5. ПРОВОЗВЕСТНИКИ ПЕРЕМЕН

Мы уже сказали, что первой математической реакцией на трудности, обнаруженные при последовательном проведении теоретико-множественной установки в математике, они выразились не только в парадоксе Рассела, но и в ряде других формально-логических противоречий в канторовской теории, некоторые из которых были сформулированы даже раньше, чем противоречие в системе Фреге, были «ремонтные меры», предпринятые Расселом. Но этот мыслитель продолжал стоять на теоретико-множественной позиции.

Поэтому естественно, что нашлись люди, которые сочли эти меры полумерами и призвали математический мир пойти в отказе от прежнего образа мыслей гораздо дальше. Реформы ничего не дадут, провозгласили они, нужна революция! Одним из наиболее «левых» был голландский математик, уже получивший к тому времени известность своими работами в области топологии, Луитцен Ян Эгбертус Брауэр (1881—1966)[1]

При изложении платформы Брауэра возникают большие трудности, связанные с несколькими причинами. Брауэр все свои главные статьи по философии математики писал по-голландски, употребляя, как заявляют переводчики, специфические и тяжеловесные выражения, которым трудно найти эквиваленты в других языках. Он, по-видимому, не считал, что его философско-математические убеждения можно достаточно ясно объяснить другим людям; скорее, он носил в себе определенные ощущения того, какой, по его мнению, должна быть математика. Позиция Брауэра менялась и уточнялась с течением времени, и нет никакой гарантии, что многочисленные ее толкования достаточно правильны.

Попытаемся все же выделить некоторые главные пункты философско-математических установок Брауэра и его школы.

1. Единственным источником, порождающим математику, Брауэр считал человеческий интеллект, и в этом был солидарен с Декартом[2].

2. Особенность разума, дающая ему возможность создать математику, это некое ощущение времени, вернее, способность различать два последовательных момента времени как два разных момента. Эта способность порождает, в свою очередь, способность вести счет натуральным числам. Таким образом, у Брауэра натуральные числа выступают как нечто первичное, непосредственно данное глубинной человеческой интуиции. Именно из-за этого математика школы Брауэра названа интуиционистской математикой, а логика, принятая в этой математике» — интуиционистской логикой.

3. Из второго пункта вытекает, что «классическая» логика не является чем-то первоначальным, как ошибочно полагают логицисты. В глубинной интуиции даны лишь конечные образования — натуральные числа. На каком же основании классическую логику, которая могла возникнуть лишь как отражение опыта оперирования с конечными объектами, распространяют на бесконечные множества? К бесконечным множествам не всегда применим закон исключенного третьего (принцип: из двух высказываний, одно из которых есть отрицание другого, по крайней мере одно истинно).

Этот важнейший пункт брауэровской критики классической логики и теоретико-множественной математики требует пояснения. Воспользуемся известным примером. Рассмотрим высказывание(*) «В десятичном представлении числа я либо имеется девять нулей подряд, либо не имеется». Это высказывание подпадает под схему закона исключенного третьего (а V ~а) и с «классических» позиций должно быть признано верным.

Но с точки зрения Брауэра это высказывание может иметь смысл лишь в том случае, если у нас есть способ проверить, какая из двух альтернатив — а или ~а — имеет место[3]. В данном же случае этого сделать нельзя: вычисляя значение числа π со все большей точностью, мы можем в конце концов добраться до «пакета» из девяти нулей — и тогда подтвердится первая альтернатива (что и будет означать истинность высказывания (*));но может случиться, что процесс вычисления будет продолжаться неограниченно долго — и это вовсе не будет означать справедливости второй альтернативы. Таким образом, вопрос о верности рассматриваемого высказывания (*) остается открытым. Конечно, если бы у нас было независимое от этого процесса вычисления доказательство второй альтернативы, то истинность данного суждения тоже была бы установлена. Но наука в настоящее время им не располагает. Таким образом, закон исключенного третьего как «общезначащую» логическуй схему следует отвергнуть.

