3. ОБРЕТЕНИЕ ПИСЬМЕННОСТИ

Математизация логики ведет свое начало от работ Дж. Буля и А. Де Моргана, в которых логика обрела свой алфавит, свою орфографию и свою грамматику. С этого момента она перестала зависеть от породившего ее естественного языка и получила собственные, адекватные своим особенностям, средства выражения. Для логики началась эпоха письменности — ее конструкции стало возможным наносить на бумагу в виде компактных сочетаний символов, в виде формул, и открылась возможность перерабатывать эти сочетания символов по четко определенным правилам.

Как и изобретение письменности для естественного языка, это знаменовало революцию в развитии. Фактически была осуществлена первая часть мечты Лейбница, и хотя до реализации его главной цели — создания «автоматического рассуждения» — оставался еще огромный путь, одна из главных предпосылок достижения этой цели (в той мере, в которой она вообще достижима) была налицо.

Имя Джорджа Буля (1815—1864) в последнее время стало известно даже людям, далеким от математики и логики. Понятие «булевой алгебры» уже знакомо многим нематематикам и нелогикам, а понятие «булевской переменной» вошло в обиход программистов, операторов и всех, кто пользуется ЭВМ. В этом состоит залог бессмертия имени Буля, поскольку кибернетика будет входить в нашу жизнь все шире (точно так же, когда единицу тока назвали ампером, имени великого французского физика навсегда суждено было войти в языки всех народов — вскоре наступил век электричества). Однако при жизни — да и долго после смерти — профессор математики из ирландского города Корка Джордж Буль, автор основополагающих для математической логики трудов «Математический анализ логики» (1847) и «Исследование законов мысли» (1854)[1] не считался человеком, внесшим большой вклад в науку, и его имя было известно лишь узким специалистам.

Такое непризнание заслуг Буля объясняется очень просто: тема, которой он занимался, стояла в стороне от главной линии развития тогдашней математики.

Историк математики Е. Т. Белл в книге «Творцы математики» объясняет оригинальность работ Буля отчасти объективными причинами — тем, что Буль был «островной» математик, жил и работал в Англии, которая благодаря своему изолированному от континентальной Европы расположению не была особенно подвержена господствовавшей математической «моде». Дальше он пишет следующее: «Фактом является то, что британские математики часто спокойно шли своим собственным путем, занимаясь лишь вещами, интересовавшими их лично, — как может интересовать, скажем, игра в крикет, доставляющая удовольствие, — и, получая от этих занятий полное удовлетворение, свысока смотрели на тех, кто во всю силу своих научных легких оповещает мир о сделанных открытиях. В свое время, в эпоху идолопоклонства перед ньютоновским анализом, эта независимость дорого обошлась британской школе, но теперь, при ретроспективной оценке ее достижений, мы видим, что она внесла гораздо больший вклад в математику, чем это случилось бы, если бы она рабски копировала континентальную науку»[2]. Эти слова, возможно, раскрывают причины самостоятельности научных поисков Буля. Его оторванность от континентальной математики дала ему лишнюю возможность, не сосредоточивая главного внимания на задачах дифференциального и интегрального исчисления (которые тогда считались основными задачами всей математики), глубоко задуматься над конструкциями логики. Джордж Буль обратился к «вечной теме» логики познания, связанной с реальнейшей из реальностей — с конструкциями естественного языка: к выделению из языка логических схем для того, чтобы затем воплотить их тоже во вполне реальные объекты — таблицы, алгебраические формулы.

Можно усмотреть элемент везения в том, что Буль оказался профессором не Берлинского или Парижского университета, а университета небольшого ирландского городка. Если заниматься постоянно задачами, которыми занято большинство, то кому же создавать новые области знания? Правда, не все те, кто жил в захолустном Корке или в других подобных местах, создали новую область науки, но ведь были же такие «люди из захолустья», как Циолковский и Лобачевский...

Мы не даром вспомнили Лобачевского. Труд Буля явился одним из важных путей расширения рамок математики, постановки новых задач и появления у нее новых обязательств по отношению к другим сферам знания. Такой же значительный вклад сделали еще раньше Н. И. Лобачевский (1792—1855) и У. Р. Гамильтон (1805—1865). До начала XIX века математику рассматривали как прямое отражение свойств реальных вещей. Лобачевский и Гамильтон первыми в истории науки создали математические структуры, не «скопированные» непосредственно с каких-либо известных всем явлений, отношений или процессов. Такая самостоятельность формирования математических структур в то время выглядела столь непривычной, что сами их создатели были немало смущены собственными творениями и могли бы произнести слова, которые позже сказал Г. Кантор: «Вижу, но не верю».

Лобачевский, как известно, построил геометрию, в которой на плоскости через каждую точку можно провести две прямые, параллельные данной прямой, и бесчисленное множество прямых, не пересекающихся с данной прямой. В этой геометрии сумма углов треугольника оказывалась меньше 180 градусов. Поскольку геометрию в те времена считали наукой об измерениях твердых тел и расстояний, и этого же взгляда придерживался сам Лобачевский, он полагал, что его система окажется «неверной», если реальные прямые линии — скажем, световые лучи — не будут подчиняться ее законам. Для сравнительно небольших масштабов хорошо подходит обычная (эвклидова) геометрия: самое тщательное измерение, произведенное над треугольником, начерченным на бумаге, показывает, что сумма его углов составляет 180 градусов. Но может быть, думал Лобачевский, это лишь следствие неточности измерения, результат того, что мы с нашими инструментами не можем обнаружить небольшую недостачу суммы углов. Возможно, если измерить углы громадного треугольника, со сторонами в миллионы километров, выяснится, что в таких масштабах начинает уже явно действовать новая геометрическая система, и, следовательно, завоевывает свое право на жизнь новый вариант пятого постулата Эвклида. Чтобы проверить свою геометрию, Лобачевский собирался провести серию астрономических наблюдений.

С таким же психологическим барьером было связано создание Гамильтоном кватернионов. Гамильтон искал аналог комплексных чисел, интерпретируемый в трехмерном пространстве (обычные комплексные числа изображаются точками на плоскости). Он искал такие числа в течение пятнадцати лет, но безрезультатно. Это стало для него некой навязчивой идеей (говорят, что его домашние каждое утро спрашивали его за завтраком: «Ну как, нашел ты свои кватернионы?»). И вот, 16 октября 1843 года во время прогулки Гамильтона озарила неожиданная идея: все трудности возникали из-за того, что в течение всех этих поисков он постоянно предполагал, что операция умножения новых чисел должна подчиняться закону коммутативности, то есть, что для них, как и для обычных комплексных (и, конечно, действительных) чисел справедливо утверждение: от перестановки сомножителей произведение не меняется. А кто сказал, что этот закон универсален, обязателен для всех типов чисел? Когда требование коммутативности умножения было снято, работы осталось на несколько минут. Собственно, основные расчеты, связанные с построением системы кватернионов, были сделаны тут же, в уме (Гамильтон написал основную формулу на граните моста, по которому в тот момент проходил с женой). Сконструировав кватернионы, Гамильтон смотрел на них с тем же удивлением, с каким Лобачевский смотрел на свою геометрию: ведь все известные вычислительные процессы коммутативны, чему же «подражают» эти странные числа? Их поведение, вероятно, выглядело тогда просто мистическим.

