваться при счете в десятичной системе, а пальцы рук и ног — при счете в двадцатеричной системе, должен был быть некий способ счета на пальцах, который положил начало шестидесятеричной системе счисления. Если указывать большим пальцем правой руки на каждую из трех фаланг других пальцев правой руки, можно легко сосчитать до 12. Для больших чисел нужно поднимать палец левой, свободной, руки после каждого обхода фаланг правой руки и так досчитать до 60 (12·5 = 60). Такой способ счета также объясняет, почему для подсчета часов использовалось число 12.

Язык и письменность

Американец Мартин А. Пауэлл-младший предложил новую теорию. Он считал, что шестидесятеричная система счисления возникла как результат взаимодействия языка и письменности. Его гипотеза основана на том, что в основном диалекте шумерского языка часто используются формы слова «двадцать», а в другом диалекте — формы слова «три». Шестидесятеричная система счисления сформировалась при объединении двух диалектов. В пользу этой теории мог бы послужить тот факт, что слово «шестьдесят» («нис») на языке шумеров звучало наподобие «три раза по 20», но это не так. Истинное происхождение этого слова в шумерском языке неизвестно.

Уже несколько веков исследователи пытаются найти истоки шестидесятеричной системы шумеров, но в конечном итоге ни одна из теорий не находит подтверждения в археологических находках. Возможно, будущие открытия помогут нам приподнять завесу тайны над этой загадкой.

Два символа для подсчета всего на свете

Можно было бы предположить, что в вавилонской шестидесятеричной системе счисления использовалось 60 различных символов, подобно тому как в нашей десятичной системе используются 10 разных цифр. Однако это не так. Для записи любого числа вавилоняне использовали всего два символа. В их системе счисления гениально сочетались позиционная и аддитивная системы.

Система счисления называется позиционной, когда значение каждой цифры зависит от места, где она расположена. Например, используемая нами десятичная система является позиционной, так как цифра 2, расположенная на первом месте, считая справа, обозначает две единицы, но если поместить эту цифру на второе место справа, то она будет обозначать уже два десятка.

Система счисления называется аддитивной, когда значение каждого символа не зависит от места, которое он занимает в записи числа. Значение числа получается путем сложения значений отдельных символов.

Аддитивная система счисления

Счет от 1 до 9 в вавилонской системе был очень прост: вавилоняне рисовали одну палочку, две палочки и так далее. Здесь их система имеет признаки аддитивной. Хотя обычно палочки рисовались на определенных местах, все они имели одинаковое значение. Каждая палочка означала единицу. Так как цифры записывались палочками на глиняных табличках, то вертикальные палочки имели клиновидную форму. Они соединялись между собой и располагались симметрично, как показано на рисунке.

Для числа 10 вавилоняне использовали другой символ: повернутый раскрытый клин. Таким образом десятки и единицы накапливались до 59. Следовательно, система по-прежнему обладала свойствами аддитивности: одни символы всегда означали 1, другие — 10.

Знаки вавилонской шестидесятеричной системы счисления.

Позиционная система счисления

Начиная с числа 60 вавилонская система является позиционной. Чтобы представить число 60, во втором разряде, считая справа, рисовали палочку. Поэтому вавилонская система счисления и называется шестидесятеричной: палочка во втором разряде означает 60. Таким способом можно легко сосчитать до 3 600. Например, 72 записывается так:  . Считая справа, два вертикальных клина означают 1, горизонтальный — 10, другой вертикальный клинышек — 60. Получим 60 + 10 + 2 = 72.

Трудности начинаются, когда мы хотим записать число 62: на первом месте записываются две вертикальные палочки, на втором месте — еще один вертикальный клин. Нужно записать палочки очень аккуратно, чтобы не перепутать 62 ( ) и 3 ( ). Более того, если мы нарисуем всего одну палочку, как определить, что она означает: 1 или 60? Иногда это невозможно. В то время не существовало нуля, поэтому при чтении такой клинописи легко ошибиться. Но если числа записаны не в тексте, а в виде таблицы, то намного проще определить, какое место занимает каждый символ. Но и в этом случае нужно быть внимательным и предполагать, что писец не совершал ошибок.