Отказ от всеобщности «исключения третьего» в применении к бесконечным совокупностям влечет за собой серьезные перемены в логике. В частности, из отвержения альтернативы ~а — то есть доказательства того, что верно ~~a — заключать к верности альтернативы а по Брауэру в общем случае недопустимо[4]. Например, если предположение, что среди элементов некоторого бесконечного множества не существует объекта с определенными свойствами, ведет к нелепости (и, значит, отвергается), то отсюда, тем не менее, не следует, что объект с этими свойствами существует.

4. С предшествующим тезисом тесно связана конструктивистская установка интуиционистской математики. Поскольку принцип исключенного третьего, примененный к бесконечным множествам, не гарантирует правильности рассуждения, единственным способом доказательства существования математических объектов является их фактическое построение. Обратим внимание на этот важнейший тезис — зародыш другого современного направления в математике — конструктивное направления.

5. Хотя математика создается разумом, она приложима к окружающему миру. Математические символы не лишены содержательного смысла; хотя они указывают на определенные объекты, данные в интуиции, объекты эти тесно связаны с реальными процессами, происходящими во Вселенной. Интуицию, однако, нельзя выразить никакими строгими определениями, и поэтому интуиционисты отказываются эксплицировать общее понятие «способа построения», полагая, что невозможно заранее предвидеть все приемы рассуждения, которые могут оказаться интуитивно убедительными.

Заметим, что в этом пункте от интуиционизма резко отличается конструктивное направление в математике, всходящее из тезиса, что конструктивная деятельность в этой науке адекватно передается понятием алгоритма (см. гл. 7).

Как мы видим, если практические выводы в отношении построения математики более или менее четки (отбрасывание логицизма, ограничение логического принципа исключенного третьего, требование конструктивности доказательств существования), то учение о «глубинной интуиции» разума остается сугубо неясным. Самое большее, что мы можем сделать, чтобы пролить свет на этот пункт, это привести «разъяснения» самого Брауэра, сделанные им (без особой надежды на понимание аудитории) на Международном конгрессе по философии, состоявшемся в Амстердаме в августе 1948 года[5].

«Прежде всего мы должны уяснить все фазы сознания, совершающего переход от своих глубин к внешнему миру, в котором мы сотрудничаем и ищем взаимопонимания. Данное мое выступление вовсе не рассчитано на непременное наличие такого взаимопонимания, и, в некотором смысле, его можно рассматривать как монолог...

Сознание в своем глубинном убежище, как можно думать, медленно и пассивно совершает колебания между состояниями покоя и чувствования. По-видимому. лишь в состоянии чувствования становится возможным первый акт упомянутого перехода. Этим актом является движение времени. С помощью движения времени имеющееся в данный момент чувствование переходит в чувствование в другой момент, так что сознание сохраняет первое как имевшееся в прошлом; более того, благодаря различению настоящего и прошедшего, сознание отходит от них обоих, выходит из пассивного состояния, и так возникает мышление.

В форме мышления сознание выступает как субъект, переживающий чувствование в настоящем — так же как и прошедшее чувствование — в качестве объекта. А путем повторения этого процесса удвоения объект может быть расширен до всего множественного и пестрого мира чувствований.

...Математика возникает в тот момент, когда субъект лишает это порождаемое движением времени удвоение всех качеств и когда остающаяся пустая форма общего субстрата всякого удвоения подвергается, в качестве глубинней математической интуиции, неограниченному раскрытию, порождая новые математические сущности в форме предопределенных или более или менее свободно формирующихся бесконечных последовательностей полученных прежде математических сущностей, и в форме математических видов, то есть свойств, которые мы предполагали присущими прежде полученным математическим сущностям и удовлетворяющим тому условию, что если они присущи определенной математической сущности, то они присущи и всем другим одинаковым с ней сущностям».

