Глава 5

Глава 5

graphics51

42. Разоблачение Первого Шпиона

В определено не может быть рыцарем, поскольку ни один рыцарь не мог бы оболгать самого себя, назвавшись шпионом. Следовательно, В либо жулик, либо шпион. Предположим, В — шпион. Тогда заявление А ложно и в этом случае А — жулик (он не может быть шпионом, так как мы уже предположили, что шпион — В). Тогда Б должен быть рыцарем, но как может рыцарь сделать ложное заявление о том, что А — рыцарь? Следовательно, В не может быть шпионом. Тогда В — жулик. В этом случае заявление Б ложно, что означает, что он либо жулик, либо шпион, но у нас уже есть жулик — это В, поэтому Б — шпион. У нас остается А, и он должен быть рыцарем.

Итак, А — рыцарь, Б — шпион и В — жулик.

43. Дело провалившегося Шпиона

Шпион был немедленно изобличен, потому что дал лживые показания, заявив: «Я — жулик». Рыцарь не мог бы солгать и назваться жуликом, а жулик не мог бы сказать правду и назваться жуликом. Только шпион мог бы назваться жуликом.

44. Еще один провалившийся Шпион

Шпион был немедленно изобличен, потому что дал правдивые показания, заявив: «Я не рыцарь». И снова, ни рыцарь, ни жулик не могли бы такого сказать, поскольку рыцарь не мог бы солгать и отрицать, что он рыцарь, а жулик не мог бы сказать правду и утверждать, что он не рыцарь. Только шпион и мог такое сказать.

45. Дело находчивого Шпиона

Если бы В ответил «да», суд изобличил бы его, рассудив следующим образом:

«Предположим, Б шпион. В этом случае все трое сказали правду, что невозможно, ведь один из них жулик, а жулики никогда не говорят правды! Следовательно, Б не может быть шпионом. В этом случае его показания были ложными, поэтому Б — жулик. Тогда и показания В ложны, значит, он шпион».

Итак, если бы В ответил «да», суд тотчас же понял бы, что он и есть шпион. Поэтому В поступил умно и ответил «нет», и в этом случае суд уже не мог точно сказать, шпион он или нет. (Суд мог только предполагать, что либо В мог быть рыцарем, а А — шпионом, либо В мог быть жуликом, а Б — шпионом, либо В мог быть шпионом.)

46. Кто Мердок?

Раз А заявляет, что он шпион, то он либо жулик, либо шпион. В также заявляет, что он — шпион, поэтому и он должен быть либо жуликом, либо шпионом. Таким образом, один из них (А или В) жулик, а другой — шпион. Следовательно, Б — рыцарь и тогда его заявление верно, и шпион — это А.

47. Возвращение Мердока

Если Мердок — это А, то все три заявления правдивы, что невозможно, ведь один из подсудимых жулик, который всегда лжет. Если Мердок — это В, то все три заявления лживы, что также невозможно, ведь один из них рыцарь, а рыцари всегда говорят правду. Следовательно, шпионом по имени Мердок должен быть Б.

48. Дело посложнее

Если бы мы не знали, что после заявления В судья тут же обличил шпиона, мы не смогли бы решить задачу. Но мы знаем, что судья смог вынести приговор, и это ключ к отгадке!

Предположим, что В обвинил А. В этом случае судья не смог бы вынести приговор, потому что могло быть, что А — шпион, Б — жулик, В — рыцарь, либо Б — шпион, А — рыцарь, В — жулик, либо В — шпион, А — жулик, Б — рыцарь. Так что, укажи В на А, судья не смог бы разоблачить шпиона.

А если бы В указал на Б? В этом случае А и В оба указали бы на Б. Тогда их обвинения либо оба правдивы, либо оба ложны. Будь их показания правдивыми, Б действительно был бы шпионом, а раз оба обвинения правдивы, то А и В оба должны были бы быть рыцарями (ни один из них не мог бы быть шпионом, ведь шпион — Б). Но они не могут оба быть рыцарями. Следовательно, их обвинения были ложны и это значит, что Б не шпион. Может ли А быть шпионом? Нет, потому что будь А шпионом, то Б и В оба бы солгали, обвиняя друг друга, что невозможно, ведь тогда оба они должны были быть жуликами. Поэтому шпионом может быть только В (тогда Б, справедливо обвинивший В, — рыцарь, а А, ложно обвинивший Б, — жулик).

