4. ВЕЛИКАЯ ПЕРЕОЦЕНКА ЦЕННОСТЕЙ

Теоретическую математику иногда представляют себе как концентрированное воплощение отвлеченной мысли, не замутненной никакой утилитарной стороной дела, которую она оставляет прикладной математике и техническим дисциплинам. Такой взгляд на математику обнаруживается в высказываниях многих выдающихся ученых. «Чистая математика в ее современном виде может быть названа самым оригинальным созданием человеческого духа», сказал Альфред Уайтхед. «Математик, который не есть отчасти и поэт, никогда не будет настоящим математиком» - сказал Карл Вейерштрасс. «Математика — это единственная настоящая философия» - сказал лорд Кельвин[1].

Как относиться к таким высказываниям? Математика, действительно, являясь ярчайшим подтверждением силы человеческого разума и неисчерпаемости человеческого воображения, в то же время может быть названа, если позволительно так выразиться, одним из самых деловых занятий: результаты математики говорят сами за себя, фирма с названием «математика» имеет мировую известность как фирма, дающая стопроцентную гарантию своей продукции. «Сделано математикой» — означает для всех «сделано на века». Поэтому математика не может позволить себе необоснованного риска заниматься выпуском изделий, которые могут вызвать сенсацию, а потом оказаться недоброкачественными. У нее есть собственная технология производства, оправданная двухтысячелетней практикой. Все это мы должны иметь в виду при рассмотрении вопроса о том, почему лейбницева идея автоматизации рассуждений с таким трудом пробивала себе дорогу: Лейбница отделяет от Буля полтора столетия, но ведь даже работы Буля и его школы были лишь деятельностью энтузиастов и не привлекали внимания современников.

Но мы знаем, что все упиралось в формализацию логики — необходимо было выработать символику и процедуры преобразований знаков, позволяющие эффективно проводить логический анализ. Лейбниц только собирался преодолеть этот барьер, но так и не осуществил своего намерения. Буль и его последователи расчистили многие препятствия, но они работали как одиночки, не увлекали за собой других математиков, не получили их поддержки. Даже труды Г. Фреге — этого титана логико-математической мысли, о вкладе которого в логику и основания математики мы скоро будем говорить появившиеся в конце прошлого века, не обратили на себя внимания.

А по своим потенциальным возможностям математика в середине XIX века уже в значительной мере созрела для того, чтобы приступить к уточнению программы Лейбница. Надо было только «навалиться всем миром», заострить на этой проблеме внимание, как когда-то оно было заострено на задаче о проведении касательной к данной линии, решая которую, Ньютон заложил основы дифференциального исчисления.

Но ничего подобного сделано не было. Ни одна академия не поставила проблему «искусственного мышления». Это выглядело бы в то время несерьезно. Даже «привязанные» отчасти к теории вероятностей и алгебраизованные по форме исследования Буля воспринимались как вещи, уводящие математику в сторону от основной дороги. Во второй половине XIX века центральными вопросами математики продолжали оставаться вопросы дифференциального и интегрального исчисления и дифференциальных уравнений, образующие область, которая известна как «математический анализ» или просто «анализ». Она возникла в результате открытий Ньютона и Лейбница и получила мощный импульс от их ближайших последователей, великих математиков XVIII и начала XIX в.—Эйлера, Лагранжа и Лапласа. Известно, что импульсы к созданию математического анализа были даны геометрическими и механическими задачами — такими, как вычисление площадей фигур (квадратур), длин кривых, моментов инерции, отыскание траекторий и т. п., решать которые прежними средствами было затруднительно или вообще невозможно.

Сразу же после своего появления анализ показал себя как исключительно мощный по своим возможностям инструмент. Это могущество метода так увлекло математиков, что они стали интенсивно расширять круг задач, решаемых анализом, и совершенствовать его формулы, способные, казалось, описывать и обсчитывать все на свете. Расширение сферы приложений анализа и увеличение его популярности заставляло наиболее вдумчивых математиков ставить задачу его обоснования, не зависящего от приложений геометрического или механического характера[2]. Внутренняя логика развития этой дисциплины ставила вопрос о строгости ее методов — проблему, над которой в первой четверти XIX века работали Б. Больцано и О. Коши и которая занимала умы таких великих математиков, как К. Ф. Гаусс и Н. Г. Абель.

Специалисты того времени по-разному относились к работам по логическому усовершенствованию теоретической части анализа. Конечно, математики не сомневались, что методы анализа дают адекватные результаты, но некоторых из них особенно сильно беспокоило желание установить «согласованность» всей системы его утверждений, то есть его «логическую прочностью. Они считали, что непогрешимость анализа должна быть не такой вещью, в которую приходится верить и которая подтверждается лишь косвенно — безупречной работой аппарата, а такой, которую можно доказать рассуждением. Ответом на эту потребность явился ряд теорий действительного числа — Р. Дедикинда, К. Вейерштрасса и Г. Кантора.

Действительные числа — основной объект анализа, поэтому последний нельзя считать логически совершенным, пока не установлена полная ясность в отношении понятия действительного числа. Понятие натурального числа представлялось тогда вполне ясным. Из натуральных чисел легко получаются рациональные числа — дроби. Но иррациональные числа — главную составляющую действительных чисел — определить уже значительно труднее. К. Вейерштрасс (1815—1897) разработал теорию действительных чисел, из которой вытекало, что их можно определить как бесконечные десятичные дроби. Если такая дробь является периодической (например, 0,333...), она отождествляется с рациональным числом (в нашем примере это 1/3)[3], если не периодической — то с числом иррациональным; таковы, скажем, известные числа π и е, отождествляемые соответственно с бесконечными непериодическими десятичными дробями 3,1415926546... и 2,7182818289...

В обоих случаях мы выписали по десять знаков после запятой, поставив затем многоточие; последнее ясно показывает, какую роль в данной теории играет бесконечность: она заложена в самих объектах, возникающих в теории. Вейерштрассовское действительное число — если оно иррационально — нельзя написать на бумаге: не хватит ни бумаги, ни человеческой жизни[4].