Сейчас, по прошествии почти полутора сотен лет, чувства Лобачевского и Гамильтона могут показаться наивными. Но нельзя упускать из вида, что с тех пор произошло коренное изменение во взгляде на роль и место математики в системе человеческого знания. В наши дни математика обязана не только строить формализованные модели каких-то явлений, уже известных физике, биологии или другим областям знания, но и заготавливать формальные структуры впрок, для возможного использования в будущем. Теперь математик зачастую совершенно не интересуется, соответствует ли его конструкция чему-то уже познанному в окружающем мире. Им движет в основном стремление усовершенствовать математику не как аппарат для описания чего-то, а как аппарат вообще. Он ищет возможности Для выявления новых связей между отраслями математики, для укорочения уже существующих связей, для упрощения теорий, для придания им компактности и ясности

Он справедливо полагает, что если математические конструкции, им созданные, станут более изящными и более простыми (не теряя при этом богатства своих свойств), то их рано или поздно можно будет использовать с большей эффективностью в конкретных науках, найдя для них подходящее истолкование в терминах этих наук. Но сам математик лишь в редких случаях обращается к такому истолкованию, поскольку на современном уровне развития знания сложилось разумное разделение труда, и ученый, занимающийся теоретической математикой, обычно «освобожден» от проблем приложений. История науки свидетельствует, что хорошие математические конструкции рано или поздно находят приложения. Неэвклидова геометрия, например, была использована как модель искривленного пространства-времени, и это сыграло важную роль в создании общей теории относительности. Поразительно, насколько «окупаемыми» оказываются те или иные абстрактные математические работы, насколько точно попадают в цель математические стрелы, пущенные, вроде бы, наугад. Одна из важных причин такого положения состоит в том, что ныне никто не требует непосредственной, «конкретной», наглядной интерпретации математических теорий.

Но в те годы, когда жил Буль, дела обстояли еще по-старому. Считалось, что математическая теория должна отражать что-то, так сказать, прямым образом. Мало того. По традиции, идущей от создателей дифференциального и интегрального исчисления, требовалось, чтобы этим отражаемым был физический мир, точнее, мир явлений, изучаемых физикой. А система Буля относилась совсем к другому миру — к языково-мыслительным процессам.

С математической точки зрения достижение Буля представляло собой такую же крупную и революционную вещь, как и изобретения Лобачевского и Гамильтона. Он создал новый вид алгебры, и этим внес значительный вклад в ту переоценку места математики, о которой было сказано выше. Надо заметить, что сам Буль, как можно предполагать по некоторым данным, понимал глубокое значение своего исследования. Алгебра, построенная Булем, служила ему для описания операций над множествами и действий над высказываниями. Впоследствии выяснилось, что, следуя Булю, возможно создание аппарата, описывающего свойства важного класса релейных схем, изучаемых в автоматике. Поэтому восходящая к Булю алгебра не должна рассматриваться только как алгебра логики.

Система Буля, если смотреть на нее с современной точки зрения, есть просто некая абстрактная математическая система. Что это значит? Ответим на этот вопрос в духе принятого сейчас понимания: это значит, что ее можно задать, указав некоторый алфавит (перечень символов), правила образования выражений, объявляемых «правильно построенными», и методы отыскания среди правильно построенных выражений тех из них, которые признаются «истинными» (верными, доказанными), теорем системы. Что же касается вопроса о содержании правильно построенных выражений и теорем, то это — вопрос, относящийся уже не к самой системе, а к ее интерпретации (истолкованию), каковая может быть не единственной.

Станем на путь, обрисованный только что в самых общих чертах, и зададим некоторую формальную систему, идейно примыкающую к алгебре, которую создал Буль. В соответствии с современными представлениями мы будем смотреть на эту систему поначалу как на чисто формальный аппарат, не предполагающий у фигурирующих в нем объектов (знаковых конструкций) какого-либо «внешнего» содержания (использование формального аппарата для вывода «истинных» выражений похоже на игру со знаками, подчиненную определенным правилам). Затем мы дадим четыре интерпретации, в результате которых формально введенные объекты будут наделяться «внешним» по отношению к аппарату смыслом — для каждой интерпретации своим. Далее будет сформулировано понятие булевой алгебры и обнаружится, что в каждой из упомянутых интерпретаций содержится булева алгебра. Обращаем внимание на то, что все это изложение не преследует цели демонстрации реальной картины исторического становления математической логики. Наше изложение существенно осовременено уже потому, что, как мы покажем далее, в «математическом анализе логики» Буля булевой алгебры в собственном смысле этого слова не было, хотя он и стоит у истоков последней.

I. Алфавит. Вводятся в рассмотрение знаки пяти видов: пропозициональные переменные, константы, логические связки (знаки логических операций), знак отношения и скобки.

а) Пропозициональные переменные: A1 A2, A3, ...; число пропозициональных переменных не ограничено.

б) Константы: 0, 1.

в) Логические связки: ~, &, V (эти знаки носят название соответственно отрицания, конъюнкции и дизъюнкции).

( ~ = ˥)

г) Знак отношения: = (знак равенства).

д) Скобки: (,) (левая и правая).

Других знаков алфавит не содержит.

Исчисление строится так, что не всякая конечная последовательность знаков его алфавита является формулой. Формулы — это такие последовательности знаков алфавита (или, как говорят иначе, такие выражения или слова в алфавите), которые удовлетворяют следующему определению.

II. Формулы.

(а) Каждая пропозициональная переменная есть формула.

(б) Константы 0 и 1 суть формулы.

(в) Если α — формула, то ~α —тоже формула; если α и β — формулы, то (α & β) и (α V β) также являются формулами[3].

(г) Других формул, кроме получаемых по правилам (а), (б) и (в), быть не может.

В этом определении в пункте (в) буквы α и β, не принадлежащие нашему алфавиту (и потому называемые метазнаками[4]), означают произвольные конечные последовательности знаков алфавита.