Проще говоря, если бы В обвинил А, то судья не смог бы вынести приговор, но если бы В обвинил Б, то судья понял бы, что именно В и есть шпион. Раз судья это понял, то, действительно, В обвинил Б, и на основании этого судья вынес В приговор.

49. Еще более сложное дело

Мы не знаем, что ответили А и Б. Рассмотрим четыре возможных случая:

Случай 1. А и Б оба ответили «да»; Случай 2. А ответил «нет», Б ответил «да»; Случай 3. А ответил «да», Б ответил «нет»; Случай 4. Оба ответили «нет».

Эти случаи пригодятся нам при решении следующих двух задач, поэтому мы остановимся на них подробнее.

Случай 1. Оба ответила «да»: поскольку А заявил, что он и есть шпион, то он либо жулик, либо шпион (точно не рыцарь, потому что рыцарь никогда не назвался бы шпионом). Если А жулик, то он солгал, соответственно и Б солгал, подтвердив, что А сказал правду. Значит Б не рыцарь, и раз А жулик, то Б — шпион. Тогда В должен быть рыцарем. Итак, если А жулик, то Б шпион, а В — рыцарь.

Предположим теперь, что А — шпион. В этом случае он дал правдивый ответ, и Б дал правдивый ответ, подтвердив, что А сказал правду. Тогда Б должен быть рыцарем, а В — жуликом. Итак, если А — шпион, то Б — рыцарь, а В — жулик. Давайте запишем эти два варианта (назовем их 1а и 1б) Случая 1.

Случай 2. А ответил «нет», Б ответил «да»: поскольку А отрицал, что он шпион, то он либо рыцарь, либо шпион (жулик солгал бы, сказав, что он шпион). Если А рыцарь, то он сказал правду, и тогда Б тоже сказал правду, подтвердив правдивость показаний А. В этом случае Б не может быть жуликом, он должен быть шпионом. Тогда В — жулик.

Если А шпион, то он солгал, и тогда Б тоже солгал, подтвердив правдивость показаний А, значит Б — жулик. В в таком случае — рыцарь. Итак, в Случае 2 также возможны 2 варианта.

Случай 3. А ответил «да», Б ответил «нет». Поскольку А признался, что он шпион, то (как и в Случае 1) А либо жулик, либо шпион. Если он жулик, то он солгал, и тогда Б сказал правду, и он либо рыцарь (а В шпион), либо шпион (тогда В рыцарь). Если А шпион, то он сказал правду, а Б солгал, что означает, что Б жулик, а В рыцарь. Таким образом, получаем три варианта.

Случай 4. Оба ответили «нет». Поскольку А отрицал, что он шпион, тогда (как и в Случае 2) он либо рыцарь, либо шпион. Предположим, он рыцарь. Тогда он сказал правду, а

Б солгал. И в этом случае Б либо жулик (а В шпион), либо шпион (а В жулик). Предположим, А шпион. Тогда он сказал правду, и Б сказал правду, что означает, что Б — рыцарь (а В жулик). У нас снова три варианта:

Для удобства предлагаю изложить все четыре случая в одной таблице:

Случай 1. Оба ответила «да»

Случай 2. А ответил «нет», Б ответил «да»

Случай 3. Л ответил «да», Б ответил «нет»

Случай 4. Оба ответили «нет»

Итак, нам дано, что, выслушав ответы А и Б, судья точно знал, что В — не шпион. Если бы события развивались, как в Случае 3, судья не мог бы знать, был ли В шпионом или рыцарем. В Случае 4 судья не мог бы знать, был ли В шпионом или жуликом. Но ведь судья определенно знал, что В не шпион. Следовательно, Случаи 3 и 4 исключаются. Остаются Случай 1 и Случай 2.