Многие математики (Л. Кронекер и др.) видели в этом серьезный дефект теории Вейерштрасса, но, она все же прочно вошла в учебники анализа, ибо, как отметил Е. Т. Белл, «она работала»[5].

Более интересной для нас является теория действительных чисел Дедекинда[6]. Он придал иррациональным числам совершенно новый смысл, определив их как сечение в области рациональных чисел. Подход Дедекинда состоял в следующем.

Ясно, что любое множество можно разбить на два под множества таким образом, что объединение подмножеств будет совпадать со всем множеством и каждый элемент последнего попадет в одно и только одно из подмножеств. Такое разбиение со времен античности называют дихотомией (буквально: «сечение на две части»). Произведем дихотомию множества всех рациональных чисел так, что в результате получатся два непустых подмножества, находящихся в следующем отношении: каждое число какого-то одного из них меньше любого числа другого. Систему из таких двух подмножеств множества всех рациональных чисел Дедекинд назвал сечением в области рациональных чисел; первое из них образует левый класс, второе — правый класс сечения.

Приведем пример сечения. Левый класс — все отрицательные рациональные числа, правый класс — нуль и все положительные рациональные числа. Очевидно, что мы имеем здесь сечение в дедекиндовом смысле, так как каждое рациональное число войдет либо в первый, либо во второй класс (но не в оба сразу), ни один из классов не пуст, любое отрицательное число меньше нуля и каждого из положительных чисел.

Оказывается, над сечениями можно производить операции. Возьмем два каких-нибудь сечения, например следующие. В первом — его мы обозначим через С1 - левый класс (назовем его А1) образуют все рациональные числа, меньшие единицы, правый (В1) —не меньшие единицы. Во втором сечении (С2) левый класс (А2) образован всеми рациональными числами, меньшими двойки, а правый (В2) остальными рациональными числами. После этого зададим следующее разбиение множества всех рациональных чисел на два подмножества: к первому отнесем все числа, которые могут быть представлены суммой двух слагаемых — числа из множества А1 и числа из множества А2 ко второму — все числа, которые представимы в виде суммы числа из множества В1 и числа из множества В2. Будет ли это разбиение сечением?

Нетрудно видеть, что будет. Оба рассматриваемых подмножества не пусты; поскольку первое слагаемое одной суммы меньше первого слагаемого другой суммы и то же относится ко вторым слагаемым, то и первая сумма меньше второй суммы. Можно показать, что выполнено и требование того, чтобы каждое рациональное число обязательно попадало в какое-то одно, и только одно, из двух подмножеств. Итак, разбиение, построенное указанным способом по двум заданным сечениям, есть тоже сечение. Его называют суммой двух исходных сечений и обозначают С1 + С2. Очевидно, что подобным образом возможно построить сумму любых двух сечений. Аналогично можно получить произведение двух сечений С1 и С2: левый его класс составят произведения сомножителей, взятых из левых классов исходных сечений, а правый — взятых из правых классов (правда, здесь нужно сделать некоторые оговорки, связанные с тем, что произведение отрицательных чисел есть число положительное, но они достаточно просты и для нашего изложения несущественны). В приведенном выше примере сумма сечений оказывается сечением, левый класс которого состоит из рациональных чисел, меньших тройки, а произведение — сечением с левым классом, состоящим из чисел, меньших двойки. Но число 3 есть результат сложения, а число 2—результат умножения чисел 1 и 2. Вообще всегда, когда в каждом из исходных сечений есть либо наибольшее число левого класса, либо наименьшее число правого (пограничное число), сумма сечений также будет иметь пограничное число — сумму пограничных чисел исходных сечений; то же справедливо и в отношении произведения (его пограничное число будет произведением пограничных чисел исходных сечений). Иными словами, сложить или перемножить сечения в этом случае — значит сложить или перемножить их пограничные числа и взять Результата качестве пограничного числа.

Но можно задать такое сечение, у которого пограничного числа не окажется. Вот пример фактического построения такого сечения. Левый его класс составляют положительные рациональные числа, квадрат которых меньше двух, число нуль и все отрицательные рациональные числа, а правый — все положительные рациональные числа, квадрат которых больше двух. Такое разбиение является сечением: классы не пусты, каждое число левого класса меньше каждого числа правого класса, всякое рациональное число принадлежит либо левому, либо правому классу.

Последнее условие оказывается выполненным потому, что нет такой дроби (рационального числа) p/q,. где p и q — целые и q отлично от нуля, квадрат которой был бы равен двум (доказательство этого факта, восходящее еще к Пифагору, весьма просто; оно приводится во многих учебниках анализа).

Покажем, что у полученного сечения не существует пограничного числа, то есть, что ни в левом классе нет наибольшего числа, ни в правом классе нет наименьшего.

Проведем доказательство лишь первого утверждения, поскольку второе доказывается аналогично. Отсутствие наибольшего числа в левом классе означает, что какое бы положительное рациональное число а, квадрат которого меньше двух, мы ни взяли, существует такое целое число n > 0, что (а + 1/n)² < 2. Это значит, что рациональное число a + 1/n также будет принадлежать левому классу и, следовательно, A не может считаться наибольшим.

Будем исходить из очевидно верного утверждения, что для любого положительного рационального числа а, квадрат которого меньше двух, существует такое целое положительное число n, что выполняется неравенство

(2a+1)/(2-a²) < n

Действительно это утверждение может быть получено по аксиоме Архимеда (для любого рационального числа можно найти натуральное число, его превосходящее). Но неравенство(1), как легко установить с помощью простых тождественных преобразований, равносильно неравенству

2a/n + 1/n < 2 - a²

Поскольку 2a/n + 1/n² << 2a/n + 1/n. то верно, что 2a/n + 1/n² < 2 - a², а это неравенство равносильно неравенству (а + 1/n)² < 2. Утверждение доказано[7].

Теория Дедекивда основана на том, что действительные числа отождествляются с сечениями в области рациональных чисел. Это удается сделать потому, что для сечений оказывается возможным определить операции сложения, вычитания, умножения и деления, а также отношения равенства и неравенства. При этом сечения, имеющие пограничные числа, отождествляются с рациональными числами, а сечения, не имеющие пограничных чисел с иррациональными (сечение в рассмотренном нами случае отождествляется с числом √2)[8].