Рассмотрим на примере, как можно перевести из шестидесятеричной системы в десятичную следующее число:

Сначала прочитаем шестидесятеричное число и запишем его в десятичной нотации по разрядам. Получим 20–11-1-23.

Затем вычислим десятичное значение этого числа. Справа записаны 23 единицы, 1 во втором разряде означает 60, 11 в третьем разряде нужно взять шестьдесят раз по шестьдесят (иными словами, умножить на 602) и, наконец, 20 в четвертом разряде нужно умножить на шестьдесят, умноженное на шестьдесят, умноженное на шестьдесят (то есть на 603). Так мы получим десятичное число:

20·603  + 11·602 + 1·60 + 23 = 4 359 683.

Десятичные числа

Подобно тому как в шестидесятеричной системе не использовался нуль, в ней также не существовало и десятичной запятой (разделителя). Поэтому понять, где должна находиться запятая, можно было только из контекста. В качестве примера переведем шестидесятеричное число  в десятичную систему, предполагая, что исходное число меньше единицы. Сначала, как и в первом примере, прочитаем шестидесятеричное число и запишем его в десятичной нотации по разрядам. Мы получим 10—2—11 (обратите внимание, что в исходном числе 10 и 2 разделены между собой).

Затем вычислим десятичное значение этого числа. В левом разряде находится 10, равное десяти шестидесятым частям единицы (то есть 10/60). 2 в следующем разряде означает одну шестидесятую от шестидесятой части единицы (то есть 2/602).

Ив третьем разряде нужно умножить на одну шестидесятую одной шестидесятой от одной шестидесятой части единицы (то есть 11/603). Получим десятичное число:

10/60 + 2/602 + 11/603 = 0,167273…

Перевод таблички Плимптон 322 в десятичную систему счисления

Исследователи шли тем же путем, когда пытались разгадать значение чисел на табличке Плимптон 322. Сначала они пронумеровали столбцы и тщательно перевели все цифры в арабскую нотацию.

Таблица чисел с исходной таблички в системе по основанию 60, записанных в арабской нотации.

Для всех табличек в этой главе курсивом (в левом верхнем углу) выделены трудночитаемые числа, жирным шрифтом — предположительно ошибочные значения. Ниже приведены эти же числа, переведенные в десятичную систему по методу, описанному выше.

Числа с таблички, переведенные в десятичную систему.

По-видимому, эти числа не имеют особого смысла. Это может быть просто набор цифр. Заметим, однако, что в четвертом столбце, то есть в первом столбце справа, содержатся последовательные числа от 1 до 15, как будто бы что-то было пронумеровано. С другой стороны, можно сказать, что в первом столбце содержится последовательность шестидесятеричных чисел от 0 до 1, строго упорядоченных по убыванию. Некоторые из них более сложные и содержат больше цифр, например, число в десятой строке. Другие намного проще, как, например, число в 11-й строке. Но все же кажется невероятным, что между этими числами существует какая-то связь.

И здесь нужно обратить внимание на второй и третий столбцы, так как числа в третьем столбце всегда больше чисел из второго, и при делении мы также получим строго упорядоченную по убыванию последовательность чисел между 0 и 1. Таким образом, мы можем добавить в таблицу столбец V. Значения в нем будут рассчитываться по следующей формуле:

столбец V = столбец II / столбец III.

Кроме того, можно легко показать, что если возвести каждое число во втором и третьем столбце в квадрат и вычесть одно из другого, то результат всегда будет квадратом целого числа. Таким образом, мы можем добавить в таблицу столбец VI. Значения в нем будут рассчитываться по следующей формуле:

столбец VI = ?(столбец III2 — столбец II2).

Объединив все полученные числа в одну таблицу, мы сможем исправить некоторые ошибки в исходных числах. Например, все указывает на то, что во второй строке есть ошибка, так как число в столбце V не вписывается в убывающую последовательность чисел, а в столбце VI не получается целое число. Единственный способ исправить эти ошибки — записать в третьем столбце 4825 вместо 11 521.