Судья знает, что А сказал правду, заявив, что В не шпион, следовательно, он должен знать, что А либо рыцарь, либо шпион. В Случае 2 судья не смог бы определить, был ли А рыцарем или шпионом, следовательно, он не сумел бы изобличить шпиона. Остается Случай 1, потому что судья знал, что А не может быть жуликом (ведь он дал правдивые показания).

Следовательно, шпион — это А.

50. Не менее сложное дело

Поскольку А и Б отвечали на те же вопросы, что и в предыдущей задаче, воспользуемся таблицей для решения Задачи 49.

Остановимся на том моменте судебного процесса, который предшествует вопросу судьи, обращенному к В: «Вы шпион?» В тот момент судья ни об одном из обвиняемых не мог сказать наверняка, что он не шпион, в противном случае он освободил бы кого-то из них из-под стражи. Исходя из этого, мы исключаем Случаи 1 и 2, поскольку при любом из этих двух случаев судья знал бы, что В либо рыцарь, либо жулик, и оправдал бы его. Итак, остаются Случай 3 и Случай 4.

Рассмотрим теперь, как рассуждал судья, получив ответ от В. Предположим, события развивались, как в Случае 3.

Тогда судья знал, что В либо шпион, либо рыцарь. Если бы В ответил «нет», судья знал бы не больше чем до того и не смог бы никого осудить. Если бы В ответил «да», судья бы понял, что В шпион, ведь рыцарь не смог бы назваться шпионом. Итак, в Случае 3 обвинительный приговор был бы вынесен В.

Предположим, что все произошло, как в Случае 4. Тогда судье известно, что В либо шпион, либо жулик. Если бы В ответил «да», судья не смог бы обличить преступника (ведь и жулик, и шпион могли бы назваться шпионом). Если бы В ответил «нет», то в этом случае судья знал бы, что В шпион, потому что жулик не смог бы правдиво заявить о том, что он не шпион. Итак, и в Случае 4 обвинительный приговор был бы вынесен В.

Стоит отметить, что ни вы, ни я не можем знать, какой из двух случаев (3 или 4) произошел на самом деле, как не можем мы знать, какой именно ответ В дал судье. Нам лишь известно, что судья смог вынести приговор, а значит, либо В ответил «да» в Случае 3, либо В ответил «нет» в Случае 4. В любом случае В был обвинен в шпионаже.

Итак, шпион — это В.

51. Наисложнейшее дело

Воспользуемся уже хорошо знакомой вам таблицей, с помощью которой мы решили две предыдущие задачи.

Шаг 1. После того как Б ответил на вопрос судьи, тот вынес оправдательный приговор. В Случае 3 или 4 любой из трех подсудимых мог бы оказаться шпионом, поэтому судья не смог бы никого оправдать. Следовательно, остаются только Случай 1 и Случай 2. В любом из этих двух случаев В не может быть шпионом, зато любой из двух других вполне может. Следовательно, зал суда покинул В. Итак, мы знаем, что В был оправдан и что имел место либо Случай 1, либо Случай 2. Мы можем полностью исключить Случаи 3 и 4 и забыть про них.

После того как В был оправдан, судья спросил у А или Б (мы не знаем, у кого именно), является ли шпионом второй подсудимый, и услышал в ответ либо «да», либо «нет» (и снова мы не знаем, каков именно был ответ). Таким образом, получаем четыре варианта для Случая 1 и четыре варианта для Случая 2, всего восемь возможных вариантов. Исклю-

чим половину из них, опираясь на известный нам факт, что судья, получив ответ, смог вынести приговор.

Предположим, имел место Случай 1. Предположим, на вопрос судьи отвечал А. Если бы он ответил «да» (подтверждая, таким образом, что Б шпион), судья мог бы исключить вариант 1а, поскольку если А жулик, а Б шпион, то А не стал бы давать правдивые показания о том, что Б шпион. Итак, услышав положительный ответ на свой вопрос, судья исключил бы вариант 1а, и в соответствии с вариантом 1б со всей определенностью обвинил бы А. В случае, если бы А ответил «нет», судья не смог бы вынести приговор, потому что А мог оказаться как жуликом, солгавшим, что Б не шпион, так и шпионом, правдиво заявившим о том, что Б не шпион. Следовательно, А не мог ответить «нет». Итак, если на вопрос судьи отвечал А, то он ответил «да» и был осужден.