При ознакомлении с теорией сечений может возникнуть недоумение: как можно определять (действительные) числа через объекты, как будто, совершенно другой природы? Но это недоумение легко снимается. В самом деле, что такое числа? Можно считать, что это — такие сущности, которые могут находиться в определенных отношениях и над которыми можно производить определенные операции, причем эти отношения и операции обладают определенными свойствами (коммутативность, дистрибутивность и т. д.). Сечения как раз и могут находиться в отношениях равенства и неравенства и допускают такие операции над собой, которые обладают нужными свойствами. Определены же сечения, как считал Дедекинд, абсолютно четко и логично — они введены на основе рациональных чисел, по поводу которых никаких сомнений у математиков не возникает.

Подход Дедекинда был заметным шагом вперед в уяснении «природы» математического анализа. Он позволил создать стройную теорию действительных чисел, в частности, доказать важную теорему о свойстве сплошности (непрерывности) множества действительных чисел, на которую опираются все главные теоремы анализа. Теория Дедекинда была основана, однако, на идее, которая впоследствии оказалась уязвимой для критики, на идее актуально бесконечного множества. К ее рассмотрению нам теперь и следует обратиться.

В теории Вейерштрасса иррациональные числа понижаются как бесконечные непериодические дроби, то есть Ограниченно продолжающиеся вереницы цифр (например десятичных знаков), которые нельзя фактически выписать и вряд ли можно представить в воображении В теории Дедекинда всякое действительное число — это «компактная» система из двух объектов: левого и правого классов сечения во множестве рациональных чисел. И все же и в этой теории фатальный призрак трудностей, связанна с идеей бесконечности, призрак, преследующий математику с античных времен[9], не изгоняется, а лишь маскируется под нечто «конечнообразное»: ведь множества, образующие левый и правый классы, бесконечны.

Дедекиндово построение хорошо раскрывает нам образ мышления, который был присущ нескольким поколениям ученых. Всмотримся пристальнее в ход рассуждений, ведущих к определению действительного числа по Дедекинду. В нем можно усмотреть два пункта, уязвимых для критики.

Пункт первый. Каждый из двух классов сечения мыслится как единый объект, как нечто данное сразу и целиком. Но ведь бесконечное множество нельзя за конечное время перебрать «поэлементно», и его задание - «эффективное» задание, то есть такое, при котором с ним можно «фактически» работать, требует указания метода установления того, что произвольный элемент принадлежит или не принадлежит данному множеству. Иногда такой метод, однако, может приводить к выкладкам, которые нельзя реально осуществить. Именно так обстоит дело в теории Дедекинда, которая предполагает, что для любого сечения мы умеем ответить на вопрос, к какому из двух его классов — левому или правому — принадлежит произвольное рациональное число.

Проиллюстрируем возникающую здесь ситуацию на примере. Как, скажем, может производиться разбиений области рациональных чисел, дающее сечение для числа е. Заметим предварительно, что при вычислении этого числа с наперед заданной точностью пользуются его представлением в виде ряда

1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! ...

Предположим что задано рациональное число R1 = 2,7182 и нужно отнести его к левому или правому классу. Для этого мы должны будем вычислить е с точностью, дающей не менее пяти знаков после запятой, что означает взятие в приведенном ряде девяти слагаемых. Суммирование их дает число 2,71828. Сравнивая R1 с этим числом, мы приходим к заключению, что R1 принадлежит к левому классу, поскольку к этому классу принадлежит любое конечное приближений числа е, найденное с помощью приведенного выше ряда (оно всегда меньше e, так как при прибавлении новых членов ряда мы только увеличиваем сумму). Легко сообразить, что если проверяемые числа будут достаточно "длинными"), фактическое осуществление подобной проверки станет невозможным не только для человека, но и для ЭВМ. Но это еще не все. Данный пример показывает, что для «фактического» осуществления разбиения, то есть «точного» выяснения вопроса, что же представляет собой сечение для е, нужно «пробежаться по бесконечности» — произвести неограниченно большое число процедур получения все возрастающих сумм указанного ряда.

Пункт, второй. Если мы и построим сечения для каких-то иррациональных чисел, давая для них правила отнесения к соответствующему (левому или правому) классу любого рационального числа, то эти сечения далеко не исчерпают всех иррациональных чисел. По существу, сечения можно дать только для ничтожной доли всех действительных чисел. Но тогда спрашивается: откуда же в нас возникает убеждение, что действительных чисел неизмеримо больше, чем осуществленных сечений? Если разобраться в этом, мы придем к выводу, что оно появляется как результат специфического акта воображения: перед нашим внутренним взором пробегают, вереницы бесконечных десятичных дробей Вейерштрасса, с каждой из которых связано некое сечение.

Эти уязвимые для критики пункты подрывают теорию сечений — мы убеждаемся, что с нею, как и без нее, от бесконечностей никуда не уйдешь. Но она представляла собой важное методологическое достижение, учитывающее новые элементы научного видения математиков. Философской основой этого видения был так называемый математический платонизм.

В своей знаменитой «теории идей» Платон утверждал, что чувственно воспринимаемые объекты есть лишь бледные копии идей («эйдосов»), существующих в неком идеальном мире. Эйдосы существуют там более реально, чем существуют в материальном мире обычные вещи, поскольку Зычные вещи со временем разрушаются и исчезают, а идеи вечны и поскольку вещи имеют дефекты и изъяны, а идеи совершенны. Исходя из этого основного положения, Платон обсуждал свойства идей и их отношение к вещам, пользуясь для этого формальной логикой естественного языка.

Было бы абсурдно утверждать, что математики XIX века сплошь увлекались Платоном. На деле у них были самые различные философские взгляды, но в своем отношении к математическим объектам почти все они стояла на точке зрения стихийного платонизма.