Теперь числа согласуются между собой.

Расширенная таблица с исправленными ошибками (исправленные значения отмечены звездочками).

Но еще удивительнее значения чисел в первом столбце. Потребовалось немало воображения, чтобы догадаться, что при делении чисел из второго столбца на числа из шестого и возведении результата в квадрат получаются числа из первого столбца с точностью до последнего десятичного знака. Поразительно! Теперь мы можем исправить все ошибки в исходных числах.

Но откуда взялись все эти числа? Очевидно, что они записаны на табличке не случайно. В течение десятилетий исследователи предлагали различные объяснения. В первом приближении может показаться, что здесь перечислены пифагоровы тройки (в столбцах II, III и VI), то есть целые числа, удовлетворяющие соотношению из теоремы Пифагора. Числа в столбце II соответствуют длинам меньших катетов, числа в столбце III — длинам гипотенуз, числа в столбце VI — длинам больших катетов. Это подтверждает и надпись на аккадском языке над столбцами II и III. Возможно, столбец VI был записан на утерянной части таблички.

Но кому понадобилось выбрать столь сложные пифагоровы тройки? Существует множество значительно более простых троек, например, (3, 4, 5), (6, 8, 10) или (3, 12, 13). Все они соответствуют сторонам прямоугольных треугольников, но не приводятся в таблице. Хотя эта табличка могла быть не единственной, было бы логично предположить, что среди первых пятнадцати строк появятся некоторые из простейших пифагоровых троек.

Гипотеза Отто Нойгебауэра

Все это заставило математика Отто Нойгебауэра предположить, что числа в столбцах II и III на самом деле являются результатами вычислений над более простыми числами. Примерно в 1931 году Нойгебауэр предположил, что создателю таблички были известны формулы для определения пифагоровых троек на основе этих чисел. Для этого он выбрал два натуральных взаимно простых числа р и q, p > q. Затем он рассчитал следующие значения:

а = р2 — q2 (столбец II),

b = 2pq (столбец VI),

с = р2 + q2 (столбец III).

Нетрудно видеть, что

а2 + Ь2 = (р2 — q2)2 + (2pq)2 = р4 — 2p2q2 + q4 + 4р2q2 = р4 + 2p2q2 + р4 = (р2 + q2)2 = с2.

Следовательно, эти три числа образуют пифагорову тройку.

Руководствуясь этой гипотезой, Нойгебауэр начал дополнять табличку новыми столбцами, которые предположительно находились в левой, утерянной ее части.

Выбор значений p и q согласно гипотезе Отто Нойгебауэра (исправленные значения отмечены звездочками).

Казалось бы, все сходится. Кроме одиннадцатой строчки! Почему все числа в таблице не могут подчиняться общей закономерности? Почему закономерность нарушена именно в этой строке? Потому что она обладает крайне любопытным свойством. Числа, образующие пифагорову тройку (45, 60, 75) имеют общие делители: все они делятся на 15. Выполнив деление, получим тройку (3, 4, 5), которой соответствуют значения р = 2, q = 1.

Но это не помогло найти разгадку. Множество вопросов оставалось без ответа. Почему были выбраны именно эти значения р и q, а не какие-то другие? И что означают числа из первого столбца?

Объяснение Роберта Крейтона Бака

Математик Роберт Крейтон Бак в 1980 году объяснил значения чисел на основе тригонометрии. Для этого он изобразил все прямоугольные треугольники, описанные в табличке: за длины меньших катетов он принял числа из столбца II, за длины больших катетов — числа из предполагаемого столбца VI, за длины гипотенуз — числа из столбца III. Затем он вычислил угол между большим катетом и гипотенузой и заметил удивительный факт: в первом треугольнике длина катетов была почти одинаковой, поэтому угол между большим катетом и гипотенузой был чуть меньше 45°. Затем углы строго уменьшались с каждым шагом приблизительно на один градус.

В столбцах II, III и VI записаны длины сторон прямоугольных треугольников, в столбце I — результат вышеприведенной операции.