Обратим внимание на три важных вывода, следующих из аутентичного изложения платформы интуиционистской математики, которое мы только что привели. Во-первых, интуиция, о которой все время идет речь у Брауэра и его последователей, является интуицией разума, и ничего общего не имеет с мистической интуицией чувства, которая фигурирует у философов типа Ф.В. Шеллинга, К. Ясперса, Ж.П. Сартра и т. д.; математический интуиционизм есть нечто не похожее на философский интуитивизм. Он более родствен рационалистическому «интуиционизму» Декарта, выраженному, скажем, в следующих словах последнего:

«Под интуицией я разумею не веру в шаткое свидетельство чувств и не обманчивое суждение беспорядочного воображения, но понятие ясного и внимательного ума, настолько простое и отчетливое, что оно не оставляет никакого сомнения в том, что мы мыслим»[6]. Во-вторых, из слов Брауэра можно определенно заключить, что «глубинная интуиция» разума, порождающая математику, одинакова у всех людей; поэтому математика в этом смысле объективна, не произвольна. В-третьих, интуиция разума не зависит от языка; языковые средства нужны лишь для того, чтобы (не адекватно) сообщать результаты деятельности интуиции другим людям.

Анализируя эти установки Брауэра, нетрудно обнаружить их несоответствие с известными науке фактами. Данные современной психологии все увереннее говорят о том, что осознанного результата мыслительного акта не существует вне языка или, во всяком случае, вне какой-то знаковой системы. Принятие же одинаковости изначальной интуиции разума у всех людей очень напоминает утверждение Канта о неизбежности восприятия мира людьми через априорную категорию времени — утверждение, расходящееся с результатами психологических исследований поведения детей, в частности, исследования Ж. Пиаже и его школы[7].

Отечественное конструктивное направление, продолжающее критическую линию интуиционизма в отношении классической математики, отвергает философскую концепцию Брауэра. На место «интуиции» конструктивисты выдвигают понятие умственного построения, проясняемое с помощью понятия алгоритма (см. гл. 7). При этом, как указывает создатель отечественной школы конструктивной математики А. А. Марков, «умственные построения, такие, например, как построения все больших и больших натуральных чисел, обычно являются слепками с построений материальных, осуществляемых в окружающей нас действительности»[8].

Перейдем, однако, к чисто математическому аспекту брауэровской платформы. Ядром здесь является установка на конструктивность[9] и отрицание универсальности закона исключенного третьего — два положения, которые в интуиционистском истолковании являются родственными. Пример поможет понять сущность дела.

Возьмем теорему Больцано — Вейерштрасса о наличии у ограниченной числовой последовательности точки сгущения. Под точкой сгущения последовательности понимается точка числовой оси, к которой как угодно близко подходят точки, представляющие числа данной последовательности. Скажем, для последовательности 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...точкой сгущения является нулевая точка, так как какое бы сколь угодно малое положительное число е мы ни взяли, для него обязательно отыщется член нашей последовательности, отличающийся по своей абсолютной величине от нуля меньше, чем на е.

Теорема Больцано — Вейерштрасса доказывается с помощью дихотомии. Ограниченная последовательность (по определению) может быть целиком заключена в пределы некоторого отрезка числовой оси. Разделим этот отрезок пополам. По меньшей мере на одной из его половин (а может и на обеих) имеется бесконечное множество точек последовательности, иначе, если бы на обеих половинах было конечное число точек, то их вообще было бы конечное число, что противоречит предположению о бесконечности последовательности. Возьмем как раз ту половину, где имеется бесконечное множество точек последовательности, разделим ее снова пополам и повторим рассуждение. В конце концов (при бесконечном продолжении процесса) мы придем к единственной точке, принадлежащей всем нашим уменьшающимся вдвое отрезкам, — это и будет точка сгущения.

