§ 81. Круг, вписанный в правильный многоугольник

Мы знаем, что во всякий треугольник можно вписать круг. Покажем теперь, что можно вписать круг также во всякий

п р а в и л ь н ы й м н о г о у г о л ь н и к.

Пусть имеется правильный многоугольник, часть которого ABCD изображена на черт. 221. Проведем равно-делящие двух соседних углов, напр., В и С, и точку О их пересечения соединим со всеми вершинами многоугольника. Так как уг. С многоугольника равен углу В, (почему?), то равны и их половины: уг. 2 = уг. 3, а следовательно, и сторона ОС = стороне ОВ (почему?). Треугольники OCDи ОВС имеют по две равные стороны [ОС = ОВ, АВ = ВС] и равные углы [уг. 3 = уг. 4]; значит, они равны [СУС], и ОВ = ОС, а уг. 3 = уг. 5. Таким же образом убеждаемся (выполните это), что треугольник ODE– треугольнику OCDи т. д. В результате узнаем, что все треугольники, на которые разбит указанным образом наш многоугольник, равны между собою, а следовательно, равны и их высоты, проведенные из точки О. Так как точка О одинаково удалена от всех сторон многоугольника, то она и есть центр вписанного круга. Подобные рассуждения можно приложить ко всякому правильному многоугольнику, а следовательно, внутри всякого правильного многоугольника можно найти точку, которая служит центром вписанного круга. Другими словами, -

в о в с я к и й п р а в и л ь н ы й м н о г о у г о л ь н и к м о ж н о в п и с а т ь к р у г. Центр круга, вписанного в многоугольник, называется ц е н т р о м э т о г о м н о г о у г о л ь н и к а, а радиус вписанного круга —

а п о ф е м о й м н о г о у г о л ь н и к а.