Величины углов в пятнадцати прямоугольных треугольниках, длины сторон которых записаны в столбцах II, III и VI.

С учетом всего этого Бак осмелился предположить, что в столбце I находятся квадраты тангенсов полученных углов. Следовательно, табличка Плимптон 322 доказывает, что тригонометрические функции были известны уже тогда. Однако эту гипотезу сложно подтвердить, так как нам неизвестны другие документы той эпохи, где для решения задач использовались бы тригонометрические функции. Часто совсем непросто определить уровень знаний разных культур на основе известных нам источников! Одни исследователи всегда будут склонны к преувеличению, другие — к преуменьшению.

Однако существование табличек — неоспоримый факт. Все значения р и q разлагаются на произведения простых делителей: 2, 3 и 5. Следовательно, значения, обратные р и q, при записи в шестидесятеричной системе счисления всегда будут иметь конечное число знаков. Может, по этой причине составитель таблички выбрал именно эти р и q, а не какие-то другие?

Интерпретация Элеанор Робсон

В феврале 2002 года Элеанор Робсон из Великобритании удивила научное сообщество, представив новую интерпретацию таблички. Быть может, вовсе не столь очевидно, что на табличке Плимптон 322 записаны пифагоровы тройки. Согласно Элеанор Робсон, автором таблички мог быть учитель математики, который использовал ее как справочник при решении определенных уравнений второй степени. Свою гипотезу она подкрепила содержанием другой таблички, YBC 6967, созданной примерно в то же время.

В ней подробно описывается способ решения уравнений вида х — 1/x = с. Он состоит в подсчете последовательности промежуточных значений, которые помогают найти решение:

a1 = с/2, а2 = а12,а3 = 1 + а2,а4 = а31/2.

Зная эти числа, мы легко вычислим

x = а4 + a1,1/x = a4 — a1

Согласно Робсон, в табличке Плимптон 322 использовалась та же схема: а3 записаны в первом столбце, a1 = (х — 1/х)/2 во втором, а4 = (х + 1/х)/2 — в третьем. По этой гипотезе значения х и 1/х могли находиться на утерянной части таблички.

Таким образом, на табличке было записано 15 упражнений, которые учитель давал ученикам. Табличка содержала все промежуточные значения, чтобы не нужно было каждый раз повторять вычисления. Это настоящий учебник, очень похожий на современные.

Теорема Пифагора в Шумерии

Однако исследования Робсон возвращают нас к исходному вопросу. Если табличка Плимптон 322 не является убедительным доказательством того, что теорема Пифагора была известна уже шумерам, то когда же эта теорема впервые упоминается в исторических источниках? В любом случае нужно подождать, пока не будут найдены новые таблички, которые помогут частично ответить на вопросы. Но также достоверно известно, что теорема Пифагора в том или ином виде упоминалась в обширной истории Месопотамии, и этому существуют документальные подтверждения.

К вавилонскому периоду относится задача, которая не оставляет относительно этого никаких сомнений. В задаче говорится: «Стебель тростника имеет длину 0,30. Сверху опущено 0,06, каково расстояние до низа?» В десятичной системе длина тростника равна 0,5, а расстояние от верха стены до конца стебля равно 0,1. Изобразим условие задачи на рисунке. Заметим, что стебель тростника, стена и пол образуют прямоугольный треугольник. Стебель длиной 0,5 — это гипотенуза АС, стена АВ и пол ВС — два катета.

Прямоугольный треугольник из шумерской задачи о тростнике.

Далее в этом же документе приводится решение. Арабскими цифрами оно записывается так:

Возведи в квадрат 0,5, получишь 0,25.

Вычти 0,1 из 0,5, получишь 0,4.

Возведи в квадрат 0,4, получишь 0,16.

Вычти 0,16 из 0,25, получишь 0,09.

Квадрат какого числа равен 0,09?

0,3.

Нижний конец стебля отстоит от стены на 0,3.

Если говорить вкратце, то для нахождения катета длина гипотенузы и длина катета возводятся в квадрат, после чего находится квадратный корень из разности этих квадратов. Именно так формулируется теорема Пифагора.