В самом деле: если предположить, что эта точка не есть точка сгущения, то вокруг нее существует некоторая зона, где нет точек нашей последовательности; но уменьшающиеся отрезки, каждый из которых содержит не одну, а бесконечное множество точек последовательности, стягиваются вокруг этой точки и рано или поздно войдут в любую зону, как бы мала она ни была. Противоречие и доказывает теорему[10].

Для интуициониста это рассуждение ничего не стоит. Ясно, скажет он, что мы не сможем фактически обнаружить тот отрезок, на котором расположено бесконечное множество членов последовательности. Действительно, как это сделать? Считать число членов, попавших на каждую из половин? Это приведет к цели лишь в том случае, если на одной из половин окажется конечное число членов: тогда мы возьмем другую половину. А если мы считаем, считаем и считаем — и все время и на одной и на другой половине будут обнаруживаться новые точки — тогда как быть? Ведь как бы долго ни происходил этот пересчет, мы не вправе заключить, что точек бесконечное множество: нет гарантии, что они через некоторое время не иссякнут. Поэтому построить точку сгущения таким способом невозможно. А раз так, то из нелепости предположения об отсутствии точки сгущения не следует ее наличие.

Учтя центральное положение теоремы Больцано—Вейерштрасса в дифференциальном исчислении и распространенность в анализе доказательств с подобной же схемой рассуждений, можно представить себе, в какое затрудни» тельное положение попадает математика, если такие рассуждения будут «запрещены» — объявлены нестрогими. Естественно, что программа Брауэра вызвала среди ведущих математиков того времени самое различное отношение - одни приветствовали ее (среди них был, например, Гермад Вейль, решительно выступивший в поддержку Брауэра), другие — а таких было большинство — выступили с резкими возражениями. Самым авторитетным оппонентом интуиционизма стал Давид Гильберт (1862—1943).

Гильберта считают величайшим математиком XX века. Диапазон его работ внушает изумление. Он внес огромный вклад в теорию инвариантов групп и теорию алгебраических чисел, разработал основания геометрии, решил многие проблемы вариационного исчисления, исследовал вопросы дифференциальных уравнений, развил теорию интегральных уравнений, создал аппарат функционального анализа и поставил на новую основу математическую физику. Влияние Гильберта на современную ему математику было невероятным. Геттингенский университет, профессором которого он был с 1902 по 1930 год, стал мировой «Меккой математиков». В 1900 году на Втором Международном конгрессе математиков в Париже Гильберт делал обзорный доклад о проблемах математики в целом — вещь, на которую не отваживался больше никто. В этом знаменательном для истории науки докладе он выдвинул знаменитые двадцать три «проблемы Гильберта», задавшие исследователям работу на десятилетия и в некотором смысле определившие направление поисков.

Бунт Брауэра Гильберт воспринял как сигнал о неблагополучном положении во всем математическом хозяйстве и срочно стал искать средства ликвидировать возникшие неполадки. С начала двадцатых годов важнейшим делом Гильберта становятся исследования в области оснований математики. Эта работа тем более была ему сподручна, что еще в 1898 году он написал знаменитую книгу «Основания геометрии» (а в последующие годы опубликовал ряд работ по проблемам оснований математического знания). В этой книге подводился итог огромной работе математиков, физиков и философов в области осознания природы геометрической науки — работы, начатой еще создателями неэвклидовых геометрий. Для понимания той программы, которую Гильберт противопоставил плану Брауэра, полезно познакомиться с основным замыслом «Оснований геометрии»[11].

Работы Фреге ясно показали (хотя сам Фреге с этим не был согласен[12]): абстрактная (и тем более формальная, то есть основанная на формализованной логике) теория сама по себе не может быть «верной» или «неверной» с точки зрения содержания. Содержательные соображения получают право на существование только тогда, когда установлена интерпретация формальной системы, то есть когда система использована как схема каких-то «реальных» явлений. Но какова «природа» элементов абстрактной, формальной системы? В частности, что такое точки и прямые абстрактной геометрии?