Предположим теперь, что судья спросил у Б, не шпион ли А. Если бы Б ответил «да», такой ответ не позволил бы судье вынести приговор (читатель может в этом удостовериться, рассмотрев оба варианта (1а и 1б), и убедившись, что Б вполне мог ответить «нет» в обоих случаях). В случае же, если Б ответил «нет», судья должен был понять, что Б и есть шпион (вариант 1б исключается, ведь рыцарь Б не смог бы отрицать истинность того факта, что шпион А является шпионом). Итак, если на вопрос судьи отвечал Б, то он ответил «нет» и был затем осужден. На этом мы завершили анализ Случая 1.

Подобным же образом можно проанализировать и Случай 2. Мы лишь приведем результаты этого анализа, предоставив читателю самому подробно во всем разобраться. Итак, предположим, что имел место Случай 2. Если вопрос был задан А, то он должен был ответить на него «нет», чтобы судья смог найти виновного, коим и оказался А. Если же вопрос был задан Б, то он должен был ответить на него «да», чтобы судья смог вынести приговор, и этот приговор был вынесен Б. Предлагаем читателю проверить эти выводы (как я уже упоминал, ход рассуждений не слишком отличается от анализа Случая 1).

Давайте посмотрим, что нам стало известно на данном этапе.Если имел место Случай 1, то одно из двух: либо третий вопрос был задан А, который ответил на него утвердительно и оказался шпионом, либо вопрос был задан Б, который ответил отрицательно и оказался шпионом.

Если имел место Случай 2, то либо третий вопрос был задан А, который ответил отрицательно и оказался шпионом, либо этот вопрос был задан Б, который ответил утвердительно и оказался шпионом.

Итак, мы имеем четыре варианта:

Шаг 2. Теперь, чтобы продвинуться дальше, нам уже потребуется дополнительная информация о друзьях мистера Энтони. Нам дано, что либо оба друга решили задачу, либо никому из них решить ее не удалось. Мы докажем невозможность того, чтобы они оба сумели решить задачу.

Начнем с первого друга. Если мистер Энтони ответил на его вопрос утвердительно, тот должен был сообразить, что имел место Случай 1, и что шпионом должен быть А. Если же мистер Энтони ответил отрицательно, то его друг никак не мог бы знать, какой случай из трех (1б, 2а или 26) имел место на самом деле, и не смог бы разоблачить шпиона. Итак, первый друг мистера Энтони смог бы решить задачу только лишь при условии, что он получил от мистера Энтони утвердительный ответ на свой вопрос, который означал, что имел место Случай 1а.

Разберемся теперь со вторым другом. Если мистер Энтони ответил на его вопрос утвердительно, тот понял бы, что имел место Случай 2а, и что шпион — это А. Если же мистер Энтони ответил отрицательно, то второй друг не смог бы решить задачу. Итак, единственное условие, при котором второй друг мог бы решить задачу, — это если имел место Случай 2а, и мистер Энтони ответил положительно на его вопрос. Но ведь невозможно, чтобы имели место одновременно

два случая: 1а и 2а, и поэтому мистер Энтони не мог дать утвердительный ответ обоим своим друзьям. Отсюда вывод, что никак невозможно, чтобы оба друга смогли решить задачу. Раз так, то никто из них ее не решил (потому что нам дано, что либо оба решили задачу, либо никто из них не решил). Таким образом, мы исключаем Случай 1а и Случай 2а, и делаем вывод о том, что шпионом должен быть Б.

Глава 6

graphics52

52. Первый вопрос

Алиса допустила ошибку, записав одиннадцать тысяч одиннадцать сотен и одиннадцать как 11 111 — а это неверно! 11 111 — это одиннадцать тысяч одна сотня и одиннадцать! Чтобы правильно записать одиннадцать тысяч одиннадцать сотен и одиннадцать, сложите их следующим образом:

11000

1100

11

-------

12 111

Итак, одиннадцать тысяч одиннадцать сотен и одиннадцать — это 12 111, число, которое делится на три без остатка.