Уклон в сторону платонизма создавала сама тогдашняя математика. Об этом хорошо сказал Бертран Рассеяв «Я полагаю, что математика является главным источников веры в вечную и точную истину, а также сверхчувственный интеллигибельный мир. Геометрия имеет дело с точными окружностями, но ни один чувственный объект не является точно круглым; и как бы мы тщательно ни применяли наш циркуль, окружности всегда будут до некоторой степени несовершенными и неправильными. Это наталкивает на предположение, что всякое точное размышление имеет дело с идеалом, противостоящим чувственным объектам. Естественно сделать еще один шаг вперед и доказывать, что мысль благороднее чувства, а объекты мысли более реальны, чем объекты чувственного восприятия. Чистая математика также льет воду на мельницу мистических доктрин об отношении времени к вечности, ибо математические объекты, например числа (если они вообще реальны), являются вечными и вневременными. А подобные вечные объекты могут в свою очередь быть истолкованы как мысли бога. Отсюда платоновская доктрина, согласно которой бог является геометром, а также представление сэра Джемса Джинса о том, что бог предается арифметическим занятиям»[10]. Здесь обрисован один из источников разбираемой философской установки. Дальнейшие мы укажем ниже.

Проследим, в чем выражался не «общий» платонизму о котором говорит Рассел в приведенном отрывке, а именно математический платонизм. Эта разновидность платонизма очень четко проявилась в следующих словах одного из виднейших математиков прошлого века — Шарля Эрмита (1822—1901): «Я верю, что числа и функций анализа не являются произвольным созданием нашего разума; я думаю, что они существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем идя их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики или зоологи»[11]. Эти слова означают, что числа и функции похожи не на приборы и инструменты, — скажем, на счетчик Гейгера или масс-спектограф Астона, которые придумали люди» а на виды растений или животных, скажем, на баобаб или кенгуру, которые существуют фактически, независимо от желания человека от знания человека об их существовании и которые человек со временем лишь обнаруживает.

Первая причина таких представлений указана Расселом — это впечатление вечности, неизменности и совершенства, которое производят математические объекты. Ключ к пониманию второй причины содержится в приведенной цитате из Эрмита, в его словах «существуют в силу необходимости». Смысл, который обычно вкладывается в эти слова, достаточно прост. Если мы, скажем, возводим двойку в десятую степень, то получаем число 1024 абсолютно независимо от нашего желания — необходимым образом; значит, тот факт, что 2¹⁰ = 1024, имел место и до того как мы начали вычисление, и даже до того как появились люди на Земле. Возьмем другой, более «научный» пример. В свое время перед математиками стояла задача о решении общего уравнения третьей степени, но попытки справиться с ней не увенчивались успехом. Наконец, в 1545 году Джироламо Кардано (1501—1576) в упоминавшейся уже нами (с. 34) работе «Великое искусство...» изложил (открытый ранее Н. Тартальей) метод нахождения корней произвольного кубического уравнения[12]. Проблема была закрыта.

Поставим вопрос: существовали ли корни у произвольного кубического уравнения до Тартальи и Кардано? По-видимому, в каком-то смысле, да, ибо если бы он их «изобрел», то почему они обладают именно данными свойствами и не могут обладать свойствами, несовместимыми с установленными этими математиками?

Как мы видим, ситуация не так проста, как может показаться на первый взгляд. В XIX столетии, когда математические работы полились рекой, ощущение «открывания» стало особенно сильным и сказалось на математическом мировоззрении.

Работая изо дня в день с числами, функциями и уравнениями, любой математик всегда воспринимает их как внешнюю данность. Для «математического платоникам эта данность становится абсолютной. Но, как ни странно, на определенном этапе развития науки эта разновидность догматизма сыграла свою положительную роль. На это обратил внимание уже цитировавшийся нами Ласло Кальмар, который указал на то, что «платонистская» объективизация математических идей «защищала их от отторжения здравым смыслом как иллюзорных и стимулировала развитие математики до той поры, пока математики и философы не смогли лучше понять сущность — и пользу абстракции»[13].

К тому времени, когда была создана теория дедекиндовых сечений, точка зрения математиков на то, какие объекты в их науке более всех «существуют сами по себе», вырисовалась совершенно отчетливо. Математики по молчаливому соглашению выделили главную «платоновскую идею» - математический объект, занявший в иерархии рассматриваемых ими существований центральное положение. Этим объектом стало «множество». В математической науке наступила эпоха теоретико-множественного мышления.

Действительно, «множественный» подход пронизывал теорию Дедекинда. Теория сечений становится убедительным определением действительных чисел, если идея множества — неважно, конечного, бесконечного, построенного фактически или только обрисованного самыми общими словами, представляется чем-то абсолютно ясных, конкретно данным и существующим в той же мере, в какой существует написанная на бумаге буква; ибо она сводит действительные числа к двум классам сечения, а классы — это множества, мыслимые как некие единичные «вещи».

Эта идейная установка естественным образом вырастала из практики самой теоретической математики того времени. В анализе постоянно встречались множества — множества первообразных, множества решений уравнения, множества интегралов, множества дифференциальных уравнений данного типа, множества самосопряженных операторов, множества квадратичных форм от n переменных и т.д. Этот список можно было бы продолжать сколько угодно долго, и не удивительно, что в сознании математиков оформилась идея множества вообще. Завершающий шаг в сторону математического платонизма состоял в том, что эта идея стала казаться понятием самым ясным и доступным среди всех понятий, которыми оперирует матемагическое мышление.(опечатку исправлять не буду. w_cat)

Но коль скоро возникла «множественная» установка, то должен был прийти человек, который постарался бы связать с идеей множества детально разработанную теоретическую конструкцию. Такой человек в урочный час и появился на математической сцене. Это был Георг Кантор (1845—1916).[14]

Кантор исследовал свойства абстрактных множеств расклассифицировал множества в зависимости не от конкретной природы элементов, их составляющих, а от «количества» элементов множества. Поскольку речь идет в основном о бесконечных множествах, то проблема «величины» множества является далеко не тривиальной. Кантор разработал изящные способы сравнения множеств по величине и упорядочения множеств, введя центральное понятие своей теории — понятие мощности множества, которое есть некий аналог понятия количества элементов конечного множества.