Гильберт подробно осветил этот вопрос в своей книге. Точки, прямые и плоскости он назвал «тремя системами вещей», удовлетворяющих аксиомам геометрии. Таким образом, он объявил аксиомы скрытыми (неявными) определениями основных понятий некоторой абстрактной структуры. Точки, прямые и плоскости — это любые вещи, которые подчинены условиям, что для любых двух точек существует прямая и притом только одна, проходящая через каждую из этих точек; что через прямую и точку, на ней не лежащую, проходит одна и только одна плоскость, и т. д. Все это соответствовало естественному движению математики к аксиоматическому методу. Но оставалась нерешенная деталь: в чем все-таки состоит гарантия того, что система аксиом геометрии удовлетворяет требованию логически непротиворечивости? Ясно, что ссылки на применения геометрии к другим областям, ни разу не приводившие к противоречиям, не являются залогом того, что противоречия и впредь не возникнет. Чтобы с полным спокойствием применять геометрию в сфере физики и других конкретных наук, следовало бы иметь более строгие доказательства того, что этот аппарат с точки зрения своей внутренней структуры абсолютно надежен. Ведь система, в которой не возможно доказать некоторое положение и его отрицание, заведомо не годится ни для какой интерпретации. Гильберт показал, что непротиворечивость геометрии такова же, как и непротиворечивость арифметики, то есть, что если арифметика непротиворечива, то непротиворечива и геометрия. Итак, все замкнулось на арифметику.

Когда началось брожение математических умов, вызванное обнаружением парадоксов теории множеств и лозунгами Брауэра, Гильберт вновь вернулся к проблемам обоснования математики. Надо было продолжить работу с того пункта, на котором она была закончена, перейти к отысканию способов доказательства непротиворечивости арифметики. Но почему Гильберт рассматривал такое доказательство как решающий аргумент против интуиционизма?

Это было связано с его теорией «идеальных элементов» в математике. Гильберт принимал, что бесконечные множества не соответствуют ничему реальному в природе. Но ведь и в задачах, где исследуются целые числа, могут в промежуточных фазах вычисления встретиться дроби, которые тоже ничему в данном случае не соответствуют и которые в окончательный результат не войдут, они введены нами для удобства вычислений, из соображений формальной простоты и компактности. То же можно сказать о комплексных числах, встречающихся в уравнениях прогиба стержней. Комплексные числа не описывают непосредственно стержня, но, появляясь в промежуточных стадиях вычисления, сокращают путь решения задачи, делают решение лаконичным и простым. Иными словами, кратчайшая дорога, соединяющая области реальные, может пролегать по области «воображаемых» объектов — «идеальных элементов». Мы сможем без опаски пользоваться этими элементы ми, если докажем раз навсегда, что теория, построенная с их участием, не приведет к противоречию[13]. И тогда не нужно искать никакой «изначальной индукции» разума или других столь же туманных источников надежности математики. Ее надежность — это ее непротиворечивость, другие требования просто лишены смысла.

Попробуем проследить идейные основы концепции идеальных элементов» Гильберта.

Воспитанный в немецком университете профессорами, целиком принадлежавшими к поколению, считавшему теоретико-множественное мышление идеалом строгости, он и сам впитал смолоду этот образ мышления. Канторовская теория множеств рисовалась ему одним из величайших завоеваний человеческого гения. «Никто не сможет изгнать нас из рая, который создал нам Кантор», сказал Гильберт[14], осуждая попытки Брауэра я его учеников «развалить» математику.

Но Гильберт уже не верил в существование в каком-то «царстве идей» множеств множеств множеств. Гильберт просто считал, что такие понятия полезны для математики, в могуществе которой был глубоко убежден. В конце вступительной части своего исторического доклада о проблемах математической науки он произнес вдохновенные слова: «мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует Ignorabimus»[15]. Это был прямой вызов агностическим установкам в науке, так как выражение ignorabimus—«мы не будем знать» (лат.) было сказано физиологом Э. Дюбуа-Реймоном о некоторых нерешенных проблемах (касающихся взаимоотношения физиологического и психического).