Данное выше определение формул называется индуктивным. Индуктивные определения широко распространены в современной математике, логике, основаниях математики. Они позволяют вполне точно устанавливать, подпадает ли любой данный объект некоторой области под определяемое понятие. Сформулированное выше определение дает возможность установить, является ли любое данное слово нашего алфавита формулой или нет — установить это, «идя обратным ходом» и рано или поздно добираясь до пропозициональных переменных или констант (если слово окажется формулой).

Ознакомимся подробнее с тем, как «работает» данное определение. Докажем, например, что слово (A1 & ~(A2 V A1) не есть формула. Предположим противное: это слово — формула. Тогда знак & мог возникнуть в ней лишь в результате применения пункта (в) определения формулы. Но это значит, что A1 и ~(А2 V А1 должны быть формулами. Однако хотя А1 и есть формула (по пункту (а) определения), слово ~(A2 V A1 формулой не является, ибо для того, чтобы слово, начинающееся со знака ~, было формулой, необходимо, чтобы справа от него стояла формула. Но слово (A2 V A1 не представляет собой формулы, так как оно могло бы быть формулой только по пункту (в), но тогда в нем крайним справа знаком должна была бы быть правая скобка, чего в действительности нет. Таким образом, (А2 V А1 — не формула, а значит, ~(A2 V A1 не формула и, следовательно, исследуемое выражение в целом — не формула. Однако если бы мы рассмотрели, скажем, слово (А1 & (A2 V A1)), то применяя аналогичное рассуждение, убедились бы, что оно является формулой.

III. Равенства.

Если α и β — формулы, то α = β — равенство. Ничто иное равенством не является.

Условимся о сокращении: вместо двух равенств α = β и β = γ разрешается писать просто

α = β = γ («цепочка равенств»)

Аналогично будут пониматься и более длинные цепочки. Так, запись

α = β = γ = δ имеет смысл

α = β, β = γ, γ = δ[5]

IV. Постулаты.

[а]. Схемы аксиом.

1. (α & β) = (β & α) (закон коммутативности для конъюнкции).

2. (α V β) = (β V α) (закон коммутативности для дизъюнкции).

3. ((α & β) & γ) = (α & (β & γ)) (закон ассоциативности, или сочетательности, для конъюнкции).

4. ((α V β) V γ) = (α V (β V γ)) (закон ассоциативности для дизъюнкции).

5. (α & (β V γ)) = ((α & β) V (α & γ)) (закон дистрибутивности, или распределительности, конъюнкции относительно дизъюнкции).

6. (α V (β & γ)) = ((α V β) & (α V γ)) (закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции).

7. (α & (α V β)) = α (первый закон поглощения).

8. (α V (α & β)) = α (второй закон поглощения).

9. ~(α & β) = (~α V ~β) (первый закон Де Моргана).

10. ~(α V β) = (~α & ~β) (второй закон Де Моргана).

11. (α & α) = α (закон идемпотентности для конъюнкции).

12. (α V α) = α (закон идемпотентности для дизъюнкции).

13. ~~α = α (закон снятия двойного отрицания).

14. (α & 1) = α (закон отбрасывания единицы).

15. (α V 0) = α (закон отбрасывания нуля).

16. (α & ~α) = 0 (закон противоречия, выраженный в форме приравнивания противоречия нулю).

17. (α & ~α)=1 (закон исключенного третьего, выражений в форме равенства).

Перечисленные постулаты[6] являются не аксиомами, а схемами аксиом. Это значит, что, каждый постулат задает бесконечное множество аксиом определенной структуры. Так, схема аксиом 1 задает аксиомы: (А1 & А2) = (A2 & A1), ((А1 V ~A2) & ~A1) = (~A1 & (A1 V ~A2)) и т.д.; аксиомы — это равенства, принимаемые в качестве исходных.

Схемы аксиом 1 и 2 задают свойство перестановочности членов в конъюнктивных и дизъюнктивных формулах. Схемы аксиом 3 и 4 выражают ассоциативные законы, подобные ассоциативным законам школьной алгебры, где, как известно, (а • b) • с = а - (b • с) и (а + b) + с = a + (b + с). В школьной алгебре имеется только один дистрибутивный закон — закон дистрибутивности умножения относительно сложения: A • (b + с) = a • b + A • с, так как обычное сложение чисел не дистрибутивно относительно обычного умножения (то есть неверно, что для любых чисел а, b и с

а + (b • с) = (а + b) • (а + с)).

В данной же системе обе операции, конъюнкция и дизъюнкция, дистрибутивны одна относительно другой (схемы аксиом 5 и 6). Смысл законов Де Моргана[7] (схемы аксиом 9 и 10) можно передать фразами: «Отрицание конъюнктивной формулы означает дизъюнкцию отрицаний ее членов»; «Отрицание дизъюнктивной формулы означает конъюнкцию отрицаний ее членов». Смысл схем аксиом, выражающих остальные законы, непосредственно ясен. Заметим лишь, что они служат эффективным средством упрощения формул рассматриваемой формальной системы, то есть построения по данной формуле таких равных ей формул, которые проще, чем исходная (в том смысле, что содержат меньшее число вхождений логических связок); ср. ниже, с. 75—76.

[b]. Правила вывода.

Если верно равенство α = β, то верно и равенство Ф[α] = Ф[β]. Здесь Ф[α] есть произвольная формула, содержащая в качестве своей части, формулу α (аналогично понимается и Ф[β]). Это — правило замены равным (ср. выше с. 42), но «приуроченное» специально к нашему формальному аппарату. Смысл правила состоит в том, что в произвольной формуле Ф[α], в которую входит α, можно α в любом ее вхождении заменить на какую угодно равную ей формулу β и в результате получится формула Ф[β], равная формуле Ф[α][8].

В дополнение к этому правилу мы будем в процессе переработки равенств пользоваться известными свойствами отношения равенства — рефлексивностью (для любой формулы α справедливо α = α), симметричностью (для любых α и β из α = β следует β = α) и транзитивностью (если α = β и β = γ, то α = γ)[9]. Таким образом, процедуры вывода в данном исчислении представляют собой обычные тождественные преобразования.

V. Определения.

Записи вида (α ≡ β) и (α → β) суть сокращения для формул вида (~α V β)[10] и ((~α V β) & (α V ~β)).

Приведенное исчисление представляет собой исчисление равенств формул определенного вида — исчисление, которое в алгебраических терминах носит название исчисления равенств булевых выражений[11]. Оно сформулировано нами как неинтерпретированное исчисление, поскольку при его развертывании не было указано, из какой же области следует брать значения пропозициональных переменных, как следует понимать логические связки и константы 0 и 1, какой смысл имеют формулы и как нужно понимать содержание термина «верная формула».

Дадим теперь первую интерпретацию этого исчисления — функциональную.

