§ 74. Длина касательной

Пусть требуется определить длину касательной к (черт. 212), если радиус круга R, а кратчайшее расстояние от начала касательной до окружности – b. Проведя радиус к точке касания, имеем прямоугольный треугольник, в котором

[b+ R]2= R2+ k2.

Раскрыв скобки, получаем

b2+ 2bR+ R2= R2+ k2.

Отсюда

k2= b2+ 2bR = b [b + 2R2].

Это соотношение можно выразить словесно так:

к в а д р а т к а с а т е л ь н о й р а в е н п р о и з в е д е н и ю в с е й т е к у щ е й, п р о в е д е н н о й и з н а ч а л а к а с а т е л ь н о й ч е р е з ц е н т р, н а в н е ш н и й о т р е з о к э т о й с е к у щ е й.

Применения

95. Как далеко можно видеть в море с маяка высотою 30 метров?

Р е ш е н и е. Так как поверхность моря шарообразна, то дальность видимости определяется длиной касательной, проведенной из верхушки маяка к кругу, радиус которого равен радиусу земного шара (6400 км). Поэтому искомая даль-ность х определяется из равенства

x2= 30 [12 800 000 + 30].

(Слагаемым 30 в данном случае можно пренебречь). Получаем х = около 20 км.

96. Как высоко должен подняться летчик, чтобы видеть за 200 километров?

Р е ш е н и е. В этом случае, в отличие от предыдущего, известна длина касательной, и ищется внешний отрезок секущей, проходящей через центр круга радиус которого 6400 км. Поэтому искомая высота у определяется из уравнения

2002= у [12 800 + y].

Слагаемое у, очевидно, весьма мало по сравнению с диаметром земного шара. Пренебрегая им, имеем

2002= 12 800 у,

Откуда

2002/12800 = 2,3 км.

Следовательно, искомая высота = 23 км.