Новаторство Гильберта проявилось как в том, что он объявил теоретико-множественные построения лишь вспомогательными элементами науки, так и в подробно развитом им подходе к основаниям математики, получившем название гильбертовского формализма и финитизма. Познакомимся с основным тезисом гильбертовского формализма из уст его автора.

Гильберт считал, что в качестве предварительного условия для осуществления логических умозаключений и выполнения логических операций в человеческом представлена уже должны быть даны определенные внелогические конкретные объекты — даны наглядно, в качестве непосредственных переживаний до какого бы то ни было мышления. «Для того чтобы логические выводы были надежны, эти объекты должны быть обозримы полностью во всех частях; их показания, их отличие, их следование, расположение одного из них наряду с другим дается непосредственно наглядно, одновременно с самими объектами, как нечто такое, что не может быть сведено к чему-либо другому и не нуждается в таком сведении. Это — та основная философская установка, которую я считаю обязательной как для математики, так и вообще для всякого научного мышления, понимания и общения и без которой совершенно невозможна умственная деятельность. В частности, в математике предметом нашего рассмотрения являются конкретные знаки сами по себе, облик которых... непосредственно ясен и может быть впоследствии узнаваем»[16].

Если глубоко вдуматься в это программное заявление, мы увидим, что перед нами, несомненно, плодотворный тезис. По существу, Гильберт утверждает здесь, что мышление, научная работа нуждаются в системе знаков, на которые могут опереться логические рассуждения. Знаки — внелогическая категория, утверждает Гильберт. В самом деле, ведь это материальные объекты, состоящие из засохшей типографской краски, из микроскопических ракушек, образующих мел, и т. п.

Они могут отображаться в представлении, в сознании, но в этом случае они выступают в качестве образов тех же материальных объектов. Для научного мышления представляют ценность не любые знаки, а такие, которые человек может уверенно отличать друг от друга или, наоборот, отождествлять друг с другом — только в этом случае их можно использовать для построения теории.

По поводу формализма Гильберта возникало немало недоразумений и неправильных его трактовок, поэтому мы дадим слово великому математику еще раз. Главное обвинение, которое бросали Гильберту в то время, состояло в том, что он будто бы превращает математику в пустую игру символов и тем самым исключает ее из факторов человеческой культуры. Вот что он отвечал по этому поводу:

«Эта игра формул допускает, что все содержание идей математической науки можно единообразно выразить и развить таким образом, чтобы вместе с тем соотношения и отдельные теоремы были понятны. Выставить общее требование, согласно которому отдельные формулы сами по себе должны быть изъяснимы, отнюдь не разумно; напротив, сущности теории соответствует, что при ее развитии нет необходимости, между прочим, возвращаться к наглядности или значимости. Физик как раз требует от теории, чтобы частные теоремы были выведены из законов природы или гипотез с помощью одних только умозаключений, не вводя при этом дальнейших условий, то есть. на основании чистой игры формул. Только известная часть комбинаций и следствий из физических законов может быть контролируема опытом, подобно тому как в моей теории доказательства только реальные высказывания могут быть непосредственно проверяемы»[17].

Было бы неправильным усматривать здесь философски неубедительные тенденций. Основная цель науки, по Гильберту, познание мира. Но сущность вещей не лежит в их «верхнем слое», непосредственно открытом чувственному восприятию. Поэтому методологически, неправильно каждую отдельную формулу и каждый отдельный знак «проверять» сопоставлением с действительными объектами. Теория — вещь горазда более сложная, чем простое «фотографирование» объектов. Установив правила работы со знаками с помощью глубинных законов природы или с помощью некоторых» гипотез (которые потом могут быть отвергнуты, если теория: не оправдает себя), на следующем этапе работы мы можем отвлечься: от внешней реальности, вернее, рассматривать в качестве реальности уже не окружающую природу, а саму знаковую систему с ее правилами, каковые, хотя и были установлены нами самими», теперь предстают перед нами как объективная: данность»