В наши задачи не входит изложение знаменитого Mengenlehre — учения о множествах, или, как принято говорить в русской традиции, теории множеств. Зарождение, расцвет, почти безраздельное господство и начало критики этой конструкции человеческого интеллекта могли бы послужить темой не одной книги. Но один из результатов Кантора понадобится нам в дальнейшем, и поэтому мы именно на его примере продемонстрируем тот тип рассуждений, который в конце концов привел к трудностям, явившись причиной «кризиса оснований математики», разразившегося на пороге нашего столетия.

Рассмотрим множество целых положительных чисел 1, 2, 3, ... Оно, очевидно, бесконечно. Рассмотрим теперь множество (бесконечное) a1, a2, a3,... каких-то элементов неизвестной природы. Интуитивно ясно, что второе множество имеет «столько же» элементов, сколько первое (слова «столько же» мы берем все же в кавычки, поскольку перед нами два бесконечных множества, дальние элементы которых мы никогда не сможем выписать), так как с каждым элементом аi можно взаимно-однозначно сопоставить целое положительное число. Этим числом будет i — его номер. Всякое множество, элементы которого можно мыслить нумеруемыми натуральными числами, носит название счетного множества. Ясно, однако, что процесс этой нумерации (пересчета) не имеет конца.

Поставим теперь проблему: всякое ли бесконечное множество счетно? «Здравый смысл» склоняет к положительному ответу: ведь каким бы ни было бесконечное множество, можно брать его элементы по одному и присваивать каждому из них определенный номер; так мы, как будто, можем дойти, до любого элемента; условие счетности выполняется. Однако Кантор доказал, что - интуиция в этом волосе подводит. Он указал на множество действительных чисел как на пример множества, не являющегося счетным.

Приведем доказательство несчетности множества всех положительных действительных чисел, не превосходящих единицу. Представим каждое из этих чисел в виде правильной бесконечной десятичной дроби, то есть дроби, начинающейся нулем перед запятой и такой, что в ней бесконечно много цифр, отличных от нуля. Тогда между числами рассматриваемого множества и дробями указанного вида установится взаимно однозначное соответствие (см. примечание 3; число 1 представляется как 0.999...).

Доказательство ведется от противного. Предположим, что нам удалось произвести нумерацию всего множества этих чисел буквами с индексами, указывающими их порядковый номер: a1, a2, a3... - Пусть, скажем, начало нумерации имеет вид (десятичные дроби мы записываем одну под другой):

Наше допущение означает, что рассматриваемое множество чисел счетно. Однако легко построить число, принадлежащее рассматриваемому множеству, но никакого номера в нашей системе нумерации не имеющее. Напишем нуль и поставим после него запятую. Для определений первой цифры после запятой поступим следующим образом. Рассмотрим первую после запятой цифру в первой числе а1 и, если эта цифра выражает четное число, то в новое число впишем цифру 5, в противном случае впишет цифру 6. Чтобы определить вторую цифру после запятой нового числа, возьмем вторую цифру после запятой числа a2 и поступим по точно такому же правилу. Продолжая эту процедуру, то есть беря третью цифру после запятой, третьего числа, четвертую цифру после запятой четвертого числа и т. д., мы будем строить по указанному. правилу десятичные знаки некоторого числа A (в нашем примере его «начало» выглядит так: 0,5665 ...). Число a, очевидно, принадлежит к рассматриваемому множеству, ибо оно заключено между нулем и единицей. С другой стороны, оно не охвачено нашей нумерацией, так как отличается от любого из занумерованных чисел хотя бы в одном десятичном знаке, а именно — оно имеет другую цифру в том разряде, который «изготовлялся» по данному числу. Но выше предполагалось, что нашей нумерацией охвачены рее действительные числа. Мы пришли к противоречию. Значит, наше допущение неверно: множество всех положительных действительных чисел, не превосходящих единицу, не является счетным (такое множество называется несчетным), и, следовательно, несчетным является и все рожество действительных чисел (строгое доказательство последнего утверждения, интуитивно очевидного, можно осуществить с помощью того же самого «диагонального» метода, которым мы воспользовались для установления более частного результата[15]).

Итак, действительных чисел в каком-то смысле больше, чем натуральных: по какому бы закону мы ни нумеровали натуральными числами множество всех действительных чисел, всегда найдется хотя бы одно действительное число (на самом деле даже бесчисленное множество чисел), которое будет «забыто», оно не только не получит индекса достаточно быстро, но даже не будет поставлено «на очередь». Конечно, можно изменить весь принцип нумерации и включить это число в систему раздачи индексов, но тогда обязательно будет «обижено» какое-нибудь другое число.

Установив поразительный факт неодинаковой «мощности» бесконечных множеств. Кантор открыл для математики новый мир. Вскоре выяснилось, что множество действительных чисел (континуум) — далеко не самое мощное: его превосходит по мощности, например, множество всех действительных функций одной переменной, заданных на единичном отрезке. Вообще, Кантор показал, что по множеству данной мощности всегда можно построить еще более мощное множество—для этого достаточно взять множество всех подмножеств данного множества[16].

В письмах и статьях Кантора, в комментариях к его математическим работам не раз встречаются фразы, из которых можно заключить, что Кантор возводил свое Mengenlehre как бы вопреки собственной воле, на каждом этапе работы изумляясь полученному результату, как будто противоречащему интуиции и здравому смыслу. Действительно мышление в терминах множеств, обретя дарованный ему Кантором четкий аппарат, стало «теоретико-множественным» мышлением и отныне должно было развиваться уже независимо от психологических факторов, как развивается всякая математическая теория. Хотели этого иди не хотели математики, но в новой теории сами собой возникали уходящие в неоглядную даль вереницы множеств множеств множеств, множеств множеств множеств...

Конечно, с самого начала этой «вакханалии множеств были математики, которые смотрели на нее неодобрительно. Таким был, например, Леопольд Кронекер (1823—1891). Но доказательства Кантора были безупречными по всем принятым тогда стандартам. Поэтому самая сильная форма протеста тогда была не убедительнее восклицания самого Кантора: «Вижу, но не верю!»