Нет никаких сомнений, что автору был известен метод решения этой задачи в общем виде, вне зависимости от длины стебля и расстояния, на которое он отстоит от стены. Кроме этого, автор верно подобрал числа, чтобы задачу было легко решить в шестидесятеричной системе счисления, так как все числа в задаче можно представить как произведение 2, 3 и 5 в различных степенях.

И чтобы окончательно развеять сомнения, добавим, что в источниках вавилонского периода многократно встречается задача о вычислении квадратного корня. Документально подтверждено, что вавилоняне умели вычислять квадратный корень из 2 с удивительной точностью.

Все это доказывает, что в культуре Месопотамии было известно, сколь важную роль играло вычисление квадратных корней в решении задач. Помимо прочего, им также было известно, что некоторые квадратные корни имеют точные значения, а другие имеют бесконечное множество знаков, и их значение можно вычислить только приближенно. Вавилонские математики терпеливо вычисляли значения этих корней со все большей точностью.

Существование письменных источников показывает, как важно передать полученные знания потомкам, чтобы новые поколения мудрецов смогли уточнить, пересмотреть и дополнить полученные ранее результаты. Подобно тому как астрономы оставляли свидетельства о своих наблюдениях, математики увековечивали свои открытия. Но сделать это было непросто. Для этого требовался богатый язык, объединявший числа, формы, рассуждения, вычисления и так далее, чтобы передавать знания из поколения в поколение.

Слово — индийской математике

Индийский математик Джордж Гевергезе Джозеф в своей книге «Павлиний хохолок» блестяще рассказывает о том, какой вклад внесли индийские математики в развитие этой науки, сыграв главную роль в открытии теоремы Пифагора. Долина Инда была плодородной во многих смыслах. Ее земли давали обильный урожай, и уже в 3000 году до н. э. появилось множество поселений, из которые постепенно формировались города. Мохенджо-Даро, Хараппа, Таксила и Лахор — следы пышных цивилизаций, которые процветали в этом регионе. Скотоводство и выращивание пшеницы, ячменя, хлопка и кунжута обеспечивало жителей этих поселений всем необходимым для жизни. Уже тогда они понимали, что нужно разделять земли и грамотно распоряжаться урожаем, делая запасы в периоды изобилия, чтобы справиться с будущими неурожаями и прокормить растущее население. Черчение, измерение, счет, взвешивание — основные геометрические и арифметические задачи были прекрасно известны жителям долины.

Культура Хараппа

К сожалению, хараппскую письменность не удалось расшифровать, поэтому мы можем полагаться лишь на археологические находки. Благодаря им известно, что в Хараппской цивилизации существовала система мер и весов. Были найдены грузила одинаковой формы и веса, которые не менялись на протяжении более пятисот лет.

Раскопки в Лотхале позволили определить эталонные веса, которые использовались в системе измерений, сочетавшей в себе пятеричную и десятичную системы. Взяв за основу гирю весом примерно 27,384 грамма и обозначив ее вес за единицу, исследователи определили, что использовались веса, равные 0,1; 0,2; 0,3; 1; 2; 5; 10; 20; 50; 100; 200 и 500 единиц. Также были найдены различные инструменты для измерения длины. Единица длины равнялась примерно 33,5 миллиметра.

Здания были построены по единым нормам и обладали структурным совершенством. В культуре Хараппа также была высоко развита геометрия. В этой местности недоставало камня, поэтому использовалась обожженная глина. В печах изготовлялись многие тысячи кирпичей. Кирпич в отличие от глины, высушенной на солнце, не разрушался во время дождей и во время разлива рек, благодаря которым земля в той местности была столь плодородной. Здания из этих кирпичей устояли под натиском времени. Качество кирпичей было так высоко, что в XIX веке инженер Уильям Брайтон использовал кирпичи, найденные на раскопках в руинах Хараппы, вместо щебня при постройке железной дороги длиной в 150 километров, соединившей Мултан и Лахор. Хотя были обнаружены кирпичи пятнадцати разных размеров, для всех соблюдалось соотношение сторон 4:2:1, которое считается оптимальным даже в наши дни. Арифметика и геометрия, числа и формы составляли часть Хараппской культуры, искусства, науки и техники.