Функциональная интерпретация

Пропозициональные переменные истолковываются как переменные для чисел 0 и 1 (то есть каждая из переменных может принимать только эти два значения). Сложные формулы (формулы, отличные от пропозициональных переменных) интерпретируются следующим образом. Каждая связка понимается как функция, которая значениям аргументов (аргумента) — нулю или единице — ставит в соответствие значение функции (которое тоже может быть только либо нулем, либо единицей). Значения связок строятся на основе табличных определений (табл. 1, 2, 3)[12].

Значения знаков → и ≡ вытекают из этих таблиц. В силу того, что (α → β) есть сокращение для (~α V β), (α ≡ β)—сокращение для ((~α V β) & (α V ~β)); можно считать, что знаки → и ≡ задаются таблицами 4 и 5 соответственно.

Поясним, как строится, например, табл. 5. Мы начинаем с того, что строим колонку для формулы ~а, пользуясь табл. 1, задающей операцию (функцию) отрицания; затем, пользуясь табл. 3, определяющей функцию, называемую дизъюнкцией, строим колонку для формулы (~α V β) аналогичным образом строится колонка для формулы (α V ~β) наконец, опираясь на табл. 2, задающую функцию, называемую конъюнкцией, мы строим колонку для конъюнкции ((~α V β) & (α V ~β)) Задание функции ≡ получено: его дают две первые левые (аргументные) колонки табл. 5 и ее крайняя правая колонка.

Задав описанным способом интерпретацию пропозициональных переменных и связок, мы тем самым получаем интерпертацию и для любой формулы[13]: каждая формула осмысливается как функция (таблица), которая может быть построена по данной формуле.

Возьмем, например, формулу (A1 & (A2 V ~A1)) и определим, какую функцию она задает, построив соответствующую таблицу (табл. 6).

Построим таблицу для формулы (А1& ~(А2 V A1))» проверку правильности которой мы выше предоставили читателю. Мы получим табл. 7.

Из нее видно, что эта формула принимает значение 0 при любых значениях своих аргументов. Она называется поэтому тождественно равной нулю. Если мы возьмем отрицание только что рассмотренной формулы, то есть формулу ~(А1 & ~(А2 V A1)), то очевидно, что она задает функцию, которая принимает значение 1 при любых значениях своих аргументов, то есть функцию, тождественно равную единице.

Функции, тождественно равные нулю, неотличимы друг от друга: ведь какие бы значения ни принимали аргументы (и сколько бы их ни было), функции эти все равно принимают одно и то же значение, то есть ведут себя как константы—постоянные. То же самое можно сказать и о функциях, тождественно равных единице. Учитывая это, функции, тождественно равные нулю, мы отождествим с константой 0, а функции, тождественно равные единице, с константой 1 (и, следовательно, будем считать, что значением первой константы является число 0, а второй — число 1).

Для завершения интерпретации нам осталось только установить, при каких условиях равенство α = β следует признать верным (истинным). Будем считать, что α = β есть верное равенство, если α и β задают одну и ту же функцию, то есть, что если построить таблицы, соответствующие формулам α и β, таблицы эти полностью совпадут[14].

Нетрудно проверить, что каждая из 17 схем аксиом задает верное равенство. Проверим это, например, для схемы аксиом 6 (табл. 8).

Мы видим, что колонки нулей и единиц для схем формул (α V (β & γ)) и ((а V β) & (α V γ)) создают, что означает: при любом выборе α, β, γ они переходят в пару формул, задающих одну и ту же функцию. Таким образец, можно сказать, что схема аксиом 6 в нашей интерпретации оказывается схемой верных равенств.

Наконец, нетрудно проверить (эту проверку мы предоставляем читателю), что, действуя по нашим правилам вывода, мы из верного равенства всегда будем выводить верное же равенство.

В силу оказанного мы можем мыслить задаваемый нашим исчислением процесс порождения верных равенств. В этом процессе участвуют схемы аксиом, каждая из которых порождает бесконечно много верных равенств, и правила [b], при каждом применении! которых к верным равенствам порождается верное равенство. Как конкретно проходит подобный процесс порождения, мы покажем в связи со следующей интерпретацией — логической.

Логическая интерпретация (на высказываниях)

Будем понимать под высказыванием выражение некоторого языка (безразлично какого —естественного, например русского, или какого-либо искусственного, например алгоритмического, применяемого в программировании! ЭВМ), которое либо истинно, либо ложно (и не может быть тем и другим одновременно). Назовем истинность («истинно») и ложность («ложно») истинностными значениями высказываний. Будем считать, что на место пропозициональных переменных в формулы подставляются высказываний при этом если подставляется высказывание, обладающее истинностным значением «истинно» (соответственно «ложно»), то его же принимает и та пропорциональная переменная, на место которой подставлено данное высказывание.

Связки определим так же, как и в первой интерпретации, только вместо 1 в таблицах будем вписывать букву «и» («истинно»), а вместо 0 — «л» («ложно»). Тогда операция ~ окажется операцией обычного отрицания высказываний, формула ~α походит в истинное высказывание, если а при данной подстановке истинностных значений вместо всех своих переменных переходит в ложное высказывание, и в ложное высказывание, если а переходит в истинное высказывание[15]; операция & (конъюнкция) окажется соответствующей логическому союзу «и» и будет порождать истинное высказывание вида (α & β) тогда, и только тогда, когда а и β истинны (то есть интерпретируются истинными высказываниями); операция V будет соответствовать слабой дизъюнкции, то есть соединительно-разделительному союзу «или» естественного языка: формула (а V β) принимает значение «истинно» тогда, когда хотя бы одна из двух формул, а, β, переходит в истинное высказывание. Что касается введенных по определению знаков → и ≡, то первый из них соответствует логическому союзу «если..., то» (логическая операция импликация), а второй — союзу «если, и только если,..., то» (или «тогда, и только тогда, когда») (логическая операция эквиваленция).

Нетрудно убедиться, что (α → β) переходит в ложное высказывание, когда а (посылка, или антецедент, импликативного выражения) принимает значение «истинно», а β (заключение, или консеквент) — значение «ложно», в остальных же случаях импликативное выражение истинно; эквивалентность (а ≡ β) переходит в истинное высказывание в том, и только том, случае, когда а и β принимают одно и то же истинностное значение[16].

При данной интерпретации каждая формула оказывается формой высказывания, или пропозициональной формой, то есть выражением, переходящим в высказывание (истинностное значение) при подстановке каких-то высказываний (истинностных значений) вместо всех ее пропозициональных переменных. Значение такой формы для всех возможных подстановок такого рода задается таблицей истинности, которая строится по данной формуле. Так, форме (~A1 & (A2 V ~A1)) соответствует следующая таблица (табл. 9; ср. табл. 6). В табл. 9 мы опустили промежуточные колонки, которые необходимы для того, чтобы получить ее правую колонку (они получаются из табл. 6 заменой «1» на «и», а «0» на «л» в колонках для формул ~А1 и (A2 V ~A1)).

