Решения задач 121-130

Решения задач 121-130

121. Обычно отвечают, что бревно вдвое более толстое, но вдвое более короткое, не должно изменить своего веса. Однако это неверно. От увеличения поперечника вдвое объем круглого бревна увеличивается вчетверо; от укорочения же вдвое объем уменьшается всего в два раза. Поэтому толстое короткое бревно должно быть вдвое тяжелее длинного тонкого, т. е. весить 60 кг.

122. При погружении в воду железная вещь (сплошная) теряет 8-ю долю своего веса[12]. Поэтому и гири, и гвозди под водой будут иметь ⁷/₈ своего прежнего веса. И так как гири в 10 раз легче гвоздей, то и под водой они будут легче их в 10 раз. Следовательно, десятичные весы останутся и под водой в равновесии.

123. Из условия задачи мы знаем, что

вес бутылки + вес керосина = 1000 г.

А так как кислота вдвое тяжелее керосина, то вес бутылки + двойной вес керосина = 1600 г.

Отсюда ясно, что разница в весе: 1600–1000, т. е. 600 г, есть вес керосина, налитого в бутылку. Но бутылка вместе с керосином весит 1000 г; значит, бутылка весит 1000 — 600 = 400 г.

Действительно, вес кислоты (1600 — 400 = 1200 г) оказывается вдвое больше веса керосина.

124. Три четверти бруска мыла плюс гиря в ³/₄ килограмма весят столько же, сколько целый брусок. Но целый брусок — это ³/₄ бруска плюс ¹/₄ бруска. Значит, ¹/₄ бруска весит ³/₄ кг. И следовательно, целый брусок весит в четыре раза больше, чем ³/₄ кг, т. е. 3 кг.

125. Сравнивая оба взвешивания, легко увидеть, что от замены одной кошки одним котенком вес груза уменьшился на 15–13, т. е. на 2 кг. Отсюда следует, что кошка тяжелее котенка на 2 кг. Зная это, заменим при первом взвешивании всех четырех кошек котятами: у нас будет тогда 4 + 3 = 7, а стрелка весов, вместо 15 кг, покажет на 2 ? 4, т. е. на 8 кг меньше. Значит, 7 котят весят 15 — 8 = 7 кг.

Отсюда ясно, что котенок весит 1 кг, взрослая же кошка 1 + 2 = 3 кг.

126. Сравните первое и второе взвешивания. Вы видите, что раковину при первом взвешивании можно заменить 1 кубиком и 8 бусинами, потому что они имеют одинаковый вес. После такой замены у нас окажется на левой чашке 4 кубика и 8 бусин, которые будут уравновешиваться 12 бусинами. Сняв теперь с каждой чашки по 8 бусин, мы не нарушим равновесия; останется же у нас на левой чашке 4 кубика, на правой — 4 бусины. Значит, кубик и бусина весят одинаково.

Теперь определим, сколько бусин весит раковина: заменив (второе взвешивание) на правой чашке кубик бусиной, узнаем, что

вес раковины = весу 9 бусин.

Рис. 133.

Полученный результат легко проверить: замените при первом взвешивании кубики и раковины на левой чашке соответственным числом бусин — получите 3 + 9 = 12 бусин, как и должно быть.

127. Заменим при первом взвешивании 1 грушу на 6 персиков и 1 яблочко: мы вправе это сделать, так как груша весит столько же, сколько 6 персиков и яблочко. У нас окажется на левой чашке 4 яблочка и 6 персиков, на правой — 10 персиков. Сняв с обеих чашек по 6 персиков, узнаем, что 4 яблочка весят столько, сколько весят 4 персика. Другими словами, один персик весит столько же, сколько одно яблочко. Теперь уже легко сообразить, что вес груши равен весу 7 персиков.

128. Эту задачу можно решить по-разному. Вот один из способов.

Заменим при третьем взвешивании каждый кувшин 1 бутылкой и 1 стаканом (из первого взвешивания следует, что весы при этом останутся в равновесии). Таким образом, 2 бутылки и 2 стакана уравновешиваются 3 блюдцами. На основании второго взвешивания, каждую бутылку мы можем заменить 1 стаканом и 1 блюдцем. Получив, что

4 стакана и 2 блюдца

уравновешиваются 3 блюдцами.

Сняв с каждой чашки весов по 2 блюдца, узнаем, что

4 стакана уравновешиваются

1 блюдцем.

И следовательно, бутылка уравновешивается (сравни со вторым взвешиванием) 5 стаканами.

129. Порядок отвешивания таков. На одну чашку кладут молоток, на другую — гирю и столько же сахарного песка, чтобы чашки уравновесились; ясно, что насыпанный на вторую чашку песок весит 900–500 = 400 г. Эту операцию выполняют еще три раза; остаток песка весит 2000 — (4 ? 400) = 400 г. Теперь нужно содержимое каждого из пяти полученных 400-граммовых пакетов разделить пополам, на два равных по весу пакета. Делается это без гирь, очень просто: содержимое 400-граммового пакета рассыпают в два блюдца, поставленные на разные чашки, до тех пор, пока весы не уравновесятся.

130. Если бы заказанный венец был сделан из чистого золота, он весил бы вне воды 100 кг, а под водой терял 20-ю долю этого веса, т. е. полкилограмма. В действительности же венец, как мы знаем, теряет в воде не ¹/₂, а 10–9¹/₄ = ³/₄ кг. Это происходит потому, что он содержит серебро — металл, теряющий в воде не 20-ю, а 10-ю долю своего веса. Значит, серебра в венце столько, что венец теряет в воде не ¹/₂ кг, а ³/₄ кг — на ¹/₄ кг больше. Если в нашем чисто золотом венце мысленно заменить 1 кг золота серебром, то венец будет терять в воде на ¹/₁₀ — ¹/₂₀ = ¹/₂₀ кг больше, чем прежде. Следовательно, чтобы увеличить потерю веса на требуемую величину — ¹/₄ кг, необходимо заменить серебром столько килограммов золота, сколько раз ¹/₂₀ кг содержится в ¹/₄ кг. Поскольку ¹/₄: ¹/₂₀ = 5, получаем: в венце вместо выданных 2 кг серебра и 8 кг золота 5 кг серебра и 5 кг золота. Три килограмма золота мастер заменил серебром и утаил.