Чтобы лучше пояснить сущность гильбертовской идеи «игры в символы», проведем такую параллель. В современной практике получили распространение аналоговые электрические машины, с помощью которых исследователи решают многие важные проблемы. Принцип действия таких устройств состоит в том, что параметры электрических цепей (омического сопротивления, индуктивности, напряжения; и т. д.) подобраны так, что изменение тока или напряжения во времени оказывается подчиненным тем же законам, которые, по предположению, управляют некоторым физическим или технологическим процессом.

Придав параметрам исходные значения, затем предоставляют развиваться электрическим процессами смотрят, что получится в результате. Это — электрическое моделирование неэлектрического (а, скажем, механического или теплового) процесса. В этом случае никто не будет настаивать, чтобы мы истолковывали токи или напряжения содержательным образом на каждом этапе исследования. Запустив машину, исследователь некоторое время имеет дело только с происходящими в ней электрическими явлениями. Если бы он отказался от такой методики и подвергал все промежуточные значения параметров мелочной проверке и сопоставлению с моделируемым процессом, это могло бы принести только вред (он мог навязать машине свои представления об изучаемом явлении, которые могли бы оказаться ошибочными). Гильбертова методика знакового моделирования ничем, в сущности, не отличается от обрисованной нами сейчас методики электрического моделирования. Роль токов и напряжений, измеряемых с помощью приборов, а в конечном счете — с помощью человеческого глаза, смотрящего на шкалу прибора, у Гильберта играют знаки, опознаваемые и различаемые математиком, а в роли условий, определяющих характер электрического процесса в аналоговой машине, выступают аксиомы и правила вывода одних знаковых комбинаций из других, предварительно установленные на основании некоторых разумных соображений и в дальнейшем ни в коем случае не нарушаемые. Впоследствии мы увидим, какую существенную роль играет знаковое моделирование в кибернетике.

Теперь о другой стороне программы Гильберта — о тех его идеях и надеждах, которые не оправдались и оказались иллюзорными.

У Гильберта было глубокое убеждение в том, что можно «финитными» (конечными) средствами доказать непротиворечивость арифметики, после чего и вся математика — с анализом и всеми ее «идеальными элементами» — станет в логическом смысле абсолютно истинной и превратится в инструмент исследования стопроцентной надежности (что не будет, конечно, означать прекращения развития математической науки). Что же такое «финитные средства»? Это — аппарат, не апеллирующий к канторовской идее бесконечности (когда бесконечные множества мыслятся как актуальные, то есть «ставшие», как некие законченные образования, данные сразу всеми своими элементами) и не содержащий «идеальных элементов», схемы и правила рассуждений которого в силу этого вполне ясны, обозримы и понимаются всеми одинаковым образом.

Приведем пример финитного доказательства непротиворечивости, который позволит конкретно представить существо подхода Гильберта. Докажем, что дедуктивно-аксиоматическая система исчисления высказываний, описанная в главе 4 (система Фреге), непротиворечива, то есть, что в ней нельзя доказать в качестве теоремы некоторую формулу а и ее отрицание ~α[18].

Доказательство любой теоремы в данной системе можно представить как цепочку формул, каждая из которых есть либо аксиома, то есть формула, подпадающая под какую-либо схему аксиом, либо получена из каких-либо формул, стоящих в цепочке ранее, по модесу поненсу; последняя формула цепочки есть доказываемая теорема. В силу этого самое первое применение правила вывода должно обязательно относиться к аксиомам. В этом смысле можно сказать, что все доказательства — выводы теорем — начинаются на аксиомах, а затем с помощью правила модус поненс получаются новые формулы (причем каждая из них есть теорема). Но поскольку любая формула, подпадающая под какую-либо схему аксиом (аксиома), как мы установили, тождественно-истинна, а модус поненс этой истинности не «портит», то свойство «быть тождественно-истинной формулой» становится в нашей системе «наследственным» — присущим всем теоремам. Это свойство похоже на некий генетический признак, непременно передающийся от родителей к детям. При таком положении дел можно с полной уверенностью утверждать, что среди даже самых дальних потомков прародителей не встретятся экземпляры, лишенные наследуемого признака.