Формулам, тождественно-равным единице (в предшествующей интерпретации), здесь соответствуют формы высказываний, принимающие значение «истинно» при любых значениях своих пропозициональных переменных (их называют тождественно-истинными формами высказываний или просто тождественно-истинными высказываниями); любая из таких форм может считаться интерпретацией константы 1. Формулам же, которые в предшествующей интерпретации были тождественно-равными нулю, теперь соответствуют тождественно-ложные высказывания (тождественно-ложные формы высказываний), и любое из таких высказываний есть интерпретация константы 0.

Равенство двух формул означает утверждение, что справа и слева от знака равенства стоят формы высказываний, принимающие одно и то же истинностное значение при любых значениях входящих в них пропозициональных переменных (равносильные формы высказываний); если это утверждение справедливо, то данное равенство 5 следует признать верным, в противном случае оно неверно.

В данной интерпретации особую роль играют тождественно-истинные высказывания. Некоторые из них выражают фундаментальные закономерности мышления. Таковы, в частности, формы высказываний ~(а & ~а) и (а V ~а) которые выражают логические законы, называемые соответственно законом противоречия и законом исключенного третьего (импликативное выражение (а → а) соответствует закону тождества)[17]. Тождественно-истинные высказывания используются для определения важного понятия логического следования. Поясним это понятие.

Среди объектов, фигурировавших при построении нашей формальной системы, смысл логического следования ближе всего передает импликация. В самом деле, когда утверждается «Из α логически следует β», имеют в виду, что не может быть, чтобы α было верно, а β неверно, то есть «Если α, то (обязательно) β». Говоря точнее, логическое следование означает, что какие бы значения ни принимали пропозициональные переменные в посылке α и заключении β, всегда верно, что «если α, то β», то есть, что форма (~α V β) —по определению записываемая импликативным выражением (α → β) — тождественно-истинна. Отсюда получается метод определения следования заключения из посылок: надо образовать импликативное выражение, в котором антецедентом является посылка (или конъюнкция посылок, если их несколько), выраженная в виде формы высказывания, а консеквентом — предполагаемое заключение, также представленное в виде формы; если полученное импликативное выражение тождественно-истинно, то предполагаемое заключение действительно является таковым, то есть логически следует из посылки (посылок), в противном случае —не является.

Покажем, как удостоверяется следование заключения из посылок на уже знакомом нам примере силлогистического модуса Celarent. Представим посылку «Ни одно B не есть С» в виде «Если А1 то не-A2» то есть (A1 → ~А2), что является сокращением для формы (~А1 V ~А2) здесь А1 и ~A2 суть пропозициональные формы, соответствующие выражениям «Нечто принадлежит классу В» и «Нечто принадлежит классу не-С (то есть дополнению к классу С)» в высказывании «Если нечто принадлежит классу B, то оно принадлежит классу не-С», которое можно считать совпадающим по смыслу с данной посылкой. Посылку «Все A суть B», используя тот же прием, запишем в виде (А3 → А1) заключение «Ни одно A не есть С» перейдет тогда в (A3 → ~А2). Образуем импликативное выражение (((A1 → ~A2) & (А3 → А1)) → (А3 → ~А2)) и проверим с помощью таблиц истинности, является ли это выражение тождественно-истинным. Табл. 10 показывает, что оно будет таковым.

Пользование таблицами истинности для определения следования заключения из посылок, однако, весьма громоздко. При четырех пропозициональных переменных таблица будет иметь 16 строк, при пяти — 32 строки и т. д. Поэтому в логике разработаны методы аналитического обоснования следования заключения из посылок — путем преобразования формул. В нашем примере обращение к одному из аналитических методов будет выглядеть так (над знаками равенства проставлены номера шагов в получившейся цепочке равенств; наружные скобки в формулах, подвергающихся преобразованиям, опущены).

Прокомментируем каждый из тринадцати шагов, а затем подвергнем анализу результат преобразования. На шагах (1), (2) и (3) используется определение знака импликации как средства сокращенной записи формул (п. V на с. 57). В результате исследуемое импликативное выражение переходит в формулу нашего исчисления. На шаге (4) применяется первый закон Де Моргана, а на шаге (5) дважды — второй закон Де Моргана. Шаг (6) заключается в снятии двойных отрицаний. Далее, на шаге (7) происходит раскрытие скобок — применяется закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. На шаге (8) по закону коммутативности дизъюнкции происходит перестановка членов в формулах ((A1 & А2) V A3) и ((A1 & A2) V ~A1)

На шаге (9) снова, причем дважды, применяется закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. Шаг (10) состоит в том, что из четырехчленной конъюнкции на основании законов 17 и 14 исключается тождественно-истинный член (~А1 V A1). На шаге (11) применяется закон коммутативности дизъюнкции, а на шаге (12) происходит раскрытие скобок по закону дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. Обращаем внимание на то, что в наших преобразованиях использовалась ассоциативность операций дизъюнкции и конъюнкции, позволившая в формах, представляющих собой многочленные дизъюнктивные либо конъюнктивные формулы, удалить все скобки (это означает, что скобки мыслятся расставленными любым допустимым, то есть не нарушающим свойства выражения «быть формулой», образом)[18].

Этим же свойством, да еще законом коммутативности, мы пользовались на шаге (13), когда в трех членах конъюнктивной формулы, полученной на предыдущем этапе (они представляют собой дизъюнктивные формулы), расположили буквы в порядке возрастания индексов, сгруппировав вместе буквы и их отрицания. Подчеркнем, что на каждом из тринадцати шагов мы применяли наше «основное» правило вывода — производили замену равного равным, причем иногда по нескольку раз.

Исследуем теперь полученное выражение. Как и предыдущая формула, оно представляет собой конъюнктивную формулу, состоящую из трех дизъюнктивных формул. Рассмотрим первую из них, взятую с удобной для наших целей расстановкой скобок: (А1 V ~А2) V (A3 V ~A3); формула (А3 V ~A3) есть тождественно-истинная форма (частный случай закона исключенного третьего); но раз в дизъюнктивной формуле (А1 V ~A2) V (A3 V ~A3) один из членов тождественно-истинен, то и вся формула также тождественно-истинна — это вытекает из табличного определения дизъюнкции в терминах истинностных значений.