Теоретико-множественная установка нашла свое приложение и в логике. Она воплотилась в трудах выдающегося логика Готлоба Фреге (2848—1925), профессора математика Иенского университета. Беспощадный критик математических работ, содержащих хотя бы мелкие логические дефекты, человек пуританского поведения и нелегкого для окружающих характера, фанатически преданный науке труженик, он фактически был создателем современного аксиоматико-дедуктивного метода построения математических теорий. Этот метод был разработан им уже в работе 1879 года — с этого года обычно датируют начало исследований по логическим основаниям математики, носившей название «Запись в понятиях», а затем развернуто в двухтомном труде (при своем появлении почти никем не замеченном) «Основные законы арифметики» (1893, 1902). В первом томе этого труда в неявной форме содержалось широко известное теперь формально-логическое противоречие.. Узнав об этом противоречии (как это произошло, мы расскажем ниже), Фреге так же резко осудил труд своей жизни, как осуждал слабые работы других. Мы дадим краткую характеристику достижений Фреге в области формализации логики, а затем расскажем о трактовке им понятия натурального числа — основного понятия арифметики, да и, по-видимому, математики вообще[17].

В предыдущей главе мы привели пример формальной системы — некоторого исчисления равенств, интерпретации которого содержали булевы алгебры. Обсудим теперь вопрос о формализации математических теорий вообще. При полной формализации теории никаких «интуитивно понятных» действий над объектом теории не допускается: все должно быть заложено в ее синтаксисе (алфавите, правилах образования формул) и средствах дедукции — постулатах (включая правила введения новых знаков для сокращения записи комбинаций основных знаков[18]).

В общем случае полностью формализованная математическая теория имеет два этажа — формализованную логику и надстроенную над ней специально математическую часть (в случае формальной арифметики этой частью является теория натуральных чисел). Логическая часть обычно строится не как исчисление равенств, а как пропозициональное исчисление — исчисление высказываний[19], расширяемое в исчисление предикатов.

Обрисуем кратко пропозициональную (относящуюся к высказываниям) часть такого рода аксиоматически-дедуктивной системы. В качестве схем аксиом в ней выбирается конечный (как правило, небольшой) набор формул (схем формул). В системе Фреге, в которой из числа логических знаков фигурировали только знаки отрицания и импликации, постулатами были формулы (схемы формул):

1. (α → (β → α))

2. ((α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)))

3. ((α → (β → γ)) → (β → (α → γ)))

4. ((α → β) → (~α → ~β))

5. (α → ~~α)

6. (~~α → α).

объявляемые аксиомами (схемами аксиом), и правило вывода, называемое обычно модус поненс (лат. modus ponens):

«Если доказаны формулы вида (α → β) и α, то доказана формула β» (отметим, что это — постулаты его работы 1879 г.)[20].

Нетрудно проверить, что любая формула, имеющая структуру какой-либо схемы аксиом, является тождественно-истинной (проверку можно осуществить, построив для каждой схемы аксиом соответствующую ей таблицу истинности). Можно также убедиться, что правило модус поненс, как говорят, сохраняет тождественную истинность, то есть, что если формулы (α → β) и α тождественно-истинны, то тождественно-истинной будет и формула β (в самом деле, если формулы (α → β) и а принимают значение «истинно», то β, как это ясно из таблицы для импликации, может иметь только то же самое значение).

Это дает основание объявить любую формулу, подпадающую под какую-либо из схем 1 —6, верной, или доказанной (доказуемой), формулой и считать, что всякая формула, полученная из ранее доказанных формул по модусу поненсу, есть тоже доказанная (доказуемая) формула. Таким образов описанная система постулатов задает процесс порождение доказанных формул—теорем системы. Можно показав что если формула является тождественно-истинной в табличной интерпретации, она когда-либо неизбежно появится в качестве теоремы в упомянутом процессе (в этом состоит полнота исчисления высказываний)[21].

Построение логической теории высказываний в видь дедуктивной системы очерченного или родственного типа — как исчисления высказываний — ценно не само по себе (оно, как это сразу видно, не дает чего-либо принципиально нового по сравнению с булевой алгеброй, интерпретируемой на высказываниях), а как база для развертывания более богатой логическими средствами теории дедукции — исчисления предикатов. А для этой теории нельзя дать интерпретацию ее выражений с помощью конечных таблиц, и поэтому изучение свойств исчисления предикатов становится трудным делом. Между тем без этой логической теории нельзя и думать о формальном представлении большинства математических теорий и прежде всего арифметики.

Построение исчисления предикатов, в которое исчисление высказываний входит как часть, составляет выдающуюся заслугу Фреге в логике. Исчисление высказываний есть логическая теория, средствами которой анализ высказываний может доводиться только до элементарных высказываний (типа «Треугольник имеет три угла» или «Вода кипит при 50 градусах Цельсия»), истинностное значение которых можно установить непосредственно — исходя из определения понятий («треугольник», «угол») или путем обращения к наблюдению или эксперименту. Но уже такое простое рассуждение, как вывод: «Все люди смертны, Сократ —человек, следовательно, Сократ смертен», в котором индивидуальный объект подводится под общее положение, не укладывается в схемы этого исчисления.

Для формального анализа этой и подобных конструкций нужна более мощная логическая система, система, некоторые выражения которой можно было бы интерпретировать как предикаты — свойства предметов («быть смертным», «быть натуральным числом», «быть человеком» и т. п.) и отношения между предметами («любит», «больше», «лежит между» я т. п.) — и в которой имеются средства для «переработки» предикатов в высказывания (передаваемые в разговорном языке такими выражениями, как «всякий», «каждый», «все», «некоторые», «существует» или «существуют» и т. п.; так, присоединяя выражение «существуют» к предикату «натуральное число, большее пяти», мы получаем высказывание «Существуют натуральные числа, большие пяти»).

Книга Фреге «Запись в понятиях» открыла новую главу в истории логической формализации. В ней впервые было дано дедуктивное построение логики как системы, определяемой аксиомами и правилами вывода. В этой книге содержалось изложение разработанного автором искусственного логического языка. Впоследствии, внеся в него некоторые изменения, Фреге использовал его в своей главной работе «Основные законы арифметики».