Ведическая культура

Около 1500 года до н. э. кочевники с севера завоевали Хараппскую цивилизацию, ассимилировав некоторые ее обычаи. Этот народ, арии, говорил на индоевропейском языке — санскрите. Именно на этом языке написаны древнейшие памятники письменности. На нем говорили о философии, астрономии, математике, грамматике, религии — обо всем, что было необходимо потом записать. На санскрите записывали гимны и речи, обряды и церемонии, формулы и заклинания, а также очень точные правила фонетики (чтобы правильно говорить), грамматики (чтобы правильно писать), стихосложения (чтобы научиться писать стихи), астрономии (чтобы определять подходящее время для жертвоприношений, вычислять положение Солнца и Луны в разных накшатрах — аналогах зодиакальных созвездий) и математики (чтобы определять форму и площадь алтарей, веди, и расположение агни — источников священного огня, чтобы жертвоприношения возымели силу). Здесь снова появляются письменные упоминания о теореме Пифагора — возможно, за несколько веков до рождения самого Пифагора.

Шульба-сутры и алтари

Важнейшими математическими источниками ведической культуры являются шульба-сутры. Сутры — это особый жанр письма, максимально кратко выражающий суть высказывания, которое нужно передать. Для них были определены точные грамматические правила, подобные математическим законам. В шульба-сутрах в поэтической форме описываются алтари для жертвоприношений. Алтари квадратной и круглой формы, которые было легко соорудить, подходили для домашних ритуалов. Для публичных обрядов требовались более сложные алтари, состоящие из прямоугольников, треугольников, трапеций и других геометрических фигур. Один из этих алтарей имеет форму сокола, который готовится взлететь. Считалось, что если принести жертву на этом алтаре, то душа молящегося вознесется соколом прямо на небеса.

Ведический алтарь в форме сокола. Буквы обозначают разные типы кирпичей, используемых при постройке

(источник: Джордж Гевергезе Джозеф «Павлиний хохолок»)

Одной из важнейших характеристик алтаря была его площадь. Чтобы рассчитать ее, требовались формулы, с помощью которых можно было бы преобразовать одну геометрическую фигуру в другую той же площади. Подобные формулы содержатся в шульба-сутрах. В шульба-сутре Бодхайяны, датированной 800–600 годами до н. э., содержится формулировка теоремы Пифагора, методы вычисления квадратного корня из 2 (с точностью до пятого знака после запятой), а также описан ряд геометрических построений. Среди них — различные решения задачи о квадратуре круга (приближенные) и о построении многоугольников, чья площадь равна сумме или разности площадей двух других многоугольников. Для верного выполнения ритуалов тщательное соблюдение форм и размеров алтарей было столь же важно, как и безошибочное произношение мантр. Позднее Апастамба написал шульба-сутры на те же темы, что и Бодхайяна, но более подробные. Катьяяна создал шульба-сутры, немного дополнявшие предыдущие. Оба эти автора писали в более древнем стиле по сравнению с тем, что описал грамматик Панини в IV веке до н. э.

Бодхайяна точно изложил теорему Пифагора: «Веревка (шульба), натянутая по диагонали квадрата, образует фигуру вдвое большей площади, чем исходный квадрат». Катьяяна приводит более общий случай: «Веревка [натянутая вдоль диагонали и по длине равная] диагонали прямоугольника образует фигуру той же площади, что и образованная горизонтальной и вертикальной сторонами».

Теорема Пифагора в изложении Водхайяны. Площадь квадрата, построенного на диагонали, вдвое больше площади исходного квадрата.

Теорема Пифагора в изложении Катьяяны.

Эти знания позволяли строить ведические алтари с исключительной точностью. В качестве примера можно привести так называемый алтарь смасана, на котором богам подносился одурманивающий напиток сома. Чтобы жертвоприношения возымели нужный эффект, размеры основания алтаря должны были точно соблюдаться.