В остальных двух дизъюнктивных формулах исследуемого выражения тоже «присутствует» закон исключенного третьего, поэтому каждая из них также тождественно-истинна. Итак, B нашей трехчленной конъюнкции каждый член оказывается тождественно-истинным. Вспомнив табличное задание операции конъюнкции (легко распространяемое на конъюнктивные формулы с произвольным числом членов), мы приходим к заключению, что наша результирующая формула тождественно-истинна. Но, в силу транзитивности отношения равенства, исходная формула равна результирующей, значит, и она тождественно-истинна.

Чтобы у читателя не создалось впечатления, что аналитические методы обязательно приводят к столь пространным выкладкам, мы решим эту же задачу другим способом. Предварительно заметим, что равенство вида

((~а V β) &(γ V а)) = (~а V β) &(γ V α) & (γ V β)) (*)

является верным равенством, каковы бы ни были формы α, β и γ этом можно убедиться, производя его табличную проверку; равенство (*) можно вывести и непосредственно из наших постулатов — осуществить это преобразование мы предоставляем читателю).

Возьмем конъюнкцию наших посылок и исключим из нее знаки → : ((А1 → ~А2) & (A3 → А1)) = ((~А1 V ~А2) & (~A3 V A1)). Но в силу (*): ((~A1 V ~A2) & (~А3 V A1)) = ((A1 V ~A2) & (~A3 V A1) & (~A3 V ~A2))

(здесь роль α играет формула A1 роль β — формула ~A2 роль γ — формула ~A3)- Но очевидно, что из конъюнктивной формулы, сколько бы членов она ни имела, следует каждый ее член (так как не может быть, чтобы конъюнктивная формула была истинна, а какой-либо ее член — нет). Значит, если конъюнкция наших посылок истинна, истинна и формула (~A3 V ~A2) (поскольку она есть один из членов трехчленной конъюнкции, равной конъюнкции посылок). Значит, (~A3 V ~A2) есть следствие из посылок. Но в силу определения (~A3 V ~A2) = (A3 → ~A2)- Задача решена.

Тождественно-истинные высказывания служат для выражения логически правильных форм рассуждений. Для иллюстрации этого положения приведем решение задачи восходящей к немецкому логику и математику Э. Шредеру — одному из продолжателей алгебро-логической линии исследований, начало которой было положено Булем[19]. «Один химик, имея в виду построить на этом дальнейшие заключения, выдвинул утверждение: «Соли, которые не окрашены, суть соли, которые не являются органическими телами, или суть органические тела, которые не окрашены». Другой химик с этим не согласился. Кто был прав?»

В рассуждении первого химика можно выделить следующие элементарные высказывания (суждения): «Нечто есть соль», «Нечто есть органическое тело» и «Нечто окрашено». Все рассуждение можно представить в виде следующего сложного условного суждения: «Если нечто есть соль и (это нечто) не окрашено, то (это нечто) есть соль и не есть органическое тело или есть органическое тело и не окрашено». Заменив элементарные высказывания соответственно переменными А1 A2 и A3, а вместо логических союзов «и», «или» и «если..., то» употребив знаки &, V и →, мы можем представить логическую форму этого сложного высказывания следующим выражением: ((А1 & ~A3) → ((A1 & ~A2) V (А2 & ~A3))). Для решения спора между двумя химиками надо определить, представляет ли оно тождественно-истинное высказывание.

Проведал соответствующие преобразования, на этот раз без объяснений (мы предоставляем читателю самостоятельно определить те схемы аксиом нашего исчисления, которым мы пользуемся на каждом шаге).

В полученной на последнем шаге двучленной конъюнкции в каждом члене (представляющем собой дизъюнкцию пропозициональных переменных или их отрицаний) имеется 5 обязательно какая-то переменная и ее отрицание. Следовательно, оба члена конъюнктивной формы тождественно-истинны и, значит, тождественно-истинна и она сама. Итак, рассуждение первого химика было логически правильным, а его оппонент допустил ошибку.

Обратим теперь внимание на то, что в обеих рассмотренных интерпретациях фигурировали множества элементов, являющихся областями значений пропозициональных переменных; именно на этих множествах получали определение операции ~, &, V, свойства которых были ранее установлены равенствами 1—17 из пункта IV, и в этих же множествах находились элементы — результаты применений операций (последнее свойство называется замкнутостью множества относительно данных операций). Тем самым эти множества составляют то, что называется булевыми алгебрами. Булева алгебра—это любое множеством объектов, для которых определены одна одночленная (одноместная, унарная) операция (~) и две двучленных (двуместных, бинарных) операции (&, V) причем множество М замкнуто относительно этих операций; в нем имеются объекты, соответствующие константам 0 и 1 рассмотренного нами исчисления (нуль и единица булевой алгебры); одночленная операция, которую мы назвали отрицанием, подчиняется закону снятия двойного отрицания, а двучленные операции, которые мы назвали конъюнкцией и дизъюнкцией, обе коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны одна относительно другой, подчиняются законам поглощения и, вместе с отрицанием, законам Де Моргана, а также законам, в которых фигурируют 0 и 1 (законы 14—17) (ср. с. 55)[20]. В первой из наших интерпретаций булевой алгеброй является множество из двух элементов — 0 и 1, во второй — множество истинностных значений (впрочем, можно считать, что булевой алгеброй здесь было множество высказываний[21]. понимаемых, однако, так, что высказывания, имеющие одно и то же истинностное значение, не различаются)[22]; как мы убедимся ниже, имеются и другие интерпретации булевой алгебры.

Формальный аппарат, изложенный в пп. I—IV (пункт V, как говорят, не расширяет его возможностей), можно понимать как теорию абстрактной булевой алгебры — булевой алгебры как любого множества объектов (носителя), взятого вместе с семейством операций. определенных на этом множестве, которое удовлетворяет всем требованиям данного аппарата, причем как теорию в узком смысле: как некоторое исчисление (равенств). Такую теорию следует отличать от теории булевых алгебр в широком смысле, в которой исследуются свойства приведенного формального аппарата (и аналогичных ему построений) и его интерпретации, формализации булевых алгебр средствами тех или иных логических систем, обобщения понятия булевой алгебры и т. д.

В логике исчислением обычно называют систему правил порождения объектов, допускающих осмысление (интерпретацию), и позволяющую выделять среди осмысленных объектов такие, которые в интерпретациях оказываются в каком-либо разумном смысле истинными суждениями. В рассмотренном нами исчислении объекты возникают в два этапа:

на первом с помощью пп. I и II порождаются формулы (и —с помощью п. V —их сокращения),

на втором (п. III) из формул строятся равенства. Далее среди возникших таким образом объектов происходит отбор тех из них, которые в интерпретациях оказываются верными, отбор равенств[23], истолковываемых как суждения о свойствах элементов соответствующей булевой алгебры, выраженные в терминах ~, & и V. Этот отбор задается постулатами (п. IV); он основан на процедуре порождения верных равенств посредстве м правил вывода [b], исходя из равенств, представляющих собой аксиомы (согласно списку схем аксиом [а]).