53. И снова вопрос на деление

Миллион, помноженный на четверть, равен четверти миллиона, а миллион, поделенный на четверть — это то число, четверть которого равна одному миллиону, то есть четыре миллиона. Итак, правильный ответ на вопрос Королевы — четыре миллиона.

54. Сколько стоит бутылка?

Часто на этот вопрос дают неправильный ответ: 4 шиллинга. Если бы бутылка действительно стоила 4 шиллинга, тогда вино, которое на 26 шиллингов дороже бутылки, стоило бы 30 шиллингов. В этом случае вино и бутылка в сумме стоили бы 34 шиллинга.

Правильный ответ — бутылка стоит 2 шиллинга, а вино стоит 28 шиллингов.

55. Во сне или наяву?

Если бы Черный Король в это время бодрствовал, он не мог бы иметь ложное представление о том, что оба они с Королевой спят. Следовательно, он в это время спал. Но поскольку все, что он думает во сне, неверно, значит, и его представление о том, что оба они с Королевой спали, было ошибочным. Раз так, то Черная Королева в это время не спала.

56. Во сне или наяву — 2

Черный Король либо бодрствовал, либо спал в это время. Предположим, он бодрствовал. Тогда его суждение было верным и это значит, что Черная Королева спала. Раз она спала, то ее суждение было ошибочным, следовательно, она должна была полагать, что Король спит. Предположим теперь, что Король в это время спал. Тогда его суждение было ошибочным, а значит, Королева бодрствовала. Раз она бодрствовала, то все ее суждения были верными, в том числе и о том, что Король спит. Итак, мы видим, что независимо от того, спал ли Король в это время или бодрствовал, Королева полагала, что он спит.

57. Задача о погремушках

Если Траляля проиграет пари, у него останется ровно половина от общего числа погремушек (т.е. столько же погре-

мушек, сколько у Труляля, как сформулировано в условиях задачи). Значит, сейчас у него на одну погремушку больше, чем половина от всех погремушек. Если же Траляля выиграет пари, то у него будет на две погремушки больше, чем половина от всех погремушек. Кроме того, в этом случае у него окажется 2/3 от общего числа погремушек (или вдвое больше погремушек, чем у Труляля, как сформулировано в условиях задачи), что на 1/6 от общего числа погремушек больше, чем половина от общего числа погремушек (поскольку 1/2—1/3 = 1/6). Следовательно, «на 1/6 от общего числа погремушек больше, чем половина от общего числа погремушек» — это то же самое, что «на две погремушки больше, чем половина от всех погремушек», поэтому две погремушки и есть 1/6 от общего числа погремушек. Следовательно, всего у братьев 12 погремушек, из которых у Траляля 7 погремушек, а у Труляля — 5.

Давайте проверим: если Траляля проиграет пари, у каждого из братьев окажется по 6 погремушек. Если же Траляля выиграет, то у него будет 8, а у его братца только 4 погремушки, то есть у Траляля будет в два раза больше погремушек, чем у Труляля.

58. Братья и сестры

В семье четыре мальчика и три девочки. У Тони три брата и три сестры, у Алисы четыре брата и две сестры.

59. Кому письмо?

Если Королева три письма разложила правильно, то как раз остается одно письмо. Поэтому нам нужно сделать выбор между двумя вариантами: либо она три письма разложила правильно, либо только два. Но ведь если она три письма разложила правильно, значит, и четвертое письмо должно было попасть в предназначенный для него конверт! Следовательно, Королева разложила правильно два письма.

60. Сколько земли у фермера?

Часто на этот вопрос дают неправильный ответ — 11 акров. Если бы у фермера и в самом деле было 11 акров земли, сборщик налогов отобрал бы у него 1 ¹/₁₀ акров (то есть 1/10 от 11 акров). В этом случае у фермера осталось бы 9 ⁹/₁₀ акров, а вовсе не 10. Поэтому 11 акров не может быть правильным ответом.