В шульба-сутре Апастамбы приводились точные указания по постройке этого алтаря. Джордж Гевергезе Джозеф изложил эти указания в современной нотации так:

Используя веревку, отметьте ХY длиной ровно 36 пад.

Отметьте на этой линии точки Р, Q и R такие, что ХР, XR и XQ равны 5, 28 и 35 пад соответственно.

Проведите перпендикуляры в точках X и Y.

Зная, что треугольники АРХ, DPX, BRY и CRY прямоугольные, а их стороны выражены целыми числами, определите положение точек А, В, С и D. Иными словами, длина AXD должна составлять 24 пады, длина ВYС — 30 пад. Если построение верно, отрезки АС и BD должны пересекать ХY в одной точке О.

АХ = XD = 12 пад

BY = YC = 15 пад

ХР = 5 пад

PR = 23 пады

RQ = 7 пад

QY = 1 пада

ХY = 36 пад

Размеры алтаря смасана

(источник: Джордж Гевергезе Джозеф «Павлиний хохолок»)

Получим следующие пифагоровы тройки:

?АРХ и ?DPX имеют стороны 5, 12, 13.

?АОХ и ?DOX имеют стороны 12, 16, 20.

?AQX и ?DQX имеют стороны 12, 35, 37.

?BRY и ?CRY имеют стороны 8, 15, 17.

?BOY и ?COY имеют стороны 15, 20, 25.

?ВХУ и ?СХУ имеют стороны 15, 36, 39.

Так как стороны этих треугольников выражены целыми числами, их можно было отмерить с удивительной точностью. Если этого было недостаточно, сама конструкция содержала множество дополнительных пифагоровых троек, которые помогали еще больше повысить точность. Так пифагоровы тройки оказались на службе технологий. Это удивительно и красиво. Конечно, было известно множество других троек, которые также использовались при сооружении разных алтарей.

Поэтому очевидно, что ведической цивилизации была прекрасно известна теорема Пифагора. Она обычно использовалась в задачах вида «объединить два равных или неравных квадрата и получить третий квадрат». С ее помощью можно было построить алтарь, по площади равный двум другим. Решение задачи такого типа приведено в шульба-сутрах. В современной нотации оно выглядит так:

Пусть нужно объединить два квадрата — ABCD и PQRS.

Пусть DX = SR.

Следовательно, площадь квадрата со стороной АХ будет равна сумме площадей квадратов ABCD и PQRS.

На рисунке ясно видно построение, описанное в тексте. В нем явно используется теорема Пифагора: AD2 + SR2 = АХ2

(источник: Джордж Гевергезе Джозеф «Павлиний хохолок»)

Вне всяких сомнений, еще в незапамятные времена люди чувствовали красоту арифметики и геометрии. С самого начала им стало понятно, что все фигуры делятся на криволинейные и прямолинейные. Прямоугольные треугольники быстро заняли привилегированное место среди прочих фигур. Два прямоугольных треугольника можно получить, если разделить прямоугольник пополам его диагональю. Привилегированное место в арифметике заняли натуральные числа, которые использовались при счете. В какой-то момент стало понятно, что можно строить прямоугольные треугольники, длины всех сторон которых выражены целыми числами. Открытие равенства суммы квадратов катетов и квадрата гипотенузы было особенным.

Было найдено удивительное и замечательное свойство удивительной и замечательной фигуры, красота, свойственная прямоугольным треугольникам, о которой стоило рассказать потомкам. Пифагор во время одного из своих путешествий в Египет или Месопотамию узнал об этом свойстве и восхитился им, как восхищаемся этим свойством и мы. Он также привел доказательство этого свойства. Быть может, его доказательство было первым, а может быть, и нет. В любом случае Пифагор прочувствовал красоту чисел и фигур и подтвердил, что мир строится по математическим законам. До сих пор неизвестно, кто именно открыл эту теорему и когда.

Наиболее вероятно, что не существует ни какой-то конкретной даты, ни конкретного имени. Возможно, эта теорема была несколько раз открыта повторно в разных культурах. Как бы то ни было, она служит воплощением математической красоты. Наверное, называть эту теорему именем Пифагора будет лучше всего.