Проиллюстрируем механизм подобного порождения на приведенном выше (с. 64) примере доказательства равенства

Шаг (1) состоял в следующем. Было взято равенство (A1 → ~A2) = (~A1 V ~A2), верное по определению (п. V), и к нему применено правило вывода —замена равным [b] следующим образом: в ((A1 → ~A2) & (A3 → A1)) →

(A3 → ~A2) часть (A1 → ~A2) была заменена на формулу (~A1 V ~A2), в результате чего получилось верное равенство:

Здесь роль α, фигурирующей в формулировке правила замены равным, играло выражение (A1 → ~A2)» роль β — формула (~A1 V ~A2), роль Ф[а]—выражение ((А1 → A2) & (A3 → A1)) → ( A3 → ~A2). роль Ф[β] - выражение ((~A1 V ~A2) & (A3 → A1)) → (A3→ ~A2). На шагах (2) и (3) в последнем выражении была произведена аналогичная замена импликативных выражений равными им (в силу определения п. V) дизъюнктивными формулами. Читатель может самостоятельно проследить, как применялось правило замены (и правила, выражающие симметричность и транзитивность равенства) на всех шагах доказательства, приведенного на с. 64—65. Заметим, что на некоторых шагах правило замены использовалось несколько раз.

Вернемся, однако, к логической интерпретации. Как мы говорили, операциям ~, &, V соответствуют отрицание, конъюнкция и (слабая, неразделительная) дизъюнкция — соединительно-разделительный союз «или». Как мы увидим ниже, при интерпретации яа классах эти операции истолковываются как взятие дополнения к классу, пересечение и объединение двух произвольных классов. В исчислении, которое разработал сам Дж. Буль и которое истолковывалось им прежде всего как теория классов (ср. ниже третью интерпретацию), использовалась не операция объединения классов, а так называемая симметрическая разность (объединение двух классов с исключением их общей части), а в случае интерпретации на высказываниях — строгая дизъюнкция, то есть операция, соответствующая союзу «или» в разделительном смысле (в разговорном языке передаваемом оборотом «или..., или», «либо..., либо»); если обозначить операцию строгой дизъюнкции знаком Û то запись (а Û β) означает, что это строго-дизъюнктивное высказывание (форма высказывания) истинно тогда, и только тогда, когда один член дизъюнкции, безразлично какой, истинен, а другой ложен. Если в перечне схем аксиом [а] изложенного нами исчисления заменить знак V всюду, где он встречается, знаком Û, то некоторые равенства станут неверными (например, «проваливаются» оба закона Де Моргана).

Это означает, что у самого Буля булевой алгебры не было. Она появляется, конечно, не в виде абстрактной алгебраической системы, а в виде содержательных интерпретаций на классах и высказываниях — лишь у Ст. Джевонса (см. выше. гл. 2). Но от Буля ведет свое начало тип алгебраических систем, переменные которых могут пониматься как двоичные переменные и формулы которых принимают только одно из тех же самых двух значений (поэтому эти переменные и формулы сейчас нередко называют булевыми). К системам такого рода принадлежит и булева алгебра. В этом смысле Буль действительно стоит у ее истоков, что и оправдывает ее название[24].

Теоретико-множественная интерпретация (на классах)

Введем в рассмотрение некоторую область предметов — универсальный класс V (ср. гл. 2). Будем рассматривать всевозможные классы (множества), состоящие из предметов универсума V, то есть его подмножества. Введем также пустой класс Л. На подмножествах множества V, включая и сами V и Л, обычным образом определим операции взятия дополнения к произвольному классу Л, пересечения двух произвольных классов A и B и их объединения (см. примечание 15 на с. 47). Истолкуем пропозициональные переменные булевой алгебры как переменные, значениями которых являются классы; операции ~, &, V будем понимать соответственно как ', ∩, ∪ и следовательно, формулы ~α, (α & β), (α V β) как формулы логики классов α', (α ∩ β) и (α ∪ β), а 1 и 0 — как V и Л. В соответствии с определением V это приведет к истолкованию выражений вида (α → β) и (α ≡ β) как совпадающих по смыслу с формулами вида (α' ∪ β) и ((α' ∪ β) ∩ (α ∪ β'))- Тогда формулы рассмотренного нами исчисления обратятся в формы классов[25], так как при всякой подстановке каких-то значений вместо всех переменных- данной формулы мы будем получать некий класс. Равенства α = β, где- α и β — формы классов, обращается в истинное высказывание, если при данной подстановке значений на места всех переменных, имеющихся в а и β, формы а и β переходят в точности в один и тот же класс[26]. Если это имеет место при любой подстановке такого рода, равенство считается верным.

Нетрудно проверить, что все 17 схем аксиом [а] при данной интерпретации оказываются верными равенствами. Возьмем, например, равенство 13. При интерпретации оно приобретает вид (а')' = а, что очевидно верно, какой бы класс ни взять в качестве а: дополнение к дополнению к данному классу совпадает с данным классом (это ясно видно из рис. 2, где класс A представлен кругом, универсальный класс — квадратом, в который помещен круг. а дополнение к классу A заштриховано). Ясно также, что пересечение любого класса A с универсальным классом есть класс Л (схема аксиом 14), и тот же результат дает его объединение с пустым классом (схема аксиом 15) и т. д.[27].

Формулы, которые при логической интерпретации оказываются тождественно-истинными формами высказываний, при данной интерпретации задают универсальный класс (аналогичное соответствие имеется между тождественно-ложными формами и классовыми формами, задающими пустой класс).

Данная интерпретация является теоретико-множественной в том смысле, что в ней используются операции над классами (множествами), однако ее можно считать и логической интерпретацией (правда, иного рода, чем интерпретация на высказываниях), поскольку множества можно считать объемами понятий (как мы увидим в дальнейшем, логика и теория множеств — при классической установке в математике и логике, о которой речь впереди, находятся между собой в органической связи).

Техническая интерпретация (на контактных схемах)

Одним из видов электрических схем, рассматриваемых в теории электрических цепей и автоматических устройств, являются схемы, состоящие из соединенных проводниками контактов выключателей. Контакты могут быть двух родов —замыкающими и размыкающими. Замыкающий контакт в нерабочем состоянии размыкает электрическую цепь, а в рабочем состоянии — замыкает; размыкающий контакт нерабочем состоянии замыкает цепь, а в рабочем — размыкает (рис. 3). Таким образом, с электрической точки зрения каждый контакт может быть в двух состояниях — проводимости (п) и непроводимости (н).