Как же найти правильный ответ? Давайте подойдем к решению задачи следующим образом: после того как у фермера отобрали 1/10 надела, у него осталось 9/10. Следовательно, 9/10 от первоначального надела и есть 10 акров. Это означает, что если мы умножим число акров в первоначальном наделе на 9/10, мы получим тот надел, который остался после конфискации части земли — то есть 10 акров. Следовательно, чтобы «вернуться« от оставшегося надела к первоначальному, мы должны поделить на 9/10! Чтобы поделить на 9/10, нужно умножить на 10/9, поэтому мы умножаем 10 на 10/9 и получаем 100/9, или 11 ¹/₉ акров.

Можно ли проверить этот результат? Давайте посмотрим: площадь первоначального надела составляла 11 ¹/₉ акров. 1/10 от 11 ¹/₉ — это 1 ¹/₉, и если мы отнимем 1 ¹/₉ от 11 ¹/₉, мы получим ровно 10 акров.

61. Еще один фермер

Эту задачу можно решить, приведя все дроби к общему знаменателю (равному 60): 1/3 + 1/4 + 1/5 = 20/60 + 15/60 + 12/60 = 47/60. На возделывание кукурузы таким образом остается 13/60 всей площади участка. Следовательно, 13/60 и составляют 26 акров, и раз 13 это половина от 26, то 60 должно быть половиной от общей площади в акрах. Значит, общая площадь участка составляет 120 акров.

Давайте проверим: 1/3 от 120 акров это 40 акров, на которых фермер выращивал кабачки. 1/4 от 120 это 30 акров, на которых произрастал горох, и 1/5 от 120 это 24 акров, на которых росли бобы. Произведем сложение: 40 + 30 + 24 = 94. 120 — 94 = 26 акров, отведенных под кукурузу.

62. Когда часы двенадцать бьют

Между первым и шестым ударами пять временных интервалов, и эти пять интервалов помещаются в 30 секунд. Значит интервал между любым двумя следующими друг за другом ударами составляет шесть секунд (а не пять, как ошибочно полагают некоторые!). Далее, между первым и двенадцатым ударами — одиннадцать интервалов времени. Следовательно, двенадцать ударов дедушкины часы отбивают за 66 секунд.

63. Двенадцатый вопрос

Предположим, Алиса ответила бы «да». В этом случае Королева могла бы поступить, как ей заблагорассудится: либо

засчитать, либо не засчитать экзамен. Если бы она посчитала, что Алиса не сдала экзамен, и Алиса спросила бы, почему, Королева могла бы объяснить ей следующее:

— Ты дала неправильный ответ на последний вопрос — ты ведь сказала, что сдашь экзамен, а ты его не сдала. Раз ты ответила неправильно на этот вопрос, ты провалила весь экзамен!

С другой стороны, с тем же успехом Королева могла бы засчитать Алисе экзамен, обосновав свое решение следующим образом:

— Ты предсказала, что сдашь экзамен, и раз ты его сдала, ты предсказала правильно. Значит, на последний вопрос ты ответила верно, и поэтому успешно сдала экзамен.

Разумеется, в обоих случаях ход рассуждений представляет собой замкнутый круг, но согласитесь, что оспорить и то и другое решение было бы нелегко!

Другое дело, если бы Алиса ответила «нет». Тогда Королева не смогла бы ни засчитать ей экзамен, ни провалить Алису. Если Королева посчитала, что экзамен сдан, то Алиса предсказала неправильно, а дав неправильный ответ, она по всем правилам должна была провалиться! Если же Королева посчитала, что Алиса экзамен не сдала, тогда Алиса дала правильный ответ, а ответив правильно, она должна была сдать экзамен! Мы видим, что Королева не имела возможности ни засчитать успешную сдачу экзамена, ни провалить Алису!

Как я уже говорил, Алиса была больше заинтересована в том, чтобы не провалиться на экзамене, чем выдержать экзамен, поэтому она ответила «нет» и, конечно же, своим ответом поставила Черную Королеву в совершеннейший тупик!

graphics53