В этих трудах Фреге формализовал логику предикатов, которая до этого оставалась в основном в компетенции традиционной логической теории, пользующейся общеязыковыми средствами (это приводило к тому, что научно освоенной оказывалась лишь очень ограниченная часть логики свойств и отношений). В дальнейшем мы столкнемся ближе с языком исчисления предикатов и законами получения верных (доказуемых) формул (теорем) этого исчисления.

В связи с именем Фреге часто говорят о «логицизме» — одном из трех главных направлений философии математики начала нашего века, провозгласившем, что математика есть часть логики. Действительно, считая арифметику фундаментом математического анализа, Фреге полагал, что если ее удастся обосновать» то будет обоснована значительная часть математики. При этом обоснование Фреге понимал как выражение через что-то более надежное, не вызывающее сомнений. Этим более надежным была для Фреге логика.

Установка Фреге на чисто логическое обоснование математики лежала вполне в русле господствовавшего в тогдашней математике теоретико-множественного мировоззрения. Это объясняется тем, что между логикой, принципы которой были заложены Аристотелем — и которая называется классической логикой — и теорией множеств (теорией классов объектов) существует глубокая связь и далеко идущий параллелизм.

В самом деле, как мы видели в главе 3, теория основных операций над множествами — логика классов—изоморфна логике высказываний. Одни и те же умозаключения (например, модус Celarent, см. с. 44—45 и 63—64) могут быть представлены как в одной, так а в другой теории. Определяя операции над множествами и отношения между ними, мы прибегаем к логическим понятиям. Мы говорим, например: «Элемент x принадлежит пересечению двух множеств множеств М1 и М1, если, и только если, он принадлежит множеству М1 и принадлежит множеству М2(употребляем операцию конъюнкции); «Элемент x принадлежит объединению множеств М1 и М2 если он принадлежит множеству М1 или принадлежит множеству М2(употребляем дизъюнкцию); «Множество M1 включается во множество M2 если для всякого элемента x из принадлежности его множеству M1 следует его принадлежность множеству М2» (используем понятие логического следования и обобщение «для всякого», соответствующее оператору исчисления предикатов, называемому квантором общности); «Множества M1 и M2 равны, если для всякого элемента x этот элемент принадлежит множеству M1 тогда, и только тогда, когда он принадлежит множеству М2» (употребляем эквиваленцию и квантор общности). Наконец, на множества можно смотреть как на объемы понятий, или предикатов, то есть считать, с одной стороны, что всякое свойство или одноместный предикат (например, «быть поэтом», «быть натуральным числом» и т. д.) определяет некоторое множество предметов (поэтов, натуральных чисел и пр.), всякое двучленное отношение (например, «число x больше числа y») определяет множество пар предметов, находящихся в этом отношении, и то же самое для отношения между любым конечным числом членов, а с другой стороны — что по всякому множеству (предметов, двоек, троек и т. п. предметов) можно построить соответствующий предикат — предикат «быть элементом данного множества».

Как, опираясь на этот параллелизм и взаимосвязь множеств и предикатов, определить натуральные числа? Подход Фреге состоял в следующем[22] (весьма родственное, но чисто теоретико-множественное определение натуральных чисел предложил Кантор[23]). Исходным является понятие взаимно однозначного соответствия между элементами двух произвольных множеств (заметим, что при этом не используется никаких «числовых» понятий, даже единицы). Множества рассматриваются как порождаемые некоторыми одноместными предикатами. Далее вводится понятие «равнообъемности» предикатов. Два предиката, порождающие множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие, называются равнообъемыми.

Например, предикаты «быть изобретателем математического анализа» и «быть спутником Марса» равнообъемны, поскольку можно установить взаимно однозначное соответствие: Ньютон — Фобос, Лейбниц — Деймос. Отношение равнообъемности является отношением типа равенства (отношением, аналогичным отношению, скажем, равенства по весу), а потому разбивает все множество предикатов на непересекающиеся подмножества, в каждом из которых оказываются предикаты одного и того же объема (подобно тому, как отношение равенства по весу разбивает все множество тел на непересекающиеся подмножества тел, имеющих одинаковый вес). Если некоторое множество равнообъемных предикатов содержит предикаты конечного объема, то объем любого из этих предикатов объявляется некоторым натуральным числом. Подробнее, процедура определения состоит в следующем. Нулем объявляется объем предиката х ≠ х, который пуст. Это число можно определить и на языке свойств, сказав: число нуль — это свойство быть множеством, задаваемым предикатом, равнообъемным предикату x ≠ x. Единицей объявляется свойство быть множеством, задаваемым предикатом, равнообъемным какому-либо предикату, в объем которого входит единственный предмет, скажем, предикату «быть Солнцем». Чтобы не возникло впечатления, что единица здесь определяется через самое себя («единственный предмет»), можно вместо предиката «быть Солнцем» взять предикат «быть пустым множеством» (объем которого состоит из единственного предмета — пустое множество только одно) и определить: «Единица есть свойство множества, задаваемого предикатом «быть пустым множеством»». Число два тогда определяется как свойство множества. задаваемого предикатом «х есть предмет, удовлетворяющий либо свойству х ≠ х, либо свойству быть пустым множеством» и т. д. Заметим, что, определяя на этом пути натуральные числа, можно поступить и иначе: считать натуральными числами сами множества равнообъемных конечных множеств.

Как смотреть на это определение? Разумное основание Для данного подхода имеется. Фактически мы хотим определить здесь натуральное число как нечто, присущее всем Равночисленным множествам. Скажем, число два это не есть две утки, два яблока и т. д., а есть то общее, что характеризует все пары предметов. Можно сказать и проще: число два есть и две утки, и два яблока, и т. д.

Но несмотря на всю скрупулезность Фреге, строивши на очерченной логико-множественной базе арифметику натуральных чисел, его логическая конструкция оказалась формально-противоречивой. Суть дела состояла в следующем.