Срабатывание контакта (то есть переход в рабочее состояние) зависит от внешнего воздействия на выключатель (реле), который им управляет. Один и тот же выключатель может управлять многими контактами — замыкающими и размыкающими. Очевидно, что прохождение тока по схеме, состоящей из контактов, соединенных проводами, зависит от их состояния, которое, в свою очередь, определяется воздействиями на управляющие ими выключатели.

Рис. 3.

Схематическое изображение замыкающего (а) и размыкающего (б) контактов.

Будем истолковывать пропозициональные переменные как замыкающие контакты, управляемые соответствующими выключателями. Примем, что каждому вхождению данной переменной в формулу соответствует какой-то замыкающий контакт, управляемый выключателем, сопоставляемым с данной переменной. Например, в формуле (**) (А1 & ~(А2 V А1)) имеется два вхождения переменной A1, которые означают различные замыкающие контакты, управляемые, однако, одним и тем же выключателем. В качестве значений пропозициональной переменной примем два возможных состояния соответствующего ей замыкающего контакта. Под отрицанием переменной будем понимать размыкающий контакт, управляемый тем же выключателем, который «заведует» отрицаемой переменной. Очевидно, что если A и ~А — замыкающий и размыкающий контакты, управляемые (то есть одновременно переводимые в рабочее состояние) одним и тем же выключателем, то имеет место следующее: если один из них находится в состоянии проводимости, то другой — в состоянии непроводимости, и наоборот.

Истолкуем конъюнкцию как последовательное, а дизъюнкцию — как параллельное соединение контактов (и более общо, комплексов контактов, соединенных проводниками схем) (рис. 4). Это вполне естественно, так как при последовательном соединении контактов ток по цепи проходит лишь тогда, когда оба контакта находятся в состоянии проводимости, а при параллельном соединении для прохождения тока по цепи достаточно проводимости хотя бы одного из контактов.

Рис. 4.

Схемы последовательного и параллельного соединения двух контактов; схема a соответствует формуле (Ai & ~Aj), а схема б — формуле (Ai V ~Aj); i,j = 1, 2, 3,...

Импликацию и эквивалентно будем понимать подобно предыдущей интерпретации — как сокращение смысл которого расшифровывается с помощью знаков ~, & и V. Наша интерпретация не определяет, как понимать формулы (и как вычислять их значения в зависимости от значений, придаваемых их переменным), если в них имеется знак отрицания, действующий не на пропозициональную переменную, а на более сложную (под)формулу. Например, не ясно, как интерпретировать приведенную выше формулу (**). Поэтому условимся о следующем: всякая непосредственно не истолковываемая формула понимается как любая равная ей формула, в которой отрицания (если они есть) стоят только над переменными; значения непосредственно не истолковываемой формулы для любого распределения значений пропозициональных переменных совпадают со значением равной ей непосредственно истолковываемой формулы для тех же распределений значений. Так, формулу (**) можно понимать как формулу (А1 & (~A2 & ~A1), так как она равна формуле (**).

Теперь мы можем указать, что следует понимать под значением формулы — это либо проводимость, либо непроводимость соответствующей схемы, и определять ее значение для любого распределения значений входящих в нее - пропозициональных переменных, пользуясь таблицами, в которых вместо единиц стоят проводимости (п), а вместо нулей — непроводимости (н). При этом формулам, тождественно-равным единице, соответствуют всегда приводящие, а формулам, тождественно-равным нулю, — никогда не проводящие схемы. Очевидно, что верность равенства а = β в нашей интерпретации означает функциональную одинаковость схем, соответствующих формулам а и β — одинаковость их электрического состояния пои любых состояниях их контактов.

Рис. 5.

Схемное представление закона дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции. Как нетрудно убедиться, схемы а и б функционально одинаковы.

Всем семнадцати схемам аксиом в данной интерпретации соответствуют верные равенства, а правила вывода из верных равенств порождают верные равенства. Проверим» например, схему аксиом 5. Для этого по каждой из схем формул, составляющих левую и правую часть этого равенства, построим контактную схему (рис. 5). Составив таблицу проводимости обеих схем (см. табл. 11), убедимся в их функциональной одинаковости.

В силу данной интерпретации к исследованию контактных схем приложимым оказывается весь аппарат теории булевой алгебры. Становится возможным записывать схемы в виде аналитических выражений (формул), и по схемам определять соответствующие им формулы, упрощать схемы и т. п. Упрощение контактных схем, особенно решение задач их минимизации, то есть нахождения по данной схеме самой простой (содержащей наименьшее число контактов) функционально одинаковой с ней схемы» является весьма важным для автоматики.

Проиллюстрируем упрощение схемы с помощью изложенного нами аппарата. Дана схема, изображенная на Рис. 6, а.

По ней строится формула (А1 V (~A1&A2)) Упрощение этой формулы дает: (A1 V (~A1 & A2)) = (A1 V ~A1) & (A1 V А2)=(А1 V A2). Формуле (A1 V ~A2) соответствует более простая схема (рис. 6, б). Читателю предоставляется проверить функциональную одинаковость схем а и б, проследив их электрическое состояние при всех возможных состояниях их контактов[28].

После того как мы ознакомились с четырьмя интерпретациями одной и той же абстрактной системы — теории булевой алгебры (в узком смысле), возникает вопрос, как относятся друг к другу эти интерпретации. Ответ на него состоит в том, что они подобны друг другу, имеют одинаковую структуру. В самом деле: каждой булевой (булевской) формуле, тождественно-равной единице, взаимно однозначно соответствует некоторая тождественно-истинная форма логики высказываний — в логической интерпретации; каждой тождественно-истинной форме — классовая форма, задающая универсальное множество, а этой последней — всегда проводящая схема.

Аналогичное соответствие имеется и между формулами, тождественно-равными нулю, тождественно-ложными формами высказываний, классовыми формами, задающими пустое множество, и никогда не проводящими схемами. Перечень подобных соответствий может быть продолжен, однако и сказанного достаточно, чтобы сделать важный вывод: проводя исследования в одной из этих систем, мы его результаты можем перенести на любую другую. В частности, изучение электрических схем, состоящих из контактов, можно заменить изучением булевых функций.

В этой важнейшей идее подобия (уточняемой с помощью понятия изоморфизма и его обобщений) различных систем и в конечном счете основанной на этой идее процессе моделирования — базируются кибернетические исследования, направленные на автоматизацию логических процедур. Но какой длинный путь должна была проделать наука, чтобы прийти к ясному пониманию этого!

рис. 6. Пример функционально одинаковых схем различной сложности; схема б проще схемы а, так как содержит меньше контактов.