Рассмотрим теперь некие две формулы а и ~а. Если обе они — доказуемые формулы, то есть «потомки» аксиом, порожденные посредством модуса поненса, то они должны быть обе тождественно-истинными. Но это невозможно: из табличного определения отрицания следует, что если одна из этих формул будет тождественно-истинной, то другая окажется тождественно-ложной. Но тождественно-ложная формула не может быть выводимой из аксиом — доказуемой (так как если бы она была доказуемой, то была бы тождественно-истинной и, значит, не тождественно-ложной). Следовательно, одна из формул, а или ~а, недоказуема.

Это рассуждение является совершенно «финитным», оно не использует ни идеи канторовской актуальной бесконечности, ни «идеальных элементов»[19].

Гильберт хотел осуществить такого же рода (мета)доказательство непротиворечивости для более сложной дедуктивной системы — арифметики. Для этого арифметику нужно было построить как аксиоматически-дедуктивную систему и показать, что, пользуясь разрешенными в ней правилами переработки знакосочетаний, мы никогда не выведем в качестве теорем а и ~а. Поскольку арифметика занимается установлением соотношений не только для конкретыых натуральных чисел, но и формулирует законы, которым подчиняются все натуральные числа (например, что а + b = b + а, каковы бы ни были a и b) или какие-то (бесконечные) их множества, и утверждения о существовании чисел с определенными свойствами, то соответствующая формальная система должна быть основана на логике предикатов, в которой имеются правила обращения с кванторами общности V («все») и существования Э («существует»).

Интересно, что у Гильберта в течение нескольких лет, по-видимому, имелось чувство уверенности, что данная проблема вот-вот будет решена, что осталось совсем немного усилий, и непротиворечивость, арифметики будет строго установлена начертанным им в 1927 году на Математическом семинаре в Гамбурге путем[20]. Но шли годы, а дело не сдвигалось с места. А в 1931 году молодей австрийский математик Курт Гёдель опубликовал найденное им доказательство (мета)теоремы, которая многими рассматривается как поворотный пункт в науке об основаниях математики и в математической логике. Методами, признанным» подавляющим большинством математиков совершенно строгими, Гёдель доказал, что в формализованной арифметической системе есть такие формулы, которые по своему содержанию должны быть либо истинными, либо ложными, но которые не могут быть в этой системе ни доказаны, ни опровергнуты. Но это еще не все. Опираясь на этот результат, названный Теоремой о неполноте, Гёдель доказал, что если арифметика непротиворечива, то ее непротиворечивость нельзя; доказать формальными средствами.

Означало ли это крах программы Гильберта? В той своей части, которая касается доказательства непротиворечивости арифметики «финитными» средствами, замысел Гильберта, конечно рухнул. Однако остается открытым следующий путь: так расширять понятие «дозволенных методов доказательства, чтобы теорема Гёделя уже не относились к этим методам. Как писал выдающийся советский математик П. С Новиков(1901—1975), нет «никаких оснований предполагать, что границы, которые кладет финитизм Гильберта, действительно необходимы для того, чтобы исключить вызывающие сомнения элементы математического мышления. Возможен дальнейший анализ предмета математики и выделения в нем надежных непротиворечивых средств, выходящих за рамки фанитизма и все же достаточно сильных для того, чтобы решать интересующие, нас вопросы. Но выход за рамки финитизма не уничтожает основной идеи метода, предложенного Гильбертом и состоящего в формализации тех математических систем, которые подлежат обоснованию, средствами некоторого круга понятий, в силу тех или других соображений принятого в качестве основы»[21].