Логическая теория Фреге позволяла, грубо говора вводить в рассмотрение предикаты от предикатов (то есть свойства предикатов и отношения между предикатами предикаты от предикатов, определенных на предикатах, а также множества множеств, множества множеств множеств и т. д. При этом никаких ограничений на образована множеств — на задание их с помощью предикатов — не налагалось. Это допускало в теорию такие образования как «свойство, которым оно само не обладает» или «множество, не входящее в самое себя в качестве элемента». Скажем, множество всех абстрактных понятий содержит само себя в качестве элемента, так как предикат «быть абстрактным понятием» есть тоже абстрактное понятие — в отличив например, от множества людей, которое не содержит саж» себя как элемент, поскольку человечество не есть человек. Поэтому, если быть последовательным в проведении логико-множественного подхода, придется допустить законное» понятия «множества всех множеств, не включающих себя в качестве элемента».

В 1902 году Рассел обнаружил, что в указанном понятии заключено логическое противоречие. Он, видимо, пытался разобраться в возникшей ситуации сам, но сомнения одолевали, и поэтому через год он обратился письменно к Фреге, прося дать разъяснения. Письмо, очевидно, из уважения к Фреге, было написано по-немецки. Мы приводим полный перевод этого исторического документа, сделанный с английского перевода, выполненного Яном ван Хейеноортом и прочитанного лично Бертраном Расселом, разрешившим его публикацию в книге Хейенсюрта «От Фреге до Гёделя»[24] (эта книга представляет собой сборник классических работ — и фрагментов работ — по математической логике и основаниям математики).

Фрайдис-хилл, Хейслмир, 16.6.1902

Дорогой коллега, уже полтора года назад я познакомился с Вашими «Основными законами арифметики», но только сейчас я сумел найти время, чтобы изучить Вашу работу тщательно, как я все время намеревался это сделать. Я обнаружил, что согласен с Вами во всем главном, в частности в том, что Вы отвергаете все психологические моменты в логике, и β Вашей высокой оценке идеографии[25] в основаниях математики, которые сейчас трудно отделить от формальной логики. В связи со многими частными вопросами я нашел в Вашей книге множество рассуждений, тонких исследований и определений, которые тщетно было бы искать в сочинениях других логиков. В вопросах, касающихся функций, я самостоятельно пришел к взглядам, совпадающим с Вашими даже в деталях. Имеется только один пункт, в котором я встретился с трудностью. Вы утверждаете, что функция[26] не нуждается в прямом определении. Я тоже раньше так думал, но сейчас такая точка зрения кажется мне сомнительной из-за следующего противоречия. Пусть w есть предикат «быть предикатом, который не относится к самому себе». Относится ли этот предикат к самому себе? Из любого ответа на этот вопрос вытекает противоположный ответ. Поэтому мы можем заключить, что w не есть предикат. Точно так же не существует такого множества (рассматриваемого как целое), элементами которого являются множества. не содержащие самих себя. Отсюда я заключаю, что при определенных условиях понятию множества не соответствует ничего такого, что может рассматриваться как объект.

Сейчас я заканчиваю книгу о принципах математики[27], и в ней мне хотелось бы рассмотреть Вашу работу весьма подробно. Я уже имею в распоряжении Ваши книги или скоро куплю их, но я был бы весьма благодарен, если бы Вы прислали мне оттиски Ваших статей, опубликованных в периодических изданиях. Впрочем, если это невозможно, я могу читать их, беря в библиотеке.

Умение хорошо применять логику в фундаментальных вопросах, где бессильны формулы, встречается очень редко; в Ваших работах я нахожу лучшее из таких применений, имеющихся на сегодня, поэтому я разрешу себе выразить Вам свое глубокое уважение. Очень жаль, что Вы не опубликовали второй том «Основных законов»; надеюсь, что это все же будет сделано.

С уважением Бертран Рассел

В словах Рассела о втором томе книги Фреге не было, конечно, никакой иронии. Но была ирония судьбы, ибо этот том вот-вот должен был выйти в свет, когда Фреге получил письмо Рассела. Проявив редкую научную добросовестность и мужество, Фреге включил в книгу вышедшую в 1903 году, следующие слова:

«Вряд ли существует что-нибудь более нежелательное для ученого, чем после окончания работы увидеть, как рушатся ее основы. Именно в такое положение поставило меня письмо г-на Бертрана Рассела, полученное мной, когда книга была уже в печати»[28].

Как пишет американский логик X. Карри в своей книге «Основания математической логики», последствия письма Рассела были для Фреге трагическими. «Хотя ему тогда было всего пятьдесят пять лет и он прожил после этого более двадцати лет, он больше не опубликовал ни одной значительной работы по логике»[29]. Более того, после обнаружения противоречия Фреге два семестра не читал лекций в Иенском университете, профессором которого состоял, а потом, возобновив их, читал лекции по «записи в понятиях» и основаниям геометрии, но не по основаниям арифметики[30].

До конца дней он пытался найти выход из возникшей трудности обоснования арифметики, возложив все надежды на геометрию, — идя от нее, он пытался наметить пути обоснования и арифметики, и всей математики[31].

Но как бы нас ни трогала судьба Фреге, в первую очередь нам интересно, во что вылился логицизм как течение в основаниях математики и что стало с теоретико-множественной концепцией ее обоснования. Теории обладают значительно большей жизнеспособностью и стойкостью, чем люди. Что касается логицизма, то его взялся отремонтировать сам «разрушитель» — Бертран Рассел. Вместе с Альфредом Уайтхедом он издал в 1910—1913 годах труд «Principia Mathematica», в котором излагался новый вариант логико-множественного подхода к арифметике, где с помощью некоторых ограничений, наложенных на процесс формирования «вторичных» множеств приведенный в письме Рассела парадокс был исключен[32]. Однако система Рассела — Уайтхеда оказалась слишком громоздкой и базирующейся на допущениях, которые далеко не всем математикам и логикам представлялись убедительными[33].

Возникшие трудности были сигналом тревоги для тех специалистов, которые «отвечали» за основания математики. Источник противоречия, возникшего у Фреге, был, очевидно, в самом построении рассуждений. Поэтому надо было по-новому взглянуть на весь процесс математического доказательства и прежде всего проанализировать лежащие в его основе допущения. Так началась великая переоценка математических ценностей, которая далеко еще не закончилась и к настоящему времени, но уже дала ценнейшие плоды не только в математике и логике, но и в осмысливании проблем человеческого познания и его возможностей в создании машинных «усилителей интеллекта».